Diagonalizaci´on de formas cuadr´aticas con el m´etodo matricial

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(1)

Diagonalizaci´ on de formas cuadr´ aticas con el m´ etodo matricial

Objetivos. Practicar el m´etodo matricial de diagonalizaci´on de formas cuadr´aticas.

Requisitos. Formas cuadr´aticas, cambio de base.

Copyright. Los ejemplos de esta secci´on pertenecen a Vadim D. Kryakvin.

1. Ejemplo.

q(x) = x21+ 2x22− 8x23+ 4x1x2− 2x1x3− 16x2x3.

Soluci´on. Con la matriz QE hacemos la operaciones por columnas y las operaciones por filas correspondientes, y con la matriz de cambio PE,F s´olo hacemos las operaciones por columnas.

1 2 −1 2 2 −8

−1 −8 −8

1 0 0

0 1 0

0 0 1

C2+= −2C1

C3+= C1

−−−−−−−→

1 0 0

0 −2 −6 0 −6 −9 1 −2 1

0 1 0

0 0 1

C3+= −3C2

−−−−−−−→

1 0 0

0 −2 0

0 0 9

1 −2 7 0 1 −3

0 0 1

Respuesta:

qF = diag(1, −2, 9), esto es, q(x) = y21− 2y22+ 9y32,

PE,F =

1 −2 7 0 1 −3

0 0 1

, esto es,

x1 = y1 − 2y2 + 7y3, x2 = y2 − 3y3,

x3 = y3.

Comprobaci´on:

(2)

2. Ejemplo.

q(x) = x21+ x22+ x23+ x24 + 2x1x2− 2x1x3+ 2x1x4 − 2x3x4. Soluci´on.

1 1 −1 1

1 1 0 0

−1 0 1 −1 1 0 −1 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

C2+= −C1

C3+= C1

C4+= −C1

−−−−−−→

1 0 0 0

0 0 1 −1

0 1 0 0

0 −1 0 0 1 −1 1 −1

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

C2+= C3

−−−−−→

1 0 0 0

0 2 1 −1

0 1 0 0

0 −1 0 0 1 0 1 −1

0 1 0 0

0 1 1 0

0 0 0 1

C3+= −12C2

C4+=12C2

−−−−−−−→

1 0 0 0

0 2 0 0

0 0 −1/2 1/2 0 0 1/2 −1/2

1 0 1 −1

0 1 −1/2 1/2 0 1 1/2 1/2

0 0 0 1

C4+= C3

−−−−−→

1 0 0 0

0 2 0 0

0 0 −1/2 0

0 0 0 0

1 0 1 0

0 1 −1/2 0 0 1 1/2 1

0 0 0 1

 .

Comprobaci´on:

qF =

1 0 0 0

0 1 1 0

1 −1/2 1/2 0

0 0 1 1

1 1 −1 1

1 1 0 0

−1 0 1 −1 1 0 −1 1

1 0 1 0

0 1 −1/2 0 0 1 1/2 1

0 0 0 1

=

1 0 0 0

0 2 0 0

0 0 −1/2 0

0 0 0 0

= diag(1, 2, −1/2, 0).

(3)

q(x) = 6x1x3+ 4x1x4− 3x23− 2x3x4+ 2x1x2+ x22 + 2x2x3+ 2x2x4. Soluci´on.

0 1 3 2

1 1 1 1

3 1 −3 −1 2 1 −1 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

C1↔C2

−−−−→

1 1 1 1

1 0 3 2

1 3 −3 −1 1 2 −1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

C2+= −C1

C3+= −C1

C4+= −C1

−−−−−−→

1 0 0 0

0 −1 2 1 0 2 −4 −2 0 1 −2 −1

0 1 0 0

1 −1 −1 −1

0 0 1 0

0 0 0 1

C3+= 2C2

C4+= C2

−−−−−−→

1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 1 2 1

1 −1 −3 −2

0 0 1 0

0 0 0 1

 .

Comprobaci´on:

qF =

0 1 0 0 1 −1 0 0 2 −3 1 0 1 −2 0 1

0 1 3 2

1 1 1 1

3 1 −3 −1 2 1 −1 0

0 1 2 1

1 −1 −3 −2

0 0 1 0

0 0 0 1

=

1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

= diag(1, −1, 0, 0).

(4)

4. Ejemplo.

q(x) = 10x1x2− 4x2x3. Soluci´on.

0 5 0

5 0 −2 0 −2 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

C1+= C2

−−−−−→

10 5 −2 5 0 −2

−2 −2 0

1 0 0

1 1 0

0 0 1

C2+= −12C1

C3+=15C1

−−−−−−−→

10 0 0

0 −5/2 −1 0 −1 −2/5 1 −1/2 1/5 1 1/2 1/5

0 0 1

C3+= −15C2

−−−−−−−→

10 0 0

0 −5/2 0

0 0 0

1 −1/2 2/5 1 1/2 0

0 0 1

 .

Comprobaci´on:

1 1 0

−1/2 1/2 0 2/5 0 1

0 5 0

5 0 −2 0 −2 0

1 −1/2 2/5 1 1/2 0

0 0 1

 =

10 0 0 0 −5/2 0

0 0 0

.

(5)

1. q(x) = x21− 2x1x2− 6x1x3− 7x22+ 14x2x3+ 5x23; 2. q(x) = 2x21− 4x1x2+ 12x1x3+ 14x22− 48x2x3+ 45x23; 3. q(x) = −3x21− 6x1x2+ 18x1x3+ x22+ 30x2x3− 16x23; 4. q(x) = 2x21− 8x1x2− 8x1x3+ 16x22+ 24x2x3 + 11x23; 5. q(x) = −x21+ 2x1x2− 6x1x3− 19x22+ 30x2x3− 20x23; 6. q(x) = x21− 6x1x2− 2x1x3− 6x2x3− 3x23.

6. Ejercicios.

1. q(x) = x21+ 4x1x2− 2x1x3+ 2x1x4+ 4x22− 2x2x3+ 6x2x4+ x23− 4x3x4+ x24; 2. q(x) = x21− 4x1x2+ 2x1x3+ 4x1x4+ 4x22− 2x2x3− 8x2x4+ 3x24;

3. q(x) = x1x2 − x1x3+ x1x4+ x2x3− x3x4;

4. q(x) = 2x1x2− 2x1x3+ 2x1x4+ 2x2x3+ 2x2x4− 2x3x4; 5. q(x) = −x1x3 + x1x4− x2x3+ x2x4;

6. q(x) = x21+ 2x1x2+ 2x1x3− 4x1x4+ x22+ 4x2x3− 6x2x4 + 2x23− 6x3x4+ 5x24.

Figure

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