INTEGRAL DEFINIDA

1

INTEGRAL DEFINIDA

Ejercicio nº 1.-

Mediante los métodos de la integral definida y geometría elemental calcula el área

Ejercicio nº 2.-

Halla gráficamente la siguiente integral:

Ejercicio nº 3.-

Calcula el área del recinto comprendido entre el eje de abscisas, el eje de ordenadas, y la recta que pasa por el punto P (2, 3) y tiene de pendiente m = −2, mediante los métodos de la integral definida y de la geometría elemental.

Ejercicio nº 4.-

Halla el área limitada por la recta x + y = 5, el eje abscisas y las rectas x = 2 y x = 4, mediante la integral definida y por la geometría elemental.

Ejercicio nº 5.-

Calcula gráficamente la siguiente integral:

Teorema fundamental del cálculo

Ejercicio nº 6.-

función en [0, 2π].

Ejercicio nº 7.-

función en [0, 2π].

Ejercicio nº 8.-

Ejercicio nº 9.- Dada la función:

Calcula F' (x)

abscisas.

de eje el y 7 2 2 1

rectas las por

limitada = x + x = x =

y , ,

∫

−

3

9 x

dx

∫

   + −   

1

1

1 x dx

( ) ⁼ ∫ ^{Obtén los posibles puntos extremos de esta}

función la

Dada F x sen

t dt .

( ) ⁼ ∫ ^{Obtén los posibles puntos extremos de esta}

función la

Dada F x sen

t dt .

( ) ( )

(

)

Calcula ' F x , siendo F x = ∫

sen t + log t dt ·

( ) ^{x =} ∫

( ^{+ cos t} ) ^dt

F

0

1

2 Ejercicio nº 10.-

Sin necesidad de resolver la integral, indica dónde hay máximo o mínimo relativo en la función:

Regla de Barrow

Ejercicio nº 11.-

Halla el área limitada por la parábola y = x

− 7x + 6, el eje de abscisas y las rectas x = 2, x = 6.

Ejercicio nº 12.-

Halla el área limitada por las parábolas y = 6x − x

, y = x

− 2x.

Ejercicio nº 13.-

Calcula el área limitada por la curva xy = 36, el eje de abscisas y las rectas x = 3, x = 12.

Ejercicio nº 14.-

Halla el área limitada por la curva y = x

y la recta y = x + 6.

Ejercicio nº 15.-

Ejercicio nº 16.-

Halla el área limitada por las curvas y = e

, y = e

y la recta x = 1.

Ejercicio nº 17.-

Halla el área limitada por la curva y = x

− 6x

+ 8x y el eje de abscisas.

Ejercicio nº 18.-

Calcula el área limitada por la parábola y = x

− 4x y la recta y = 3x − 6.

Ejercicio nº 19.-

Halla el área del recinto limitado por la curva y = (x − 1) · (x + 2), las rectas x = 3, x = 2 y el eje de abscisas.

Ejercicio nº 20.-

Calcula el área limitada por las curvas y = x

e y = |x − 2|.

Cálculo de áreas y volúmenes

Ejercicio nº 21.-

Calcula el volumen engendrado por la curva y

= 8x y la recta x = 2 al girar alrededor del eje X.

Ejercicio nº 22.-

Demuestra mediante el cálculo integral la fórmula del área de un rectángulo.

( ) ^{x =} ∫

( ^{ln t − 2} ) ^dt

F

1

. 2 y 1 rectas las y 2 función la

por limitado recinto

del área el

Calcula y = x x = x =

3 Ejercicio nº 23.-

Halla, mediante el cálculo integral, el volumen de un elipsoide de radios 3 cm y 4 cm.

Ejercicio nº 24.-

eje X.

Ejercicio nº 25.-

Deduce mediante el cálculo integral la fórmula del área de un trapecio.

Ejercicio nº 26.-

Calcula, mediante el cálculo integral, el volumen de un tronco de cono de radios 3 cm y 5 cm, y altura 6 cm.

Ejercicio nº 27.-

Halla el volumen engendrado por el trapecio limitado por las rectas x = 0, x = 5, y = 0, x − 5y + 10 = 0 al girar alrededor del eje X.

Ejercicio nº 28.-

Obtén, utilizando el cálculo integral, el área de un trapecio de bases 3 cm y 5 cm, y de altura 4 cm.

Ejercicio nº 29.-

Utilizando el cálculo integral, calcula el volumen de un cono de radio 5 m y altura 10 m.

Ejercicio nº 30.-

Ejercicio nº 31.-

Demuestra, utilizando el cálculo integral, que el área de un triángulo rectángulo de base 3 m y altura 5 m es 7,5 m

.

Ejercicio nº 32.-

Utilizando el cálculo integral, obtén el volumen de una esfera de radio 2 cm.

Ejercicio nº 33.-

Halla el volumen engendrado al girar alrededor del eje X el recinto limitado por y

= 2x, x = 1, x = 2.

Ejercicio nº 34.-

Obtén la fórmula del área de un triángulo rectángulo mediante el cálculo integral.

Ejercicio nº 35.-

Obtén, mediante el cálculo integral, el volumen de un cilindro de radio 3 cm y altura 5 cm.

del alrededor girar

al 4 1

elipse la por engendrado cuerpo

del volumen el

Halla

2

+ y = x

. y X

x 1 al girar alrededor del eje 4

9 elipse la por engendrado volumen

el Calcula

2

2

+ =

4

SOLUCIONES EJERCICIOS INTEGRAL DEFINIDA

Ejercicio nº 1.-

Mediante los métodos de la integral definida y geometría elemental calcula el área

Solución:

Geométricamente, se trata de un trapecio:

Ejercicio nº 2.-

Halla gráficamente la siguiente integral:

Solución:

El recinto cuya área queremos calcular es medio círculo de radio 3 u.

abscisas.

de eje el y 7 2 2 1

rectas las por

limitada = x + x = x =

y , ,

2 7

2 7 2

2

u

4 3 65 4 77 1 4

2  = − =



 



 +

 =



 

  +

= ∫ ^{x dx x x}

A

u

4 65 2

5 2 · 13 2

5

· 2 2 9

=

=

 

 

  +

= A

∫

−

3

9 x

dx

encia) (circunfer 3

9 9

9 −

→

= −

→

+

= →

+

=

= x y x x y x y

y

2 2

2

u

2 3 9 2 ·

· 1 2 ·

1 π = π = π

= r

Área

5 Ejercicio nº 3.-

Calcula el área del recinto comprendido entre el eje de abscisas, el eje de ordenadas, y la recta que pasa por el punto P (2, 3) y tiene de pendiente m = −2, mediante los métodos de la integral definida y de la geometría elemental.

Solución:

La ecuación de la recta que pasa por P (2, 3) y tiene de pendiente m = −2 es:

y − 3 = −2 · (x − 2) → y = −2x + 7

Ejercicio nº 4.-

Halla el área limitada por la recta x + y = 5, el eje abscisas y las rectas x = 2 y x = 4, mediante la integral definida y por la geometría elemental.

Solución:

Geométricamente, se trata de un trapecio:

Geométricamente, se trata de un triángulo:

( )

[

]

0 2 2

7

0

4 u 7 49

2 7

· 2 7

2  = − + =



 



 − +

= +

−

= ∫ ^{x dx x x x x}

A

( )

( ) ( )

2 4 2

2

20 8 10 2 12 8 4 u

5 2

·

5  = − − − = − =



 



 −

=

−

= ∫ ^{x dx x x}

A

u

2 4 2

· ) 1 3

( + =

= A

u

4 49 2

7 2 · 7

=

=

A

6 Ejercicio nº 5.-

Calcula gráficamente la siguiente integral:

Solución:

Se trata de un rectángulo de base 2u y altura 1u más media circunferencia de radio 1u.

Teorema fundamental del cálculo

Ejercicio nº 6.-

función en [0, 2π].

Solución:

Aplicando el teorema fundamental del cálculo:

F' (x) = sen

x

F'(x) = 0 → sen

x = 0 → x = 0, x = π y x = 2π.

Ejercicio nº 7.-

función en [0, 2π].

Solución:

Aplicando el teorema fundamental del cálculo:

F' (x) = sen

x

F'(x) = 0 → sen

x = 0 → x = 0, x = π y x = 2π.

∫



 

 

 + −

1

1

1

1 x dx

encia) (Circunfer 1

1 −

→

+

=

= x x y

y

2

2

u

2 2 1

· 2 · 1 1

·

2 π

+

= π +

= Área

( ) ⁼ ∫ ^{Obtén los posibles puntos extremos de esta}

función la

Dada F x sen

t dt .

( ) ⁼ ∫ ^{Obtén los posibles puntos extremos de esta}

función la

Dada F x sen

t dt .

7 Ejercicio nº 8.-

Solución:

Aplicando el teorema fundamental del cálculo:

F' (x) = sen

x + logx Ejercicio nº 9.-

Dada la función:

Calcula F' (x).

Solución:

Por el teorema fundamental del cálculo:

F' (x) = f (x) = 1 + cos

x Ejercicio nº 10.-

Sin necesidad de resolver la integral, indica dónde hay máximo o mínimo relativo en la función:

Solución:

Aplicando el teorema fundamental del cálculo:

F' (x) = lnx − 2

F' (x) = 0 → lnx − 2 = 0 → x = e

En x = e

tiene un mínimo (pues F'' (e

) >0).

Regla de Barrow

Ejercicio nº 11.-

Halla el área limitada por la parábola y = x

− 7x + 6, el eje de abscisas y las rectas x = 2, x = 6.

Solución:

( ) ( )

(

)

Calcula ' F x , siendo F x = ∫

sen t + log t dt ·

( ) ^{x =} ∫

( ^{+ cos t} ) ^dt

F

0

1

( ) ^{x =} ∫

( ^{ln t − 2} ) ^dt

F

1

8 (La gráfica no es necesaria; se incluye para visualizar mejor el problema).

G(6) = 72 − 126 + 36 = −18

Ejercicio nº 12.-

Halla el área limitada por las parábolas y = 6x − x

, y = x

− 2x.

Solución:

Los puntos de intersección de ambas curvas son:

6x − x

= x

− 2x → x = 0, x = 4 → (0, 0) y (4, 8)

(La gráfica no es necesaria; se incluye para visualizar mejor el problema)

G(0) = 0

Ejercicio nº 13.-

Calcula el área limitada por la curva xy = 36, el eje de abscisas y las rectas x = 3, x = 12.

( ) ^x ( ^{x x} ) ^{dx x x x}

G 6

2 7 6 3

7

2 3

2

− + = − +

= ∫

( ) 3

12 2 3 14

2 = 8 − + = G

( ) ( )

3 56 3 18 2 2

6 −G = − − = − G

u

3 56 56 = 3

−

= A

( ) ^{x =} ∫ [ ( ^{6 x − x}

) ( ^{− x}

^{− 2 x} ) ] ^{dx =} ∫ ( ^{− 2 x}

^{+ 8 x} ) ^{dx = − 2} ₃ ^x

^{+ 4 x}

G

( ) 3

64 64 3

4 = − 128 + = G

( ) ( ) ^u

3 0 64

4 − =

= G G

A

9 Solución:

(La gráfica no es necesaria; se incluye para visualizar mejor el problema).

G(3) = 36 · ln3 G(12) = 36 · ln12

G(12) − G(3) = 36 · (ln12 − ln3) = 36 · ln4 A = 36 · ln4 u

Ejercicio nº 14.-

Halla el área limitada por la curva y = x

y la recta y = x + 6.

Solución:

Los puntos de intersección son:

x

= x + 6 → P (3, 9), Q (−2, 4)

(La gráfica no es necesaria; se incluye para visualizar mejor el problema)

( ) x ⁼ ∫ x ^{dx = ln x}

G 36 36 ·

( ) ⁼ ∫ ( ^{+ −} ) ^{= +} 6 ⁻ 3 6 2

3 2

2

x

x x dx x x x G

( ) 3

22 3 10 8 2 = − + = −

− G

( ) 2

9 27 2 18

3 = 9 + − = G

( ) ( ) ^{G A}

G − − = + = u

=

6

125

3

22

2

2 27

3

10 Ejercicio nº 15.-

Solución:

(La gráfica no es necesaria; se incluye para visualizar mejor el problema).

Ejercicio nº 16.-

Halla el área limitada por las curvas y = e

, y = e

y la recta x = 1.

Solución:

(La gráfica no es necesaria; se incluye para visualizar mejor el problema).

G(0) = 2

. 2 y 1 rectas las y 2 función la

por limitado recinto

del área el

Calcula y = x x = x =

( ) ⁼ ∫ ⁼ 3

· 4

2 x dx x

x G

( ) 3 1 = 4 G

( ) ^{· 2}

3 2 = 8 G

( ) ( ) ^· ( ^{2 2 1} ) ^u

3 4 3 2 4 3 1 8

2 −G = − = −

G

( ) ^{x =} ∫ ( ^e

^{− e}

) ^{dx = e}

^{+ e}

G

( ) e

e e e

G 1 1

1

2

+

= +

=

( ) ( )

e e e e

G e

G 2 1

1 2 0

1

2

2

+ − = − +

=

−

11 Ejercicio nº 17.-

Halla el área limitada por la curva y = x

− 6x

+ 8x y el eje de abscisas.

Solución:

La curva corta al eje de abscisas en los puntos:

x

− 6x

+ 8x = 0 → x = 0, x = 2, x = 4

(La gráfica no es necesaria; se incluye para visualizar mejor el problema).

G(0) = 0

G(2) = 4 −16 + 16 = 4 G(4) = 64 − 128 + 64 = 0 G(2) − G(0) = 4

G(4) − G(2) = −4 A = 4 + |−4| = 8 u

Ejercicio nº 18.-

Calcula el área limitada por la parábola y = x

− 4x y la recta y = 3x − 6.

Solución:

Los puntos de intersección son:

x

− 4x = 3x − 6 → x = 1, x = 6 → (1, −3) y (6, 12)

2 2

1 u 2 e e

A e − +

=

( ) ⁼ ∫ (

⁻ 6

⁺ 8 ) ⁼ x 4

^{− 2} x

^{+ 4} x

dx

x

x

x

x

G

12 (La gráfica no es necesaria; se incluye para visualizar mejor el problema)

G(6) = −72 + 126 − 36 = 18

Ejercicio nº 19.-

Halla el área del recinto limitado por la curva y = (x − 1) · (x + 2), las rectas x = 3, x = 2 y el eje de abscisas.

Solución:

La curva corta al eje de abscisas en:

(x − 1) · (x + 2) = 0 → x = 1 y x = −2

(La gráfica no es necesaria; se incluye para visualizar mejor el problema).

( ) ^{x =} ∫ ( ^{x − − x + x} ) ^{dx =} ∫ ( ^{− x + x −} ) ^{dx = − x + x − x}

G 6

2 7 6 3

7 4

6 3

2 3 2

2

( ) 6

6 17 2 7 3

1 = − 1 + − = − G

( ) ( )

6 125 6 18 17 1

6 − G = + =

G

u

6

= 125 A

( ) ( ^{x =} ∫ ^{x −} ) ( ^{x +} ) ^{dx =} ∫ ( ^{x + x −} ) ^{dx = x + x − x}

G 2

2 2 3

2 1

2 3 2

( ) 2

6 3 2 9 3

3 = − 27 + + =

− G

( ) 3

4 10 3 2

2 − 8 + + =

=

− G

( ) 6

2 7 2 1 3

1 = 1 + − = −

G

13 Ejercicio nº 20.-

Calcula el área limitada por las curvas y = x

e y = |x − 2|.

Solución:

(La gráfica no es necesaria; se incluye para visualizar mejor el problema).

y = x

Puntos de intersección:

x

= x − 2 → x

− x + 2 = 0 No tiene solución

Área = 4,5 u

( ) 3

4 2 3 2

2 = 8 + − = G

( ) ( )

6 11 2 3 3 3 10

2 − − = − =

− G

G

( ) ( )

2 9 6 27 3 10 6 2 7

1 − G − = − − = − = − G

( ) ( )

6 11 6 7 3 1 2

2 − G = + =

G

u

6 49 6 11 2

9 6

11 + − + =

= A

 



≥

−

<

+

= −

−

=

2 si 2

2 si 2 2

x x

x x x

y

 



−

=

= =

− +

→ +

−

=

2 0 1

2

2

2

x x x

x x

x

( ) ⁼ ∫ ( ^{− + −} ) ^{= − +} 2 ⁻ 3 2 2

3 2

2

x

x x dx x x x

G

( ) 6

7 3 2 1 2

1 = − 1 + − = G

( ) 3

10 3 4 8 2

2 = − − + = −

− G

( ) ( ) ^{4 , 5}

6 27 3 10 6 2 7

1 − G − = + = =

G

14

Cálculo de áreas y volúmenes

Ejercicio nº 21.-

Calcula el volumen engendrado por la curva y

= 8x y la recta x = 2 al girar alrededor del eje X.

Solución:

Ejercicio nº 22.-

Demuestra mediante el cálculo integral la fórmula del área de un rectángulo.

Solución:

Calculemos el área bajo la recta y = a entre x = 0 y x = b.

Ejercicio nº 23.-

Halla, mediante el cálculo integral, el volumen de un elipsoide de radios 3 cm y 4 cm.

Solución:

entre x = −3 y x = 3.

3 2

0 2 2

0

u 2 16

· 8 8

·  = π



 

 π 

= π

= ∫ ^{x dx x}

V

[ a x ] a b

dx a

A

b

·

·

0

=

=

= ∫

2 2

2 2

El volumen buscado es el engendrado por la curva 1 al girar alrededor del eje

3 4

x y

+ = X

[ ]

3

3 3 3

3 2

2

16 · 3 1 3 1 64 cm

· 27 9 16

1

· 4

·  = π − + − = π



 



 − π

 =



 



 − π

=

− −

∫ ^{x dx x x}

V

15 Ejercicio nº 24.-

eje X.

Solución:

Ejercicio nº 25.-

Deduce mediante el cálculo integral la fórmula del área de un trapecio.

Solución:

La recta que pasa por (0, b) y (a, B) es:

Así:

Ejercicio nº 26.-

Calcula, mediante el cálculo integral, el volumen de un tronco de cono de radios 3 cm y 5 cm, y altura 6 cm.

del alrededor girar

al 4 1

elipse la por engendrado cuerpo

del volumen el

Halla

2

+ y = x

3 2

0 2 3

0 2 2

2 2

3 u 8 12

· 16 12 2

· 4 2

1

· 4 2

1

·  = π



 

 π 

 =



 



 − π

 =





 

 − π

 =





 

 − π

= ∫

∫

x x x dx

x dx V

b a x

b

y B − +

=

b a a B b b a bx B

a x b dx B

b a x

b A B

a a

2 ·

· 2 ·

2 ·

2 0

= +

− +

 =

 

 − +

 =



 



 − +

= ∫

16 Solución:

entre x = 0 y x = 6.

Ejercicio nº 27.-

Halla el volumen engendrado por el trapecio limitado por las rectas x = 0, x = 5, y = 0, x − 5y + 10 = 0 al girar alrededor del eje X.

Solución:

Ejercicio nº 28.-

Obtén, utilizando el cálculo integral, el área de un trapecio de bases 3 cm y 5 cm, y de altura 4 cm.

Solución:

Se trata de hallar el área comprendida entre la recta que pasa por los puntos (0, 3) y (4, 5) y las rectas x = 0 y x = 4.

El volumen buscado es el engendrado por la recta 1 3 al girar alrededor del eje

y = 3 x + X

3 6

0 6 2

0

cm 24 2 3

3 3 1

3

· 1  = π



 



 +

π

 =



 



 +

π

= ∫ ^{x dx x x}

V

( ) ( ) = π ( − ) =

 





 

 π  +

= π +

 =



 

 π  +

= ∫ ∫ 3 75 ^{· 3 375 1 000}

· 10 10 25

25 5

· 10

5

0 5 3

0 5 2

0

2

x

dx x

x dx V

u

3 95 75

375

2 π = π

=

17 Ejercicio nº 29.-

Utilizando el cálculo integral, calcula el volumen de un cono de radio 5 m y altura 10 m.

Solución:

x = 0 y x = 10.

Ejercicio nº 30.-

Solución:

( ) ( ) ^{3 .}

2 1 es 5 , 4 y 3 , 0 por pasa que recta

La y = x +

2 4

0 4 2

0

3 16 cm

4 3 1

2

1   =

  +

=

 

 



 +

= ∫ ^{x dx x x}

A

X x

y al girar alrededor del eje 2

1 recta la por engendrado el

es buscado volumen

El =

3 10

0 10 3

0

2

3 m 250 12

000 1

· 12 2

· 1  = π = π



 

 π 

 =



 

 π 

= ∫ ^{x dx x}

V

. y X

x 1 al girar alrededor del eje 4

9 elipse la por engendrado volumen

el Calcula

2 2

= +

( )

3

0 3 3

0 3 2

3

2

u 16 1 3 27 8

· 9 8

1 4 9 2

1

· 4

·  = π − = π



 



 − π

 =



 



 − π

 =



 



 − π

= ∫

∫

x x x dx

x dx

V

18 Ejercicio nº 31.-

Demuestra, utilizando el cálculo integral, que el área de un triángulo rectángulo de base 3 m y altura 5 m es 7,5 m

.

Solución:

Se trata de hallar el área limitada por la recta que pasa por los puntos (0, 5) y (3, 0) y los ejes de coordenadas.

Ejercicio nº 32.-

Utilizando el cálculo integral, obtén el volumen de una esfera de radio 2 cm.

Solución:

El volumen buscado es el engendrado por la curva y

= 4 − x

al girar alrededor del eje X entre x = −2 y x = 2.

Ejercicio nº 33.-

Halla el volumen engendrado al girar alrededor del eje X el recinto limitado por y

= 2x, x = 1, x = 2.

Solución:

( ) ( ) ^{5 .}

3 5 es 0 3, y 5 0, por pasa que recta

La y = − x +

2 3

0 3 2

0

7 , 5 m

2 15 15 2 5 15 6

5 5 3

5 = − + = =

 

  − +

 =



 



 − +

= ∫ ^{x dx x x}

A

( )

2 2 3

2

2

cm

3 32 3

· 32 3

8 8 3 8 8 3 ·

4

· 4

·  = π = π



 



 − + −

π

 =



 



 −

π

=

− π

=

− −

∫ ^{x dx x x}

V

[ ]

1

2 · · 3 u

· = π = π

π

= ∫ ^{x dx x}

V

19 Ejercicio nº 34.-

Obtén la fórmula del área de un triángulo rectángulo mediante el cálculo integral.

Solución:

Así:

Ejercicio nº 35.-

Obtén, mediante el cálculo integral, el volumen de un cilindro de radio 3 cm y altura 5 cm.

Solución:

El volumen buscado es el engendrado por la recta y = 3 al girar alrededor del eje X entre x = 0 y x = 5.

.

ecuación por

tiene recta

La x

b y = a

2

·

· 2

·

· 2

2

0 2

0

b a b b a b dx ax b x A a

b

b

 = =



 



= 

= ∫

[ ]

5

0

2

· 9 45 cm

3 = π = π

π

= ∫ ^{dx x}

V