Combinatoria. Tema Principios básicos de recuento

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Combinatoria

La combinatoria, el estudio de las posibles distribuciones de objetos, es una parte importante de la matem´atica discreta, que ya era estudiada en el siglo XVII, ´epoca en la que se plantearon cuestiones combinatorias, relacionadas principalmente con los juegos de azar.

Una de las partes principales de la combinatoria es el recuento de objetos. Comenzamos este tema formalizando la noción de número de elementos de un conjunto. Al contar los elementos de un conjunto finitoA lo que realmente se hace es ir enumerando los elementos de A y a cada elemento se le asigna un número natural distinto, de forma ordenada comenzando por 1. El número de elementos deAserá aquel número natural en que se termine este proceso.

´

Esto es, el cardinal de un conjunto será el menor natural de tal forma que exista una aplicación inyectiva deA en el conjunto{1,2, . . . , n}. A continuación presentamos los principios básicos de recuento (de la unión, del producto, de inclusión-exclusión y de las cajas) sobre los que se fundamenta el resto del tema.

Estudiamos las diferentes maneras de seleccionar objetos de un conjunto: variaciones, permutaciones y combinaciones, con o sin repetición, prestando especial atención a las propie-dades básicas de los números combinatorios. El estudio de estas nociones nos proporcionará técnicas para contar el número de objetos de conjuntos en diferentes contextos. Las técnicas de recuento se utilizan, por ejemplo, para determinar la complejidad de un algoritmo.

Cerramos este tema, estudiando algunos métodos de resolución de relaciones de recurrencia. Estos métodos son necesarios para resolver problemas de recuento en los que las técnicas vistas en las secciones previas del tema no son aplicables.

Para m´as informaci´on sobre el contenido de este tema recomendamos los libros de N.L.Biggs [3], E.Bujalance, J.A.Bujalance, A.F.Costa y E.Mart´ınez [4, 5], y K.H.Rosen [9].

4.1 Principios b´

asicos de recuento

En esta primera sección del tema daremos la definición formal de cardinal de un conjunto y los principios básicos que se utilizan para computar este cardinal para conjuntos concretos.

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4.1.1 Cardinal de un conjunto

Contar los elementos de un conjuntoAes establecer una biyecci´on entreAy un conjunto finito {1, . . . , n}.

Definici´on 4.1.1. Diremos que el cardinal de un conjunto A esnsi se puede establecer una biyecci´on f :{1, . . . , n} −→A. Se denota|A|=n. Se define |∅|= 0.

Se dice que A 6= ∅ es infinito si no existe ninguna biyecci´on f : {1, . . . , n} −→ A para ning´un n∈N.

4.1.2 Principio de la uni´on

Si se puede escoger un elemento de un conjunto A de m formas distintas, y un elemento de un conjunto B de nformas distintas, entonces es posible escoger un elemento deA o deB de m+nformas distintas (siA yB son disjuntos).

Teorema 4.1.2 (Principio de la uni´on). Si A1, A2, . . . , An son conjuntos finitos disjuntos dos

a dos se tiene que

|A1∪A2∪ · · · ∪An|=|A1|+|A2|+· · ·+|An|.

Ejemplo 4.1.3. El número de palabras del diccionario es igual al número de palabras que empiezan por a más el número de palabras que empiezan por b más . . . más el número de palabras que empiezan por z.

4.1.3 Principio del complementario

Teorema 4.1.4 (Principio del complementario). Si B es un conjunto finito y A es un sub-conjunto de B se tiene que

|B\A|=|B| − |A|.

4.1.4 Principio del producto

Si se puede escoger un elemento de un conjuntoAdemformas distintas, y un elemento de un conjunto B de n formas distintas, entonces es posible escoger un elemento de A y otro de B de mn formas distintas.

Teorema 4.1.5 (Principio del producto). Si A1, A2, . . . , An son conjuntos finitos no vac´ıos

se tiene que

|A1×A2× · · · ×An|=|A1| · |A2| · · · |An|.

Ejemplo 4.1.6. El n´umero de palabras posibles de cuatro letras formadas solo por vocales es 5·5·5·5.

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4.1.5 Principio de inclusi´on-exclusi´on

En el caso de conjuntos no disjuntos, al aplicar el principio de la unión para dos conjuntos se presenta el problema de que los elementos de la intersección son contados dos veces. Por lo tanto habrá que descontarlos al contar los elementos de la unión.

Teorema 4.1.7 (Principio de inclusi´on-exclusi´on). Si A1, A2, . . . , An son conjuntos finitos se

tiene que i) |A1∪A2|=|A1|+|A2| − |A1∩A2|, ii) |A1∪A2∪A3|= 3 X i=1 |Ai| − X i6=j |Ai∩Aj|+|A1∩A2∩A3|, iii) |∪n_i₌₁Ai|= n X i=1 |Ai| − X i6=j |Ai∩Aj|+· · ·+ (−i)n−1|A1∩A2· · · ∩An|.

Ejemplo 4.1.8. El número de palabras del diccionario que empiezan o terminan por a el número de palabras que empiezan por a más el número de palabras que terminan por a menos el número de palabras que empiezan y terminan por a.

Ejemplo 4.1.9. Calcular φ(30). Como 30 = 2·3·5 entonces φ(30) = 30− µ 30 2 + 30 3 + 30 5 ¶ + µ 30 2·3+ 30 2·5+ 30 3·5 ¶ − µ 30 2·3·5 ¶ = 30−(15 + 10 + 6) + (5 + 3 + 2)−(1) = 30−31 + 10−1 = 8 = 30 µ 1−1 2 ¶ µ 1− 1 3 ¶ µ 1−1 5 ¶ . Observaci´on 4.1.10. En general, sin=pr1 1 pr22· · ·prkk entonces φ(n) =n− µ n p₁ +· · ·+ n p_k ¶ + µ n p₁p₂ + n p₁p₃ +· · ·+ n p_k₋₁p_k ¶ +· · ·+ (−1)k µ n p₁p₂· · ·p_k ¶ =n µ 1− µ 1 p1 +· · ·+ 1 pk ¶ +· · ·+ (−1)k µ 1 p1p2· · ·pk ¶¶ =n µ 1− 1 p1 ¶ µ 1− 1 p2 ¶ · · · µ 1− 1 pk ¶ . 4.1.6 Principio de las cajas

Supongamos que tenemos un conjuntoX cuyos elementos llamaremos objetos, y un conjunto Y a cuyos elementos llamaremos cajas. Una distribución de los objetos en las cajas es simple-mente una aplicaciónf :X −→Y. El principio de las cajas establece que si hay más objetos que cajas, alguna caja habrá de contener más de un elemento.

Teorema 4.1.11 (Principio de las cajas o de distribuci´on). Si se reparten n objetos en m

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Teorema 4.1.12. Si n objetos se distribuyen en m cajas y n > mp, entonces alguna caja recibe m´as de p elementos.

Ejemplo 4.1.13. Dada una palabra de 28 letras alguna de ´estas habr´a de estar necesariamente repetida.

4.1.7 Principio de las cajas generalizado

Teorema 4.1.14 (Principio de las cajas generalizado). Si n objetos se distribuyen en m

cajas, entonces alguna caja recibe al menos dm

neelementos y alguna caja recibe a lo sumobmnc

elementos, donde dxees el menor entero mayor o igual que x ybxces el mayor entero menor o igual que x.

4.2 Selecciones de elementos

En esta sección se estudia, dado un conjunto de n elementos, las diferentes maneras en que podemos seleccionar kde estos elementos, según se tenga o no en cuenta el orden (variaciones o combinaciones) y según se repitan o no elementos.

4.2.1 Variaciones

Definici´on 4.2.1. Llamaremos variaci´on de melementos tomados den enn(n < m) a cada una de las selecciones ordenadas denobjetos distintos, tomados de un conjunto de mobjetos.

Observación 4.2.2. Una variación de m elementos tomados de n en n (n < m) es una aplicación inyectiva f :{1,2, . . . , n} −→ {a1, a2, . . . , am}.

Teorema 4.2.3. El n´umero de variaciones sin repetici´on de m elementos tomados den enn

es

Vm,n=m(m−1)(m−2)· · ·(m−n+ 1).

Ejemplo 4.2.4. El n´umero de palabras distintas de cuatro letras, todas ellas distintas, que pueden formarse con las letras del abecedario es 27·26·25·24.

4.2.2 Permutaciones

Definici´on 4.2.5. Llamaremos permutaci´on de nelementos a cada una de las variaciones de n elementos tomados denen n.

Observación 4.2.6. Una permutación de{a1, a2, . . . , an}es una aplicación biyectiva

σ:{1,2, . . . , n} −→ {a1, a2, . . . , an}.

Teorema 4.2.7. El n´umero de permutaciones de nelementos es

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Ejemplo 4.2.8. El n´umero de palabras distintas que pueden formarse con las letras de ALTO es 4!.

Observación 4.2.9. Cuando se ordenann elementos formando un ciclo, se obtienen las per-mutaciones circulares. Dos perper-mutaciones circulares serán equivalentes si se puede obtener una de la otra por una rotación del ciclo. Entonces si fijamos uno de los elementos, para evitar rotaciones el resto podrán colocarse den−1! formas distintas. Por tanto, el número de permutaciones circulares den elementos será igualn−1!.

4.2.3 Combinaciones

Definici´on 4.2.10. Llamaremos combinaci´on dem elementos tomados denen na cada una de las selecciones, no ordenadas y sin repeticiones, de n objetos, tomados de un conjunto de m objetos.

Teorema 4.2.11. El n´umero de combinaciones dem elementos tomados denenn es igual a

Cm,n = V_Pm,n n =

m! n!(m−n)!.

Ejemplo 4.2.12. El n´umero de subconjuntos de 4 elementos de un conjunto de 27 elementos esC27,4 = 27·26_4!·25·24.

4.2.4 N´umeros combinatorios

Definición 4.2.13. Se llama número combinatorionsobre kal número de combinaciones de m elementos tomados denen n. Se denota

µ n k ¶ = n! k!(n−k)!. Se define µ n 0 ¶ = 1. Obs´ervese que µ n n ¶ = 1. Propiedades 4.2.14. i) µ n k ¶ = µ n n−k ¶ , ii) µ n k ¶ = µ n−1 k−1 ¶ + µ n−1 k ¶ , iii) (a+b)n₌ µ n 0 ¶ an₊ µ n 1 ¶ an−1_b₊ µ n 2 ¶ an−2_b2₊_{· · ·}₊ µ n n−1 ¶ abn−1₊ µ n n ¶ bn_,

(Teorema del binomio) iv) µ n 0 ¶ + µ n 1 ¶ + µ n 2 ¶ +· · ·+ µ n n ¶ = 2n_, v) µ n 0 ¶ − µ n 1 ¶ + µ n 2 ¶ +· · ·+ (−1)n µ n n ¶ = 0.

Observación 4.2.15. EL triángulo de Pascal, que tiene en la filai-ésima (i= 0,1,2, . . .) los números combinatorios¡_ki¢(k= 0,1,2, . . . , i) verifica que cada elemento es la suma de los dos situados por encima de él en la fila inmediatamente superior.

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4.2.5 Variaciones con repetici´on

Definición 4.2.16. Llamaremos variación con repetición dem elementos tomados denen n a cada una de las selecciones ordenadas de nobjetos, tomados de un conjunto dem objetos.

Observación 4.2.17. Una variación con repetición demelementos tomados denennes una aplicación f :{1,2, . . . , n} −→ {a₁, a₂, . . . , a_m}.

Teorema 4.2.18. El n´umero de variaciones con repetici´on de m elementos tomados de n en

n es

V Rm,n=mn.

Ejemplo 4.2.19. El n´umero de palabras distintas de cuatro letras que pueden formarse con las letras del abecedario es 27·27·27·27.

4.2.6 Permutaciones con repetici´on

Definición 4.2.20. Llamaremos permutación con repetición den=n1+n2+· · ·+nkelementos

en la que cada elemento ai se repite ni veces, a cada uno de los distintos grupos ordenados

que con ellos se puede formar.

Teorema 4.2.21. El n´umero de permutaciones con repetici´on de n = n₁ +n₂ +· · ·+n_k

elementos es

P Rn1,...,nk

n =

n! n1!· · ·nk!.

Ejemplo 4.2.22. El n´umero de palabras distintas que pueden formarse con las letras de la palabra ABECEDARIO es 4!

2·2. Observaci´on 4.2.23. A los n´umeros

µ n k1, . . . , km ¶ = n! n1!· · ·nk!

se les llama n´umeros multi-n´omicos. Se tiene que

i) µ n k1, . . . , kn ¶ = µ n k1 ¶µ n−k₁ k2 ¶ · · · µ k_n kn ¶ , ii) (a1+a2+· · ·+am)n= X k1+···+km=n µ n k1, . . . , km ¶ ak1

1 ak22· · ·akmm(Teorema del multinomio).

4.2.7 Combinaciones con repetici´on

Definición 4.2.24. Llamaremos combinación con repetición de m elementos tomados de n en na cada una de las selecciones, no ordenadas, denobjetos, tomados de un conjunto dem objetos.

Observación 4.2.25. El número de combinaciones con repetición de m elementos tomados de nes

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Si necesariamente se elige al menos un elemento de cada tipo el resultado es CRm,n−m=Cn−1,n−m= _(n₋_m)!(mn−1!₋_1)!.

Ejemplo 4.2.26. El número de soluciones enteras no negativas de la ecuaciónx₁+x₂+x₃+ x4 = 32 es CR4,32. El número de soluciones enteras mayores o iguales que uno es CR4,28.

El n´umero de soluciones enteras no negativas menores o iguales que 9 esCR4,32−4CR4,22+

4·3

2 CR4,12−

4·3·2 3·2 CR4,2. 4.2.8 Cuadro resumen

Selecciones Ordenadas No ordenadas

Sin repetición n(n−1)(n−2)· · ·(n−k+ 1) µ n k ¶ Con repetición nk µ n−1 +k k ¶ 4.2.9 Desórdenes

Definici´on 4.2.27. Llamaremos desorden o desarreglo a una permutaci´on σ ∈ Sn tal que

σ(i)6=ipara todo i∈ {1,2, . . . , n}.

Teorema 4.2.28. El n´umero de des´ordenes de n elementos es

dn=n!− µ n 1 ¶ (n−1)! + µ n 2 ¶ (n−2)!− µ n 3 ¶ (n−3)! +· · ·+ (−1)n µ n n ¶ (n−n)! =n!−n! + n! 2 − n! 3! +· · ·+ (−1) nn! n! =n! µ 1− 1 1!+ 1 2!− 1 3!+· · ·+ (−1) n1 n! ¶ . Nota 4.2.29. ∞ X n=1 (−1)n n! =e −1_∼_0,_36788. 4.2.10 Particiones

Definici´on 4.2.30. Llamaremos n´umero de Stirling de segunda clase S(n, k) al n´umero de particiones de un conjunto X connelementos, en ksubconjuntos no vac´ıos.

Propiedades 4.2.31. Se cumple que i) S(n,1) = 1,

ii) S(n, n) = 1,

iii) S(n, k) =S(n−1, k−1) +kS(n−1, k).

Observaci´on 4.2.32. El n´umero de aplicaciones suprayectivas de un conjunto demelementos en un conjunto de nelementos es T(m, n) =nm−n(n−1)m+ µ n 2 ¶ (n−2)m− µ n 3 ¶ (n−3)m+· · ·+ (−1)n−1 µ n n−1 ¶ 1m. Teorema 4.2.33. S(m, n) = T(m, n) n! .

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4.2.11 Cuadro resumen: Selecciones y distribuciones Selecciones de m elementos

tomados den enn

Distribuciones den objetos en m cajas Selecciones ordenadas sin

repetici´on m(m−1)(m−2)· · ·(m−n+ 1)

n objetos distintos (máx. 1 por caja ) Selecciones no ordenadas sin repetición µ m n ¶ n objetos idénticos (máx. 1 por caja ) Selecciones ordenadas con

repetición m n _n_{objetos distintos} Selecciones no ordenadas con repetición µ m−1 +n n ¶ nobjetos idénticos T(n, m) n objetos distintos (cajas no vac´ıas) µ n−1 m−n ¶ n objetos idénticos (cajas no vac´ıas)