Paso 1: determinar vértice. (h, k) 3x-6=0 X=6/3=2 X=2. (h,k)=(2,3) Paso 2: determinar intercepto en y Iy(0,?) X=0

(1)

40 Cuenta:________________________ Nombre: ______________________ _______________________________ FUNCIÓN RADICAL Ecuación ya mx b c Si g x( )mxb Forma de la grafica SI a es positivo y m positivo Si a es negativo y m positivo SI a es positivo y m negativa Si a es negativo y m negativo Vértice (h, k) h: es igual a x si g x( )0 k: k= f(h)= a m h( ) b c k= f(h)= c Intercepto en x = Ix =( ?,0) Dominio SI m es positivo [h,[ Si m es negativo ] , ]h Rango SI a es positivo [ ,k [ Si a es negativo ] , ]k EJERCICIO:

Graficar y determinar dominio y rango de

3 6 3

y  x 

Paso 1: determinar vértice (h, k) ( ) 0 g x  3x-6=0 X=6/3=2 X=2 3(2) 6 3 y    6 6 3 y    0 3 y   3 y  (h,k)=(2,3)

Paso 2: determinar intercepto en “y” Iy(0, ?) X=0

3(0) 6 3

y   

6 3

y   

(2)

41 Paso 3: determinar el intercepto en “x” Ix(¿ ,0)

Y=0 0  3x 6 3 3 3x 6    

 

2





2 3  3x6 93x6 9 6 3x (9 6) 3 x   5 x Ix = (5,0)

Paso 4: agregar otros puntos para tener 3 puntos graficables

Para no tener que probar puntos a ambos lados podemos calcular el dominio

cuando ( ) 0 g x  0 mx b  3x 6 0 3x6 6 3 x 2 x

Esto nos dice que los puntos crecen al infinito Elaboramos la tabla de valores

x y -1 No Definido 0 No definido 1 No Definido 2 3 5 0

6 (Nota: este punto fue elegido a voluntad) 3(6) 6 3 y    12 3 y   2 3 3 0.46 y    

Paso 5: determinar dominio y rango Dominio

Por simple inspección a la gráfica o sino observando que m es positivo

Rango:

Por simple inspección a la gráfica o sino observando que a es positivo

(3)

42 1) y 6 2x105

1. Determine el vértice de la ecuación (Xv, Yv)=(h, k) = ( ,x y_v _v)

2. Determinar Intercepto en Y

3. Determinar los intercepto en “x” y verifique

4. Tabla de Valores

5. Grafica (indicar dominio y rango gráficamente)

(4)

43 DADA LA ECUACIÓN DE VALOR ABSOLUTO:

2) y2 9x 3 1

(5)

44 3) y5 3 2 x7

(6)

4) y 4 2x 7 3

(7)

46 5) y 5 8 3 x2

(8)

47 DADA LA ECUACIÓN RACIONAL SIMPLE:

( ) ( ) , ( ) 0 ( ) p x y f x q x q x   

Asintotas: son líneas verticales, horizontales o inclinadas imaginarias a las cuales la grafica se acerca sin tocar nunca en:

 Menos Infinito  Mas infinito

 Por la izquierda a un punto prohibido  Por la derecha a un punto prohibido Punto faltante: son factores que están en el polinomio de arriba y el polinomo de abajo y se pueden cancelar. Dada la grafica (3 3) ( ) 1 (3 9) x y f x x     

Fusionamos en una sola fracción

(3 3) (3 9) ( ) (3 9) (3 9) x x y f x x x        (3 3 3 9) ( ) (3 9) x x y f x x       (6 6) ( ) (3 9) x y f x x    

1) Determinamos los factores, y los clasificamos arriba y abajo.

 Los factores de arriba solo pueden ser interceptos en x, o puntos faltantes,

 Los factores de abajo solo pueden ser valores prohibidos, o puntos faltantes  Los puntos faltantes ocurren cuando el

mismo factor esta arriba y abajo En este caso vemos que solo hay un factor arriba (6x-9) que seria el intercepto en x En este caso vemos que solo hay un facyor abajo (3x-9) y no esta repetido por lo tanto seria el que define el valor prohibido y la asíntota vertical

Ubicación Factor Valor x Hace 0 el factor Tipo Arriba (6x-9) X=2 Intercepto en x Abajo (3x-9) x)3 Asíntota vertical 2) Calculamos los valores prohibidos que

serán candidatos para una asíntota vertical

Vemos que el polinomio (3x-9) no puede ser igual a cero porque se produciría un error matemático.

Por lo cual el valor prohibido de x ocurre cuando:

3x-9=0

Despejando nos queda X=9/3=3

Formalmente

Asíntota Vertical (AV): x=3

3) Calculamos el intercepto en x, ocurre cuando y=0 o sea:

(6 6) 0 (3 9) x x    Nos queda 0(3x9)(6x6) 0(6x6)

Despejando nos queda x=6/6=1

formalmente

(9)

48 ocurre cuando x=0 Sustituimos (6(0) 6) 6 2 ( ) 0.67 (3(0) 9) 9 6 y f x        Formalmente intercepto en y = Iy (0, 2/3) 5) Asíntota Horizontal

La asíntota horizontal es una línea horizontal imaginaria a la cual la gráfica se acerca en el infinito, puede o no cruzarla la gráfica. Para determinarla se divide el termino principal del polinomio de arriba entre el termino principal del polinomio de abajo

6 : 2 3 x AH y x   Verificación de cruce: Igualamos la ecuación a y=2

(6 6) 2 (3 9) x y x     Y despejamos 2(3x9)(6x6) 6x186x6 18 6    es falso

Por tanto no cruza la horizontal

6) Elaboramos ahora la tabla de valores

Tipo x y (x, y) -00 -100 (6( 100) 6) 1.96 (3( 100) 9)      (-100, 1.96) Iy 0 (6(0) 6) 2 (3(0) 9) 3    (0,0.67) Ix 1 (6(1) 6) 0 0 (3(1) 9) 6      (1,0)

AV-∆

3-0.01 (6(2.99) 6) 398 (3(2.99) 9)     (2.99, -398) AV 3 (6(3) 6) 12 (3(3) 9) 0    No definido No Definido AV+

∆

3+0. 01 (6(3.01) 6) 402 (3(3.01) 9)    (3.01, 402) +00 +100 (6(100) 6) 2.04 (3(100) 9)    (100, 2.04) 7) Elaboramos la grafica Primero ubicamos las asíntotas AV: X=3

AH: y=2

Segundo ubicamos las tendencias e interceptos

(10)

49 Tercero unimos por el camino mas corto

Y finalmente tenemos la grafica

8) Determinamos el dominio

El dominio lo podemos definir como todos los números reales menos los valores prohibidos, el valor prohibido en este caso es la asíntota vertical.

Dominio =ℝ

_{ }

3

Dominio =

_

 ,

_

ℝ

 

3

9) Determinamos el rango

El rango lo podemos definir como todos los reales menos la asíntota horizontal, a menos que la función cruce la asíntota horizontal. AH: y=2

Rango =ℝ

_{ }

2

(11)

50 1) 5 2 1 4 3 x y x    

1. Fusione en una fracción

2. Determine la asíntota vertical

3. Determine la asíntota horizontal

4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal

6. Determinar el intercepto en “x”

(12)

2) 3 4 2 2 5 x y x    

(13)

52 3) 2 4 3 5 3 x y x    

(14)

4) 3 7 4 6 6 x y x    

(15)

54 5) (3 ) 5 6 4 x y x     