MATE Dr. Pedro Vásquez UPRM. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 23

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MATE 3031

Dr. Pedro Vásquez

UPRM

P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 23

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¿Cómo la derivada afecta la forma de una grá…ca?

En muchas de las aplicaciones del cálculo depende de nuestras destrezas para deducir situaciones acerca de una función desde la información relacionada a su derivada.

Recuerde f⁰(x)representa la pendiente de la grá…ca de la curva y =f (x) en el punto (x, f (x)).

Es razonable que f⁰(x)provea información a cerca de f (x).

¿Qué dice f⁰ acerca de f ?

Entre los puntos A y B y entre C y D las rectas tangentes tienen pendientes positivas, i.e., f⁰(x) >0

Entre los puntos B y C las rectas tangentes tienen pendientes negativas, i.e., f⁰(x) <0

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De acuerdo a lo anterior, se observa que f crece cuando f⁰(x)es positiva y f decrece cuando f⁰(x) es negaitiva.

Prueba de creciente y decrecciente

a. Si f⁰(x) >0 en un intervalo, entonces f es creciente en ese intervalo.

b. Si f⁰(x) <0 en un intervalo, entonces f es decreciente en ese intervalo.

Prueba

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Recuerde, de la sección 4.1, si f tiene un máximo o mínimo local en c, entonces c debe ser un número crítico de f (por el teorema de Fermat), además no todo número crítico representa un máximo o mínimo, ejemplo f (x) =x³, c =0 es un número crítico, pero la función no alcanza ni mínimo ni máximo local en 0.

Prueba de la primera derivada

Suponga que c es un número crítico de una función f :

a. Si f⁰ cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo local en c.

b. Si f⁰ cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo local en c.

c. Si f⁰ no cambia de signo en c, entonces f no tiene ni máximo ni mínimo local en c.

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Ejemplos

1. Si f (x) =4x³+3x² 6x+1, halle los máximos y mínimos locales de f

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¿Qué dice f⁰⁰ acerca de f ?

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Al observar la grá…ca 5, ambas son funciones crecientes entre A y B, sin embargo parecen diferentes porque se doblan en diferentes direcciones.

En la …gura 6a, las rectas tangentes están debajo de la curva, y se le llama cóncava hacia arriba y en 6 b, las rectas tangentes están sobre la curva y se le llama cóncava hacia abajo.

De…nición: Si la grá…ca de f está sobre todas las rectas tangentes en un intervalo I , entonces se dice que es cóncava hacia arriba en I . Si la grá…ca de f está bajo todas las rectas tangentes en un intervalo I , entonces se dice que es cóncava hacia abajo en I .

En 6a, si se observa de izquierda a derecha, las pendientes de las rectas tangentes aumentan, lo que signi…ca que la derivada de f⁰ está

aumentando y por lo tanto su dervada f⁰⁰ es positiva.

En 6b, si se observa de izquierda a derecha, las pendientes de las rectas tangentes disminuyen, lo que signi…ca que la derivada de f⁰ está

decreciendo y por lo tanto su dervada f⁰⁰ es negativa.

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Prueba de concavidad:

a. Si f⁰⁰(x) >0 para todo x en I , entonces la grá…ca de f es cóncava hacia arriba en I .

b. Si f⁰⁰(x) <0 para todo x en I , entonces la grá…ca de f es cóncava hacia abajo en I .

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De…nición: Un punto P sobre una curva y =f (x)es llamado un punto de in‡exión si f es continua en c y la curva cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba en P.

Prueba de la segunda derivada:

a. Si f⁰(c) =0 y f⁰⁰(x) >0, entonces f tiene un mínimo local en c.

b. Si f⁰(c) =0 y f⁰⁰(x) <0, entonces f tiene un máximo local en c.

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2. Ejercicio 2 pág. 297

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5. Ejercicio 12 pág. 298, f (x) = ^x x²+1

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6. Ejercicio 14 pág. 298, f (x) =cos²x 2 sin x, 0 x 2π

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7. Ejercicio 19 pág. 298, f (x) =1+3x² 2x³

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8. Ejercicio 26 pág. 298, trace la grá…ca de la función que satisface:

f⁰(1) =f⁰( 1) =0, f⁰(x) <0 si j^xj <^1;

f⁰(x) >0 si 1< j^xj <^2, ^f⁰(x) 1 si j^xj >² f⁰⁰(x) <0 si 2<x <0, punto de in‡exión en (0, 1)

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

x y

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9. Ejercicio 32 pág. 299,

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10. Ejercicio 40 pág. 299, G(x) =5x^2/3 2x^5/3

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11. Ejercicio 46 pág. 299, f (x) = ^x

2 4

x²+4

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12. La familia de curvas en forma de campanas:

y = ¹

σp

2πe ⁽^x ^µ⁾²^/(^2σ²)

se dan en probabilidad y estadística, donde se le llama la función de densidad normal. La constante µ es la media y la constante positiva σ se le llama la desviación constante. Para simplicidad se escala la función y se remueve el factor 1

σp

2π y se analiza el caso especial µ=0. Entonces se estudia la función:

y =e ^x²^/(^2σ²)

a. Halle la asíntota, el valor máximo y el punto de in‡exión de f . b. ¿Qué papel juega σ en la forma de la curva?

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