EJERCICIO Nº 1:

Combinatoria – Ejercicios resueltos – Página 1

EJERCICIOS RESUELTOS DE COMBINATORIA

I) EJERCICIOS RELATIVOS A NÚMEROS COMBINATORIOS Y BINOMIO DE NEWTON

EJERCICIO Nº 1:

Simplificar la expresión

 1  !

! ) 2 (



 n

n

Resolución:

Para poder simplificar esta expresión debemos desarrollar el mayor de los dos factoriales hasta llegar al menor de ellos ,en este caso el mayor es ( n  2 ) !

 1  !

! ) 2 (



 n

n =

)!

1 (

! ) 1 .(

).

1 ).(

2 (







 n

n n n

n = ( n  2 ).( n  1 ). n

Observe que la simplificación de ( n  1 ) ! puede realizarse sin imponer condiciones, ya que es distinto de cero.

EJERCICIO Nº 2:

Sea m  0 . Desarrollar

4

4 3

1 



 

   m

m utilizando la fórmula del binomio de Newton Resolución:

Aplicando la fórmula del Binomio de Newton:

4

4 3

1 



 

   m

m _  



 

 

 



 



 



 ⁴ 

0

3 4

4 1 . 4

i

i i

m m

i y desarrollando la sumatoria, se obtiene

 ³  ^{4 1}  ³  ^{3 2}  ³  ^{2 3}  ³  ^{1 4}  ³  ⁰

0

4 1 .

4 4 4

1 . 3 4 4

1 . 2 4 4

1 . 1 4 4

1 . 0

4 m

m m m m

m m m m

m  



 



 



 



 

 



 



 



 



 

 



 



 



 



 

 



 



 



 



 

 



 



 



 





= ^{1 . 1 . 256 . 12 4 . 1}  ^{64 9}  ^{6 . 1} ₂  ^{. 16 6  4 . 1} ₃ ^  ^{ 4 3}  ^{ 1  1} ₄ ^{ 1}



 



 





 m m

m m m m

m m =

= ^{12 8 4} 1 ₄

16 96

256 .

256 m  m  m   m

Combinatoria – Ejercicios resueltos – Página 2

EJERCICIO Nº 3:

Calcular el coeficiente de x ²⁰ en el desarrollo de  ^{2 x 2  1}  ¹²

Resolución:

Para hacer este desarrollo utilizamos la fórmula del binomio de Newton . Nos queda entonces:

    ⁱ

i

x i

x i ^

   

 



 

 ^{12 12}

0 12 2

2 12 2 1

1 2

Como nos interesa obtener solamente el coeficiente de x ²⁰ , en lugar de hacer todo el desarrollo, lo podemos pensar de la siguiente forma: encontrar el valor de i para el cual el exponente de “x” es igual a 20:

  ^{x 2 i = x 2 i = x 20}

Es decir: 2.i = 20  i = 10

Si escribimos el término de la sumatoria correspondiente a i = 10, obtenemos:

  ^{2 10 2 2 10 20 1 66 1024 20 67 . 584 . 20}

! 2

! 10

! 1 12 10 2

12   x   x    x  x

 





Luego, el coeficiente de x ²⁰ es 67.584 EJERCICIO Nº 4:

Calcular V _{7 , 3} usando cualquiera de las fórmulas correspondientes

Resolución:

Primera forma: usando la fórmula V _{m , n}  m . ( m  1 ) . ( m  2 ) .. .. . ( m  n  1 )

Según esta fórmula V _{7 , 3} es igual al producto de tres números naturales consecutivos y decrecientes, a partir del 7.

V _{7 , 3} = 7.6.5 = 210.

Segunda forma: usando la fórmula

 ^!  ^!

, m n

V _{m n} m

  , ,equivalente a la anterior.

En este caso

 7 3  !

! 7

3 ,

7  

V 4 !

!

 7

Combinatoria – Ejercicios resueltos – Página 3

Para simplificar esta fracción podemos expresarla así: 7 . 6 . 5 . 210

! 4

! 4 . 5 . 6 . 7

! 4

!

7  



 

Por lo tanto, V _{7 , 3} = 210.

EJERCICIO Nº 5:

Calcular C _{7 , 3} usando la fórmula correspondiente Resolución:

En este caso, se utiliza la fórmula

  !

!.

!

, n m n

C _{m n} m

  , obteniéndose:

 ^{7 3}  ^{! ( 7 7 ! 3 )! 3 1 ! 3 1 ! 210 6 35}

!.

3

! 7

3 , 7 3

,

7    

 

  V

C

EJERCICIO Nº 6:

Calcular P ₆ usando la fórmula correspondiente Resolución:

Ahora utilizaremos la fórmula P _m  m ! que es igual al producto de todos los números naturales consecutivos decrecientes a partir de “m” y hasta llegar a 1. Luego:

P ₆ = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720.

EJERCICIO Nº 7:

Analizar para qué valores de “p” está definido el número C _{( p  3 ), 4} y calcularlo.

Resolución:

Como la fórmula de C _{m , n} es válida para m , n  N y m  n , el número p+3 deberá cumplir las condiciones p+3  N y p+3  4 ; a partir de aquí se deduce que “p” debe ser un número natural mayor o igual que 1 ( simplemente, un número natural).

Para calcularlo, utilizamos la fórmula ya vista de C _{m , n} C _{( p  3 ), 4} =  

   

       

   ^







 



 







! 1 . 1 . 2 . 3 . 4

! 1 1

2 3

! 1

!.

4

! 3

! 4 3

!.

4

! 3

p

p p p p p p

p p

p

=        

24

1 2 3 1

. 2 . 3 . 4

1 2

3 p p p p p p p

p       

= 24

6 11

6 ^{3 2}

4 p p p

p   

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EJERCICIO Nº 7:

Determinar el valor de x  N que verifique:

  3

10 ,

C _{x 1 2}

3 ), 3

( 





C x

Resolución:

Consideraciones análogas a las realizadas en el ejercicio anterior, conducen a que

“x” deberá ser un número natural. Por otra parte, la expresión original es igual a:

3 . C _{ x  3  , 3}  10 . C _{ x  1  , 2} . Aplicando la fórmula:

3  

   

 1 2  !

!.

2

! 10 1

! 3 3

!.

3

! 3





 







x x x

x

3  

   

 ¹  ^!

!.

2

! 10 1

!

!.

3

! 3



 



x x x

x

   

1 5 1 2

) 1 )(

2 (

3 x x x x

x     

como x  N resulta x  -1; por lo tanto, se puede simplificar por x+1  x  3  ( x  2 )  10 x

x ²  5 x  6  10 x x ²  5 x  6  0

ecuación de segundo grado en x que admite dos raíces: x ₁  3 x ₂  2 En este caso, las dos respuestas son válidas. Verifíquelo.

EJERCICIO Nº 8:

Determinar los x  N que verifiquen: V _{x , 5} = 6. V _{x , 3} Resolución:

De acuerdo a lo visto anteriormente,

 ¹  ²  ³  ⁴  ^.  ¹  ^{. 2} 

. _{, 3}

5

,  x x  x  x  x  y V  x x  x 

V _{x x}

Resulta así:

 1  2  3  4  6 .  1  . 2 

. x  x  x  x   x x  x  x

Como x debe ser mayor o igual que 5 ,para que estén definidas ambas variaciones , x

no puede tomar los valores 0, 1, 2; por lo tanto, se pueden simplificar los factores

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x, ( x-1) y (x-2) ya que son distintos de cero. Al hacerlo, se obtiene:

 x  3  x  4   6 , que es equivalente a x ²  7 x  6  0

Esta ecuación de segundo grado tiene por raíces a x ₁  6 y x ₂  1 ; de estos dos valores, x ₂  1 se descarta, porque no está definido V _{1 , 5} .Por lo tanto, la única solución es x  6 (Verificarla)

II) PROBLEMAS DE COMBINATORIA SIMPLE Y CON REPETICIÓN

Una de las mayores dificultades que presentan este tipo de problemas es el

“encuadre”; es decir, decidir si el problema a resolver es de variaciones, combinaciones o permutaciones.

Como en los problemas de permutaciones, todos los elementos intervienen en cada disposición, la única forma de diferenciarlas es por el orden de colocación; luego, estos problemas son muy fáciles de reconocer.

No pasa lo mismo a la hora de diferenciar variaciones de combinaciones. En ambas, el contexto es el mismo: se dispone de un total de “m” elementos, con los que se van a formar grupos de “n”, siendo m  n ¿cómo decidir si el problema es de combinaciones o de variaciones? Una buena forma de hacerlo es preguntándose si el orden de colocación importa o no, ya que es la es la única diferencia entre ambas.

Luego, para “encuadrar” el problema, formúlese la pregunta:

Si No

Es claro que la diferenciación entre los problemas “sin repetición” o “con repetición”, es inmediata; en el primer caso los elementos no se pueden repetir, mientras que en el segundo pueden hacerlo.

EJERCICIO Nº 9:

Con las cifras del número 24.531 calcular en cuántos números de tres cifras sin repetir interviene el 4.

Resolución:

En principio, efectuamos el “encuadre”; ¿Importa el orden de colocación? : sí, ya que al cambiar el orden de los dígitos, cambia el valor del número. El enunciado dice

“sin repetir”: luego, es un problema de variaciones simples.

Por otra parte, la forma general de un número de tres cifras es x x x ; las diferentes posiciones que puede ocupar el 4 son:

4xx ; x4x ; xx4

¿Importa

el orden? Combinaciones

Variaciones

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con el 4 en el lugar de las centenas, decenas o unidades, respectivamente, y

cualquiera de las cuatro cifras restantes en lugares xx. Calculamos separadamente la cantidad de números de cada forma y luego los sumamos:

3 . 3 . 4 . 3 36

V 4

x x forma la de números los

V x

4 x forma la de números los

V x

x 4 forma la de números los

2 , 4 4,2

4,2 4,2





 



 

 V son

son son

La respuesta es, por lo tanto, 36 números distintos.

EJERCICIO Nº 10:

¿ De cuántas maneras se pueden repartir 5 juguetes diferentes entre dos niños, dando dos a cada uno de ellos?

Resolución:

Comencemos con el “encuadre”: ¿importa el orden en que se entreguen dos (o cualquier otro número de juguetes) a un niño? : NO, por lo tanto, son combinaciones simples.

Al primero le pueden dar C _{5 , 2}  10 combinaciones diferentes de juguetes. Pero al dar 2 juguetes al primero, nos quedan 3 juguetes para formar grupos de a 2 , es decir,

2 3

,

3 

C formas para el segundo niño.

Por cada una de las diez formas de darle dos juguetes al primero, hay tres formas de darle otros dos juguetes al segundo; luego, el número total de formas combinadas de repartir los juguetes con las condiciones pedidas es C _{5 , 2} . C _{3 , 2}  10 . 3  30 formas.

EJERCICIO Nº 11:

En una carrera de caballos figuran 5 ejemplares. ¿ De cuántas maneras diferentes pueden llegar a la meta, suponiendo llegan todos y que lo hacen de 1 en 1?

Resolución:

Como llegan todos, y lo hacen de 1 en 1, la única forma de diferenciar es por el orden de llegada. Luego, son permutaciones simples

120 1 . 2 . 3 . 4 . 5

!

5  5  

P

Hay 120 maneras diferentes de llegar a la meta.

EJERCICIO Nº 12:

Un jefe de personal desea seleccionar 6 tejedores entre 10 postulantes, (5 hombres y 5 mujeres) ¿De cuántas formas puede hacerlo si desea que al menos haya 3 mujeres?

Resolución:

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¿Importa el orden en que se elijen? NO. Además, las personas no se repiten, luego, es un problema de combinaciones simples. Como la condición para hacer la elección es que al menos haya 3 mujeres en cada grupo, hay tres posibilidades, en relación al número de mujeres:

1) Tres mujeres.

2) Cuatro mujeres.

3) Cinco mujeres.

Dado que los grupos son de seis personas, los esquemas correspondientes son:

MMMHHH ; MMMMHH ; MMMMMH

En el primer caso, tenemos que elegir 3 mujeres entre las cinco; el número total de elecciones es de C _{5 , 3}  10 .Pero a su vez, el grupo es de 6 personas, entonces debemos completar con tres hombres elegidos entre los cinco y el número total de elecciones posibles también es C _{5 , 3}  10 . Como cada uno de los C _{5 , 3}  10 grupos de mujeres se puede asociar con cada uno de los C _{5 , 3}  10 grupos de hombres, el número total de grupos formados es C _{5 , 3} . C _{5 , 3}  100

En el segundo caso, de las cinco mujeres, debemos elegir 4; el número de elecciones posibles es C _{5 , 4}  5 . Pero para completar el grupo de seis tejedores necesitamos dos hombres, que se eligen entre los cinco disponibles; el número de elecciones posibles es

El número total de elecciones será C _{5 , 4} .C _{5 , 2} =5.10 = 50.

En el tercer caso, debemos considerar el total de mujeres, es decir, C _{5 , 5}  1 ; y para completar el grupo de 6 tejedores necesitamos un hombre, elegido entre los cinco: C _{5 , 1}  5 . El número total de elecciones posibles es C _{5 , 5} . C _{5 , 1}  1 . 5  5

El número total de grupos será la suma de las tres posibilidades anteriores:

C _{5 , 3} . C _{5 , 3} .  C _{5 , 4} . C _{5 , 2} .  C _{5 , 5} . C . _{5 , 1}  155 EJERCICIO Nº 13:

La fórmula para calcularlas es:

 

 1  !

!

! 1 1

´ _,





 

 

 



  

 n m

n m n

n

C _{m n} m con n , m  N

a. En una bodega hay cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas? ¿ y siete botellas?

Combinaciones con repetición

A diferencia de las combinaciones simples, en las combinaciones con

repetición de “m” elementos tomados de a “n” y debido a que los elementos

pueden repetirse, “n” puede ser mayor que “m”.

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Es claro que el orden no importa (da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís),y que los elementos pueden repetirse, ya que puede elegirse más de una botella del mismo tipo.

Luego, son combinaciones con repetición:

 

  4 !. 4 ! ⁷⁰

! 8

! 1 5

! 4

! 1 4 5 4

1 4

´ _{5 , 4} 5  





 

 

 



  



C para el primer caso

 

  7 !. 4 ! ³³⁰

! 11

! 1 5

! 7

! 1 7 5 7

1 7

´ _{5 , 7} 5  





 

 

 



  



C para el segundo caso

b. ¿Cuántas fichas tiene el juego del dominó?

Una ficha de dominó es un rectángulo en el que hay dos partes, en cada una de ellas hay una serie de puntos que indican la puntuación de esa parte. Estas

puntuaciones van de 0 a 6 puntos. Tenemos pares de puntuaciones de 0 a 6, en las que no importa el orden y se pueden repetir; luego, son combinaciones con repetición.

El total de fichas será:

 

 ^{7 1}  ^{! 2 !. 8 ! 6 ! 28}

! 2

! 1 2 7 2

1 2

´ _{7 , 2} 7  





 

 

 



  

 C

c. En una pastelería hay 6 tipos distintos de pasteles. ¿De cuántas formas se pueden elegir 4 pasteles?

Nota: Si nos gusta un pastel lo podemos pedir hasta cuatro veces.

Estamos en el caso en el que no nos importa el orden en que elijamos los pasteles y podemos repetir; luego, son combinaciones con repetición.

 

  4 !. 5 ! ¹²⁶

! 9

! 1 6

! 4

! 1 4 6 4

1 4

´ _{6 , 4} 6  





 

 

 



  

 C

La fórmula para calcularlas es:

V ´ _{n , m}  n ^m con n , m  N Variaciones con repetición

A diferencia de las variaciones simples, en las variaciones con repetición de “m”

elementos tomados de a “n” y debido a que los elementos pueden repetirse, “n”

puede ser mayor que “m”.

Combinatoria – Ejercicios resueltos – Página 9

Características:

 Se consideran grupos distintos aquellos con los mismos elementos en distinto orden.

 Cualquier elemento se puede repetir.

Observación: En el caso de variaciones sin repetición el número de elementos de cada grupo no podía superar el número total de elementos. Ahora podemos formar conjuntos con un número de elementos mayor que el total, ya que los podemos repetir.

EJERCICIO Nº 14:

a. ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ? Resolución:

Son m = 5 dígitos y n = 3 cifras.

¿ importa el orden?: Sí, los números 123, 231, 321 son distintos.

¿se pueden repetir los elementos?: Sí, el enunciado no indica que las cifras sean diferentes.

Luego, es un problema de variaciones con repetición; en este caso, de cinco elementos tomados de a tres.

125 5

´ _{5 , 3}  ³  V

b. ¿Cuántos números de 8 cifras que empiecen con 6 se pueden formar?

Si los números empiezan con 6, sólo queda determinar qué ocurre con las siete últimas cifras que pueden ser ocupadas por cualquiera de los diez dígitos, en cualquier orden y pudiendo repetirse; luego, son variaciones con repetición.

V ´ _{10 , 7}  10 ⁷

Luego, se podrán formar 10.000.000 números.

c. ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ?

Son m = 6 dígitos y n = 3 cifras.

Combinatoria – Ejercicios resueltos – Página 10

Tenemos que separar el número en dos bloques: el formado por la cifra de las centenas y el formado por las dos restantes

La cifra de las centenas lo puede ocupar sólo uno de 5 dígitos ( del 1 al 5) porque los números que comienzan con cero son de dos cifras. El lugar de las centenas cinco posibilidades ( son V _{5 , 1}  5 )

El segundo bloque, de dos números, lo puede ocupar cualquiera de los seis dígitos, en cualquier orden y pudiendo repetirse. Tenemos m = 6 dígitos y n = 2 cifras. Son las V ´ _{6 , 2}  6 ²  36

Cada una de las cinco posibilidades para la cifra de las centenas puede

combinarse con cada una de las 36 posibilidades para las otras dos cifras; el número total de elecciones combinadas es 5.36= 180

EJERCICIO Nº 15:

¿Cuántos son los números de 5 cifras que se pueden formar con los dígitos impares?

Los dígitos impares son 1, 3, 5, 7 y 9; importa el orden y se pueden repetir. Luego se trata de las permutaciones con repetición de 5 elementos.

Su número es:

P ´ ₅  5 ⁵  3125

Su número se calcula por:

Su número es:

Permutaciones con repetición

Son las variaciones con repetición de “n” elementos tomados de a “n”; luego, su número es P ´ _n  n ⁿ = V ´ _{n , n}

Permutaciones con grupos de elementos iguales

Sea A un conjunto de “n” elementos tales que hay “k” grupos, cada uno de los cuales tiene n _k elementos idénticos; luego,

Llamaremos permutaciones con grupos de elementos iguales a las permutaciones

de esos “n” elementos, teniendo en cuenta que los elementos de un mismo grupo son

indistinguibles.

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!

!...

!

!

2 1 ..

,...

,

₂

1 ,

k n

n n n

n n n P

_k

 n EJERCICIO Nº 16:

a. En una urna hay 9 bolas, de las cuales hay 3 blancas, 2 rojas y 4 negras. ¿De cuantas formas distintas se pueden extraer las bolas de la urna?

Resolución:

Hay tres grupos de elementos iguales entre sí, deben extraerse todas y es claro que importa el orden en que salgan; se trata de un problema de permutaciones con grupos de elementos iguales, en este caso de 9 elementos, entre los cuales hay tres grupos que tienen, respectivamente, tres, dos y cuatro elementos iguales entre sí .

Las posibles ordenaciones son: 1260

! 4

!.

2

! 3

! 9

4 , 2 , 3

9  

P

b. En una carrera de bicicletas participan 4 equipos de 3 ciclistas cada uno. ¿De cuántas formas diferentes pueden llegar a la meta los equipos, si se sabe que los ciclistas llegan de a uno?

Resolución:

A la hora de elaborar la clasificación por equipos los atletas se consideran idénticos.

El número de formas diferentes de llegada es:

369600

! 3

! 3

! 3

! 3

! 12

3 , 3 , 3 ,

12 3  

P

c. ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar en los que figuren tres cifras 2, cuatro cifras 3 y dos cifras 4?

También este problema es de permutaciones con grupos de elementos iguales; en este caso, de 9 elementos entre los que hay tres grupos que tienen, respectivamente tres, cuatro y dos elementos iguales entre sí. La cantidad de números formados es:

288 1260 362880

! 2

! 4

! 3

! 9

2 , 4 , 3

9   

P

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d. En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas?

Este problemas es, en esencia, igual al anterior ya que hay:

rojas = 3 verdes = 4 azules = 2 total 3 + 4 + 2 = 9

288 1260 362880

! 2

! 4

! 3

! 9

2 , 4 , 3

9   

P