Semana 5: La composición como una operación

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Semana 5: La composici ´on como una operaci ´on

1. Tipos de funciones

De manera intuitiva, nos referimos por inversa de una funci ón a otra funci ón que deshace los cambios hechos por la funci ón original, a condici ón que esto sea posible. Se pueden caracterizar completamente las funciones que poseen determinadas inversas con tres tipos de funciones relati-vamente simples

Definici ´on 5.1. Sea f: A → Buna funci ´on. Diremos que f es inyectivasi para cualesquiera ele-mentosa∈ Aya0 ∈A, la igualdad f(a) = f(a0)implica quea=a0.

Es posible interpretar la definici ón de una funci ón inyectiva expresando por contraposici ón la definici ón, i.e., sia 6= a0, entonces f(a) 6= f(a0). Esto nos permite afirmar que una funci ón es inyectiva si y s ólo si a elementos distintos les corresponden imágenes distintas.

Ejemplo. Sea f:{1, 2, 3} → {1, 2, 3, 4}una funci ón. Si definimos f por f(n) = n+1, entonces f(1) =2, f(2) =3 yf(3) =4. Al ser todas las imágenes distintas, la funci ónf, as´ı definida, resulta inyectiva. En contraste, si definimos f(n) = (n−2)2_{, entonces} _f₍₁_{) =} ₁ ₌ _f₍₃₎_{lo que permite} concluir que f no es inyectiva pues al menos a un par de elementos distintos les corresponde la misma imagen.

Definici ´on 5.2. Sea f: A → Buna funci ´on. Diremos que f essobreyectivasi para cada elemento b∈ B, existea∈ Ade forma quef(a) =b.

De acuerdo con la definici ón del rango de una funci ón, im(f) ⊆ Bsin importar cual funci ón f tengamos. Si además f es sobreyectiva, debemos notar que todo elemento b ∈ B resulta un elemento del rango, implicando entonces la contenci ónB⊆im(f). En otras palabras, una funci ón f es sobreyectiva si y s ólo si im(f) = B. Esto nos permite interpretar las funciones sobreyectivas como aquellas en que ning ún elemento del contradominio escapa del rango.

Ejemplo. Sea f : Z → Z definida por f(n) = n+1. Es sencillo afirmar que la funci ´on f es sobreyectiva: Para cada enterom, el enterom−1 satisface f(m−1) =m. En contraste, si tomamos la funci ´ong:N→Ndefinida con la misma regla, su rango resulta im(g) =N\{0}, mostrando que hay un elemento en su contradominio fuera del rango. En consecuencia,gno es sobreyectiva. Es importante mencionar que las condiciones impuestas a las funciones inyectivas y sobreyec-tivas son independientes una de otra. Esto quiere decir que existen funciones inyecsobreyec-tivas que no son sobreyectivas y viceversa.

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Ejemplo. Sea f: Z → Nuna funci ón definida por f(n) = |n|, donde |n| es el valor absoluto den. Es inmediato verificar que f es sobreyectiva, pues para cada naturaln,|n| = n. Por otro lado, la funci ón satisfacef(−1) =1= f(1)mostrando con esto que no es inyectiva. La funci ón f constituye un ejemplo de una funci ón sobreyectiva pero no inyectiva.

Ejemplo. Seag:N→Nuna funci ón definida porg(n) =n+1. Hemos mostrado ya, quegno es sobreyectiva. Sin embargo,gresulta inyectiva pues sig(n) =g(m), entoncesn+1=m+1 con lo cualn =m. En ese caso, la funci óngconstituye un ejemplo de una funci ón que es inyectiva pero no sobreyectiva.

Teorema 5.1. Sean f:A→B y g: B→C funciones. 1. Si f y g son inyectivas, entonces g◦f es inyectiva. 2. Si f y g son suprayectivas, entonces g◦f es suprayectiva. 3. Si f y g son biyectivas, entonces g◦f es biyectiva.

Demostraci´on. Para probar la primer parte del teorema supondremos f yginyectivas. Ahora, su-pongamos queaya0son elementos deAque satisfacen

(g◦f)(a) = (g◦f)(a0).

Lo anterior, sabemos que es lo mismo que g(f(a)) = g(f(a0)). Pero al serg inyectiva, entonces f(a) = f(a0); y de la misma forma al ser f inyectiva, tenemosa=a0. Lo anterior prueba queg◦f es tambi´en inyectiva como se deseaba.

Para la segunda parte, supondremos f y g suprayectivas. Deseamos mostrar que para todo c∈ C, existe un elementoadentro de dom(g◦ f)de forma quec= (g◦f)(a). En efecto, comog es suprayectiva, existe un elementobdentro de dom(g), de forma quec = g(b). Tambi´en, al ser f suprayectiva, existe un elemento adentro de dom(f), de forma queb = f(a). Basta entonces afirmar que

c=g(b) =g(f(a)) = (g◦f)(a),

de lo que se concluye queg◦f es suprayectiva como se deseaba.

La tercera parte es un resultado inmediato de las anteriores.

2. Inversas laterales

Recordemos ahora que hemos interpretado a las funciones inyectivas como aquellas que no repiten elementos. En ese sentido, parece natural que podamos deshacer los cambios que una funci ´on realiza a un conjunto observando el ´unico elemento del cual provienen. Esta idea intuitiva es la base del siguiente teorema.

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Demostración. Supongamos que la funci ón f es inyectiva y supongamos que A es un conjunto no vac´ıo cona0 ∈ A. Para un elementobde la imagen de f, existe al menos un elementoaen el conjuntoade forma que f(a) = b, además, como f es una funci ón inyectiva, para cualquier elementoa0 que cumpla f(a0) = b, se debe tener a0 = a. En otras palabras para cadabexiste un único elementoade forma que f(a) =b. Definimos entonces la funci ónh: im(f) →Atomando h(b) =ade forma que f(a) =b. Podemos extender esta regla a todo el conjuntoBdefiniendo la funci óng:B→Acomo

g(b) =

(

h(b) sib∈im(f)

a0 sib∈/im(f) . En ese caso es inmediato queg(f(a)) =apor lo queg◦f =1A.

Supongamos ahora que existe una funci ´ong:B→Ade forma queg◦f =1A. Si f(a) = f(a0) entonces

a=g(f(a)) =g(f(a0)) =a0,

de lo que podemos concluir que f es una funci ´on inyectiva como dese´abamos.

El teorema anterior revela un tipo de inversa asociada a las funciones inyectivas. Precisamos ahora en que sentido las funciones inyectivas son invertibles.

Definici ´on 5.3. Sean f: A → B y g: B → Afunciones. La funci ´on g se diceuna inversa por la izquierda de f sig◦f =1A.

Bajo la anterior definici ´on, las funciones inyectivas son aquellas que poseen una inversa por la izquierda y esta propiedad caracteriza por completo este tipo de funciones. Sin embargo, la existencia de una inversa por la izquierda no garantiza su unicidad.

Ejemplo. Ya hemos mostrado que la funci ´ong:N→Ndefinida porg(n) =n+1 es inyectiva. Siguiendo la prueba del teorema anterior, podemos definir la funci ´on f:N→N

f(n) =

(

n−1 sin>0 0 sin=0

mostrando que f◦g=1N. Podemos de igual forma definirh:N→Ncomo h(n) =

(

n−1 sin>0 1 sin=0

de manera que satisface h◦g = 1N. Sin embargo, f 6= h, mostrando que las inversas por la izquierda no son necesariamente ´unicas.

De manera similar a las funciones inyectivas, las funciones suprayectivas resultan la operaci ón que deshace la acci ón de otra funci ón. Precisemos esta observaci ón en el siguiente teorema. Teorema 5.3. Sea f: A → B una función. Entonces, f es suprayectiva si y sólo si existe una función g:B→A de forma que g◦f =1A

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Demostraci´on. Supongamos que f es suprayectiva. Entonces, para cada elementob, la imagen in-versa f−1[{b}] es no vac´ıa. Con esto en mente, definimosg: B → Ade forma que para cadab elegimos g(b)como un elemento en el conjunto f−1[{b}]. En ese caso, f(g(b)) =blo cual implica

f◦g=1B.

Supongamos ahora que existe una funci ´ong:B→ Ade forma que f ◦g =1B. Entonces para cada elementobdel conjuntoBtomamosa=g(b)el cual cumple que

f(a) = f(g(b)) =b.

Lo anterior implica que la funci ´onf es suprayectiva como busc´abamos.

Como en el caso de las funciones inyectivas, el teorema anterior advierte sobre un tipo especial de inversas asociado a las funciones suprayectivas.

Definici ´on 5.4. Sean f: A → B y g: B → Afunciones. La funci ´on g se diceuna inversa por la derecha de f sif ◦g=1B.

Ejemplo. Hemos mostrado ya que la funci ´on f:Z → Ndefinida como f(n) = |n| es supra-yectiva. Usando la prueba del teorema anterior, podemos proponer una funci ´ong: N→ Zque resulte su inversa por la derecha tomandog(n) =−n. De igual forma podemos tomarh:N→Z

definiendoh(n) = n. Ambas cumplen f◦h=1A = f ◦gperog 6=h, mostrando con esto que las inversas por la derecha no son ´unicas.

3. Inversas bilaterales

En ese punto, podemos notar que las funciones que admiten inversa por la izquierda o por la derecha no son las funciones que buscamos llamar invertibles. Ambas presentan al menos una deficiencia insuperable (la unicidad) por lo que debemos presentar una alternativa.

Lema 5.4. Sean f: A→B, g:B →A y h:B→ A funciones. Si g◦f =1Ay f◦h=1B, entonces se cumple la igualdad g=h.

Demostraci´on. La prueba es una simple observaci ´on, g=g◦1B

=g◦(f ◦h) = (g◦f)◦h

=1A◦h

=h.

Esto muestra la igualdad entre las funciones indicadas.

El lema anterior, descubre una interesante propiedad acerca de funciones que admiten al mis-mo tiempo una inversa por la izquierda y una por la derecha: Las inversas coinciden. Adem´as, para una funci ´on de este tipo no pueden existir dos inversas izquierdas o dos inversas derechas distintas. Esto vuelve a este tipo de funciones nuestros candidatos a funciones invertibles.

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Seg ún el lema 5.4, si una funci ón es invertible, la funci óngpara la cual se cumplen las igual-dadesg◦f =1Ay f◦g=1Bes la única funci ón con esa propiedad. Es por esto, que toda nuestra discusi ón anterior puede ser resumida en el siguiente teorema que es probablemente uno de los más importantes resultados en la teor´ıa de funciones.

Teorema 5.5. Una funci´on es biyectiva si y s´olo si es invertible.

Demostración. Sea f: A→Buna funci ón cualquiera y supongamos que es biyectiva. En ese caso, existen funcionesg:B → Ayh: B → Ade forma que g◦f = 1Ay f ◦h = 1B. Seg ún el lema anteriorg = h y debemos concluir entonces que f es invertible. Si suponemos ahora que f es invertible, entonces f admite inversa tanto por la izquierda como por la derechaf debe ser tanto inyectiva como suprayectiva y en consecuencia biyectiva. Esto termina la prueba.

Podemos volver sobre nuestros pasos para observar lo natural del resultado anterior. Si inter-pretamos a un funci ón biyectiva como una funci ón que no repite valores y que agota su contrado-minio entonces es posible deshacer los cambios efectuados por f, esa posibilidad es lo que indica la definici ón de funci ón invertible.

Ejemplo. Seaaun n úmero entero cualquiera. Definimos la funci ónf:Z→Zcomof(n) =n+a. En ese caso, la funci óng:Z →Zdefinida porg(n) = n−aresulta la inversa de f. Esto prueba en particular quef es invertible y por tanto biyectiva.

Terminamos esta secci ón realizando una aclaraci ón que debe parecer en este punto exagerada-mente obvia pero de la que no hemos hecho menci ón.

Definici ón 5.6. Sea f: A→Buna funci ón invertible.La inversa de f es entonces la única funci ón f−1:B→Atal quef−1◦f =1Ay f ◦f−1=1B.

Ejercicios

Ejercicio5.1. Para cada una de las siguientes funciones f:Z → Z, determina si es inyectiva o sobreyectiva. En caso de ser ambas (biyectiva), calcula su inversa.

f(m) =2m. f(m) =2m+1.

f(m) =m3₋_m. f(m) =mm+1_.

Ejercicio5.2. Encuentra dos funciones f ygde forma queg◦f es inyectiva perogno lo es. Ejercicio5.3. Encuentra dos funciones f ygde forma queg◦f es sobreyectiva perof no lo es. Ejercicio5.4. Sean f ygfunciones de forma queg◦f es inyectiva. Demuestra que f es inyectiva. Ejercicio5.5. Sean f ygfunciones de forma queg◦f es sobreyectiva. Demuesta quef es sobreyec-tiva.

Ejercicio5.6. Sea f: A→Buna funci ´on y sean adem´asF,G: 2A→2Blas funciones definidas por F(S) = f[S]yG(U) = f−1[U]. Demuestra que

1. Si f es sobreyectiva, entoncesF◦G=1₂B.

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Ejercicio5.7. Sea A = {a1, . . . ,an}. Demuestra que una funci ´on f: A → Aes biyectiva si es o inyectiva o sobreyectiva.

Ejercicio5.8. Sea f:A→By seanSyUsubconjuntos deAyBrespectivamente. Demostrar f es sobreyectiva si y s ´olo siB\f[S]⊆ f[A\S].

f es inyectiva si y s ´olo si f[A\S]⊆B\f[S].

Ejercicio5.9. Demuestra que si una funci ´on es invertible, entonces su inversa es ´unica.

Ejercicio5.10. SeanA={a1, . . . ,an}yB={b1, . . .bn}de forma que todos los elementos deAson distintos, lo mismo que los deB. Muestra que existe una funci ´on biyectiva f: A→Bsi y s ´olo si se cumplem=n.

Ejercicio5.11. Sea f: A →Buna funci ´on inyectiva. Demuestra que sig,h:C → Ason funciones de forma que f◦g= f◦h, entoncesg=h. ¿Ser´a cierto su rec´ıproco?

Ejercicio5.12.Sea f: A→Buna funci ´on sobreyectiva. Demuestra que sig,h:B→Cson funciones de forma queg◦f =h◦f, entoncesg=h. ¿Ser´a cierto su rec´ıproco?

Ejercicio5.13. Sean A, B, C y D conjuntos, y sean también f: A → B y g: C → D funciones. Define una funci ónh: A×C →B×Dde forma que f ygson funciones biyectivas si y s ólo sih es biyectiva.

Ejercicio5.14. Sea f: A→B. Demuestra que si f es inyectiva, entonces

f[S∩T] = f[S]∩ f[T].

Ejercicio5.15. En este ejercicio mostraremos que no existe ambig üedad en definir a la imagen inversa de una funci ón. Seaf: A→Buna funci ón biyectiva y seag:B→Asu inversa. SiU⊂C entonces demuestra que

g[U] = f−1[U].

En otras palabras, la imagen inversa deUbajo f coincide con la imagen deUbajo la inversa de f. Para entregar: Ejercicios 5.2 y 5.3

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Referencias

[G ó07] G ómez Laveaga, Carmen: Introducción a la Teor´ıa Intuitiva de Conjuntos. Las prensas de Ciencias, 2007.

[Rot05] Rotman, Joseph J.:A first course in abstract algebra. Pearson, 3aedici ´on, 2005.

Las notas anteriores juegan algunas veces a ser un simple resumen de lo que otros autores han presentado, otras menos a reinterpretarlo y en una cantidad rid´ıculamente baja de ocasiones, intentan pobremente aumentarlo. El único objectivo real (o imaginario) al que sirven, es preparar el curso de((Algebra Superior I´ ))impartido en la carrera de Actuar´ıa en la FES Acatlán. Su versi ón es, en consecuencia, susceptible a errores gramaticales, imprecisiones técnicas y cambios constantes.

El contenido original que aparezca en estas notas (si es que lo hay), se distribuye bajo la Li-cencia Creative Commons Atribuci ´on-NoComercial 4.0 Internacional (CC BY-NC 4.0). cEduardo Antonio Gomezca ˜na Alanis.