Proyecto Estructural de Edificios Aporticados de Concreto Armado

CENTRO DE INGENIEROS DEL ESTADO ZULIA

FUNDACION “ADOLFO ERNST”

“PROYECTO ESTRUCTURAL DE EDIFICIOS

APORTICADOS DE CONCRETO ARMADO”

INSTRUCTOR: ING. ANTONIO ANTONELLO

MARACIBO, MARZO DEL 2008

PROYECTO ESTRUCTURAL DE EDIFICIOS

APORTICADOS DE CONCRETO ARMADO

1.- INTRODUCCION.

El presente curso tiene por objetivo principal facilitar las herramientas

necesarias para el diseño de edificios aporticados de concreto armado.

Durante los siguientes días se trataran los tópicos necesarios para el diseño de

un edificio aporticado de concreto armado, tomando en consideración tanto

las acciones verticales como las horizontales.

Se estudiaran las normas Venezolanas Covenin relacionadas con el diseño de

edificios aporticados de concreto armado como son:

• Covenin 2002-88 Criterios y Acciones Mínimas para el Proyecto de

Edificaciones.

• Covenin 2003-89 Acciones del Viento Sobre las Construcciones.

• Covenin 1756-01 Edificaciones Sismorresistentes.

• Covenin 1753-06 Proyecto y Construcción de Obras de Concreto

Estructural.

El presente curso se desarrollara de forma practica, durante las 24 horas

establecida para el, se efectuara el análisis de un edificio de 28 metros de

altura, distribuidos en 8 plantas mas una planta de salida a techo.

2. Tipologia Estructural de los Edificios de Concreto Armado.

Todo Edificio debe estar diseñado para soportar las acciones a las que estará

sometido como lo son las gravitatorias usuales (Peso Propio y Cargas

Variables Gravitatorias) y las Fuerzas adicionales como son las Horizontales

producidas por efecto del Viento o Sismo.

Existen otras cargas que de conocerse el hecho de que la estructura se vera

sometida a ellas se deben considerar, estas cargas son las cargas de impacto,

cambios de temperatura, reologicas, fallas de fundación. etc.

Indistintamente del tipo de carga a las que estará sometido el edificio este debe

estar diseñado para que sus límites de resistencia no sean excedidos para poder

brindar una suficiente estabilidad local de sus elementos estructurales y global

del conjunto, y una limitada desplazabilidad, de modo de lograr seguridad, y

confort de los residentes del edificio durante su vida útil.

Para lograr lo antes expuesto se debe seleccionar la forma estructural más

conveniente para el edificio en cuestión, para lo cual debemos tomar en

consideración los siguientes factores.

• Las proporciones en planta y la esbeltez del conjunto.

• La ubicación y orientación del edificio.

• La naturaleza y magnitud de las acciones.

• El método constructivo más conveniente.

• Los materiales a utilizar.

• Las instalaciones y servicios internos.

• Los datos arquitectónicos.

• Si existirán acciones secundarias.

• El tipo de suelo.

• El comportamiento dinámico del conjunto.

¿Cuál es el fin de la consideración de lo antes expuesto?

LA SEGURIDAD ESTRUCTURAL.

La seguridad estructural involucra las siguientes condiciones.

• Estabilidad Local de los Miembros.

• Estabilidad Global del Edificio.

• Adecuada Resistencia y Rigidez Estructural.

• Limitados Desplazamientos y vibraciones.

• Indeformabilidad de Nodos y Conexiones.

• Suficiente Ductilidad de Conjunto.

DIFERENTES TIPOLOGIAS ESTRUCTURALES PARA

EDIFICIOS.

TIPO DE ESTRUCTURA

NUMERO DE NIVLES

PORTICOS RIGIDOS DE ACERO

15

PORTICOS RIGIDOS DE

CONCRETO (COMPETENCIA DE

ESTE CURSO)

20-30

PORTICOS ARRIOSTRADOS CON

DIAGONALES

40

PORTICOS CON MUROS

DIAFRAGMAS

20-30

MUROS ESTRUCTURALES

MACIZOS

100

MUROS ACOPLADOS

80

SISTEMAS DUALES DE

PORTICOS Y MUROS.

50-60

ESTRUTURAS SUSPENDIDAS

30

ESTRUTURAS TUBULARES

SIMPLES O CONECTADAS

100

ESTRUTURA TIPO ESPINA

120

RETICULADOS ESPECIALES

70

ESTRUTURAS HIBRIDAS O

COMBINADAS

130

3. Comenzando el Proyecto Estructural de un Edificio aporticado de concreto

Armado.

Cuando se plantea al ingeniero estructural la necesidad del diseño estructural

de un edificio de concreto armado a este se le debe aportar la siguiente

información y documentos.

• Planos arquitectónicos de la edificación (Plantas tipos, Fachadas y

Cortes).

• Ubicación de la edificación.

• Estudio de Suelo del sitio donde estará la Edificación.

• Material del cual será construido el Edificio (Concreto Armado en

nuestro Caso).

• Uso de la Edificación (Comercial, Residencial, Educacional,

Hospitalario, Etc.).

• Servicios de los cuales constara la Edificación.

• Paso de Elementos Sanitarios.

Con los datos y documentos anteriores comenzamos el cálculo y diseño de

los elementos estructurales de la Edificación.

4. Diseño de los elementos estructurales de la siguiente edificación.

Edificio Aporticado de Concreto Armado conformado por una planta baja

comercial, 08 plantas residenciales y una planta de azotea.

El edificio será construido en la Ciudad de Maracaibo.

Concreto f’c = 250 Kg/cm

Acero Fy = 4200 Kg/cm

Se consideraran las acciones gravitatorias y las horizontales

correspondientes a sismo, se determinaran las fuerzas horizontales

producidas por el viento para la verificación de los cerramientos.

Con los datos anteriores tenemos la información correspondiente a

ubicación, material y uso de la edificación, los demás datos serán

introducidos en el ejercicio a medida que sean necesitados, esto con la

finalidad de poder observar específicamente el porque se requiere dicha

información.

En la ejecución de un proyecto profesionalmente toda la información debe

ser recopilada y organizada al principio del mismo.

FACHADA PRINCIPAL

P L A N T A T E C H O E S C A L E R A Y

A S C E N S O R

Una vez definida por parte del arquitecto las diferentes plantas de la

edificación se procede a la estructuración y diseño de sus diferentes

componentes.

4.1 Prediseño y diseño de losas de entrepiso.

Las losas de entrepiso pueden ser macizas o nervadas, estas últimas son las

más usadas en nuestro medio, ya que estas aportan un menor peso y ofrecen

un mejor aislamiento al ruido que las macizas, en este curso las losas se

estudiaran y se diseñaran como nervadas.

Lo primero que hacemos es definir las diferentes losas del entrepiso analizado,

para la estructuración de las losas no existe una regla específica, pero se

pueden tomar en cuenta las siguientes condiciones:

• El sentido del nervio en la medida de lo posible debe ser en la dirección

de la longitud menor de los ejes estructurales.

• Se definirán tantas losas en el entrepiso como cambios de geometría y

acciones existan y que originen variantes en su análisis de carga.

• El espesor de la losa se definirá con la mas desfavorable tomando en

cuenta los espesores comerciales de las zapas de relleno. (15, 20 o 25

cms)

Conocido los diferentes ambientes procedemos a seleccionar en la norma

Covenin 2002-88 Criterios y Acciones Mínimas para el Proyecto de

Edificaciones el valor de la carga variable a utilizar.

En la tabla anterior se puede leer que para el primer piso tenemos:

Viviendas unifamiliares y multifamiliares en áreas publicas 300 Kg./m2 ,

áreas con asientos móviles, salones de fiesta 500 kg./m2, balcones con

L>1.20 mts 300 kg. /m2 (nota 3 y 4), la nota 3 es especifico del diseño de la

baranda o del antepecho, y la nota 4 dice que en el extremo del volado se debe

aplicar una carga lineal de 150 kg./ml, habitaciones, pasillo interno,

camerinos, vestuarios, estudios de radio y tv, celdas 175 kg./m2, escaleras 300

kg./m2.

Para la planta tipo tenemos las siguientes acciones variables:

Viviendas unifamiliares y multifamiliares en áreas publicas 300 Kg./m2 ,

balcones con L>1.20 mts 300 kg. /m2 (nota 3 y 4), la nota 3 es especifico del

diseño de la baranda o del antepecho, y la nota 4 dice que en el extremo del

volado se debe aplicar una carga lineal de 150 kg./ml, habitaciones, pasillo

interno, camerinos, vestuarios, estudios de radio y tv, celdas 175 kg./m2,

escaleras 300 kg./m2.

Para la planta de Azotea tenemos:

Azoteas o Terrazas 100 kg./m2 ( nota 2 y 3), escaleras 300 kg./m2.

Para el Techo de la escalera y ascensor:

Techos con carga permanente mayor a 50 kg./m2 y pendiente menor al 15%

100 kg./m2

3 0 0 k / m 2 1 7 5 k / m 2 5 0 0 k / m 2 3 0 0 k / m 2 5 0 0 k / m 2 3 0 0 k / m 2 5 0 0 k / m 2 3 0 0 k / m 2 1 7 5 k / m 2 3 0 0 k / m 2 1 7 5 k / m 2 3 0 0 k / m 2 3 0 0 k / m 2 3 0 0 k / m 2 3 0 0 k / m 2 3 0 0 k / m 2

P L A N T A A Z O T E A 1 0 0 k / m 2 1 0 0 k / m 2 1 0 0 k / m 2 1 0 0 k / m 2 1 0 0 k / m 2 3 0 0 k / m 2

P L A N T A T E C H O E S C A L E R A Y

A S C E N S O R

L O S A S D E C A R G A P L A N T A P R I M E R P I S O L P - 2 L P - 1 L P - 3 L P - 4 L P - 6 L P - 5 L P - 7 L E - 3 L O S A S D E C A R G A P L A N T A T I P O L E - 2 L E - 1 L E - 4 L E - 5 L E - 7 L E - 6 L E - 8

Una vez determinadas las cargas variables en cada entrepiso procedemos a

determinar el sentido de los nervios, y las diferentes losas que se presenten en

cada entrepiso, dando como resultado los siguientes esquemas:

L O S A S D E C A R G A P L A N T A A Z O T E A L A - 2 L A - 1 L A - 3 L A - 4 L A - 6 L A - 5 L A - 7

P L A N T A T E C H O E S C A L E R A Y

A S C E N S O R

Ya que tenemos definidas las diferentes losas procedemos a determinar el

espesor de la misma y el peso propio que soportara, para el espesor de la losa

lo mas conveniente es apegarse a los espesores que se determinan según la

tabla 9.6.1 de la norma Covenin 1753-06 Proyecto y Construcción de Obras de

Concreto Estructural.

Según la tabla anterior tenemos los siguientes espesores:

Losas de primer piso:

LP1 = P2 = 320 cm. / 16 = 20,00 cm.

LP3AB = LP3EF = LP4AB = LP4EF = 550 cm. / 18,5 = 29,72 cm.

LP3CD = 500 cm. / 21 = 23,81 cm.

LP6 = LP7 = 550 cm. / 16 = 34,38 cm.

LP4BC = LP4DE = 320 cm. / 18,5 = 17,29 cm.

LP3BC = LP3DE = 320 cm. / 21 = 15,24 cm.

Como se puede ver el valor que domina es el de 34,38 cm. Pero no es un

espesor comercial por lo tanto se asume un espesor de losa de 30 cm., es decir

zapa de 25 cm. y una loseta de 5 cm., y a la losa LP6 y LP7 se le verifican las

flechas actuantes.

Como los sentidos de las losas de entrepiso y azotea son iguales tenemos los

mismos espesores, es decir una losa nervada de 30 cm.

Para el caso de la losa de techo de escalera tenemos el siguiente valor:

LTEAvolado = 50cm. / 8 = 6,25 cm.

0.20 0.05 0.15 0.10 0.40 0.10 0.40 NERVIO 0.40 MALLA ELECTROSOLDADA 4"x4"x1/4" NERVIO 0.10 ZAPA 0.40 0.10 0.30 0.25 0.05 NERVIO LOSA PRIEMER PISO, ENTREPISO Y AZOTEA

LOSA TECHO DE ESCALERA

MALLA ELECTROSOLDADA 4"x4"x1/4"

NERVIO ZAPA

Para esta losa se asume una losa nervada de 20 cm., es decir zapa de 15 cm. Y

una loseta de 5 cm., y no hay que verificar flecha.

Una vez que tenemos los datos físicos de la losa procedemos a determinar el

peso propio y para eso debemos conocer el material de las zapas y el tipo de

acabado de piso que tendrá la losa.

Para la losa de primer piso la zapa será de arcilla y tendrá un acabado de

granito por arriba y tendrá cielo raso por debajo.

Para las losas de entrepiso usaremos zapas de anime, tendrá una acabado de

granito y estará frisada por debajo.

La losa de azotea y la de techo de escalera serán con zapa de anime y tendrá

nivelación y manto asfáltico de 5 mm, el acabado por debajo será de friso

liso.

Losa de primer piso:

Peso de losa nervada Norma 2002-88 tabla 4.3 (3.3.1) Espesor 30 cm. peso

360 kg. / m2.

Peso de Revestimiento de granito Norma 2002-88 tabla 4.3 (6) 100 kg. / m2.

Peso cielo Raso Norma 2002-88 tabla 4.3 (4.3) 20 kg. / m2.

Tabiqueria: la norma 2002-88 en el capitulo 4 sección 4.4 expresa:

Y en la tabla 4.3 en su sección 1 nos da:

Como se puede ver se debe determinar el área total de tabiquería y determinar

su peso promedio sobre la losa, pero asumiremos 150 kg. / m2 sobre la losa

como es permitido en el párrafo anterior, considerando que la mayoría de los

tabiques se encuentran sobre las vigas.

Total de carga permanente sobre la losa de primer piso= 630 kg. / m2

Losa de entrepiso Zapa de anime, e = 30 cms:

El peso de la losa, como este material no se encuentra en la norma por lo tanto

hay que determinarlo:

Nervios= 2 Nervio/mts* 0,10 mts * 0,25 mts * 2500 kg. /m3 = 125 Kg. / m2

Losa = 0,05 mts * 2500 kg. / m3 = 125 kg. / m2

Zapas de anime = 0,25*0,40*0,20* 3 kg. / m3 * 10zapas/m2 = 0,6 kg. / m2

Total Peso losa nervada de entrepiso = 250,6 kg. / m2.

Peso de Revestimiento de granito Norma 2002-88 tabla 4.3 (6) 100 kg. / m2.

Peso Mortero de Friso Norma 2002-88 tabal 4.3 (7.1) 1.5 cms =

(19 kg. / m2*cms) * 1.5 cms = 28.5 kg. / m2.

Peso Tabiqueria = 150 kg. / m2

Total carga permanente losa de entrepiso = 529,1 kg. / m2 = 530 kg. / m2

Losa de azotea zapas de anime e= 30 cms:

Total Peso losa nervada de azotea = 250,6 kg. / m2

Peso Nivelación 3 cms Norma 2002-88 tabal 4.3 (6) = 100 kg. / m2.

Peso Manto Asfáltico 5 mm Norma 2002-88 (5) = 6 kg. / m2.

Peso Mortero de Friso Norma 2002-88 tabal 4.3 (7.1) 1.5 cms =

(19 kg. / m2*cms) * 1.5 cms = 28,5 kg. / m2.

Total carga permanente losa de azotea y techo de escalera = 385,10 kg. / m2 =

385 kg. / m2.

Losa de azotea y techos escalera, zapas de anime e= 20 cms:

Nervios= 2 Nervio/mts* 0,10 mts * 0,15 mts * 2500 kg. /m3 = 75 Kg. / m2

Losa = 0,05 mts * 2500 kg. / m3 = 125 kg. / m2

Zapas de anime = 0,15*0,40*0,20* 0,3 kg. / m2 * 10zapas/m2 = 0,36 kg. / m2

Total Peso losa nervada de entrepiso = 200,36 kg. / m2.

Peso Nivelación 3 cms Norma 2002-88 tabal 4.3 (6) = 100 kg. / m2.

Peso Manto Asfáltico 5 mm Norma 2002-88 (5) = 6 kg. / m2.

Peso Mortero de Friso Norma 2002-88 tabal 4.3 (7.1) 1.5 cms =

(19 kg. / m2*cms) * 1.5 cms = 28,5 kg. / m2.

Total carga permanente losa de azotea y techo de escalera = 334,86 kg. / m2 =

335 kg. / m2.

Verificamos si es necesario movimiento de carga:

Para efectuar movimiento de Carga la carga variable debe ser mayor que el

75% de la carga permanente

CP/CV = 300/530 = 0.566 < 0.75 OK.

Con los valores anteriores determinados tenemos las siguientes losas para su

análisis:

Losas de primer piso:

B C

LP-1

LP-3

LP-2

LP-4

B A

LP-6

LP-7

LP-5

Losas de Entrepiso:

LE-1=LE-2

LE-3

LE-4

B C A

LE-5

LE-6

LE-7=LE-8

Losa de Azotea y Losa de Techo Escalera:

B C

LA-1=LA-2

LA-3

LA-4

LA-5

LA-6=LA-7

LTEA

Si sabemos que la losa a lo ancho son una serie de nervios equidistantes unos

de otros podemos analizar una franja de un metro, es decir multiplicamos los

m2 por un metro de ancho lo cual nos da una losa de un metro de ancho y con

los mismos valores de carga.

También sabemos que en un metro de ancho tenemos n nervios dependiendo

de La separación entre nervios, como en nuestro caso la separación entre

nervios es 50 cms, es decir que en un metro de ancho tenemos dos nervios, en

este paso podemos hacer una de dos cosas.

• Calcular la losa con la carga total y el acero resultante multiplicarlo por

la separación 0,50 mts para determinar el acero de cada nervio.

• Calcular la losa con la carga multiplicada por la separación y la

reacción resultante dividirla por la separación para determinar el valor

de la reacción sobre la viga por metro lineal.

B C A L E - 3 E D F

De

manera didáctica se diseñara la losa de entrepiso 3 por el método de cross y de

las demás losas se presentara la tabla resumen con las reacciones para luego

poder analizar el pórtico por carga vertical.

Antes de continuar con el análisis de la losa debemos saber los factores de

mayoración y combinaciones de carga que la norma Covenin 1753-06

Proyecto y Construcción de Obras de Concreto Estructural, nos permite

utilizar se encuentran en el capitulo nueve de la misma y son los siguientes:

Donde:

CP = Carga Permanente.

CV = Carga Variable o Accidental.

CF = Carga de Fluidos con altura controlada.

CT = Acción debida a cambios de Temperatura.

CE = Carga debida a Empuje de tierras o granos.

CV

= Carga variable en techos y cubiertas.

S = Solicitaciones debidas a acciones Sísmicas.

W = Solicitaciones debidas al viento.

Como se puede ver existen diferentes combinaciones de carga con diferentes

factores que amplifican o reducen las fuerzas según sea el caso.

Si el edificio fuera a ser diseñado solamente por carga vertical no habría

ningún problema ya que se haría una sola combinación de carga al principio

en la losa, se trasmitirían las reacciones a las vigas y al analizar estas solo se

agregaría lo correspondiente a la carga permanente de la misma mayorada con

el factor de carga permanente.

Pero como en nuestro caso es necesario un análisis por cargas horizontales es

necesario hacer todas las combinaciones de carga requeridas, para eso tenemos

dos opciones:

• Analizar la losa con ambas cargas ya mayoradas, efectuar el diseño de

la losa, determinar las áreas de acero y luego determinar la componente

de la reacción por carga permanente y la componente por carga

variable sin mayoracion.

• Otra opción es analizar la losa solamente por carga permanente y luego

solamente por carga variable ya mayoradas, por el principio de

superposición de efectos sumar los esfuerzos resultantes, efectuar el

diseño de la losa, determinar las áreas de acero y luego como se tienen

las reacciones por separado se desmayoran y ya tenemos la resultante

de las reacciones sobre las vigas.

La primera opción es posible en todas las losas menos en la LE-3, ya que por

tener diferentes valores de carga variable en uno de sus tramos no es posible

determinar directamente la componente por carga permanente y la

componente de la carga variable directamente de la reacción total.

Por lo tanto explicaremos el método de Cross para cargas variables, se

presentara la tabla resumen de la losa por carga permanente y se totalizara.

Como es sabido lo primero que debemos determinar para analizar la losa por

de distribución de momentos o método de Cross son los momentos de

empotramiento en cada uno de los apoyos de la losa.

Tramo AB:

Momento conocido en A = 0 Kg*mts

Tramo BC:

Momento en B = (Wl

) /12 = - (175*(3,20)

)/12 = 149,33 Kg*mts

Momento en C = -(Wl

) /12 = (175*(3,20)

)/12 = -149,33 Kg*mts

Tramo CD:

Para el Tramo CD tenemos los siguientes tres casos:

Caso 1:

LE-3 CASO 1

Momento en C = ((175*1,15

)/(12*5

))*(5

+(2*3,85*5)+(3*3,85

)) = 83,29

Kg*mts.

Momento en D = -((175*1,15

)/(12*5

))*((1,15*5)+(3*1,15*3,85)) = -14,68

Kg*mts.

L E -3 C A S O 2

Caso 2:

Momento en C = (300/(12*5

))*((4*5*((2,70+1,15)

-1,15

))-(3*((2,70+1,15)

-1,15

))) = 457,04 Kg*mts.

Momento en D = -(300/(12*5

))*((4*5*((1,15+2,70)

-1,15

))-(3*((1,15+2,70)

-1,15

))) = -457,04 Kg*mts.

Caso 3:

LE-3 CASO 3

Por simetría en este caso tenemos que:

Momento en C = 14,68 Kg*mts.

Momento en D = -83,29 Kg*mts.

Para tener los momentos totales sumamos algebraicamente las acciones en

cada apoyo:

APOYO C

APOYO D

CASO 1

83,29

-14,68

CASO 2

457,04

457,04

CASO 3

14,68

-83,29

TOTAL

555,01 Kg*mts

-555,01 Kg*mts

Tramo DE:

Momento en D = (Wl

) /12 = - (175*(3,20)

)/12 = 149,33 Kg*mts

Momento en E = -(Wl

) /12 = (175*(3,20)

)/12 = -149,33 Kg*mts

Tramo EF:

Momento en E = (Wl

) /8 = (175*(5,50)

)/8 = 661,72 Kg*mts

Momento conocido en F = 0 Kg*mts

En este momento para continuar con el método de Cross necesitamos

determinar la Inercia de la sección.

Si Tenemos que en un metro de ancho tenemos dos nervios de 10 cms cada

uno podemos suponer la sección siguiente para simplificar el cálculo de la

Inercia:

40 cms bo=20 cms

SECCION PARA EL CALCULO DE LA INERCIA

h=30 cms h−t=25 cms t=5 cms 40 cms b=100 cms

I=

(

)

De donde resulta que la Inercia es Igual a:

I = 83.333,33 cm

.

Modulo de Elasticidad del Concreto:

c F E=15000* ' Kg/cm2. 237.170,32 250 * 15000 = = E

EI = 1,9764 * 10

.

Rigidez de los miembros:

Momento Conocido en A, por lo tanto tenemos:

K

= 0,75*(I/L) = 0,75*(83.333,33/550) = 113,64 cm

.

Miembro BC:

K

= (I/L) = (83.333,33/320) = 260,42 cm

.

Miembro CD:

K

= (I/L) = (83.333,33/500) = 166,67 cm

.

Miembro DE:

K

= (I/L) = (83.333,33/320) = 260,42 cm

.

Miembro EF:

Momento Conocido en F, por lo tanto tenemos:

K

= 0,75*(I/L) = 0,75*(83.333,33/550) = 113,64 cm

.

Factor de Transporte:

Como la losa esta conformada por elementos de sección constante el factor de

transporte de todos los miembros es 0,50.

Factor de Giro o de Distribución en los Nodos:

FG = -K

/∑K

Nodo B:

FG

=-113,64/(113,64+260,42) = -0,3038

∑ = 1 OK.

FG

=-260,42/(113,64+260,42) = -0,6962

Nodo C:

FG

=-260,42/(260,42+166,67) = -0,6098

∑ = 1 OK.

FG

=-166,67/(260,42+166,67) = -0,3902

Nodo D:

FG

=-166,67/(260,42+166,67) = -0,3902

∑ = 1 OK.

FG

=-260,42/(260,42+166,67) = -0,6098

Nodo E:

FG

=-260,42/(113,64+260,42) = -0,6962

∑ = 1 OK.

FG

=-113,64/(113,64+260,42) = -0,3038

Determinados los momentos en los apoyos procedemos a determinar las

acciones internas de la estructura:

Tramo AB:

∑MB = 0=VA*5,5-175*5,5

/2+428,64 => VA= 403,32 Kg.

+↑∑Fy= -175*5,50 + 403,32 + VB => VB = 561,93 Kg.

Ecuación de Corte = V = -175X + 403,32

Si V= 0 Tenemos que X= 2,30 mts

Ecuación de Momento = (-175/2)X

+ 403,32X = 0

Si M= 0 Tenemos X1 = 0 y X2 = 4,61.

Punto de Inflexión = 5,50 – 4,61 = 0,89 m.

Estos son los puntos donde el momento es cero, el primer punto es al

comienzo y el según es el punto de inflexión donde el momento cambia de

positivo a negativo.

PI = 5,50 – 4,61 = 0,89 mts.

Si sabemos que el momento máximo es cuando el corte es cero, y se

determino que el corte es cero a 2, 30 mts, si sustituimos este valor de X en la

ecuación de momento tenemos que:

Mmax = 464,76 Kg*m

De esta forma tenemos determinadas las acciones internas en el tramo AB, si

continuamos con el tramo BC tenemos lo siguiente:

Tramo BC:

∑MC = 0=VB*3,20-175*3,2

/2-428,64+391,94 => VC= 291,47 Kg.

+↑∑Fy= -175*3,20 + 291,47 + VC => VC = 268,53 Kg.

Ecuación de Corte = V = -175X + 291,47

Si V= 0 Tenemos que X= 1,67 mts

Ecuación de Momento = (-175/2)X

+ 291,47X – 428,64 = 0

Con X = 1,67 mts Mmax = -185,91 Kg*m

Si M= 0 Tenemos X1 = ∞ y X2 = ∞.

Al ver el signo del momento máximo nos damos cuenta que el momento no

cambia de signo y lo confirmamos al ver que no tiene raíces reales la

ecuación de momento, esto quiere decir que la losa no cambia de el momento

de signo no tenemos punto de inflexión y debe ser armada en todo el tramo

con acero negativo.

C B

Curva de Momento Tramo BC:

Tramo CD:

∑MD =

0=VC*5,0-391,94-175*1,15*4,425-300*2,70*2,50-175*1,15*0,575+391,94 => VC= 606,25 Kg.

+↑∑Fy= 606,25-175*1,15*2 – 300*2,70 + VD => VD = 606,25 Kg.

Ecuaciones de Corte:

Tramo 1:

Ecuación de Corte:

V=-175X + 606,25 Si X=1,15 => V= 405 Kg.

Ecuación de Momento:

M= (-175/2)X

+606,25X-391,94

Si X= 1,15 => M= 189,65 Kg*m

Si M= 0 => X1= 0,72 m (Punto de Inflexión).

X2= 6,21 m (Sobre pasa el tramo).

Tramo 2:

V=-300X + 405 Si X=2,70 => V = -405 Kg.

Como se puede ver el corte cambia de signo en este tramo por lo tanto aquí

ocurre el momento máximo.

Si V=0 => X= 1,35 m.

Ecuación de Momento:

Si X= 2,70 => M= 189,65 Kg*m

Si X= 1,35 => M= 463,03 Kg*m

Tramo 3:

Ecuación de Corte:

V=-175X + 405 Si X=1,15 => V= -606,25 Kg.

Ecuación de Momento:

M= (-175/2)X

-405X+189,65

Si X= 1,15 => M= 391,94Kg*m

Si M= 0 => X1= -5,06 m (Valor negativo se descarta).

X2= 0,43 m (punto de Inflexión = 1,15 – 0,43 = 0,72).

Para los puntos de inflexión se debió tomar la acción conjunta de todas las

cargas actuantes, permanentes y variables, pero como en este caso la carga

permanente es una carga constante sobre la losa no afectara el resultado de los

puntos de inflexión y estos se mantendrán en la ubicación determinada.

Diagramas de Corte y Momento del Tramo:

Por simetría tenemos los valores de las acciones en los tramos DE y EF.

Determinadas las acciones en todos los tramos tenemos los siguientes valores

de la Losa por carga variable:

LE-3:

Del mismo modo determinamos las acciones por carga permanente y

obtenemos la siguiente tabla:

LE-3:

Ahora mayoramos las acciones y determinamos los momentos mayorados

para determinar el acero y los cortes para verificar el corte y calcular el

macizado:

Cortes Mayorados:

Apoyo A:

Vu= 1.2*VP + 1.6*VV = 1.2*1208+1.6*403.32= 2094.91 Kg.

Momento Positivo tramo AB:

Del mismo modo obtenemos los valores en los otros puntos y tenemos la

siguiente tabla:

Calculo del Acero:

Como recordaran los valores fueron obtenidos para una losa de un metro de

ancho, el valor del intereje de la losa es de 0,50 mts, por lo tanto debemos

multiplicar los valores de momento por esta distancia para obtener la acción

de momento en cada nervio.

Calculo del Acero Positivo:

Tramo AB:

Momento positivo máximo por metro = 2.390,02 Kg*mts

20 cms bo=10 cms SECCION DE UN NERVIO h=30 cms h−t=25 cms t=5 cms 20 cms b=50 cms

SECCION DEL NERVIO A DISEÑAR COMO VIGA RECTANGULAR

Mmax/nervio = 2.390,02 * 0,50 = 1.195,01 Kg*mts

Datos:

b = 0,10 mts = 10,0 cms.

d = 0,275 mts = 27,5 cms.

Fy = 4.200,00 Kg/cm2

f’c = 250,00 Kg/cm2

Porcentajes de aceros máximos y mínimos de la sección:

ρ

= β

*(0,85* f’c/Fy)*(6.300,00/(6.300,00+Fy))

ρ

en la norma nueva es lo que anteriormente se conocía como ρ

β

=0,85 (Para f’<= 280 Kg/cm

)

ρ

= 0,85*(0,85* 250/4200)*(6.300,00/(6.300,00+4200)) = 0,0258

ρ

= 0,75* ρ

(En zonas de elevado riesgo sísmico el valor ρ

= 0,5* ρ

)

ρ

= 0,0194

ρ

= 14/Fy => ρ

= 14/4200 = 0,0033

Cuantía mecánica:

ω = ρ*(Fy/f’c)

Se debe verificar que la sección trabaje simplemente armada para lo cual la

cuantía mecánica ω debe ser 0,18.

ω = 0,18

j

= 1 – (0,59*ω) = 1 – (0,59*0,18) => j

= 0,894

µ = 0,9*ω* j

= 0,1448

d’= √ (Mu/(µ*f’c*b)) = √ (119.501,00 Kg*cms/(0,1448*250Kg/cm2*10cms))

= 18,17 cms.

Para que la sección trabaje simplemente armada se debe cumplir que:

d’<=d

d’= 18,17 cms < 27,5 cms OK.

Ahora determinamos el área de acero necesaria para absorber los esfuerzos de

tracción que se presentan en la losa.

As = Mu/(Φ*Fy*j

*d )

As = 119.501,00 Kg*cms / (0,9*4200*0,894*27,5) = 1,29 cm

.

As

= (14/Fy)*b*d = (14/4200)*10*27,5 = 0,92 cm

.

As

= ρ

*b*d = 0,0194*10*27,5 = 5,34 cm

.

As

<= As

As

=> 0,92 < 1,29 <5,34 OK.

Ahora debemos verificar que la suposición de que el nervio trabaja como una

viga recta y no como una viga T es verdad:

ω

= ρ*(Fy/f’c) = (As/b*d) *(Fy/f’c)

Observen que para determinar el valor de ω

tomamos b que es el ancho total

de las alas en la parte superior es decir 50 cms y no bo, de allí tenemos que.

ω

= (1,29/50*27,5)*(4200/250) = 0,0158

Ku = ω/ (0,85*β

) = 0,0158/(0,85*0,85) = 0,0218

C = Ku*d = 0,0218 * 27,5 = 0,60 cm.

C = 0,60 cm. < t = 5 cm. OK El nervio trabaja como una viga recta.

De la misma manera determinamos el acero negativo en los apoyos.

Una vez que tenemos calculado los aceros verificamos la capacidad que tiene

el nervio de resistir los esfuerzos de corte.

Entonces tenemos que corte máximo actuante mayorado es el tramo AB

apoyo B que es igual al actuante en el tramo EF apoyo F:

V

= 2.947,49 Kg/mts.

Resistencia al corte del nervio:

V

= 1,1*0,53*(√ 250)*10cms*27,5cms = 2.534,96 Kg.

Este valor corresponde a la resistencia teórica al corte del concreto de un

nervio, si deseamos compararlo con el valor del corte actuante en la losa

debemos o llevar el corte actuante a un nervio o llevar el corte resistente a un

metro de ancho.

Vamos a llevar el corte actuante a un metro de ancho y esto lo hacemos

dividiendo lo entre la separación de nervios la cual es 0,50 mts.

Tenemos que:

V

= V

/S = 2.534,96 Kg./0,50 mts = 5.069,92 Kg/mts.

El corte de diseño es:

Entonces:

V

= Φ* V

= 0,85*5.069,92 Kg/mts = 4.309,43 Kg/mts.

Tenemos que:

V

= 2.947,49 Kg/mts. < V

= 4.309,43 Kg/mts. OK.

Es todos los apoyos se debe colocar un macizado mínimo de 10 cms como se

muestra en el detalle del corte transversal de una viga siguiente:

ZONA DE MACIZADO

min

10 cms

10 cms

min

bv

hv

hl

VIGA DE CARGA

Corte Transversal de la viga de carga:

No siempre se cumple que el corte actuante es menor que el corte de resistente

de diseño, esto ocurre con mucha frecuencia en losas de espesor bajo y cargas

actuantes altas como puede ser un deposito.

De manera ilustrativa asumiremos un corte actuante mayor que el

resistente y determinaremos el valor real del macizado requerido para ese

corte.

Supongamos un corte actuante de 5.000,00 Kg/mts.

Entonces:

V

= 5.000,00 Kg/mts.

V

= 4.309,43 Kg/mts. Se requiere macizado para

resistir el corte actuante.

Longitud macizado = (V

- V

)/w

Donde w es la carga actuante en el tramo supongamos 1.500, Kg/mts.

Lm = (5.000,00 – 4.309,43)/1.500,00 = 0,46 mts.

Este valor es desde el eje de la viga hasta el punto donde el nervio resiste el

corte por si solo, si suponemos un ancho de viga de 0,30 mts el macizado real

requerido será de:

Macizado = Lm – (b

/2) = 0,46 – (0,30/2) = 0,31 mts = 31 cms.

Corte Transversal de la viga de

carga

:

Ya analizada y diseñada la losa ejemplo anexamos los valores de las otras

losas analizadas por programa de calculo de losas IP-3 Losas. (Ver Anexos).

Ahora para terminar con el análisis de las losas procedemos a verificar la

deflexión en aquellas que tienen un espesor menor que el determinado usando

la tabla de espesores mínimos de la norma COVENIN.

Como recordaran las losas LP-6, LP-7, LE-7, LE-8, LE-6 y LE-7 son las que

cumplen con el espesor mínimo para que no sea necesario verificar la

deflexión.

Como la losa LP-7 es la que tiene las acciones mayores se verificara la flecha

en esta y si cumple las demás también cumplen.

De los anexos tenemos que:

Ma = 2.363,00 Kg*mts por efecto de la carga permanente. Ma = 1.875,00 Kg*mts por efecto de la carga variable. Mat = 2.363,00 + 1875,00 = 4.238,00 Kg*mts/mts As = 7,02 cm2/mts

Calculo de los valores para determinar la Flecha:

Igruesa = 83.333,33 cm4 (Valor determinado con anterioridad).

Ec = 237.170,32 Kg/ cm2 (Valor determinado con anterioridad). Es = 2,1 x 106 _{Kg/ cm}2_. fr = 2*√250 = 31,62 Kg/ cm2. yt = 30 cms / 2 = 15 cms. Mcr = (31,62 Kg/ cm2/ 15 cms) * 83.333,33 cm4 = 174.666,66 Kg*cms n = Es/Ec = 2,1 x 106 / 237.170,32 = 8,85 n*As = 8,85 * 7,02 = 62,13 cm2 Profundidad del eje neutro:

(b*t)*((t/2)+(c-t))+(bo*((c-t)*((c-t)/2) = n*As*(d-c) (100*5)*((5/2)+(c-5))+(20*((c-5)2/2) = 62,13*(27,5-c) => c = 5,26 cms Icr = ((b*t3)/3) + ((bo*(c-t)3)/3) + n*As*(d-c)2 = ((100*53)/3) + ((20*(5,26-5)3)/3) + 62,13*(27,5-5,26)2 = 34.897,38 cm4 Ie = ((174.666,66/423.800,00)3*83.333,33) + (1-(174.666,66/423.800,00)3)*34.897,38 = > Ie = 38.288,28 cm4 _{< I} gruesa = 83.333,33 cm4 OK: EI = 237.170,32 Kg/ cm2 * 38.288,28 cm4 = 9.080,84 x 106 Kg*cm2 La flecha para un elemento simplemente apoyado es:

∆ = (5wl4) / 384EI => ∆ = (5*11,30*5504) / 384*9.080,84 x106 = 1,48 cms La Flecha máxima instantánea permitida es:

En este punto debemos verificar la Flecha máxima diferida en el tiempo.

Si queremos calcular la flecha diferida a 5 o mas años debemos hacer lo siguiente:

Como es una losa sometida a momento positivo en el tramo no se considera acero por lo tanto:

λ = 2/(1+(50*0)) => λ = 2

∆maxdif = 2 * 1,48 cms = 2,96 cms mayor que 1,53 cms

Como se puede ver la flecha diferida no cumple con la máxima entonces debemos colocar acero negativo para poder disminuir la flecha a un valor permitido por la norma.

Si tenemos que:

λ*∆ <= 1,53 => λ<= 1,53/∆ => λ = 1,53/1,48 = 1,03

λ = ξ / ( 1+50ρ’) = 2/(1+50ρ’) => 1+50ρ’ = 2/1,03 => ρ’ = 0,0188 ρ’ = As’/bo*d => As’ = ρ’*bo*d => As’ = 0,0188*5*27,5 = 10,34 cm2.

Cada nervio debe tener 5, 17 cm2 de acero para que la flecha diferida este dentro de los valores permitidos por la norma.

De esta forma terminamos con el análisis y diseño de losas.

En los capítulos siguientes se estudiara el análisis de escaleras, tanques y pórticos pero no se hará tanto énfasis en el diseño ya que el procedimiento de diseño de acero y verificación de flechas es similar al de las losas.

4.2 Escaleras de Concreto Armado.

Al igual que con las losas lo primero que debemos hacer es determinar las

acciones que actúan sobre la escalera, pero para ello debemos conocer bien la

geometría de la misma ya que las acciones varían según la pendiente de la

escalera.

La pendiente ideal de la escalera es de 30

lo que es aproximadamente una

huella de 29 cms. y una contrahuella de 17 cms.

h

c tr

ί ί

Si tenemos que salvar una altura de 2,80 mts / 0,17 mts = 16,47 escalones,

pueden ser 16 o 17 escalones, si tomamos 17 escalones, este será de 16,47 cms

y si tomamos 16 escalones, este será de 17,5 cms, tomaremos este ultimo valor

por ser un numero mas exacto.

En cuanto a la huella tenemos que si la pendiente ideal es de 30

Tag ί = Tag (30º) =17,5/X entonces X = 17,5/ Tag (30º) = 30,31 cms

Tomamos los siguientes valores:

h = huella = 30 cms

c = contrahuella = 17,5 cms

Pendiente = atan (ί) = 17,5/30 = 30,2564

OK.

Los valores de huella y contrahuella generalmente son suministrados por el

Arquitecto.

tr = espesor de la losa tomaremos 20 cms

γ

= peso especifico del concreto = 2.500,00 Kg/m3

P

= Peso propio de la losa = P

= tr* (γ

/cos (ί))

P

= Peso propio del peldaño = P

= c*h* (γ

/2)*(1/h) = (c*γ

)/2

P

= P

+ P

= ((tr/cos (ί)) + (c/2))* γ

P

= Peso propio del acabado = (Peso acabado) * ((c+h)/h)

Peso acabado = 100 Kg/m

para granito

P

= Peso del friso de la rampa = (Peso del Friso)/( cos (ί))

Peso del Friso = 30 Kg/m

Tenemos entonces que:

P

= ((0,20/cos (30,2564

)) + (0,175/2))* 2.500,00 = 797,60 Kg/ m2

P

= 100 * ((0,175+0,30)/0,30) = 158,33 Kg/m2

P

= 30*/( cos (30,2564

)) = 34,73 Kg/m2

Cp = Carga permanente = 797,60 + 158,33 + 34,73 = 990,66 Kg/m2

Cv = Carga variable = 300 Kg/m2 (Ver Tabla de cargas variables)

Cu = 1,2*990,66 +1,6*300 = 1.668,79 Kg/m2

Descanso:

Cp

= (0,20*2500)+100*30 = 630 Kg/m2

Cv = Carga variable = 300 Kg/m2 (Ver Tabla de cargas variables)

Cu = 1,2*630+1,6*300 = 1236,00 Kg/m2

Con estos valores y por el método de distribución de momentos o Cross

resolvemos la estructura y procedemos a diseñar la losa maciza de la siguiente

forma.

Los valores de las acciones se determinaron por el programa IP-3 arrojando

los siguientes resultados:

Rampa y descanso inicial:

Acero mínimo = ρ*b*d = 0,0018*100*17,5 = 3,15 cm2/mts.

As= Mu/(Φ*ju*d*Fy)

Sabemos que ju siempre tiene un valor cercano a 0,9 y el valor de Φ es 0,9

podemos escribir la ecuación de acero de la siguiente forma:

As= Mu/(0,9

*d*Fy) => As= Mu/(0,81*d*Fy)

Acero positivo:

As

= Mu/(0,81*d*Fy) = 78.200,00/(0,81*17,5*4.200,00) = 1,32 cm2/mts

Acero Negativo:

As

= Mu/(0,81*d*Fy) = 70.200,00/(0,81*17,5*4.200,00) = 1,18 cm2/mts

Como se puede ver los valores de acero determinados son menores que el

acero mínimo, por lo tanto la escalera se arma con esta cantidad de acero.

Por simetría obtenemos los valores de la otra rampa.

La escalera tiene un tramo de descanso que no esta conectada a la rampa y

debemos verificar el acero de este tramo.

Como el procedimiento de cálculo y diseño es similar colocamos los valores

obtenidos por el programa IP-3 Losas.

Al igual que con la rampa el valor del acero determinado es menor que el

acero mínimo, por lo tanto se arma con esta cantidad de acero.

De los datos obtenidos del programa IP-3 tenemos los siguientes valores

máximos de corte:

Para la escalera V

= 1.474,00 Kg

Para el descanso V

= 865,00 Kg

V

= 0,53*(√ 250)*100cms*17,5cms = 14.665,06 Kg.

V

= Φ* V

= 0,85 * 14.665,06 Kg = 12.465,30 Kg.

Como se ve el corte de diseño para el concreto es mayor que los cortes

actuantes, por lo tanto:

Podemos ver que no es necesaria la colocación de acero perpendicular al eje

de la escalera para adsorber los esfuerzos de corte.

4.3 Tanque Subterráneo de Concreto Armado.

Otro elemento a ser diseño en los edificios son los tanques tanto el elevado

como el subterráneo.

Para este curso se determinaran las acciones actuantes sobre el tanque

subterráneo por ser el mas complejo, las acciones sobre el tanque elevado se

determinan de forma similar considerando la presión del viento en vez del

empuje de tierra.

Para el diseño del tanque de almacenamiento de agua debemos tener las

dimensiones, estas dimensiones deben ser aportadas por el ingeniero sanitario

que fue responsable del diseño de las instalaciones sanitarias del edificio,

también se deben tener las características de la tierra donde estará enterrado,

este dato es dado por el ingeniero geotécnico responsable del estudio de suelo.

Los profesionales aportaron los siguientes datos:

Dimensiones del tanque: ( Inclusive espesor de pared).

Lados = 5 x 5 mts

Alto = 3 mts

γ

= 1.900,00 Kg/m

(Peso especifico)

Φ = 30º (Angulo de Fricción Interna)

Sobre carga para áreas publicas = 300 Kg/m

Se diseñara el tanque con los siguientes espesores en sus elementos:

Paredes y tapa = 20 cms

Para el análisis y diseño del tanque tomamos una franja horizontal y otra

vertical y lo idealizamos.

Si tomamos una de las franjas tenemos el siguiente corte:

Para el análisis del tanque tomamos la siguiente aproximación aprovechado la

simetría del mismo:

El tanque estará sometido al efecto tanto de acciones externas como de acciones internas, es mas sencillo analizar por separado las acciones externas y las internas y luego superponerlas para ver cual es la condición mas desfavorable, si el tanque lleno o el tanque vació.

Acciones Externas:

Calculo de las acciones:

Peso de Tapa = 5*5*0,20*2500 = 12.500,00 Kg

W

= (1,2*(12.500,00/(5*5))) + (1,5*500) = 1.400,00 Kg/m2

Peso Paredes = 5*3*0,20*2500 = 7.500,00 Kg

Peso Fondo = 5*5*0,25*2500 = 15.625,00 Kg

R

= (1,2*((4*7.500,00) + 12.500,00 + 15.625,00)/(5*5)) + 1,6*500 =

3.590,00 Kg/m2

Ka = tg

(45º - (Φ/2)) = tg

(45º - (20º/2)) = 0,3333

P1 = 1,6*Wv*Ka = 1,6*500*0,3333 = 266,67 Kg/m2

P2 = 1,6*(γ

*H + Wv)*Ka = 1,6*(1.900,00*3 + 500)*0,3333 =

3.306,34 Kg/m2

Como se puede ver el factor de mayoracion para la tierra es el mismo que para

la carga variable 1,6

Aplicando el método de Cross obtenemos los momentos en los nodos y con el

despiece de los elementos obtenemos los siguientes valores de momentos y

cortes:

Ahora analizamos el efecto del agua cuando el tanque esta lleno, con el tanque lleno de agua tenemos las siguientes acciones:

P1 = 0,00 (El tanque no se llena completo de agua y generalmente se deja una

cámara de aire de 50 cms).

P2 = 1,2*γ

*H = 1,2*1.000,00*2,50 = 3.000,00 Kg/m2

W

= 1,2*γ

*H = 1,2*1.000,00*2,50 = 3.000,00 Kg/m2

Se puede ver que para el agua usamos como factor de mayoracion 1,2 que es

el mismo que para la carga permanente, esto es ya que al igual que en el caso

de la losa cuando se estima el valor del acabado es un elemento del que se

conoce su peso específico a ciencia cierta.

Aplicando el método de Cross obtenemos los momentos en los nodos y con el

despiece de los elementos obtenemos los siguientes valores de momentos y

cortes:

Ya obtenidos los momentos y los cortes tanto por el efecto de las acciones externas del tanque (Peso propio, Empuje de Tierra y Carga Variable) y la acción interna del agua superponemos ambas acciones y vemos de las tres cual es la mas desfavorable y con esa diseñamos el acero por flexión y por corte de las paredes, de la tapa y del piso del tanque.

En el siguiente grafico resumimos los valores de los momentos y los cortes máximos que el tanque debe soportar, y con estos valores diseñamos el acero.

4.4 Predimensionado de Columnas y Vigas:

Como es sabido los pórticos de los edificios son estructuras Hiperestaticas y para poder analizar este tipo de estructuras es necesario conocer las dimensiones de sus elementos, por lo tanto debemos estimar sus dimensiones.

Un buen predimensionamiento de columnas y vigas es fundamental, ya que de esta valor parte todo el cálculo de la edificación y si este valor no es el apropiado se debe repetir todo el cálculo de nuevo una y otra vez hasta que el edificio cumpla con todas las condiciones de seguridad.

4.4.1 Predimensionado de Columnas:

Para este curso predimensionaremos la columnas B2 y tomaremos estas dimensiones para todas las columnas, pero como se menciono en el predimensionamiento de vigas en un proyecto hay que predimensionarlas todas ya que las cargas que soportan no son iguales en todas las columnas.

Lo primero que debemos saber es lo que nos dice la norma sobre los requisitos mínimos geométricos de las columnas:

Como se puede ver la dimensión mínima de una columna debe ser 30 cms y su relación entre la dimensión menor y la mayor en el caso de columnas rectangulares no debe ser menor a 0,4

Para el presente curso tomaremos columnas cuadras y partiremos de la menor que es de 0,30 por 0,30 lo que nos da una relación de la menor y lado mayor de 1.

NIVEL AREA TRIBUTARIA WP Kg WP SERVICIO WP ULTIMA WV Kg WV SERVICIO WV ULTIMA TOTAL Kg ACUMULADO Kg Azotea 20.10 385.00 7,738.50 9,286.20 100.00 2,010.00 3,216.00 12,502.20 12,502.20 7 20.10 530.00 10,653.00 12,783.60 175.00 3,517.50 5,628.00 18,411.60 30,913.80 6 20.10 530.00 10,653.00 12,783.60 175.00 3,517.50 5,628.00 18,411.60 49,325.40 5 20.10 530.00 10,653.00 12,783.60 175.00 3,517.50 5,628.00 18,411.60 67,737.00 4 20.10 530.00 10,653.00 12,783.60 175.00 3,517.50 5,628.00 18,411.60 86,148.60 3 20.10 530.00 10,653.00 12,783.60 175.00 3,517.50 5,628.00 18,411.60 104,560.20 2 20.10 530.00 10,653.00 12,783.60 175.00 3,517.50 5,628.00 18,411.60 122,971.80 1 20.10 530.00 10,653.00 12,783.60 175.00 3,517.50 5,628.00 18,411.60 141,383.40 PB 20.10 630.00 12,663.00 15,195.60 175.00 3,517.50 5,628.00 20,823.60 162,207.00

Si sabemos que la columna B2 tiene un área tributaria igual 20,10 m2 y que esta área queda completamente dentro de un apartamento tenemos la siguiente tabla de cargas de la columna B2:

Como se puede ver las cargas axiales sobre la columna van aumentando a medida que vamos bajando en el edificio, por lo tanto las columnas superiores serán de menor dimensión que las superiores.

Desde el punto de vista constructivo es impractico cambiar las dimensiones de las columnas nivel por nivel, por lo tanto se estila cambiar las dimensiones de las mismas aproximadamente cada tres pisos.

Entonces tendremos los siguientes grupos de columnas: Azotea, 7 y 6 Carga de calculo = 49.325,40 Kg

5, 4 y 3 Carga de calculo = 104.560,20 Kg 2, 1 y PB. Carga de calculo = 162.207,00 Kg Predimensionado:

Área columna = Pu/(α*f’c) Donde: Pu = Carga Axial sobre la columna. α = 0,20 para columnas esquineras. α = 0,25 para columnas de borde. α = 0,28 para columnas centrales. f’c = Resistencia del concreto.

COLUMNA NIVEL Pu KG α f'c Kg/cm2 AREA COLUMNA cm2 AZOTEA,7,6 49,325.40 0.28 250.00 704.65 5,4,3 104,650.20 0.28 250.00 1,495.00 2,1,PB 162,207.00 0.28 250.00 2,317.24

Como la columna será cuadrada tenemos que: Área de columna = b*t , pero b = t entonces:

Área de columna = b*b = b2 entonces b = √Area de Columna Entonces tenemos que:

COLUMNA NIVEL AREA REQUERIDA cm2 b cms b cms AREA COLUMNA cm2 AZOTEA,7,6 704.65 26.55 30.00 900.00 5,4,3 1,495.00 38.67 40.00 1,600.00 2,1,PB 2,317.24 48.14 50.00 2,500.00

Ahora sabemos que la norma nos dice que:

El porcentaje de acero ρ debe estar entre 1% y 8% (6% en zonas sísmicas) y sabemos que: ρ= As/Ag

Tomando un valor de ρ = 1,5% (Considerando que todavía falta el análisis sísmico) Tenemos que: COLUMNA NIVEL AREA COLUMNA cm2 ρ As cm2 BARRAS DE ACERO As cm2 AZOTEA,7,6 900.00 0.015 13.50 8 Φ 5/8" 15.84 5,4,3 1,600.00 0.015 24.00 4 Φ 3/4" + 4 Φ 7/8" 26.84 2,1,PB 2,500.00 0.015 37.50 8 Φ 1" 40.56

La norma 1753-2006 nos dice que: La separación será: S= (b-(2*r+2*dl+#b1*db1+#b2*db2+#bi*dbi))/#espacios Columnas Azotea, 7 y 6: S = (30-(2*2,5+2*0,953+3*1,588))/2 = 9,17 cms Smin = 1,5*db = 1,5*1,588 = 2,37 cms => 4 cms < 9,17 cms OK. Columna 5, 4 y 3: S = (40-(2*2,5+2*0,953+2*2,222+1*1,905))/2 = 13,37 cms Smin = 1,5*db = 1,5*2,222 = 3,33 cms => 4 cms < 13,37 cms OK.

Columna 2, 1 y PB:

S = (50-(2*2,5+2*0,953+3*2,54))/2 = 17,74 cms

Smin = 1,5*db = 1,5*2,54 = 3,81 cms => 4 cms < 17,74 cms OK. La norma 1753-2006 nos dice:

Donde A es el área gruesa de la columna, Ast es el área de acero de refuerzo de la columna y Φ es el factor de reduccion que es 0,65.

Como la columna es cuadrada usaremos la formula para miembros con ligaduras.

Entonces tenemos que: Columnas Azotea, 7 y 6:

ΦNumax=0,80*0,65*((0,85*250*(900-15,84))+(4200*15,84))= 132.294,24 Kg

Pu = 49.325,40 Kg. Pu< ΦNumax OK.

Columnas 5, 4 y 3:

ΦNumax=0,80*0,65*((0,85*250*(1600-26,84))+(4200*26,84))= 232.452,74 Kg

Pu = 104.650,20 Kg. Pu< ΦNumax OK.

Columnas 2, 1 y PB:

ΦNumax=0,80*0,65*((0,85*250*(2500-40,56))+(4200*40,56))= 360.351,16 Kg

Pu = 162.207,00 Kg. Pu< ΦNumax OK.

Estos son los valores de las cargas máximas que soportan las columnas sin considerara esbeltez.

El siguiente paso es verificar que la transición de una columna de mayor tamaño a una de menor tamaño cumple con la pendiente mínima para el doblado de las barras de acero: La norma 1753-2006 nos dice que:

De donde tenemos que: hv >= 3*(tci-2*dbs-tcs)+10 hv(2-3) >= 3*(50+2*2,22-40)+10 >= 53,32 cms hv(5-6) >= 3*(40+2*1,58-30)+10 >= 49,48 cms 4.4.2 Predimensionado de Vigas:

Ya conocidas las reacciones de la losa sobre la viga, tenemos un valor de partida para el predimensionamiento de la vigas, para este curso analizaremos el pórtico de carga B, predimensionaremos el nivel planta baja y tomaremos este valor para todas las vigas de carga de ese nivel y de los demás.

En un proyecto se deben predimensionar las vigas en todos los niveles donde las acciones sean diferentes, esto es ya que en un proyecto no solo es necesario un buen análisis estructural en cuanto a la seguridad sino que también es necesario optimizar las dimensiones de los elementos para que sean seguros y económicos.

Al igual que con las columnas lo primero que debemos saber que nos dice la norma 1753-2006 sobre los requisitos geometricos de las vigas:

Como se puede ver el ancho mínimo de las vigas es de 25 cms y no puede ser mas ancha que la columna y la relación ancho/altura debe ser mayor o igual a 0,3.

De los análisis de las losas tenemos:

N IV L E P B : V IG A B (3 -1 )

3 2 1

Sin recordamos la tabla 9.6.1 de la norma tenemos que la altura mínima de las vigas para no verificar flecha es:

Volado = H = L/8 => H = 170/8 = 21,25 cms

Para 3,50 mts no se estudia ya que es la misma condición que para 5,70 mts y dará una altura menor.

Como se ve la altura mínima de la viga debe ser de 27,14 cms, pero si tenemos que el ancho mínimo es de 25 cms y la relación anchura/altura en su sección transversal debe ser mayor o igual a 0,3, entonces:

25/27,14 = 0,92 OK.

Ahora debemos verificar que la altura útil d cumpla con la determinada. Si H= 27,14 cms entonces d= 24,64 cms.

Si aplicamos un Cross determinamos que los valores máximos de momentos ocurren en el tramo 2-1

Momento Máximo Negativo = 12.977,00 Kg*mts (Apoyo 2) Momento Máximo Positivo = 13.655,00 Kg*mts

Con este valor de Momento Positivo Máximo tenemos que: Si w=0,18 (Para que la viga sea simplemente armada) Ju = 1-0,59*w => Ju = 0,894

µ= 0,9*w*Ju => µ= 0,1448

d’= √(Mu)/(µ*f’c*b) = √(1.365.500,00 Kg*cms)/(0,1448*250*25) => d’= 38,84 cms d’>= d => 38,84 >= 24,64 NO CUMPLE

Por lo tanto para un ancho de viga de 25 cms y un momento actuante de 13.655,00Kg*mts el valor de “d “debería ser por lo menos de 38,84 cms por lo tanto el valor de H debería ser de 41,34 cms para un recubrimiento de 2,5 cms.

Ahora sabemos que para poder mantener la transición de las columnas con una pendiente igual a 1:6 las vigas del piso 2 deben ser mayores o iguales a 53,32 cms y las del piso 5 mayores o iguales a 49,48 cms.

Como estos valores son los que están dominando tenemos entonces que las vigas serán de: Ancho = 25 cms

Alto = 55 cms

Relación Ancho/Alto = 25/55 = 0,45 >0,3 OK.

Para los pórticos de amarre tomaremos el valor mínimo que luego de analizarla de la misma forma nos da:

Ancho = 25 cms Alto = 30 cms.

Ya prediemnsionado las columnas y las vigas procedemos al análisis y diseño de los elementos en conjunto.

4.5.- Cargas Horizontales

4.5.1.- Cargas Horizontales de Viento:

En las edificaciones de concreto generalmente el viento no tiene un efecto considerable, pero es necesario determinar la magnitud de este efecto por lo tanto se debe calcular el valor de las fuerzas que por viento resistirá la estructura.

Sabemos que el edificio es uniforme y será construido en la Ciudad de Maracaibo, por ende estará rodeado de otros edificios.

Según la norma COVENIN 2003-1989 EFECTOS DEL VIENTO SOBRE LAS CONSTRUCCIONES tenemos que:

Clasificación Según Uso = Grupo B ( Item 4.1 de la Norma) Factor de Importancia Eolica α = 1 (Tabla 4.1.2 de la Norma)

Velocidad del Viento Maracaibo = 96 Km/H (Tabla 5.1 de la Norma)

Tipo de Exposición de Sistemas Resistentes al Viento = A (Item 5.2 de la Norma) Altura Total del Edificio = 28 mts

Tipo de Exposición de Componentes y Cerramientos = B (Tabla 5.3.2 de la Norma) Longitud Lado mayor de la edificación = 22,80 mts

Longitud Lado menor de la edificación = 12,60 mts Relación de Esbeltez = h/L = 28,00/12,60 = 2,22

Para el cálculo analizaremos el viento soplando en dirección x por lo tanto tenemos que: Longitud del Lado en dirección del viento = 22,80 mts

En un proyecto debemos analizar primero el viento soplando en una dirección y luego en la otra para ver cual es más desfavorable para la edificación.

Lo primero que debemos hacer es determinar el periodo fundamental de la edificación: En el apéndice B de la Norma Covenin 2003-1989 tenemos que el periodo fundamental de la edificacacion es:

Como podrán ver no hay forma de determinar en este momento el periodo fundamental de la edificación por la formula anterior, ya que todavía no se tienen los desplazamientos laterales de la estructura.

La misma norma 2003-1989 en el apéndice C tenemos un ejemplo del cálculo de acciones del viento den una edificación de más de 20 mts y determinan el periodo fundamental de la edificación por la formula propuesta en la norma

Covenin 1756-01 Edificaciones

Sismorresistentes, la cual en su artículo:

Entonces tenemos que: Ta= 0,07*(28)0,75= 0,85 seg.

Con este valor de periodo fundamental tenemos según la norma 2003-1989 que: Clasificación según las características de respuesta Tipo I (Item 4.2 de la norma).

De la tabla 6.2.3 tenemos que: β = 3

Zg = 460

Para fachadas a sotavento tenemos: Kh = 2,58*(28/460)2/3 = 0,3992 La presión dinámica será:

qh= 0,00485*Kh*α*V2= 0,00485*0,3992*1*962= 17,84 Kg/m2

Para las fachadas a Barlovento la presión dinámica varia con la altura, entonces tenemos los siguientes valores: Z (mts) Kz qz (Kg/m2) 0-4.50 0.11801109 5.27 5.60 0.13653369 6.10 8.40 0.17890975 8.00 11.20 0.21673373 9.69 14.00 0.25149721 11.24 16.80 0.28400153 12.69 19.60 0.31473995 14.07 22.40 0.34404335 15.38 25.20 0.37214728 16.63 28.00 0.39922694 17.84

δh= (2,35*√0,025)/(28/9)1/3= 0,2545

Gh= 0,65 + (3,65*0,2545) = 1,58

Para el cálculo de la presión tenemos determinados los valores de la presión dinámica q y el valor del factor de respuesta ante ráfagas Gh.

Relación L/b = 22,80/12,60 = 1,81 Entonces tenemos que Cp es: Para Barlovento Cp = 0,80 Para Sotavento Cp = -0,3

Ya tenemos todos los valores para determinar la presión dinámica. La presión dinámica a sotavento resulta:

Ph = 17,84*1,58*(-0,3) = -8,46 Kg/m2

La presión a Barlovento Varia con la altura ya que Kz varía con ella y por ende la presión dinámica varía. Z (mts) Kz (Kg/m2) qz Gh Cp Pz (Kg/m2) 0-4.50 0.11801109 5.27 1.58 0.80 6.67 5.60 0.13653369 6.10 1.58 0.80 7.71 8.40 0.17890975 8.00 1.58 0.80 10.11 11.20 0.21673373 9.69 1.58 0.80 12.24 14.00 0.25149721 11.24 1.58 0.80 14.21 16.80 0.28400153 12.69 1.58 0.80 16.05 19.60 0.31473995 14.07 1.58 0.80 17.78 22.40 0.34404335 15.38 1.58 0.80 19.44 25.20 0.37214728 16.63 1.58 0.80 21.03 28.00 0.39922694 17.84 1.58 0.80 22.56

La presión total sobre cada nivel de la estructura será:

Z (mts) (Kg/m2) Pz (Kg/m2) Ph P >= 30 (Kg/m2) P Definitiva (Kg/m2) 4.50 6.67 -8.46 15.13 30.00 5.60 7.71 -8.46 16.17 30.00 8.40 10.11 -8.46 18.57 30.00 11.20 12.24 -8.46 20.70 30.00 14.00 14.21 -8.46 22.67 30.00 16.80 16.05 -8.46 24.51 30.00 19.60 17.78 -8.46 26.24 30.00 22.40 19.44 -8.46 27.90 30.00 25.20 21.03 -8.46 29.49 30.00 28.00 22.56 -8.46 31.02 31.02

Ahora la fuerza sobre el edificio será la siguiente: ∆z (m) (m) b (m2) Az P Definitiva (Kg/m2) F (Kg) 1.40 12.60 17.64 30.00 529.20 3.10 12.60 39.06 30.00 1,171.80 2.50 12.60 31.50 30.00 945.00 2.80 12.60 35.28 30.00 1,058.40 2.80 12.60 35.28 30.00 1,058.40 2.80 12.60 35.28 30.00 1,058.40 2.80 12.60 35.28 30.00 1,058.40 2.80 12.60 35.28 30.00 1,058.40 2.80 12.60 35.28 30.00 1,058.40 2.80 12.60 35.28 30.00 1,058.40 1.40 12.60 17.64 31.02 547.11 W = (Kg)) 10,601.91

Ya calcula la fuerza actuante sobre la estructura por efecto del viento, debemos verificar que una ráfaga de viento de velocidad como la establecida en la norma no produzca un volcamiento del edificio.

W*= W/h = 10.691,21 Kg/28 mts = 381,82 Kg/mts (Resultante promedio de la acción del viento sobre la cara en la que esta actuando).

Momento de Volcamiento = Mv:

Mv = (W**h2)/2 = (381,82 Kg/mts*(28 mts)2)/2 = 149.673,44 Kg*mts Momento equilibrante = Me:

El momento equilibrante es aquel que contrarresta el efecto de volcamiento del viento sobre el edificio por parte de la estructura del mismo.

Para determinar el momento de volcamiento tomamos en cuenta solamente la carga permanente, ya que esta será la carga que actúa siempre sobre la estructura, la carga variable nos da un factor se seguridad mas alto sobre el posible volcamiento producido por el viento.

Peso propio del edificio por piso:

NIVEL _{Wp losa área Wp losa} Wp _{columnas Wp vigas} Wp _{escalera Wp total} Techo Esca. 335,00 27,00 9.045,00 2.520,00 3.893,00 0,00 15.458,00 Azotea 385,00 231,51 89.131,35 11.340,00 32.925,00 6.775,00 140.171,35 7 530,00 231,51 122.700,30 11.340,00 32.925,00 6.775,00 173.740,30 6 530,00 231,51 122.700,30 11.340,00 32.925,00 6.775,00 173.740,30 5 530,00 231,51 122.700,30 20.160,00 32.925,00 6.775,00 182.560,30 4 530,00 231,51 122.700,30 20.160,00 32.925,00 6.775,00 182.560,30 3 530,00 231,51 122.700,30 20.160,00 32.925,00 6.775,00 182.560,30 2 530,00 231,51 122.700,30 31.500,00 32.925,00 6.775,00 193.900,30 1 530,00 231,51 122.700,30 31.500,00 32.925,00 6.775,00 193.900,30 PB 630,00 231,51 145.851,30 31.500,00 32.925,00 6.775,00 217.051,30 Wp total (Kg) 1.655.642,75 Me = (Wp total * b)/2 = Me = (1.655.642,75*22,8)/2 = 18.874.327,35 Kg*mts Factor de Seguridad al Volcamiento = Fsv = Me/Mv

Fsv = 18.874.327,35 Kg*mts/149.673,44 Kg*mts = 126,10 >= 1 OK.

Generalmente en los edificios de concreto no hace falta verificar los efectos de viento ya que estas estructuras son muy pesadas y su propia masa contrarresta el efecto del viento. Cuando se efectúa un análisis por viento las columnas exteriores por efecto del volcamiento son sometidas a una fuerza axial adicional y esta será igual a:

N=Mv/L

N= 149.673,44 Kg*mts/22,80 mts = 6.564,62 Kg

Esta fuerza habría que agregarcelas a las columnas exteriores al momento de diseñarlas. En sitios con acciones de viento similares a los tornados o si la edificación es muy alta es conveniente comprobar siempre el efecto que produce el viento sobre la estructura indistintamente que sea de concreto o de acero.

Ya determinadas las acciones del viento sobre los elementos resistentes, procedemos a determinar el efecto del viento sobre los componentes y los cerramientos.

Este valor es importante en los casos de edificios con techos que no son de concreto en alguno de sus niveles y para saber a que fuerzas estarán sometidas las ventanas y pantallas y poder saber la resistencia que deberán tener las mismas.

La impermeabilidad de las diferentes caras del edificio es: Caras a Barlovento y Sotavento a la dirección del Viento: Si las ventanas son de 1 mts por 1 mts tenemos que:

Permeabilidad = (2ventanas*8pisos*1mts*1mts)/((12,60*25,20)+(3,90*2,80)) = 0,0487 De la misma forma sacamos la permeabilidad de la fachada principal y de la posterior, obteniendo los siguientes valores:

Fachada Principal: Permeabilidad = 0,20

Fachada Posterior: Permeabilidad = 0,0424

Como se puede ver la suma de las fachadas a Barlovento, Sotavento y posterior es de 0,1398, siendo la diferencia con la fachada principal de 0,0602 que es una diferencia mayor al 10% de la suma de las permeabilidades y teniendo en cuenta que ninguna sobrepasa individualmente el valor de 0,20 tenemos entonces que:

Como se puede ver el valor de GCpe es por Zonas por lo tanto debemos determinar en nuestro edificio dichas zonas.

El valor de a será 0,05*b1 ya que b1 es menor que h entonces: a = 0,05 * 12,60 = 0,63 mts.