SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES CON DOS VARIABLES
Presentación 3
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Muchos problemas en administración y economía envuelven dos o mas
ecuaciones en uno o más variables.
Decimos que ecuaciones que describen una misma situación forman un sistema de ecuaciones.
El objetivo es resolver el sistema de
ecuaciones, para hallar la solución común.
La solución de un sistema
Decimos que el punto (a, b) es una solución del sistema de
ecuaciones
El punto(a, b)
pertenece a todas las gráficas del sistema.
El punto(a, b)
satisface todas las
ecuaciones del sistema.
Ejemplo
(3,1 ) es la solución del siguiente sistema
porque satisface ambas ecuaciones.
7 2
3
5 2
y x
y x
x + 2y = 5 3 + 2(1)= 5 √
3x - 2y = 7 3(3) – 2(1) 9 – 2 = 7√
Verificación:
Ejemplo (cont)
Observemos la
gráfica del sistema anterior
Notamos que tienen el punto de
intersección en (3, 1) .
Solución del sistema (3, 1)
7 2
3
5 2
y x
y
x
Ejemplo
Observemos la gráfica del siguiente sistema
Las coordenadas del punto de intersección no se
distinguen con exactitud ya que no son valores enteros.
Necesitamos un método que nos de resultados más
exactos.
Solución aproximada del sistema es:
10 3
2
6 5
3
y x
y
x
Método de sustitución
1.
Resolver una ecuación para y en términos de x (o x en términos de y)
2.
Sustituir la expresión que representa y (ó x) en la ecuación que no se ha usado y resolver.
3.
Finalmente, reemplazar el valor obtenido en
el paso anterior en cualquiera de la ecuaciones
originales para obtener el valor de la variable
que falta.
Ejemplo
Resolver el sistema usando el método de sustitución.
7 2
3
5 2
y x
y x
Despejar para x una ecuación. Sustituir el resultado en la otra ecuación y resolver.
Reemplazar el valor de y para determinar x.
Ejemplo
Resolver el sistema usando el método de sustitución.
6 2
24 4
3
x y
y x
Despejar para y una ecuación.
Sustituir y resolver.
Sustituir el valor de x = 0 para determinar y.
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Cuando las ecuaciones que forman el sistema son lineales, podemos utilizar otros métodos además del método de sustituición.
Método de reducción o eliminación: consiste en utilizar operaciones lícitas para reducir el sistema
Método de la igualación: consiste en igualar las
ecuaciones y resolver.
Sistemas equivalentes
Manipulaciones lícitas incluyen:
intercambiar ecuaciones
multiplicar o dividir una ecuación por una constante diferente de cero.
sumar una ecuación a otra.
Ejemplo
Resolver el siguiente sistema utilizando el método de reducción.
Solución:
5 2
1 3
y x
y
x
Ejemplo (cont)
Resolver el siguiente sistema utilizando el método de reducción.
Solución (cont):
5 2
1 3
y x
y x
Reemplazar en 𝒙 + 𝟑𝒚 = −𝟏 𝟐 + 𝟑𝒚 = −𝟏 𝟑𝒚 = −𝟑 𝒚 = −𝟏
La solución es (2, -1).
Ejemplo (cont)
Otra forma de aplicar el método de reducción es:
5 2
1 3
y x
y
x
Ejemplo (cont’d)
Ejemplo
Resolver el siguiente sistema utilizando el método de reducción.
Solución:
27 4
3
2 4
y x
y
x
Ejemplo (cont’d)
4x – y = 2
3x + 4y = 27
Ejemplo
Resolver el siguiente sistema utilizando el método de reducción.
13 3
4
12 5
3
q p
q p
Multiplicar la primera por 3 y la segunda por 5 y sumar las dos ecuaciones.
Solución:
Ejemplo (cont’d)
3x + 5y = -12
4x - 3y = 13
Sistemas de ecuaciones lineales sin solución
Resolver el sistema:
Solución:
Usando el método de eliminación, podemos
multiplicar la primera ecuación por -2 y sumárselo a la segunda.
𝟑𝒙 + 𝒚 = 𝟔 𝟔𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟐𝟎
𝟑𝒙 + 𝒚 = 𝟔 𝟎 = 𝟖
+ −𝟔𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟏𝟐 𝟔𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟐𝟎
--- 𝟎𝒙 + 𝟎𝒚 = 𝟖
Esto es falso para todo par ordenado (x,y). El sistema NO tiene solución.
Sistemas de ecuaciones lineales sin solución (cont)
Resolver el sistema:
Solución:
Si expresamos las ecuaciones en la forma pendiente intercepto tendríamos:
y = 6 – 3x y = 10 – 3x
Notemos que las ecuaciones tiene la misma pendiente, por lo tanto son
rectas paralelas. Las rectas paralelas NO tienen intersección. Por lo tanto, el
sistema no tiene solución.
No Soluciones (cont’d)
Un sistema compuesta por rectas paralelas NO tiene solución.
Un sistema sin solución se conoce como un sistema inconsistente.
Ejemplo
Resolver el sistema:
Solución:
Si multiplicamos la segunda ecuación por ½ nos da
Aplicando cualquier método llegaremos al enunciado 0=0, que es cierto siempre. (sistema dependiente)
Para describir el conjunto de soluciones, despejamos para y en términos de x, y = 6 – 3x
Luego, asignamos un valor a la x, y calculamos la
expresión que representa y: (a, 6 – 3a) (solución general)
Ejemplo (cont’d)
Tres posibilidades
Resolviendo sistemas de ecuaciones lineales en dos variables –
método gráfico
Hemos mencionado ya que si un sistema de ecuaciones lineales en dos variables tiene solución, las rectas se cortan y tiene UN punto de intersección.
Si podemos identificar claramente el
punto de intersección en la gráfica,
podemos identificar con exactitud la
solución.
Ejemplo gráfico
Identifique la solución del
sistema.
La solución
es (5,4)
Ejemplo gráfico
Identifique la solución del
sistema.
Sabemos que el sistema es consistente
por que las rectas no son paralelas ni,
tampoco, coincidentes.
Ejemplo gráfico
Utilizaremos la calculadora gráfica.
Ejemplo gráfico
Utilizaremos la calculadora gráfica.
La
solución del
sistema
es (10, 23).
Ejemplo
El propietario de una tienda de televisores desea
expandir su negocio comprando y poniendo a la venta dos nuevos modelos de televisores.
Cada unidad del primer modelo cuesta $300 y del
segundo, $400. El propietario tiene $2000 para gastar en la compra de equipo.
El primer modelo ocupa 4 pies cuadrados de espacio y el segundo ocupa 5. El propietario puede expandir su tienda a los más 26 pies cuadrados.
¿Cuántos modelos de cada tipo debe comprar si desea hacer uso completo del capital y del espacio
disponibles?
Ejemplo (cont.)
1. Definir variables
x: cantidad del primer modelo que se comprará y: cantidad del segundo modelo que se comprará 2. Formular ecuaciones
3. Determinar solución del sistema
Ejemplo (cont.)
4. Determinar solución del sistema
5. Determinar valores faltantes
Ejemplo
Una empresa fabrica dos productos, A y B utilizando dos tipos de máquinas, I y II.
El producto A requiere 1 hora de procesamiento en la
máquina I y 1.5 horas de procesamiento en la máquina II.
El producto B requiere 3 horas de procesamiento en la máquina I y 2 horas de procesamiento en la máquina II.
La máquina I está disponible 300 horas al mes mientras que la máquina II está disponible 350 horas.
