Tema 4 – MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Tema 4 – MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

4.1.- Cinemática del movimiento armónico simple (M.A.S.).

4.2.- Dinámica de un oscilador libre.

4.3.- Energía del M.A.S.

4.4.- Ejemplos.

4.5.- Comparación del MAS y del MCU 4.6.- Péndulos.

4.7.- Dinámica de un oscilador amortiguado.

4.8.- Dinámica de un oscilador forzado. Resonancias.

4.9.- Bibliografía

1

4.1 – Cinemática del movimiento armónico simple (MAS).

Movimientos vibratorios u oscilatorios Movimientos periódicos

¿Qué es un movimiento oscilatorio?

Una partícula tiene un movimiento oscilatorio cuando se mueve

periódicamente alrededor de una

posición de equilibrio (movimiento de un péndulo, de un peso unido a un resorte, de los átomos en un sólido y en una molécula, de los electrones en una antena,...).

Su estudio es esencial para entender el

movimiento ondulatorio.

4.1 – Cinemática del movimiento armónico simple (MAS). Simulación.

Observemos el movimiento de un cuerpo al que se le aplica una fuerza externa, contraria a la que ejerce el muelle, para separarla de la posición de equilibrio una longitud x. No hay rozamiento.

Posición equilibrio

El cuerpo realiza un movimiento oscilatorio o vibratorio en torno al punto O o de equilibrio. Este movimiento se produce porque el muelle ejerce sobre el cuerpo una fuerza recuperadora F que tiene la dirección del vector de posición r pero sentido contrario a este. Se expresa mediante la Ley de Hooke:

O

x

Cuando la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo varía periódicamente de manera proporcional al desplazamiento, el cuerpo describe un movimiento vibratorio que se denomina movimiento armónico simple, MAS.

F: Fuerza recuperadora del muelle; K: cte. recuperadora del muelle r: vector de posición; i: vector unitario según el sentido positivo del eje x

4.1 – Cinemática del movimiento armónico simple (MAS).

Un movimiento oscilatorio de un cuerpo sobre una trayectoria recta es armónico simple cuando está sometido a la acción de una fuerza de atracción proporcional al vector posición, con origen en su punto de equilibrio o centro de oscilación, y de sentido contrario.

Movimiento armónico simple

Todos los movimientos armónicos son oscilatorios pero no todos los movimientos oscilatorios son armónicos.

4.1 – Cinemática del movimiento armónico simple (MAS). Simulación.

¿Qué función matemática describe el movimiento de un cuerpo en el

MAS?

equilibrio

Será una función sinusoidal:

seno o coseno

4.1 – Cinemática del movimiento armónico simple (MAS).

• Cinemática del movimiento armónico simple (MAS)

Ángulo de fase o fase (rad)

Fase inicial (fase cuando t =0, rad) Como el seno varía

entre +1 y –1, x toma valores entre +A y -A

Amplitud (máxima elongación, m)

Periodo (intervalo de tiempo para el que el valor de x se repite, s) Equilibrio

Frecuencia (se mide en hertz, s^-1) Frecuencia angular (rad/s)

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Elongación (m)

x= A·sen ( w t+ f

)



+ wt



A

T = 2 p w

f =1 T w = 2 p T = 2 p f

x

4.1 – Cinemática del movimiento armónico simple (MAS).

La velocidad v de una partícula que tiene un MAS se obtiene de:

Varía periódicamente entre los valores +wA y - wA

La aceleración a de una partícula que tiene un MAS es,

Varía periódicamente entre los valores +w²A y - w²A.

En el MAS a es proporcional y opuesta a x.

Representación del desplazamiento en función del tiempo

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Elongación o Desplazamiento

Velocidad

Aceleración

v= dx

dt = w · A·cos ( w t+ f

)

x= A·sen ( w t+ f

)

4.1 – Cinemática del movimiento armónico simple (MAS). Simulación.

Vectores posición, velocidad y aceleración

Posición equilibrio

• El vector posición tiene como origen la posición de equilibrio y dirigido hacia los extremos, es máximo cuando x = A.

• El vector velocidad lleva el sentido del movimiento. Es máximo en la posición de equilibrio y mínimo en los extremos.

• El vector aceleración se dirige hacia la posición de

equilibrio, es máximo en los extremos y mínimo en la

posición de equilibrio.

4.2 – Dinámica del oscilador libre. Energía del MAS.

• Aplicando la segunda ley de Newton, la fuerza que actúa sobre una partícula de masa m que se mueve con un MAS es:

Como

En un MAS F es proporcional y opuesta a x Llamando Constante elástica

• De este modo, se puede escribir:

•

Dinámica del MAS.

9

ma F =

x

a=w² F = mw²x

kx F = 

w

k = m

m

= k w w

k = m

T = 2 p ^m

T = 2p w

k

f = 1 2 p

k

f =1 T

m

4.3 – Energía del MAS.

• Se obtiene la energía potencial elástica a partir de:

Como

Integrando

La Ep es cero en el centro (x=0) y máxima en los extremos de oscilación (x = A)

• La energía total del MAS es

E_T es constante

• La energía cinética de una partícula que se mueve con un MAS es:

Como La Ec es máxima en el centro (x = 0) y

cero en los extremos de oscilación (x = A)

•

Energía del MAS.

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dx F_x =  dEp

kx

F_x =  kx

dEp =dx





2 2 21 2

12kx m x

Ep = = w

E

= Ec+ Ep=

m w

( A

 x

) ⁺

^{m w}

^x

_E

₌

_{m w}

_A

₌

_kA

x= Asen ( w t+ f

)

Ec=

m w

éë A

 x

ùû=

k A éë

 x

ùû

4.3 – Energía del MAS.

Representación de la energía cinética y potencial

frente al tiempo Representación de la energía potencial

frente al desplazamiento

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Ejemplo 1: Una masa de 2 kg se desplaza inicialmente a x = +20 cm de la posición de equilibrio y se libera. ¿Cuál es la velocidad 2,69 s después de liberada? (La frecuencia, f = 2,25 Hz)

m

x = 0 x = +0,2 m

x a v

x = -0,2 m

v = - 0,916 m/s v = - 0,916 m/s

v = 2pf A cos(2pf t + φ

) v = 2pf A cos(2pf t + φ

)

(Nota: φ en rads)

El signo menos significa que se mueve hacia la izquierda.

x = A sen(2pf t + φ

) x = A sen(2pf t + φ

)

4.4 – Cinemática del MAS. Ejemplos

x = +0,2 m A = 0,2 m t = 0

+0,2 = 0,2 sen (2π 0+ φ

) sen φ

= 1; φ

= π/2

v= 2 p (2.25 Hz)(0.2 m)(0.324)

v = 2 p · 2,25 Hz ( ) ^{· 0,2 m} ( ) ^{· cos 2 é} _ë ^{p · 2,25 Hz} ( ) ^{· 2,69 s} ( ) ^{+ p} ₂ ^ù _û

4.4 – Dinámica del MAS. Ejemplos . –.

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Ejemplo 2: Una masa de 2 kg cuelga en el extremo de un resorte cuya constante es k = 400 N/m. La masa se desplaza una distancia de 12 cm y se libera. ¿Cuál es la aceleración en el instante cuando el desplazamiento es x = +7 cm?

m a = -14,0 m/s

+x

a = -14,0 m/s

a

Nota: Cuando el desplazamiento es +7 cm (hacia abajo), la aceleración es -14,0 m/s

(hacia arriba) independiente de la dirección del movimiento.

a= (400 N/m)(+0.07 m) 2 kg

a kx

m

= 

4.4 – Dinámica del MAS. Ejemplos.

Ejemplo 2 (Contin.): ¿Cuál es la aceleración máxima para la masa de 2 kg del problema anterior? (A = 12 cm, k = 400 N/m)

m

+x La aceleración máxima ocurre cuando la fuerza

restauradora es un máximo, es decir, cuando el alargamiento o compresión del resorte es mayor.

F = ma = -kx x

=  A

a

= ± 24,0 m/s

a

= ± 24,0 m/s

Máxima aceleración:

400 N( 0.12 m) 2 kg

a kA

m

  

= =

4.4 – Dinámica MAS. Ejemplos

Ejemplo 3: Una masa de 4 kg, suspendida de un resorte, produce un desplazamiento de 20 cm. ¿Cuál es la constante de resorte?

20 cm F

m La fuerza que estira es el peso (P = mg) de la

masa de 4 kg:

F = P = (4 kg)·(9,8 m/s

) = 39,2 N

Ahora, de la ley de Hooke, la constante de fuerza k del resorte es:

k = = DF Dx

39,2 N

0,2 m k = 196 N/m k = 196 N/m

4.4 – Energía MAS. Ejemplos

Ejemplo 3 (cont.): La masa m ahora se estira una distancia de 8 cm y se sostiene. ¿Cuál es la energía potencial? (k = 196 N/m)

8 cm F

m

Ep = 0.627 J Ep = 0.627 J

La energía potencial es igual al trabajo realizado para estirar el resorte:

2

0

2 1 2 1

2 2

1

kx kx

Trabajo = 

W = DEp= 1

2 k x

= 1

2 ( 196 N / m ) ^{· 0, 08} ( ^m )

4.4 – Energía MAS. Ejemplos

Ejemplo 4: Una masa de 2 kg cuelga en el extremo de un resorte cuya constante es k = 800 N/m. La masa se desplaza una distancia de 10 cm y se libera. ¿Cuál es la velocidad en el instante cuando el desplazamiento es x = +6 cm?

m

+x

½kA

= ½mv

+ ½kx

v = ±1,60 m/s v = ±1,60 m/s

v= k

m A

-x

v= 800 N/m

2 kg (0.1 m)

-(0.06 m)

4.4 – Energía MAS. Ejemplos –

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Ejemplo 4 (Cont.): ¿Cuál es la velocidad máxima para el problema anterior? (A = 10 cm, k = 800 N/m, m = 2 kg.)

m

+x

½kA

= ½mv

+ ½kx

v = ± 2,00 m/s v = ± 2,00 m/s 0

La velocidad es máxima cuando x = 0:

v= k

m A= 800 N/m

2 kg (0.1 m)

4.5 – Correspondencia entre MAS y MCU

4.5 – Correspondencia entre MAS y MCU

4.6 – Péndulos.

• Péndulo simple.

•Se define como una partícula de masa m suspendida de un punto O mediante una cuerda de longitud L y masa despreciable.

•Cuando m se separa de la posición de equilibrio y se suelta describe un movimiento oscilatorio, que se debe a la

componente tangencial del peso. Esta actúa siempre hacia la posición de equilibrio, es decir, en sentido opuesto al

desplazamiento, por lo que es una fuerza recuperadora responsable del movimiento:

el periodo de oscilación pendular y la frecuencia angular serán:

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si el período del MAS es:

F_t = mgsenf » mgf para ángulos pequeños y en radianes

Como f = arco s

( )

radio = x

L F_t=  mg

L x ; si llamamos k a mg L

F_t= kx que es la expresión de la fuerza recuperadora del movimiento armónico

T = 2p ^L g

T = 2p ^m k

w = g L

4.6 – Péndulos.

• Péndulo simple: Representación de la componente tangencial del peso frente al tiempo

•Será una función sinusoidal dependiente del ángulo Φ.

F _t = mgsen f

4.6 – Péndulos. Ejemplos

Ejemplo 5. ¿Cuál debe ser la longitud de un péndulo simple para un reloj que tiene un periodo de dos segundos?

L

L = 0,993 m

2 L

T = p g

2 2 2

4 ; L = 2

4

L T g

T p g

= p

2 2

2

(2 s) (9.8 m/s ) L 4

= p

4.7 – Oscilador amortiguado

•En un MAS la amplitud y la energía de la partícula que oscila se mantienen constante.

•Sin embargo en un sistema real, como un péndulo o resorte, se

observa que la amplitud de la vibración disminuye con el tiempo, ya que hay una pérdida de energía. Se dice que la oscilación está

amortiguada.

•Para el análisis dinámico del oscilador dinámico, se puede suponer que además de la fuerza elástica, también actúa una fuerza disipativa que se opone a la velocidad, de la forma:

b es una constante que indica la intensidad de la fuerza disipativa

•En el caso de la imagen, es el empuje del fluido la fuerza disipativa que hace que la amplitud disminuya.

bv

F

= 

4.7 – Oscilador amortiguado

Si existe una fuerza disipativa

el desplazamiento está descrito por

observándose que la amplitud no es constante (disminuye exponencialmente con t) A₀

Amplitud A=A₀e^{- t}

Desplazamiento x

Periodo P

•Un oscilador real dejará de moverse transcurrido un tiempo. Podemos mantener una partícula oscilando con amplitud constante aplicando una fuerza externa que varíe con el tiempo de forma periódica. En este caso el sistemas es un oscilador forzado.

•Para el análisis dinámico del oscilador forzado, se puede suponer que además de la fuerza elástica y la fuerza

disipativa, también actúa una fuerza externa, de la forma

Amplitud de la fuerza externa Frecuencia de la fuerza externa

•Un ejemplo de oscilador

forzado es el reloj de péndulo, donde la amplitud del

movimiento del péndulo se mantiene gracias a un resorte al que está conectado.

• Otro sistema forzado es el de una persona que se mantiene en movimiento en un columpio y se impulsa únicamente lo suficiente para compensar las pérdidas de energía por rozamiento.

4.8 – Oscilador forzado

t F

F_ext = ₀ cosw_f F₀ wf

4.8 –Oscilador forzado: Resonancia

•¿Has ayudado alguna vez a otra persona a columpiarse?

 Si el momento es inadecuado, frenas el columpio.

 Si eliges bien el momento, solo debes proporcionar energía para compensar las pérdidas por rozamiento y solo de vez en cuando. Realmente lo que

estás haciendo es ajustar la frecuencia de tu aporte de energía a la frecuencia propia del columpio.

 Cuando la frecuencia con que actúa una fuerza externa coincide con la frecuencia natural del oscilador, la energía absorbida por este es

máxima (frecuencia resonante) y el oscilador entra en resonancia.

 Si continuas empujando con la misma frecuencia de forma continuada la amplitud de los balanceos aumentaría

peligrosamente. De esta forma si la energía que llega al oscilador no se disipa lo suficientemente rápido aumenta la amplitud excesivamente, el oscilador se puede romper o

perjudicar seriamente su estructura interna. Ej. Puente de Tacoma

Narrows (Washington, 1940).

4.8 – Oscilador forzado. Resonancias .

•La solución de esta ecuación consta de dos partes, la solución transitoria y la solución estacionaria. La parte transitoria es idéntica a la de un oscilador amortiguado y

transcurrido cierto tiempo se hace despreciable (disminuye exponencialmente con el tiempo). Así solo queda la parte estacionaria que puede expresarse como

La partícula oscila con la

frecuencia de la fuerza externa

x

O t

Solución

transitoria Solución estacionaria

(

)

= A t

x sen _f

4.9 Bibliografía

Bibliografía:

Título: Física. Aut.: M. Alonso, E. J. Finn Ed.: Addison-Wesley Año: 1995. Tema: 10.

Título: Física. Aut.: Varios Ed.: Edebé Año: 2010. Tema: 4.

Presentación modificada de una preexistente