Grado en Ingeniería Mecánica

(1)

CONOCIMIENTOS P^REVIOS

Para poder seguir adecuadamente este tema, se requiere que el alumno repase y ponga al día sus conocimientos en los siguientes contenidos:

 Cálculo de integrales de Riemann.

 Definición y propiedades de la integral de Riemann.

 Manejo de coordenadas polares en ^².

 Manejo de ecuaciones de curvas y superficies en distintos sistemas de coordenadas.

 Dibujo de curvas y superficies con Matlab.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

A continuación se presentan los objetivos específicos del Tema 1, indicando en cada uno de ellos la bibliografía que le corresponde, los ejercicios propuestos y los ejercicios resueltos en estos apuntes, así como los ejercicios resueltos en el proyecto Giematic con contenidos del tema. Las abreviaturas que encabezan cada línea hacen referencia a los siguientes libros, documentos o bloques de enunciados y también actividades de la web del proyecto Giematic:

 Tomo 3 de la Colección FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS, de Álvarez, Herrero y Ruiz.

 CÁLCULO de varias variables, de Bradley y Smith; editorial Prentice Hall.

 G) CÁLCULO II. Teoría y Problemas de funciones de varias variables, de García y otros; editorial GLAGSA.

 M) CÁLCULO VECTORIAL, de Marsden y Tromba; editorial Addison‐Wesley Ib.

 P) CÁLCULO VECTORIAL. PROBLEMAS RESUELTOS1, de Marsden y Tromba, por Pao y Soon; editorial Addison‐Wesley Ib.

 S) CALCULUS de una y varias variables. Volumen I, de Salas, Hille y Etgen; editorial Reverté.

 EP) Enunciados de los ejercicios propuestos de este tema.

 ER) Ejercicios resueltos de este tema.

 EG) Ejercicios y actividades en la página del proyecto Giematic, cuya dirección es:

 http://www.giematic.unican.es/integracion‐multiple/material‐interactivo

Los objetivos específicos de este tema son:

1. Saber escribir la suma de Riemann de una función ^z⁼^{f x y}

( )

^, sobre un rectángulo

, ,

R= éêëa bù éú êû ë´c dùúû, tomando diferentes particiones de R.

EP 1;

1Los enunciados de estos problemas resueltos están en [M]

(2)

ER 1;

EG Preliminares. Ejercicios inmediatos. Parte 1. Ejercicios 1, 2 y 3.

Preliminares. Ejercicios inmediatos. Parte 2. Ejercicios 1, 2 y 3.

Integral doble. Definición y propiedades. Laboratorio y ejercicios 1, 2 y 3.

2. Entender la definición de integral doble y saber escribirla. Conocer las condiciones suficientes de integrabilidad y las propiedades de la integral doble.

B Cap.13, Sec.1: Ejemplo 13.1;

M Cap.5, Sec.1: Ejemplos 1 y 2;

P Cap.5, Sec.1: Ejercicio 3;

EP 1 y 8;

ER 2, 3, 4, 5 y 7;

EG Preliminares. Ejercicios inmediatos. Parte 1. Ejercicios 4, 5 y 6.

Integral doble. Definición y propiedades. Ejercicio 4.

3. Saber realizar la integral de una función de dos variables sobre un rectángulo mediante integración iterada.

A Cap.4, Sec.1: Ejemplos 4.1 y 4.2; Cap.4, Sec.3: Ejercicios 4.1 y 4.2;

B Cap.13, Sec.1: Ejemplos 13.2 a 13.4;

G Cap.11: Problemas resueltos 7 a 9;

P Cap.5, Sec.1: Ejercicios 1b, 2b y 8; Cap.5, Sec.2: Ejercicios 1b y 2b;

S Cap.16, Sec.3: Ejemplos 1 a 3;

EP 2;

ER 2.

4. Saber expresar adecuadamente un dominio regular del plano para realizar sobre él una integral iterada. Hallar el valor de esa integral. Saber expresar la integral en distintos órdenes de integración.

A Cap.4, Sec.1: Ejemplos 4.3 y 4.4;

B Cap.13, Sec.2: Ejemplos 13.5, 13.8 a 13.10;

M Cap.5, Sec.3: Ejemplos 1 y 2; Cap.5, Sec.4: Ejemplos 1 y 2;

P Cap.5, Sec.3: Ejercicios 1b, 2b, 2e, 4 y 7; Cap.5, Sec.4: Ejercicios 1b, 2c, 10, 13;

Cap.5, Sec. Repaso: Ejercicios 1b, 2b, 12, 16 y 19;

EP 2, 3, 4, 5 y 6;

ER 6 y 8;

EG Preliminares. Ejercicio 1.

Integral doble. Aplicaciones. Laboratorio y ejercicio 1.

(3)

5. Conocer y utilizar las interpretaciones de la integral doble como volumen, área, masa y temperatura.

A Cap.4, Sec.1: Ejemplos 4.9 y 4.10; Cap.4, Sec.3: Ejercicios 4.3 a 4.6;

B Cap.13, Sec.2: Ejemplos 13.6 y 13.7; Cap.13, Sec.6: Ejemplo 13.25;

G Cap.11: Problemas resueltos 16 y 19;

P Cap.5, Sec.1: Ejercicio 10; Cap.5, Sec.2: Ejercicio 7;

S Cap.16, Sec.3: Ejemplos 4 y 5;

EP 4, 5 y 6;

ER 8, 9 y 10;

EG Integral doble. Aplicaciones. Ejercicio 2

6. Saber definir e interpretar el valor medio de una función sobre un recinto del plano.

G Cap.11: Problema resuelto 17;

M Cap.6, Sec.4: Ejemplo 1;

EP 4, 5 y 6;

EG Integral doble. Aplicaciones. Ejercicio 3.

7. Saber el teorema del cambio de variables en integrales dobles y poder efectuar un cambio de variables en una integral doble. Manejar el cambio a coordenadas polares.

A Cap.4, Sec.1: Ejemplos 4.5 a 4.8;

P Cap.6, Sec.3: Ejercicios 2, 3, 7, 11 y 14;

S Cap.16, Sec.4: Ejemplos 1 a 4; Cap.16, Sec.5: Ejemplo 1; Cap.16, Sec.10: Ejemplos 1 y 2;

EP 7, 8, 9 y 10;

ER 9, 10 y 11;

EG Preliminares. Ejercicios inmediatos. Parte 1. Ejercicio 17.

Preliminares. Ejercicio 2.

Integral doble. Aplicaciones. Ejercicio 4.

8. Entender y poder escribir la definición de integral triple. Conocer las condiciones suficientes de integrabilidad y las propiedades de la integral triple.

EP 11;

EG Integral triple. Definición y propiedades. Ejercicio 1.

9. Saber realizar la integral de una función de tres variables sobre una caja mediante integración iterada.

A Cap.4, Sec.2: Ejemplo 4.13; Cap.4, Sec.3: Ejercicio 4.10;

(4)

P Cap.6, Sec.1: Ejercicio 2.

EP 11;

10. Saber expresar adecuadamente un dominio regular del espacio para realizar sobre él una integral iterada. Poder hacer esa integral, sabiendo modificar el orden de integración si esto fuera conveniente.

A Cap.4, Sec.2: Ejemplo 4.14; Cap.4, Sec.3: Ejercicios 4.11 y 4.12;

M Cap.6, Sec.1: Ejemplo 2;

P Cap.6, Sec.1: Ejercicios 5, 7, 13 y 14; Cap.6, Sec. Repaso: Ejercicios 2 y 5;

S Cap.16, Sec.7: Ejemplos 1 y 4;

EP 12, 13 y 14;

ER 12 y 13;

EG Preliminares. Ejercicios inmediatos. Parte 1. Ejercicios 15 y 16.

Preliminares. Ejercicios inmediatos. Parte 2. Ejercicio 8.

Integral triple. Aplicaciones. Ejercicio 1.

11. Conocer y utilizar las interpretaciones de la integral triple como volumen, masa y temperatura.

A Cap.4, Sec.2: Ejemplo 4.15;

M Cap.6, Sec.1: Ejemplo 1; Cap.6, Sec.4: Ejemplos 3 y 5;

P Cap.6, Sec.1: Ejercicios 10, 18ª y 18d; Cap.6, Sec.4: Ejercicio 7; Cap.6, Sec. Repaso:

Ejercicios 15 y 30;

S Cap.16, Sec.7: Ejemplos 3 a 5;

EP 12, 13, 15, 16, 17, 18 y 19;

ER 12, 14 y 15;

EG Integral triple. Aplicaciones. Ejercicios 1, 3, 4 y 5.

12. Saber definir e interpretar el valor medio de una función sobre un recinto del espacio.

P Cap.6, Sec.4: Ejercicio 11; Cap.6, Sec. Repaso: Ejercicio 33.

EP 19;

ER 15.

13. Poder escribir el teorema del cambio de variables en integrales triples y poder efectuar un cambio de variables en una integral triple. Manejar los cambios a coordenadas cilíndricas y esféricas.

(5)

A Cap.4, Sec.2: Ejemplos 4.16 y 4.17; Cap.4, Sec.3: Ejercicio 4.13;

B Cap.13, Sec.7: Ejemplo 13.34 y 13.37;

P Cap.6, Sec.3: Ejercicios 23, 26 y 30; Cap.6, Sec. Repaso: Ejercicios 9, 12, 18d, 24 y 27;

S Cap.16, Sec.8: Ejemplos 1 a 3; Cap.16, Sec.9: Ejemplos 1 a 3;

EP 12, 15, 16, 17, 18 y 19;

ER 14 y 15;

EG Integral triple. Aplicaciones. Ejercicio 2.

I^NTEGRALD^OBLE

1

Integral doble sobre rectángulos

Definición (Rectángulo).‐ Rectángulo del plano XY es el conjunto

= [ , ] [ , ] = {( , ) / , }

R a b ´c d x y a £ £x b c £ £y d

Definición (Partición de un rectángulo).‐ Partición de un rectángulo R es el conjunto de subrectángulos generados al tomar una partición en [ , ]a b y otra en [ , ]c d . Si hay n subrectángulos y cada uno de ellos se denota por R , tendremos _k

=1

=

n k k

R



R

Definición (Norma de una partición).‐ Llamaremos norma de la partición y la designaremos por R a la longitud de la diagonal del mayor subrectángulo.

Definición (Suma de Riemann).‐ Llamaremos suma de Riemann de la función ( , )f x y definida en el rectángulo R para la partición

{ }

^R_{k k}ⁿ₌₁a la suma,

1

( , )

n

k k k

k

f x y A

=

å

D ^donde

(x y_k, _k) es un punto cualquiera tomado en el subrectángulo R y _k DA_k es el área de R . _k Definición (Integral doble)).‐ Sea f una función de dos variables definida sobre un rectángulo cerrado R . Si para toda partición de R , tal que la norma de la partición tiende a cero, existe el límite

(6)

0 1

( )

lim ( , )

n

k k k

Rn k

f x y A

 =

¥

å

D

se dice que f es integrable en R . Además el valor de éste límite es la integral doble de f sobre R y se denota por

0 1

( )

( , ) lim ( , )

n

k k k

R k

R n

f x y dxdy f x y A

 =

¥

=

å

D

òò

2

Interpretación geométrica Si ( , )f x y ³ , la suma de Riemann 0

1

( , )

n

k k k

k

f x y A





 , es igual a la suma de los volúmenes de los n prismas rectangulares cuya base es R y cuya altura es ( , )_k f x y . (Ver figura 1). _k _k

En consecuencia, la integral doble definida anteriormente representa el volumen del sólido de base R y altura z f x y( , ) en cada punto de R .

Figura 1.‐ Representación de la suma de Riemann

3

Existencia y propiedades

CONDICIONES SUFICIENTES DE INTEGRABILIDAD:

‐ Si f es continua en un rectángulo R , entonces es integrable en él.

‐ Si f es acotada en un rectángulo R y es continua en él, con excepción de un número finito de curvas suaves, entonces f es integrable en R .

(7)

PROPIEDADES:

P1. Linealidad.‐ La integral doble es lineal.

( ( , ) ( , )) = ( , ) ( , )

Raf x y +bg x y dA a Rf x y dA b+ Rg x y dA

ò ò ò ò ò ò

P2. Aditividad del dominio de integración.‐ La integral doble es aditiva sobre rectángulos que tengan en común a lo sumo un segmento de recta:

1 2

1 2 1 2

( , ) = ( , ) ( , ) , Á ( ) = 0

R Rf x y dA Rf x y dA Rf x y dA si rea R R

È + Ç

ò ò ò ò ò ò

P3. Acotación.‐ Si ( , )f x y £g x y( , ) en casi todos los puntos² de R , entonces

( , ) ( , )

Rf x y dA£ Rg x y dA

ò ò ò ò

P4 . Acotación modular.‐ Para cualquier f integrable en R, ( , ) | ( , ) |

Rf x y dA R f x y dA

 

4

Cálculo de integrales dobles sobre rectángulos. Integrales iteradas

En la práctica una integral doble se calcula mediante dos integrales simples llamadas integrales iteradas.

Definición (Integrales iteradas).‐ Si f es integrable en R= [ , ] [ , ]a b ´c d , ( , ) = ^d ^b ( , ) = ^b ^d ( , )

Rf x y dA c af x y dxdy a c f x y dydx

ò ò ò ò ò ò

Estas expresiones indican que el valor de la integral doble es independiente del orden elegido para calcular las integrales iteradas. Si se integra primero en la variable x y después en la variable y , el proceso de cálculo es el siguiente:

1. Se resuelve la integral ^b ( , )

af x y dx

ò

tomando la y como constante, obteniendo como resultado una expresión ( )A y , que depende de y.

2. Se calcula la integral ^d ( )

c A y dy

ò

^.

3. Si se resuelve la integral cambiando el orden de integración, el proceso es análogo al anterior, pero tomando la x como constante en la primera integral y calculando la última integral en función de x.

5

Integral doble sobre dominios regulares. Integrales iteradas

Una función ( , )f x y es integrable en un conjunto D Ì  si lo es en un rectángulo que contenga a ² D .

2En casi todos los puntos significa, en todos los puntos salvo en un número finito.

(8)

La definición, la interpretación geométrica, las condiciones de existencia y las propiedades de la integral doble sobre rectángulos recogidas en el apartado anterior, son aplicables a la integral doble sobre dominios regulares sin más que sustituir R por D.

Existen dos tipos de dominios regulares en  : x‐simple, y‐simple. ²

Definición (Dominios regulares).‐

Un conjunto D del plano es y‐simple si se puede escribir como

1 2

= {( , ) / , ( ) ( )}

D x y a £ £x b f x £ £y f x

Un conjunto D del plano es x‐simple si se puede escribir como

1 2

= {( , ) / , ( ) ( )}

D x y c£ £y d y y £ £x y y

Definición (Integrales iteradas sobre dominios regulares).‐

‐ Si un conjunto D del plano es y‐simple y la función ( , )f x y es integrable en D , entonces

2( ) 1( )

( , ) = ^b ^x ( , )

Df x y dA a ^fx f x y dydx

ò ò ò ò

f

‐ Si un conjunto D del plano es x‐simple y la función ( , )f x y es integrable en D , entonces

2( ) 1( )

( , ) = ^d ^y ( , )

Df x y dA c ^yy f x y dxdy

ò ò ò ò

y

(9)

6

Algunas interpretaciones de la integral doble

Volumen. El volumen del sólido H definido inferiormente por la gráfica ^z ⁼^{f x y}

( )

^, ^y

superiormente por la ^z ⁼^{g x y}

( )

^, ^para

( )

^{x y}^, ^Î^DÌ  , es la integral ²

( ) ( ) ( )

^, ^,

D

Volumen H =

òò

éêëg x y -f x y dAùúû

Valor medio. Se llama valor medio o valor promedio integral de ( , )f x y en D al número ( , )

á ( )

Df x y dA rea D

ò ò

Área. Si D Ì  , el área de D es ²

( ) =

Área D

ò ò

DdA

Masa. Si una lámina L ocupa la región D del plano y está compuesta por un material de densidad superficial ( , )dx y , su masa es

( ) = ( , )

Masa L

ò ò

Dd x y dA Para la lámina anteriormente descrita, la densidad de masa media es

( , ) ( ) =

( )

D x y dA Densidad media L

Área D

ò ò

d

Temperatura media. Si una lámina L ocupa la región D del plano y la temperatura en cada punto viene dada por ( , )T x y , la temperatura media de la lámina es

( , ) ( ) =

( )

DT x y dA Temperatura media L

Área D

ò ò

7

Simetrías en integrales dobles

El cálculo de la integral doble se simplifica cuando existen simetrías en el dominio y en la función.

Veamos dos casos:

Dominio simétrico respecto del eje OY

‐ Si ( , )f x y es impar en x, es decir verifica, ^f⁽^-^{x y}^{, )}^{= -}^{f x y}

( )

^,

( , ) 0

D

f x y dA =

òò

‐ Si ( , )f x y es par en x, es decir verifica, ^f⁽^^{x y}^{, )}^ ^{f x y}



^,



0

( , ) 2 ( , )

D D con x

f x y dA f x y dA

³

òò

=

òò

(10)

Dominio simétrico respecto del eje OX

‐ Si ( , )f x y es impar en y, es decir verifica, ^{f x}^{( ,}^{- = -}^y⁾ ^{f x y}

( )

^,

( , ) 0

D

f x y dA =

òò

‐ Si ( , )f x y es par en y, es decir verifica, ^{f x}^{( ,}^{- =}^y⁾ ^{f x y}

( )

^,

0

( , ) 2 ( , )

D D con y

f x y dA f x y dA

³

òò

=

òò

8

Cambio de variables en integrales dobles

TEOREMA CAMBIO DE VARIABLE EN INTEGRALES DOBLES Hipótesis:

‐ las regiones R y D de los planos XY y ST respectivamente, están relacionadas por las ecuaciones

= ( , ) , = ( , ) x x s t y y s t

‐ esa relación entre R y D es biyectiva (cada punto de R es imagen de uno y sólo un punto de D).

‐ las funciones del cambio, ( , )x s t e ( , )y s t , admiten derivadas parciales continuas en D.

‐ la función ( , )f x y es continua en la región R.

Tesis:

( , ) ( , ) = ( ( , ), ( , ))

( , )

R D

f x y dxdy f x s t y s t x y dsdt s t

¶

ò ò ò ò

¶

siendo,

( , ) ( , ) =

s t

x x

x y

y y

s t

¢ ¢

¶

¢ ¢

¶

OBSERVACIONES:

‐ El factor ( , )

= ( , ) J x y

s t

¶

¶ se llama jacobiano del cambio

‐ El valor absoluto del jacobiano da la relación entre un elemento diferencial de área del plano XY y un elemento diferencial del plano ST :

=| | dxdy J dsdt

‐ Puesto que tanto dxdy como dsdt son positivos, el cociente entre ellos es positivo:

recuerda que el jacobiano siempre se introduce en la integral en valor absoluto.

‐ Si el cambio de variables fuera el inverso, es decir, el que escribe las coordenadas s y t en función de x e y, entonces el jacobiano sería el inverso, es decir

(11)

( , ) 1 ( , )= ( , )

( , ) s t

x y x y

s t

¶

¶ ¶

¶

9

Cambio a coordenadas polares

Este es uno de los cambios de variables más habituales. Las fórmulas del cambio son

= cos , = sen

x r q y r q

establecidas de forma biyectiva entre dos conjuntos S y R, siendo r positiva. El jacobiano es

cos sen

( , )

= = =

sen cos

( , ) x y r

J r

r r

q q

q

¶ -

¶ Resultando,

( , ) = ( cos , sen )

Rf x y dxdy Sf r q r qrdrdq

ò ò ò ò

RELACIÓN ENTRE COORDENADAS POLARES Y CARTESIANAS

Si se hace coincidir el polo del sistema de coordenadas polares con el origen del sistema de coordenadas cartesianas y el eje polar con el eje OX, se obtiene la siguiente relación entre las coordenadas cartesianas

( )

x y de un punto del plano y sus respectivas coordenadas ^, polares

( )

^{r q :}^,

‐ Conversión de polares a cartesianas x=rcos ,q y =rsenq

‐ Conversión de cartesianas a polares

2 2

r = x +y , ^q⁼^{arctg ,}^y_x

(

^{- < £}^p ^q ^p^{, signo}^q⁼^signo^y

)

Definición (Ecuación polar).‐ Una curva en polares vendrá dada por una ecuación del tipo ( )

r =r q ó ( , )F r q = , con 0 q Î . I

Ecuaciones de curvas en polares

Curva Ecuación cartesiana

(variables: ,x y )

Ecuación polar (variables: r, q ) Circunferencia de centro el

polo y radio a

2 2 2

x +y =a r =a

Semirrecta que pasa por el polo

y de pendiente mtg



^y⁼^mx

, si 0

y y

q a

q a p

= ³

= - <

con 0£ £a p

Recta vertical x =a rcosq =a

Recta horizontal y=b rsenq =b

(12)

I^NTEGRALT^RIPLE

10

Integral triple sobre cajas

Definición (Caja y Partición).‐

‐ Caja del espacio  es el conjunto ³

= [ , ] [ , ] [ , ] = {( , , ) / , , }

H a b ´c d ´e j x y z a£ £x b c£ £y d e£ £z j

‐ Partición P de una caja H es el conjunto de subcajas generadas al tomar una partición en [ , ]a b , otra en [ , ]c d y otra en [ , ]e j . Si hay n subcajas y cada una de ellas se denota por H , tendremos _k

=1

=

n

k k

H



H

‐ Llamaremos norma de la partición, y la designaremos por H a la longitud de la diagonal más larga de las subcajas de la partición de H.

Definición (Suma de Riemann).‐ Llamaremos suma de Riemann de la función ( , , )f x y z definida en la caja H para la partición

{ }

^H_{k k}ⁿ₌₁ a la suma,

=1

( , , )

n

k k k k

k

f x y z DV

å

donde ( , , )x y z es un punto cualquiera tomado en la subcaja _k _k _k H y _k DV_k es el volumen de H ._k

Definición (Integral triple)).‐ Sea f una función de tres variables definida sobre una caja H.

Si para toda partición de H , tal que la norma de la partición tiende a cero, existe el límite

0 1

( )

lim ⁿ ( , , )_k _k _k _k

Hn k

f x y z V

 =

¥

å

D

se dice que f es integrable en H . Además el valor de éste límite es la integral triple de f sobre H y se denota por

0 1

( )

( , , ) lim ( , , )

n

k k k k

H H

n k

f x y z dV f x y z V

 =

¥

=

å

D

òòò

(13)

11

Existencia y propiedades

CONDICIONES SUFICIENTES DE INTEGRABILIDAD:

‐ Si f es continua en una caja H, entonces es integrable sobre H.

‐ Si f es acotada en una caja H y es continua en ella, con excepción de un número finito de superficies suaves contenidas en H, entonces f es integrable en H.

PROPIEDADES:

P1. Linealidad.‐ La integral triple es lineal.

( ( , , ) ( , , )) = ( , , ) ( , , )

H af x y z +bg x y z dV a Hf x y z dV +b Hg x y z dV

ò ò ò ò ò ò ò ò ò

P2. Aditividad del dominio de integración.‐ La integral triple es aditiva sobre cajas que tengan en común como mucho una porción de cara:

1 2 1 2

( , , ) = ( , , ) ( , , )

H H f x y z dV Hf x y z dV H f x y z dV

È +

ò ò ò ò ò ò ò ò ò

1 2

1 2 1

( , , ) = ( ) = 0

H H f x y z dV Hsi Volumen H H

È Ç

ò ò ò ò ò ò

P3. Acotación.‐ Si ( , , )f x y z £g x y z( , , ) en casi todos los puntos de H , entonces

( , , ) ( , , )

Hf x y z dV £ Hg x y z dV

ò ò ò ò ò ò

P4. Acotación modular.‐ Para cualquier f integrable en H ,

( , , ) | ( , , ) |

H f x y z dV £ H f x y z dV

ò ò ò ò ò ò

12

Cálculo de integrales triples sobre cajas: integrales iteradas

Definición (Integrales iteradas).‐ Si f es integrable en H = [ , ] [ , ] [ , ]a b ´c d ´e j , ( , , ) = ^b ^d ^j ( , , )

Hf x y z dV a c e f x y z dzdydx

ò ò ò ò ò ò

La expresión de la derecha representa el proceso que comienza integrando la función f respecto de z , tomando x e y como constantes, resultando una función de dos variables. La integración iterada de esa función, primero respecto de y y luego respecto de x da como resultado el valor de la integral triple. Este orden de integración es el expresado en la integral anterior, pero podríamos intercambiar las variables:

El cálculo de una integral triple se reduce a calcular una integral simple y una doble. Una vez elegida la variable para la primera integración, la integral doble se extenderá al dominio contenido en el plano de las otras variables; podemos escribir

(14)

[ , ] [ , ]

( , , ) = ^j ( , , )

Hf x y z dV a b c d e f x y z dz dA

´

é ù

ê ú

ë û

ò ò ò ò ò ò

[ , ] [ , ]

( , , ) = ^d ( , , )

Hf x y z dV a b e j c f x y z dy dA

´

é ù

ê ú

ë û

ò ò ò ò ò ò

[ , ] [ , ]

( , , ) = ^b ( , , )

Hf x y z dV c d e j af x y z dx dA

´

é ù

ê ú

ë û

ò ò ò ò ò ò

Existen seis órdenes distintos de integración, pues cada una de las expresiones anteriores origina dos formas de resolver las correspondientes integrales dobles.

13

Integral triple sobre dominios regulares. Integrales iteradas

Una función ( , , )f x y z es integrable en un conjunto V Ì  si lo es en una caja que ³ contenga a V .

La definición, las condiciones de existencia y las propiedades de la integral triple sobre cajas recogidas en el apartado anterior, son aplicables a la integral triple sobre dominios regulares sin más que sustituir H por V.

Existen tres tipos de dominios regulares en  : x‐simple, y‐simple, z‐simple. Un dominio puede ³ ser de los tres tipos simultáneamente.

Se describe el proceso de cálculo para el caso de dominio z‐simple, los restantes casos se deducen de éste sin dificultad.

Definición (Dominio regular z‐simple).‐ Un conjunto H del espacio es z‐simple si se puede escribir como,

1 2

= {( , , ) / ( , ) _xy, ( , ) ( , )}

H x y z x y ÎR y x y £ £z y x y

siendo además Rxy un dominio regular.

Definición (Integrales iteradas sobre un dominio regular z‐simple).‐

Si un conjunto H del espacio es z‐simple y la función ( , , )f x y z es integrable en H, entonces

Rxy

z=1(x,y) z=_(x,y)

(15)

( , ) 2 ( , ) 1

( , , ) = ^{x y} ( , , )

H Rxy x y

f x y z dV ^y f x y z dz dA

y

é ù

ê ú

ë û

ò ò ò ò ò ò

Si además,

1 2

= {( , ) / , ( ) ( )}

Rxy x y a£ £x b f x £ £y f x La integral anterior es

( ) ( , )

2 2

( ) ( , )

1 1

( , , ) = ^b ^x ^{x y} ( , , )

H f x y z dV a ^fx ^yx y f x y z dzdydx

f y

ò ò ò ò ò ò

Según sea la forma de H y de f , puede ser recomendable utilizar otro orden de integración.

14

Interpretaciones de la integral triple

Volumen.‐ Si el sólido H se puede escribir como el conjunto

1 2 1 2

= {( , , ) / , ( ) ( ), ( , ) ( , )}

H x y z a £ £x bf x £ £y f x y x y £ £z y x y entonces

( ) ( , )

2 2

( ) ( , )

1 1

( ) = = ^b ^x ^{x y}

H a x x y

Volumen H dV ^f ^y dzdydx

f y

ò ò ò ò ò ò

Valor medio.‐ Se llama valor medio o valor promedio integral de ( , , )f x y z en H al número ( , , )

( )

Hf x y z dV Volumen H

ò ò ò

Masa.‐ Si un sólido S ocupa la región H del espacio y está compuesto por un material de densidad ( , , )d x y z , su masa es

( )

_H ^{( , , )}

Masa S =

ò ò ò

d x y z dV

Para el sólido anteriormente descrito, la densidad de masa media se calcula como

( )

( , , ) ( ) = ^H x y z dV Densidad media S

Volumen H

ò ò ò

d

Temperatura media.‐ Si un sólido S ocupa la región H del espacio y la temperatura en cada punto viene dada por ( , , )T x y z , la temperatura media del sólido es

( , , ) ( ) =

( )

HT x y z dV Temperatura media S

Volumen H

ò ò ò

15

Simetría integrales triples

(16)

El cálculo de la integral triple se simplifica cuando existen simetrías en el dominio y en la función.

Veamos tres casos:

Dominio simétrico respecto del plano ZY

‐ Si ( , , )f x y z es impar en x, es decir verifica, ^f⁽^-^{x y z}^{, , )}^{= -}^{f x y z}

(

^{, ,}

)

( , , ) 0

H

f x y z dV =

òòò

‐ Si ( , , )f x y z es par en x, es decir verifica, ^f⁽^-^{x y z}^{, , )}⁼^{f x y z}

(

^{, ,}

)

0

( , , ) 2 ( , , )

H H con x

f x y z dV f x y z dV

³

òòò

=

òò

Dominio simétrico respecto del plano ZX

‐ Si ( , , )f x y z es impar en y , es decir verifica, ^{f x}^{( ,}^-^{y z}^{, )}^{= -}^{f x y z}

(

^{, ,}

)

( , , ) 0

H

f x y z dV =

òòò

‐ Si ( , , )f x y z es par en y, es decir verifica, ^{f x}^{( ,}^-^{y z}^{, )}⁼^{f x y z}

(

^{, ,}

)

‐

0

( , , ) 2 ( , , )

H H con y

³

òòò

=

òò

Dominio simétrico respecto del plano XY

‐ Si ( , , )f x y z es impar en z , es decir verifica, ^{f x y z}^{( , ,}^{- = -}⁾ ^{f x y z}

(

^{, ,}

)

( , , ) 0

H

f x y z dV =

òòò

‐ Si ( , , )f x y z es par en y, es decir verifica, ^{f x y z}^{( , ,}^{- =}⁾ ^{f x y z}

(

^{, ,}

)

0

( , , ) 2 ( , , )

H H con z

³

òòò

=

òò

16

Cambio de variables en integrales triples

El teorema sobre cambio de variable en integrales triples se obtiene del visto para integrales dobles con las modificaciones obvias resultantes de añadir una variable más. El jacobiano del cambio de variables

= ( , , ) , = ( , , ) , = ( , , ) x x u v w y y u v w z z u v w

es el determinante ( , , )

= =

( , , )

u v w

x x x

x y z

J y y y

u v w

z z z

¢ ¢ ¢

¶ ¢ ¢ ¢

(17)

RELACIÓN ENTRE COORDENADAS CILÍNDRICAS Y CARTESIANAS

Las coordenadas cilíndricas se obtienen utilizando coordenadas polares en uno de los planos coordenados, de forma que son las apropiadas para describir conjuntos del espacio, como el interior de un cilindro, que tienen un eje de simetría. Si ese eje de simetría es el eje OZ , las coordenadas cartesianas se escribirán del siguiente modo en función de las

cilíndricas:

= cos

= sen

=

x r

y r

z z

q q ìïïïï

íïïï ïî

Cambio a coordenadas cilíndricas

Para el cambio de variables x =rcos ,q y=rsen ,q z = z el jacobiano es

cos sen 0

( , , )

= = sen cos 0 =

( , , )

0 0 1

x y z r

J r r

r z

q q

q

¶ -

¶

Y el elemento diferencial de volumen, dV =dxdydz , en cilíndricas es dV =rdrd dzq puesto que r es no negativo.

Las superficies de ecuación más sencilla en coordenadas cilíndricas son:

‐ r =a es el cilindro de eje 0Z y radio a;

‐ q= b es el semiplano que contiene al eje 0Z y forma ángulo b con el plano XZ , > 0x

‐ z =c es un plano perpendicular al eje 0Z .

(18)

RELACIÓN ENTRE COORDENADAS ESFÉRICAS Y CARTESIANAS

Las coordenadas esféricas son útiles en sólidos acotados por esferas, planos que pasan por el eje 0Z y conos con ese eje. Es decir, aquellos volúmenes en los que existe un centro de

simetría. Las fórmulas del cambio son:

= sen cos

= sen sen

= cos x

y z

r f q

r f

ìïïïï íïïï ïî

Las variables del sistema representan las siguientes magnitudes geométricas:

‐  distancia del punto al origen de coordenadas, r² = x² +y² +z²

‐ q ángulo de variación respecto del eje 0X positivo, se toma entre 0 y 2



;

‐ f ángulo de variación respecto del eje 0Z positivo, se toma entre 0 y



.

Cambio a coordenadas esféricas

Para el cambio de variables x = sen cosr f q , y= sen senr f q , z = cosr f el jacobiano es

( , , ) 2

= = sen

( , , ) x y z

J r f

r q f

¶

El elemento diferencial de volumen dV =dxdydz en esféricas es

= 2 |sen |

dV r f r q fd d d

(19)

Las superficies de ecuación más sencilla en coordenadas esféricas son:

‐ r= a es la esfera de centro el origen y radio a

‐ q= b es el semiplano que contiene al eje 0Z y forma ángulo b con el plano XZ , ( > 0x )

‐ f= c es un semicono de eje 0Z .

Ejercicios propuestos

a) Aproxima el volumen del sólido limitado inferiormente por el rectángulo [0,2] [0,1]´ del plano XY y superiormente por la superficie z=x²+4y², mediante una suma doble de Riemann sobre una partición regular de 8 4´ celdas, tomando el valor de la función en el punto medio de cada celda.

Comprueba la calidad de la aproximación, calculando el valor exacto de la integral.

Solución: a) Vaprox=5,28 b) Vexacto =^{16 / 3}

a) Evalúa las siguientes integrales:

/2

0 1 1 1

0 0 2 2

2 2

0 0

sen

1 1

( 1)

e y

A dxdy

x

B dydx

x y

C x y dxdy

p

=

æ ö÷

ç ÷

= ççç +è + + ÷÷ø

= -

ò ò ò ò

ò ò

b) Comprobar los resultados anteriores utilizando Octave o Matlab.

c) ¿Alguna de estas integrales puede

interpretarse como el volumen de un sólido? En caso afirmativo, representa dicho sólido. En caso negativo plantea la integral necesaria para

calcular el volumen del sólido limitado por la superficie y el plano z = . 0

Solución: a) ^{1 ,} ^{2 log 2 ,}

( )

²⁸

A= B= C =9

Se consideran las dos regiones del plano siguientes:

{ ( ) }

, / 0 1 ,

, / 0 2 , 2 2

A x y x x y x

B x y y y x y

= £ £ £ £

= £ £ - £ £

1. Defínelas cambiando el orden (si viene definida como x‐simple, escribirla como y‐

simple, y viceversa).

2. Calcula, a mano, el área de cada una.

3. Utiliza Matlab para representar las regiones y comprobar el valor del área.

4. Supondremos que estas regiones son láminas (sin grosor) de un material de densidad de masa proporcional en cada punto a la distancia del punto al eje y =0. Encuentra la masa de cada lámina, primero a mano y después con Matlab.

5. Calcula el valor medio de la función densidad en cada placa y los puntos de la placa en los que se alcanza ese valor.

6. Utiliza Octave para representar sobre cada una de las regiones A y B, los puntos donde se alcanza el valor medio de la función de densidad.

Solución: a) y b)

1

2

3

(20)

área A = 1 / 6

área B = 16 / 3 d) masa A = 1

12k ; masa B = 32

5 k ; k es la constante de proporcionalidad.

e) densidad media de A: 1

2k ; en los puntos

( )

^{x y}^, ^/ ¹₄ ^x ¹₂^, ^y ¹₂

ì ü

ï ï

ï £ £ = ï

í ý

ï ï

î þ

densidad media de 6 :5

B k ; en los puntos

( )

^, ^/ ² ³ ² ³ ^, ⁶

5 5 5

x y x y

ì ü

ï ï

ï - £ £ = ï

í ý

ï ï

î þ

Representar en el plano, el conjunto de puntos siguientes:

(a) ^A⁼

{ ( )

^{x y}^, ^Î^²^{/ 0}^{£ £}^y ^{1 ,} ^y^{£ £}^x ¹

}

(b)

( )

²

2

, / 1 2 ,

2

x y y

B y x y

ì ü

ï Î - £ £ ï

ï ï

= íïïïî £ £ + ýïïïþ



(c)

( )

²

2

, / 0 2 ,

0 4

x y x

C y x

ì ü

ï Î £ £ ï

ï ï

= íïïïî £ £ - ýïïïþ



(d)

( )

^, ²^/ ₄ ⁵₄ ^,

cos sen

x y x

D

x y x

p p

ì ü

ï ï

ï Î £ £ ï

ï ï

= íïïïïî £ £ ýïïïïþ



Se considera la región del plano D, acotada por las rectas =y x , y= 2x, = 1x y

= 2

x . Se pide:

a) Represéntala gráficamente y defínela como región x‐simple y también como región y‐

simple.

b) Calcula a mano el área.

c) Comprueba los apartados a) y b), utilizando Matlab para representar la región y para calcular el área.

d) Calcula la temperatura media de una lámina que ocupa la región D, sabiendo que la temperatura en cada punto viene dada por T x y( , ) = /x y y encuentra los puntos de la placa donde se alcanza esta

temperatura media.

e) Utiliza Matlab para representar el

rectángulo [1,2] [1, 4]´ coloreado según la función temperatura y destaca sobre él el contorno de la lámina y los puntos que están a temperatura media.

Solución: a) Región y‐simple:

{

^{( , ) / 1} ^2, ²

}

D= x y £ £x x £ £y x Región x‐simple:

{

^{( , ) / 1} ^{2, 1}

}

( , ) / 2 4, 2

2

D x y y x y

x y y y x

= £ £ £ £ È

ì ü

ï ï

ï £ £ £ £ ï

í ý

ï ï

î þ

b) 3/2 d) Temperatura media = log 2; Puntos a temperatura media:

( , ) / , 1 2

log 2

x y y x x

ì ü

ï ï

ï = £ £ ï

í ý

ï ï

î þ

Sea D la región del plano limitada inferiormente por la gráfica de y= x y superiormente por y= 2 para 0£ £x 4. a) Escribe un fichero para dibujar con

Octave/Matlab la región D definida por

= {( , ) / 0 4, 2}

D x y £ £x x £ £y

b) Define la región en el otro orden, es decir, de la forma

1 2

= {( , ) / , ( ) ( )}

D x y c£ £y d x y £ £x x y c) Una placa delgada plana ocupa la región D

y la temperatura en cada uno de sus puntos es T x y( , ) =xy. Calcula a mano el valor medio de la temperatura en la placa.

d) Utiliza Matlab para representar el

rectángulo [0, 4] [0,2]´ coloreado según la

4

5

6

(21)

función temperatura y destaca sobre él el contorno de la placa, D, y los puntos que están a temperatura media. Comprueba que esos puntos están sobre un arco de hipérbola.

Solución:

a)D = {( , ) / 0x y £ £y 2, 0£ £x y²} c) Temperatura media =2

d) Puntos a temperatura media:

2 3

( , ) /x y y , 1 x 4 x

ì ü

ï ï

ï = £ £ ï

í ý

ï ï

î þ

Calcula

( ) ( )

, y , x u v

¶

¶ y

( )

, , u v x y

¶

¶ siendo

(

¹

)

x u v

y uv

ìï = -

ïïíï =

ïïî .

Solución:

( ) ( )

, y ,

x u

u v

¶ =

¶

( ) ( )

, 1

, u v x y u

¶ =

¶

Calcula la siguiente integral doble

2 2 2 2

= ( ) (^xy )

I

ò ò

S y -x x +y dxdy donde S es la región del primer cuadrante del plano XY acotada por las curvas xy= 1,

= 3

xy , =y x e y²-x² = 1. Dada la forma de la región S y la del integrado, es

conveniente realizar el cambio de variables

2 2

= , =

u xy v y -x

Solución: I = log 2 / 2

Se consideran las siguientes regiones del plano, donde a es un número real positivo:

 

 

 

 

 

2 2

, / , 0

, / 0 3 , 0

4

, / 0 7 , 0

6

A x y a x a y a x

B x y a y a x a y

C r r a

D r r a

      

 

     

 

 

     

 

  

a) Represéntalas gráficamente.

b) Supón que una función ^{f x y}

( )

^, ^es

integrable en cualquier región del plano, es positiva en el semiplano x <0 y además es simétrica impar respecto del eje x = . 0 Ordena de menor a mayor las integrales de

( )

^,

f x y sobre A B C y D, , .

c) Sustituye la función ^{f x y}

( )

^, ^{= - ⋅}^{x e}^y^, que

cumple las características del apartado b) y calcula las integrales utilizando Matlab.

Elige también el valor de a = . 2 Solución: a) Las regiones son sectores del círculo x² +y² =a²

7

8

9