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Brousseau. Guy
Iniciaei6n al estudio de la teoria de las situaeiones didcktieas - 1a ed. - Buenos Aires: Libros del Zorzal, 2007.
128 p. ; 21x14 em.
Tradueido por: Dilma Fregona ISBN 978-987-599-035-7
1. Metodos de Ensenanza. I. Fregona, Dilma, trad. II. Titulo CDD 371.3
INDICE
PRO LOGO ...•... 7 INTRODUCCION ...•. 11
Orfgenes de la teorfa de las situaciones 13
A.LA MODELIZACION DE LAS SITUACIONES EN DIDACTICA ...•. 17
1. Las situaciones 17
2. Una primera aproximaci6n a la clasificaci6n de las situaciones didacticas 20 3. Tipologfa de las situaciones en didactica 23 4. Situaci6n didactica, situaci6n adidactica, situaci6n
fundamental 30
5. La adaptaci6n de las situaciones a los alumnos: la
optimizaci6n 39
6. La adaptaci6n de los alumnos alas situaciones: los saltosylos obstaculos 40 7. Resultados y primeras conclusiones 47
B. LA TEORfA DE LAS SITUACIONES DIDACTICAS ...•. 49
1. Modelizaci6n de la ensenanza 49 2. Las difusiones de los conocimientos sin intenci6n
didactica 56
3. Los contratos debilmente didacticos que se ocupan de un saber "nuevo" 59
©Libros del Zorzal, 2007 Buenos Aires, Argentina
Libros del Zorzal Printed in Argentina
Hecho el deposito que previene la ley 11.723
Parasugerencias 0comentarios acerca del contenido de
fniciaci6n af estudio de fa teoria de fas situaciones did,kticas,
escribanos a:
4. Estudio te6rico del contrato didactico 68 5. Algunos efectos del contrato didactico 74 C. LAs SITUACIONES DIDA.CTICAS: COMPONENTES Y ESTRATEGlAS ... 85
1. Componente esencial del contrato didactico: la
de-voluci6n 85
2. La institucionalizaci6n: otra componente esenc.ial 96 3. Las estrategias fuertemente didacticas que tratan un
saber "nuevo" 99
4. Contratos basados en la transformaci6n de los
sabe-res "antiguos" 107
5. Los efectos de las refonnas a largo plaza 110
CONCLUSl6N 113
En los ultimos aiios, el nombre de Guy Brousseau se asocia a la enseiianza de la matematica, tanto en la formacion de alumnos de diferentes niveles de escolaridad como de pro-fesores de matematica. En America Latina, en particular, su obra comenzo a difundirse a partir de los aiios 80, a traves de espacios de interaccion entre estudiantes e investigado-res de diferentes pafses y la comunidad francesa de didacti-ca de la matematididacti-ca.
Sin embargo, la produccion original de Brousseau habfa comenzado al menos una decada atras. Desde los aiios 70, en Francia se 10 reconoce como uno de los principales in-vestigadores del campo -entonces nuevo- de la didactica de la matematica. Su contribucion teorica esencial es Lateorla
de Las situaciones didacticas, iniciada en un momenta en
que la vision dominante sobre la enseiianza y el aprendizaje de la matematica era una vision cognitiva, fuertemente in-f1uenciada por la epistemologfa piagetiana. La teorfa de las situaciones propuso otro enfoque: el de una construccion que permite comprender las interacciones sociales entre alumnos, docentes y saberes matematicos que se dan en una cIase y condicionan 10 que los alumnos aprenden y como
10 aprenden. Esta construccion fue un trabajo colectivo en
el que participaron investigadores, estudiantes de grade y
postgrado, docentes y tambien alumnos de distintos niveles
de escolaridad.
Podemos hallar una primera version de algunas de las
nociones basicas de esta teorfa en un artfculo publicado en
1970 porIa revista de la Asociacion de Profesores de
Mate-mMica de la Ensefianza Publica (APMEP) de Francia. Allf,
Brousseau formula los primeros resultados de sus
reflexio-nes sobre el aprendizaje y la ensefianza de la matemMica,
sobre la base de su propia experiencia como maestro rural
en una pequefia escuela de "clase unica" y de sus estudios
universitarios de matematica y psicologfa.
En 1972, dentro del marco del Instituto de
Investiga-cion en Ensefianza de la MatemMica (IREM) de la
Uni-versidad de Bordeaux, creo una institucion original: el
Centro para la Observacion e Investigacion en Ensefianza
de la MatemMica (COREM). EI centro, montado en un
establecimiento publico -Ia Escuela Jules Michelet de
Ta-lence-, era un laboratorioque
permitfa observar a
docen-tes y alumnos en sus interacciones en clase y desplegar
experiencias de ensefianza desarrolladas y llevadas a cabo
pOl' el trabajo conjunto de personas vinculadas al IREM
-investigadores
y estudiantes de los postgrados en
didac-tica de la matemadidac-tica de la Universidad de Bordeaux- y
docentes de la escuela. Brousseau dirigio el centro durante
mas de 25 afios. En ese ambito y con la colaboracion de
numerosas personas, realizo una investigacion
fundamen-tal -y tambien experimenfundamen-tal-
ligada a la ensefianza
efecti-va de la matemMica.
En el afio 2003, el Prof. Brousseau fue galardonado con
la primera medalla Felix Klein, otorgada porIa Comision
Internacional de Instruccion MatemMica. Dicha medalla
re-conoce la contribucion esencial de sus aportes al desarrollo
de la didactica de las matematicas como area de
investiga-cion y recompensa 10s esfuerzos permanentes que realizo
durante mas de cuarenta afios para que sus investigaciones
contribuyeran al mejoramiento de la formacion matemMica
tanto de alumnos como de profesores.
En los ultimos afios, una publicacion de Kluwer
di-vulgo 10s articulos fundamentales
de la teorla de
situa-ciones en el mundo anglosajon, mediante la traduccion al
ingles de los principales artfculos del Prof. Brousseau de
los afios 70 y 90. Despues de 1990, otros textos, artfculos
y conferencias precisaron, ampliaron y a veces modificaron
el cuerpo de la teorfa.
EI texto que aquf presentamos -que sigue siendo
fun-damental para comprender la teoria- es la traducci6n de
un curso dictado por Brousseau en el ano 1997, cuando
la Universidad de Montreal Ie otorgo el titulo de Doctor
Honoris Causa. Conservamos la primera persona del
sin-gular, como discurso pronunciado por el autor, e
inclui-mos en nota al pie numerosas referencias bibliograficas.
Lamentablemente,
muy pocos de esos materiales estan
disponibles en castellano, pero se puede acceder a algunos
de ellos a traves del sitio: http://perso.wanadooJr/daesti
Pages
%20perso/B rousseau .htm
EI tt~xto que presentamos se divide en tres secciones,
senaladas como A, B YC, y cada una de ellas contiene, a su
vez, varios apartados:
A. La modelizaci6n de [as situaciones en diddctica
B. La teorfa de [as situaciones diddcticas
C. Las situaciones diddcticas: componentes y estrategias
Se inaugura asf, desde una empresa editorial
argenti-na, la difusion en castellano de la teorfa de las situaciones
didacticas de Guy Brousseau. Y es un hecho para celebrar vivamente. Constituye un modo significativo de difundir trabajos realizados en un area de investigaci6n relativamen-te recienrelativamen-te y que permitira -al menos a eso apostamos- a fortalecer la comunidad que, desde distintos campos, traba-ja en el mejoramiento de la ensenanza de la matematica y en la profesionalizaci6n de sus docentes.
Siempre nos hemos preguntado cuales son los conocimien-tos matematicos "necesarios" para la educaci6n y la socie-dad y c6mo IIevar a cabo su difusi6n. Los textos acerca de la finalidad de la matematica abundan: e~tos explican la necesidad, en una sociedad, de que cada ciudadano dis-ponga de una cultura matematica suficiente y, a la vez, de contar con una cantidad suficiente de tecnicos y cientfficos para enfrentar los desafios del futuro. Todo tiende a con-vencernos de que las matematicas desempenaran en eIIo un papel importante, Dichos textos explican tambien la importancia de las propiedades formativas inherentes a la matematica, tanto a nivel individual, por las capacidades que parece desarrolIar, como a nivel de la vida colecti-va. EI comportamiento racional de una sociedad, es decir, su relaci6n tanto con la verdad como con la realidad, no descansa unicamente en las virtudes individuaJes de sus miembros. Exige una practica social y una cultura que de-ben ensenarse en la escuela. La matematica constituye el campo en el que el nino puede iniciarse mas temprana-mente en la racionalidad, en el que puede forjar su raz6n en el marco de relaciones aut6nomas y sociales.
Tambien nos cuestionamos acerca de los medios que he-mos creado para responder a tal demanda social: en que me-dida el exito de la difusi6n de los conocimientos matematicos depende de las ciencias de la educaci6n, la psicologfa 0 las
propias matematicas; que lugar ocupan, en dicha difusi6n, los conocimientos de didactica y, mas precisamente, de di-dactica de la matematica; que instituciones pueden asegurar la coherencia y la pertinencia de esos conocimientos.
En las ultimas decadas, se ha desarrollado en todo el mundo una amplia gama de trabajos experimentales y de elaboraci6n de teorfas en relaci6n con la educaci6n mate-matica. EI enfoque que abordamos en este texto, el de la
teorfa de Las situaciones diddcticas, se presenta en la
ac-tualidad como un instrumento cientffico. Tiende a unificar e integrar los aportes de otras disciplinas y proporciona una mejor comprensi6n de las posibilidades de mejoramiento y regulaci6n de la ensefianza de las matemciticas. Si bien algunos resultados de investigaci6n han sido tornados como nuevos metodos de ensefianza, no es mi intenci6n hacer proselitismo en ese senti do. Me parece que, en el siglo XX, no han faltado profetas ni innovadores en el campo de la educaci6n. Personal mente, y en primer lugar, deseo propi-ciar una reftexi6n acerca de las relaciones entre los "con-tenidos" de la ensefianza y los metodos de la educaci6n. Y luego, de un modo mas amplio, abordar la didactica como un area de investigaci6n cuyo objeto es la comunicaci6n de los saberes matemciticos y sus transformaciones.
das a la transmisi6n de un saber dado y, de este modo, la relaci6n didactica se interpreta como una comunicacion de informaciones.
Habitualmente, este esquema es asociado a una concep-ci6n de la ensefianza en la que el profesor organiza el saber a ensefiar en una serie de mensajes, de los cuales el alumno toma
10
que debe adquirir. Este esquema facilita la determi-naci6n de los objetos a estudiar, el papel de los actores, y la asignaci6n del estudio de la ensefianza a diversas discipli-nas. Por ejemplo, la matemcitica tiene la responsabilidad de legitimar el saber escolar, las ciencias de la comunicaci6n se responsabilizan por la traducci6n en mensajes adapta-dos, la pedagogfa y la psicologfa cognitivas por comprender y organizar las adquisiciones y los aprendizajes del alum-no, etc. EI prop6sito de dichos mensajes es, esencialmente, la enculturaci6n del alumno por parte de la sociedad. Por supuesto, este modelo no excluye la intervenci6n de atras disciplinas complementarias en el esclarecimiento de algun aspecto del proceso, sino que el esquema jerarquiza el im-pacto que puedan tener.Con frecuencia, la ensefianza es concebida como las relaciones entre el sistema educativo y el aLumno
vincula-Ahora bien, los psicologos han demostrado, respecto de 10s fenomenos de aprendizaje y desde diferentes perspecti-vas, la importancia de la tendencia natural de los sujetos a adaptarse a su medio: Skinner estudia el papel de los
esti-mulos y propone construir un model0 del sujeto1; Piaget se
ocupa esencialmente de la genesis no escol,ar de los cono-cimientos y, para ello, concibe -des de su formacion cienti-fica- dispositivos experimentales donde el nino revela sus modos de pensamiento y el investigador reconoce, en sus comportamientos, las estructuras y Ios conocimientos ma-tematicos de su eleccion; Vigotski estudia las modalidades de la inftuencia del medio sociocultural en el aprendizaje de los alumnos y el estudio del medio en
si
mismo da lugar, en consecuencia, a un ambito ideologico 0 cientifico.Desde estas perspectivas, Ia ensenanza se co nvierte, pues, en una actividad que concilia dos procesos: uno de
enculturaci6n y otro de adaptaci6n independiente.
En los afios 60, cuando era estudiante de matematica y contaba ya con algunos anos de experiencia como maestro de escuela primaria, un profesor me mando a estudiar psicologia cognitiva con Pierre Greco. Greco me impresiono por su ha-bilidad para concebir dispositivos experimentales destinados a poner en evidencia la originalidad del pensamiento matema-tico de los ninos en las etapas de su desarrollo. Sin embargo, me daba cuenta de que no entraban entre sus preocupaciones analizar los dispositivos en
si
mismos ni explicitar la relacion entre estos y la nocion matematica cuya adquisicion estudia-ba. Comence a plantearme algunas preguntas: l,en que condi-ciones puede propiciarse que un sujeto -cualquiera- tenga laSus criticos, como Chomsky primero, y Nelson 0Arbib despues, y sus seguidores, como Suppes, realizan modelos del sujeto por medio de aut6matas formales.
necesidad de un conocimiento matematico determinado para tomar ciertas decisiones? y
l,como
explicar de antemano la razon por la cuallo harfa? La ensenanza tradicional ya tenia una respuesta: ensenar y ejercitar.Los dispositivos piagetianos mostraron que los ninos podfan adaptarse desarrollando conocimientos matemati-cos que no habian sido ensenados.
Estudiar los problemas y los ejercicios que hac.en que se utilice una nocion matematica es un trabajo habitual para los matematicos, tanto como presentar
10s
saberes cons i-derados necesarios. Sin embargo, como para cada nocion existe todo un conjunto de problemas y ejercicios que Ie son especfficos, podia pensarse que esta via de investigacion tenia pocas oportunidades de aportar informacion sobre la adquisicion de saberes mas generales.En esta perspectiva, son 10s comportamientos de
10s
alumnos los que revelan el funcionamiento del medio, con-siderado como un sistema. Lo que se necesita modelizar, pues, es el medio.
Asi,
un problema 0 un ejercicio no pueden considerarse como una simple reformulacion de un saber, sino como un dispositivo, como un medio que "responde al sujeto" siguiendo algunas reglas. l,Que juego debe jugar el sujeto para necesitar un conocimiento determinado?l,Que
aventura -sucesion de juegos- puede llevarlo a concebirlo 0 a adoptarlo? Desde este enfoque, se describe al sujeto como si fuera un jugador de ajedrez que actua teniendo en cuenta solo sus conocimientos y el estado del juego.
l,Que
infor-macion, que sancion pertinente debe recibir el sujeto por parte del medio para orientar sus elecciones y comprometer tal conocimiento en lugar de tal otro? Estas preguntas con-ducen, pues, a considerar el medio como un sistema auto-nomo, antagonista del sujeto, y es de este del que conviene hacer un modelo, en cuanto especie de automata.Hemos llamado situacion a un modele de interaccion de un sujeto con cierto medio que determina un conocimiento dado, como el recurso del que dispone el sujeto para alcanzar o conservar en este medio un estado favorable. Algunas de estas situaciones requieren la adquisicion "anterior" de todos los conocimientos y esquemas necesarios, pew hay otras que Ie ofrecen al sujeto la posibilidad de construir pOI'sf mismo un conocimiento nuevo en un proceso de genesis artificiaF.
Observese que la misma palabra "situacion" sirve, en su sentido ordinaria, para describir tanto al conjunto (no necesariamente determinado) de condiciones que enmarcan una accion, como uno de los modelos (eventual mente for-males) que sirven para estudiarla.
En 1970, en la Universidad de Bourdeux, se dan las condiciones institucionales para plantear el proyecto cientf-fico de construir modelos de las situaciones utilizadas en la ensefianza -para analizarlas y, eventualmente, criticarlas- y proponer otras mas apropiadas. Planteado el estudio de esta manera, es posible introducir en el anaIisis argumentos de la organizacion del saber matematico y otros de tipo eco-nomico y ergoeco-nomico, asf como tomar en cuenta otras res-tricciones, en especial aquellas que podrfan aparecer como conclusiones de trabajos de psicologfa 0 sociologfa, con
la condicion de volverlas funcionales, es decir, de precisar como intervienen efectivamente.
._-._--2 N. de T.:La bUsqueda de las condiciones necesarias para producir
un aprendizaje condujo a Brousseau a desarrollar la noci6n de
in-genierfa didactica como una metodologfa de investigaci6n ycomo producci6n de situaciones de ensefianza. Yease Brousseau (1982); y tambien Chevallard (1982) y Artigue (1990).
A.
LA MOOELIZACION OE LAS SITUACIONES EN OWACTICAUna "situacion" es un modele de interaccion entre un sujeto y un medio determinado. EI recurso· de que dispone el sujeto para alcanzar 0conservar en este medio un estado
favorable es una gama de decisiones que dependen del uso de un conocimiento preciso. Consideramos el medio como un subsistema autonomo, antagonista del sujeto. Al tamar como objeto de estudio las circunstancias que presiden la difusion y la adquisicion de los conocimientos, nos intere-saremos, pues, pOI'las situaciones.
En los inicios de los 70 las situaciones didticticas eran las situaciones que sirven para ensefiar sin que se considere el rol del profesor. Para ensefiar un conocimiento determi-nado se utilizan "medios" (textos, materiales, etc.). La inge-nierfa didactica estudia y produce dichos medios.
La situacion es, entonces, un entorno del alumno dise-fiado y manipulado pOI'el docente, que la considera como una herramienta. Mas adelante, identificamos como
situa-ciones matemtiticas a aquellas que provocan una actividad
He-mos reservado el termino de situaciones didacticas para los modelos que describen la actividad del profesor y tambien la del alumno.
Desde la segunda acepcion, que sera estudiada en la seccion B, la situacion didactica es todo el entorno del alumno, incluidos el docente y el sistema educativo.
Consideremos un dispositivo disefiado por una per-sona que quiere ensefiar un conocimiento 0 controlar su
adquisicion. Este dispositivo comprende un medio mate-rial -las piezas de un juego, un desaffo, un problema, in-cluso un ejercicio, una ficha, etc.- y las reglas de interac-cion con ese dispositivo, es decir, el juego propiamente dicho. Pero solamente el funcionamiento y el desarrollo efectivo del dispositivo, las partidas efectivamente juga-das, la resolucion del problema, etc., pueden producir un efecto de ensefianza. Es necesario, por 10 tanto, incluir el estudio de la evolucion de la situacion, ya que asumimos como supuesto que el aprendizaje se logra por medio de una adaptacion del sujeto que aprende al medio creado por esta situacion, haya 0 no intervencion de un docente
en el transcurso del proceso. Los conocimientos se ma-nifiestan esencialmente como instrumentos de control de las situaciones.
Para ilustrar el papel que desempefian las relaciones entre el funcionamiento de los conocimientos del alumno -manifestadas a traves de sus comportamientos- y las ca-racterfsticas de las situaciones, vamos a tomar el ejemplo de la leccion denominada "La carrera a 20" 3.
EI objetivo de la clase era introducir un repaso de la division con un sentido de la operacion no acorde con los aprendizajes anteriores y favorecer -en los nifios- el descu-brimiento y la demostracion de una serie de teoremas.
Se trata de que cada uno de los dos adversarios que juegan llegue a decir 20 agregando, alternativamente, 1 0 2 al mlmero dicho por el otro. EI jugador que comienza dice I 0 2, el que continua agrega 1 0 2 a ese numero, a su vez el primero agrega 1 0 2 y asf sucesivamente hasta que uno llega a decir 20 y entonces gana4•
La estrategia ganadora consiste en tomar tan pronto como sea posible la sucesion 2, 5, 8,11,14,17,20. Mas tarde se analizara que se debe aplicar desde el comienzo de la partida la serie de numeros congruentes con 20, modulo 3 (numeros que tienen igual resto al dividirlos por 3)5.
EI profesor explica la regIa del juego y comienza una partida en el pizarron contra un nifio, luego cede su lugar a otro alumno.
N. de T.: veanse Brousseau (1978) y (1998).
La leccion de "La carrera a 20" es la primera de una serie que continuani con "La carrera a 25", luego con "La carrera a 37" y despues "La carrera a 354, agregando numeros comprendidos en-tre 1 y 13", etc. De este modo, los alumnos son lIevados a construir un metodo para encontrar el resto de las restas sucesivas antes de darse cuenta de que reinventaron la division, que ya conocfan.
----3 N. de T.: Perrin-Glori an (1994: 106) afirma: "Esta situacion va a
desempefiar un papel importante en 10s primeros fundamentos de la teorfa. Fue objeto de nurnerosos estudios experimentales y teo-ricos basados en las probahilidades y la estadfstica y permitini, a la vez, desarrollar la teona e ilustrarla durante 10s afios 70",
Los nifios juegan varias partidas de ados y anotan los nu-meros que van eligiendo. Al realizar una serie de partidas, se dan cuenta de que responder al azar no es la mejor estrategia, algunos descubren nipidamente la ventaja de decir 17.
Los alulllllos son agrupados en dos equipos que compi-ten uno contra otro. EI profesor designa al azar a un alumno de cada equipo para que juegue una partida en el frente, de-lante de suscompafieros. Mientras se juega esa partida, Ios restantes alumnos no pueden intervenir. El que gana aporta un punto a su equipo. Los nifios se dan cuenta de la necesi-dad de discutir y concertar estrategias.
El profesor propone que cada equipo enuncie los des-cubrimientos que ha hecho y que Ie han permitido ganar. Ahora el juego consiste en demostrar la verdad de Ios enun-ciados propuestos 0 criticar y eventual mente probar la
fal-sedad de Ias declaraciones del equipo contrario.
2. Una primera aproximad6n a la clasificad6n
de las situadones didacticas
A partir de las fases descriptas en "La carrera a 20", ha-remos una primera entrada a la clasificacion de Ias situacio-nes y, en la proxima seccion, una caracterizacion general.
La primera fase del juego corresponde a una situacion tfpica de accion: a cada paso, los alumnos toman decisiones proponiendo cada uno a su turno un mlmero despues de ha-ber realizado una apreciacion del estado del juego. Al cabo de algunos pasos, sobreviene la sancion: la partida se gana o se pierde.
A medida que el nifio juegue mcis partidas, desarrollani nuevas estrategias, es decir, razones por las cuales va a elegir un numero antes que otro. Por ejemplo, preferini lOa 9 por-que cree, equivocadamente, por-que de alguna manera el juego tiene que ver con la numeracion decimal. 0 17 en lugar de 16 porque se dio cuenta intuitivamente de que ya habfa ganado despues de haberlo jugado. A partir de ese momento, todo sucede como si supiera el
teorema en acto
6.-"hay que decir 17"- 0 como si tuviera una tactica "completa" (ambos sonindiscernibles). Pero, en realidad, pudimos observar que se necesitan varias partidas antes de que sean capaces de formu-lar esta tactica, justificarla y finalmente sacar conclusiones.
En general, una estrategia se adopta rechazando intuiti-vamente 0racionalmente una estrategia anterior. Una
estra-tegia nueva se so mete ala experiencia y puede ser aceptada o rechazada segun la apreciacion que tenga eI alumno sobre su eficacia. La sucesion de situaciones de acci6n constituye el proceso por el cual el alumno va a "aprenderse" un meto-do de resolucion de su problema.
Por ejemplo: en el comienzo del juego todos los nume-ros Ie parecen igualmente importantes. Al finalizar esta fase,
N. de T.: EI concepto de "teorema en acto" fue introducido por G. Vergnaud. Una presentaci6n detallada de la teorfa de Los campos conceptuaLes, de donde proviene este concepto, puede encontrarse en Vergnaud (1990).
cuando comienza a darse cuenta de que si juega 17 puede
ganar, la eleccion del 18
0del 19 no Ie parece pertinente.
Este conjunto de relaciones ("si juego 14
017, puedo
ganar") permanece tal vez completamente implfcita: el nifio
juega segun este modele antes de ser capaz de formularIo.
Llamaremos
modelo implfcitoal conjunto de relaciones
0reglas segun las cuales el alumno toma sus decisiones sin
tener conciencia de ell as y
a posterioride formularlas.
ta, por parte del
medio,cuando, en caso de ser aplicada en
una partida concreta, la estrategia resulta ganadora
0no.
Se observo que la simple formulacion no tenfa ninguna
in-f1uenciasobre los conocimientos y las convicciones de los
alum-nos, pero impedfa la desaparicion de los teoremas en acto.
En la segunda fase se pueden observar dos momentos
diferentes:
a) cuando el representante del equipo esta en el frente
yjuega,y
b) cuando el equipo discute.
En la tercera fase cada equipo elabora y luego propone,
por turno, un enunciado "utiI para lIegar a decir 20"
0inten-ta esinten-tablecer que el enunciado del adversario es falso.
En este nuevo tipo de situacion, los alumnos
organi-zan enunciados en demostraciones, construyen teorfas -en
cuanto conjuntos de enunciados de referencia- y aprenden
como convencer a los demas
0como dejarse convencer sin
ceder ni a argumentos retoricos ni a la autoridad, la
seduc-cion, el amor propio, la intimidaseduc-cion, etc. Las razones que
un alumno pueda dar para convencer a otro,
0las que pueda
aceptar para cambiar de punto de vista, seran elucidadas
progresivamente, construidas, puestas a prueba, debatidas
y convenidas. El alumno no solo tiene que comunicar una
informacion sino que tambien tiene que afirmar que
10que
dice es verdadero en un sistema determinado, sostener su
opinion
0presentar una demostracion.
En el caso a) un nifio que no esta en el frente recoge
toda la informacion mirando
10que escriben los dos
repre-sentantes, pero el no puede actuar ni intervenir. El que juega
en el pizarron esta en situacion de accion.
En el caso b), el
mediopara cada uno de los alumnos
esta constituido por el conjunto de partidas jugadas, en
especial por la ultima
7•Para ganar no alcanza con que un
alumno conozca como ganar, tambien de be poder
comu-nicar a sus compafieros la estrategia que propone, ya que
esta es fa unica manera que tiene de actuar sobre la
situa-cion. Dicha comunicacion esta sometida ados tipos de
re-troacciones: una inmediata, por parte de sus compafieros,
que la comprenden
0no (la comparten
0no), y una
media-
---7 N. de T.: Notese que elmedia se modifica en las sucesivas partidas
ycada alumno realiza sus fbrmulaciones en funcion de su interpre-tacion de los resultados de las partidas anteriores.
Cuando un sujeto intenta controlar su entorno, no todas
sus acciones manifiestan sus conocimientos de la misma
manera. Las relaciones de un alumno con el medio pueden
ser clasificadas, al menos, en tres grandes categorfas
8:
- intercambios de informaciones no codificadas 0 sin
lenguaje (acciones y decisiones);
- intercambios de informaciones codificadas en un lenguaje (mensajes);
- intercambios de juicios (sentencias que se refieren a un conjunto de enunciados que tienen un-rol de teoria).
Desde la perspectiva de la teorfa de las situaciones, los alumnos se convierten en los revel adores de las caracterfs-ticas de las situaciones a las que reaccionan (es importante sefialar esta inversion de posicion con respecto alas aproxi-maciones de la psicologfa, donde las situaciones suelen es-tudiarse como dispositivo para revelar los conocimientos del alumno).
Para un sujeto, "actuar" consiste en elegir directa-mente los estados del media antagonista en funcion de sus propias motivaciones. Si el medio reacciona con cierta re-gularidad, el sujeto puede llegar a relacionar algunas in-formaciones con sus decisiones (retroalimentacion), a an-ticipar sus reacciones y a tenerlo en cuenta en sus propias acciones futuras. Los conocimientos permiten producir y cambiar estas "anticipaciones". EI aprendizaje es el pro-ceso por el cual se modifican los conocimientos. Podemos representar estos conocimientos por medio de descripcio-nes de tactic as (0 procedimientos) que parece seguir el sujeto 0 por las declaraciones de 10 que parece tener en
cuenta, pero solo se trata de proyecciones. La manifesta-cion observable es un patron de respuesta explicado por un modelo implfcito de accion.
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Informacion
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Sujeta
Media
EI repertorio de los modelos implfcitos de accion y los modos en que se establecen son muy complejos. Se puede suponer, con Bateson, que la formulacion de un co-nacimiento implfcito cambia a la vez sus posibilidades de tratamiento, aprendizaje y adquisicion. La formulaci6n de un conocimiento corresponderia a una capacidad del suje-to para resuje-tomarlo (reconocerlo, identificarlo, descornpo-nerlo y reconstruirlo en un sistema lingiifstico). EI media que exigira al sujeto usar una formulacion debe entonces involucrar (ficticia 0efectivamente) a otro sujeto, a quien
el primero debeni comunicar una informacion. La situa-cion puede entonces describirse can el esquema de Osgo-od (1957). Pero si queremos determinar el contenido de la comunicacion, tambien es necesario que los dos interlocu-tores cooperen en el control de un medio externo, de modo que ni uno ni otro puedan hacerlo solos, y que la unica manera de triunfar sea obteniendo del otro la formulacion de los conocimientos en cuestion.
La formuIaci6n de Ios conocimientos pone en juego re-pertorios Iingtifsticos diversos (sintaxis y vocabulario). La adquisici6n de tales repertorios acompafia a Ia de los conoci-mientos que enuncian, pero ambos procesos son distintos.
Los esquemas de Ia acci6n y de la formulaci6n con lle-van procesos de correcci6n, ya sea empfrica 0 apoyada en aspectos culturales, para asegurar la pertinencia, adecuaci6n, adaptaci6n 0 conveniencia de los conocimientos moviliza-dos. Pero la modelizaci6n en terminos de situaci6n permite distinguir un nuevo tipo de formulaci6n: el emisor ya no es un informante, sino un proponente, y el receptor, un oponente. Se supone que poseen Ias mismas informaciones necesarias para tratar una cuesti6n. Cooperan en la busqueda de la ver-dad, es decir, en vincular de forma segura un conocimiento a un campo de saberes ya establecidos, pero se enfrentan
cuan-do hay dudas. Se ocupan juntos de las relaciones formuladas entre un medio y un conocimiento relativo a ese medio. Cada uno puede tomar posici6n con respecto a un enunciado y, si hay desacuerdo, pedir una demostraci6n 0 exigir que el otro aplique sus declaraciones en la acci6n con el medio.
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En otro momento, crefmos que, al considerar las situa-ciones de acci6n, formulaci6n y validaci6n, ya tenfamos todas las clases posibles de situaciones. Tenfamos situacio-nes de aprendizaje -en el sentido de los psic610gos- y se podfa pensar que habfamos reducido la ensefianza a suce-siones de aprendizaje. Pero en el transcurso de Ias expe-riencias desarrolladas en la escuela Jules Michelet, vimos que los maestros, al cabo de un tiempo, necesitaban ordenar un espacio, no querfan pasar de una lecci6n a la siguiente, querfan detenerse para "rever 10 que habfan hecho" ... Nos vimos obligados a preguntarnos por que se daba esa resis-tencia de los docentes a reducir el aprendizaje a los proce-sos que habfamos concebido. Nos tom6 un tiempo darnos cuenta de que los docentes realmente estaban obligados "a
hacer algo": debian dar cuenta de 10 que habfan hecho los alumnos, describir 10 que habia sucedido y 10 que estaba vinculado con el conocimiento en cuesti6n, brindarles un estado a los eventos de la clase en cuanto resultados de los alumnos y resultados de laensefianza, asumir un objeto de ensefianza, identificarlo, acercar las producciones de los co-nocimientos a otras creaciones (culturales 0 del programa),
indicar cuales podian ser reutilizadas nuevamente.
En primer lugar, esos hechos y luego los razonamien-tos -el hecho de asegurar la consistencia del conjunto de las modelizaciones eliminando las que son contradictorias exige un trabajo te6rico- mostraron la necesidad de tener en cuenta fases de
institucionalizaci6n
que dieran a determina-dos conocimientos el estado cultural indispensable de sabe-res9• Del mismo modo que los teoremas en actodesapare-cian rapidamentc ante la ausencia de una formulaci6n y una prueba, los conocimientos privados e incluso los publicos permanecerian contextualizados y tenderian a desaparecer en la marea de recuerdos cotidianos si no se los reubicara dentro de un repertorio especial cuya importancia y uso no fueran confirmados por la cultura y la sociedad.
El funcionamiento de los conocimientos es diferente al de los saberes, tanto en las relaciones entre las institu-ciones como en la actividad aislada de los sujetos. Una
no-ci6n no tiene las mismas propiedades como conocimiento que como saber, ni funciona del mismo modo como he-rramienta de indagaci6n, ni da las mismas posibilidades de expresi6n, ni actua igual como instrumento de convic-ci6n 0 como argumento y tampoco ha side aprendida de
la misma manera.
9 N. de T.: "Los conocimientos son los medias transmisibles (por
imi-taci6n, iniciaci6n, comunicaci6n, etc.), aunque no necesariamente explicitables, de controlar una situaci6n yobtener de ella determina-do resultadetermina-do conforme a una expectativa ya una exigencia social. EI saber es el producto cultural de una instituci6n que tiene por objeto identificar, analizar y organizar los conocimientos a fin de facilitar su comunicaci6n." (Brousseau yCenteno, 1991). Esta distinci6n en-tre conocimiento ysaber se ilustra con un ejemplo en la descripci6n de la situaci6n sobre el conteo (vease la secci6n 4).
Cada situaci6n puede hacer que el sujeto evolucione, y por ello tambien puede evolucionar a su vez de modo tal que la genesis de un conocimiento puede ser el fruto de una sucesi6n (espontanea 0 no) de nuevas preguntas y
respues-tas en un proceso que he calificado como "dialectica". En tales procesos, las sucesiones de situaciones de acci6n, for-mulaci6n y validaci6n pueden conjugarse para acelerar los aprendizajes (tanto si se presentan espontaneamente como si se provocan voluntariamente).
La acci6n y luego la formulaci6n, la validaci6n cultural y la institucionalizaci6n parecen constituir un orden razonable para la construcci6n de los saberes. Este orden suele ser obser-vado en la genesis hist6rica de las nociones donde vemos su-cederse formas
protomatenuiticas
yparamatenuiticas
que pre-ceden alas formasmatematicas
propiamente dichaslO• Dichoorden parece oponerse a aquel donde los saberes son primero reorganizados en discursos comunicables segUn el destinata-rio y luego solamente "aplicados" a situaciones personales y "convertidos" en decisiones. En realidad, no hay una ley ge-neral que califique0descalifique uno u otro de estos procesos,
sino que hay que examinar las propiedades de cada uno.
4. Situadon didactica, situadon adidactica,
situation fundamental
Este proceso psicogenetico piagetiano se opone al dog-matismo escolastico: mientras que para el primero el apren-dizaje se da "naturalmente", sin intenci6n didactica, para el segundo todo se atribuye al arte de ensefiar. Asf, la teorfa de Piaget corre el riesgo de aliviar al docente de toda respon-sabilidad didactica, 10 cual constituye una vuelta paradojal a una especie de empirismo. Pero un medio sin intenciones didacticas es incapaz de inducir en el alumno todos los co-nocimientos culturales que se desea que adquiera.
Concepciones actuales de la ensefianza van a exigir al maestro que provoque en el alumno -por medio de la elec-ci6n sensata de los "problemas" que propone- las adapta-ciones deseadas. Esos problemas, elegidos de modo tal que el alumno pueda aceptarlos, deben lograr, por su propio mo-vimiento, que actue, hable, reflexione y evolucione. Entre el momento en que el alumno acepta el problema como suyo y aquel en que produce su respuesta, el profesor se rehusa a intervenir en calidad de oferente de los conocimientos que quiere ver aparecer. El alumno sabe que el problema fue ele-gido para hacer que adquiera un conocirniento nuevo, pero debe saber tam bien que este conocimiento esta enteramente justificado por la 16gica interna de la situaci6n y que puede construirlo sin tener presentes razones didacticas. No s610 puede, sino que tambien debe, porque no habra adquirido verdaderamente este conocimiento hasta no ser capaz de utilizarlo en situaciones que encuentre fuera de todo con-texto de ensefianza y en ausencia de cualquier indicaci6n intencional. Tal situaci6n es Hamada situacion adiddctica.
Suponemos que cada conocimiento matemMico posee al menos una situaci6n que 10 caracteriza y 10diferencia de los demas. Por otra parte, conjeturamos que el conjunto de situaciones que caracterizan una misma noci6n esta estruc-turado y puede ser engendrado a partir de un pequefio nu-En la concepci6n mas general de la ensefianza, la marca
de un saber es una asociaci6n entre las buenas preguntas y las buenas respuestas. EI docente plantea un problema que el alumno debe resolver: si el alumno responde, demuestra que sabe; si no, se manifiesta una necesidad de saber que requiere una informaci6n, una ensefianza. A
priori,
todo metodo que perrnita memorizar las asociaciones favorables es aceptable.La mayeutica socrMica limita estas asociaciones a aque-Has que el alumno puede efectuar por sf rnismo. Esta restric-ci6n tiene por objeto garantizar la comprensi6n del saber en el alumno, porque el rnismo 10 produce. Pero entonces nos vemos obligados a suponer que el alumno ya posefa ese saber, ya sea que siempre 10hubiera tenido (rerniniscencia) 0 que 10 construyera el mismo por medio de su actividad propia y ais-lada. Todos los procedimientos donde el maestro no da la res-puesta son aceptables para engendrar ese saber en el alumno.
El esquema socratico puede ser perfeccionado si se supone que el alumno es capaz de obtener su saber de las propias experiencias, de las propias interacciones con el medio, aun si ese medio no esta organizado con fines de aprendizaje: el alumno aprende viendo el mundo (hip6tesis empirista-sensualista) 0 haciendo hip6tesis entre las quesu experiencia Ie permite elegir (hip6tesis aprioristas) 0 aun en una interacci6n mas compleja conformada por asimilacio-nes y acomodacioasimilacio-nes tales como las que describe Piaget.
EI alumno aprende adaptandose a un medio que es factor de contradicciones, dificultades y desequilibrios, un poco como 10hace la sociedad humana. Este saber, fruto de la adaptaci6n del alumno, se manifiesta por medio de nue-vas respuestas, que son la marca del aprendizaje.
mero de
situacioneflllamadasjundamentales,a traves de un
juego de variantes, variables y cotas sobre estas variables
11.Como el alumno no puede resolver de entrada cualquier
situaci6n adid,ktica, el maestro Ie procura aquellas que
es-tan a su alcance. Las situaciones adidacticas preparadas con
fines didacticos determinan el conocimiemo ensefiado en
un momento dado y el senti do particular que este
conoci-miento va a tomar porefecto de las restricciones y
deforma-ciones aportadas a la situaci6n fundamental.
Esa situaci6n 0 ese problema elegido pOl'el docente 10
involucra a el mismo en un juego con el sistema de
interac-ciones del alumno con su medio. Este juego mas amplio es
la
situacion didactica.Es importante considerar por el momenta que una
situa-ci6n fundamental no es
a prioriuna situaci6n "ideal" para la
ensefianza, ni siquiera una soluci6n mas eficaz. Su valor para
la ensefianza se aprecia en funci6n de un gran numero de otros
panlmetros extemos, tales como la posibilidad efectiva de
rea-lizaci6n en un ambiente psicosociocultural determinado.
Para ilustrar el concepto de situaci6n fundamental voy
a tomar como ejemplo el que exige la medida de conjuntos
finitos y genera en consecuencia el numero natural. El
co-nocimiento de los primeros numeros naturales se manifiesta
pOI'medio del conteo. La situaci6n "fundamental" de
apren-
---II Se puede buscar por medius matem<hicosyexperimentales que \'310-res de esas variables pueden determinar las condiciones 6ptimas de difusi6n de determinados conocimientos, 0explicar los que aparecen como respuestas (te6ricamente) optimas a las condiciones propuestas al alUIlliio.Para algunos valores de esas variables existe al menos una estrategia optima (desde el punta de vista de su costa en diseno, fia-biIidad,costo de aprendizaje, etc.)y uno0varios conocimientos que Ie corresponden. LIamamos variable cognitiva a una variable de la situacion tal que por la elecci6n de vaJores diferentes puede provocar cambios en el conocimiento 6ptimo. Entre las variables cognitivas, las
variables didacticas son las que puede fijar eI docente.
dizaje del conteo tiene que poder comunicarse a un nifio que
no sabe contar, pero que debe poder aprender a resolverla
sin que el profesor intervenga indicandole cual es el
conoci-miento a utilizar. La realizaci6n efectiva en un aula reclamara
intervenciones didacticas importantes de otro tipo.
MAMA:(,Sabe que, abuelo? jEl nene sabe contar!
ABUELO:(,En serio? (,A ver?
MAMA:jMuestrale al abuelo c6mo sabes contar!
EL NENE(cuatro afios): Uno, dos, tres, cuatro, cinco,
seis, siete, ocho, diez, quince, eh ...
ABUELO
(admirado): iAh! jMuy bien! iTienesque continuar!
Pero "contar", no cuenta: contar (saber cuantos hay) como proyecto escolar
La familia incluye tambien a la tfa Mimf que es una
docente jubilada.
TfA MIMi: Pero no abuelo, para saber si el nene sabe
con tar hay que mostrarle los dedos y preguntarle cuantos
hay, y luego pedirle que el muestre 10s dedos. jNo alcanza
con recital' los numeros! Y si el nene no 10sabe, la mama no
tiene que decepcionarse. A los cuatro afios, Ia mayorfa de
10schicos casi no puede comprender realmente 10snumeros
mas alla de 5, Ios psic610gos 10pueden decir.
MAMA.:Pero nuestra vecina, Olga, que tiene cinco allos,
cuenta hasta
70.TfA MIMi: Sf, tambien puede recital' "La farolera
trope-Z6...
"12,que tiene mas de setenta palabras, ipero cree que Ia
---12 N. de T.: Cancion infantil tradicional en Argentina, much as veces
farolera es una especie de estrella de la television! No es grave,
pero una colegajoven me conto que los padres ejercen
actual-mente una fuerte presion sobre sus hijos para "hacerlos
con-tar" precozmente. Y comprobo que bajo la influencia de ese
machaqueo, algunos ninos se ponen a contar desde el mismo
momento en que escuchan la palabra "numerp" sin reflexionar
sobre la pregunta que se les planteo. En su clase, esta colega
tiene alumnos de tres y cuatro anos en el nivel inicial, ninos
que cuentan mecanicamente mas alla de 50, y pOI'eso no
pue-de -ni con elIos, ni con los que no pasan pue-de 5- organizar una
actividad matematica en comun apropiada para la edad.
i Cuantos hay? Una situaci6n espedfica
Ahora tomemos la siguiente situacion, que puede ser
tra-ducida en una consigna adaptada a ninos de cinco
0seis anos:
En estos vasitos tenemos pinturas. Debes ir alla a buscar
pinceles y poneI' uno y solo uno en cada vasito. Debes traer
todos los pinceles de una sola vez y no tienen que sobrar
ni pinceles sin vasito, ni vasitos sin pincel. Si te equivocas,
recoges todos los pinceles, los llevas alIa y recomienzas de
nuevo.
Sabras contar cuando puedas hacer esto, aun cuan-do haya muchos vasitos.Mas precisamente,
el nino sabra cuantos hay cuando
pueda desempenar ambos papeles:
solicitar(como emisor)
a alguien (un receptor), oralmente
0por escrito, la cantidad
de pinceles necesarios verificando la operacion e,
inversa-mente,
suministraruna cantidad solicitada.
Tal situacion presenta una caracterfstica fundamental
por-que, desde el punto de vista didactico y haciendo variar sus
va-riables cognitivas
13,se pueden describir "todas" las situaciones
---13 N. de T.: Por ejemplo, la naturaleza y tamano de la colecci6n, Ja posibilidad de desplazar los objetos, Jas circunstancias (traer todos
de conteo y tambien clasificar y comparar todas Ias practicas
de conteo y aprendizaje del conteo. Las practicas habituaIes de
conteo que acabarnos de presentar se obtienen, a partir de la
si-tuacion fundamental, pOI'supresion
0transferencia al aduIto de
ciertas tareas. En Ia primera, que podrfamos llamar, pOI'ejernplo,
"el conteo popular", el nino reproduce una serie de palabras bajo
el control del adulto. En la segunda, "el conteo escolar clasico",
mas evoIucionado, es responsabilidad del nino hacer que un
nu-mero corresponda a un conjunto de vasitos (trabajo de emisor)
0formar una coleccion que lenga un numero dado de pinceles.
Aprender separadamente estas practicas parciales implica
que eI aduIto las ensena, Ias exige, las corrige, Ias hace irnitar
y repetir. En ningun momenta el nino esrn en condiciones de
establecer pOI'sf mismo Ia finalidad de la accion y corregir sus
errores. Sin embargo, padres y docentes utilizan con cierto exito
todas esas formas "degeneradas" de la situacion fundamental,
aun en el caso extrema del aprendizaje formal de la sucesion de
numeros. No se trata de rechazar ciertas practicas, sino de
apro-vecharlas al maximo segun sus caracterfsticas particulares. Las
principales desventajas de esos aprendizajes parciales son:
- impedir que el nino asuma la responsabilidad
del
juicio sobre el valor de sus respuestas, conozca el
proyecto de aprendizaje en el que esta involucrado y
pueda evaluar los progresos por sf mismo; y
- que el nino tiene que haber aprendido previamente
la respuesta de una u otra manera para comprender
10
que se Ie pide que haga.
los pinceles de una vez, no poner a disposici6n de los ninos mate-riales para registrar, anticipar cwintos paquetes de 5 pinceles senin necesarios para tal cantidad de vasitos), etc.
La "definici6n" didactica es diferente: vuelve a ubicar las tt~cnicas dentro de una acci6n global inteligible. Ya no exige que el nino sepa contar para comprenderla. Solamen-te es necesario que pueda resolver el juego con algunos va-sitos. Tambien es precise que sepa verificar la correspon-dencia uno a uno. ASI, el aprendizaje puede comenzar, no por la imitaci6n 0la reproducci6n, sino por la invenci6n de
soluciones estables, cualquiera sea el recurso.
Finalmente, para aprender los numeros sera necesario que el alumno
enumere
J4 las colecciones (que nombre losobjetos uno despues de otro, todos los objetos y sin repe-tidos), al mismo tiempo que determine
cuantos hay
(que evalue su cardinal por correspondencia con otra colecci6n), que lascuente
(que ponga en correspondencia sus elemen-tos con las palabras) y luego, si el conteo es por partes, queenuncie
(expresando oralmente el numero utilizando un sis-tema de numeraci6n) el resultado de su conteo y luegoes-criba ese numero
l5• Sera necesario tambien que se apropiede los us os de los
ordinales
de la sucesi6n numeric a, etc. Pero estos aprendizajes podran producirse por una con-junci6n de metodos, por ejemplo:
----14 N. de T.: En espanolla palabra "enumerar" remite al conteo, y en
consecuencia, al uso de los numeras. Pera en otras idiom as, pOl' ejemplo en frances, "enumerar" significa enunciar uno a uno los objetos, hacer una \ista. POl'ejcmplo, alllevar una lista para hacer las compras en el supermercado, en algun momenta se controla si "ya esta todo". Es comun decir: "faha" tal 0cual producto, se enumera, sin necesidad de contar.
15 Para los lectores interesados en est os temas, se sugiere: Briand
(1993), Bahra (1995), Quevedo (1986) y Cauty.
- en un proceso constructivista, completando las res-puestas espontaneas 0provocadascon las
institucio-nalizaciones indispensables,
- 0 en ensenanzas mas clasicas, mayeutica 0 aun
axio-mMica, con lecciones seguidas de ejercicios, en res-puesta a problemas bien identificados por eI aIumno.
Asimismo, Ia situaci6n fundamental no desacredita nin-guna forma de aprendizaje. Las admite todas y permite con-jugarlas: compIeta Ios aprendizajes parciaIes que son tItHes
y probabIemente necesarios y, sobre todo, Ies da sentido. EI uso puramente
numeral
de Ios numeros (para iden-tificar 0 designar un objeto, por ejempIo eI numero de uncanal de teIevisi6n, de un telefono 0un autom6viI) no
pare-ce presentar problemas. ProbabIemente porque la dificultad principal no se encuentra en 10 fundamental en eI aprendi-zaje de Ios automatismos,sino en eI conocimiento de Ias
propiedades
de Ias coIecciones, Ios numeros y sus opera-ciones. Estas deben ser "conocidas" obIigatoriamente par eI alumno, para que pueda controlar sus usos compIejos.Ademas de usar, tarde 0 temprano habra que eIucidar,
formular, discutir las propiedades y Ias estructuras numeri-cas. Estas eIucidaciones son necesarias para eI aprendizaje mismo y deben acompanarlo. (,C6mo y cuando?
En Ia ensenanza cIasica, eI hecho de comprender cuan-do eI conteo puede dar respuesta a un problema IIega des-pues. Para convencerse, hay que hacer preguntas durante eI aprendizaje (clasico) a Ios ninos que ya "saben" cantar una coIecci6n cuando se 10 soIicitan (digamos hasta
trein-ta), pero que no saben resolver el problema de los vasitos y pinceles en la posici6n de emisor 0de receptor.
Quevedo (1986) pudo observar el siguiente compor-tamiento:
El alumno va a buscar un pufiado de pinceles y los dis-tribuye en los vasitos.
-jAh! jMe sobraron tres! -(,Ganaste?
-No, porque me quedaron tres.
-B ueno, recoge todos los pinceles y empieza otra vez. Los otros compafieros de la clase Ie sugieren:
-jCuenta! jCuenta!
El nifio cuenta los vasitos, recoge los pinceles distribui-dos en los vasitos y reinicia la actividad. Toma un pufiado de pinceles y regresa a los vasitos. El hecho de contar no Ie sirve de nada. Los otros nifios tratan de ayudarlo:
-jNo, no! jConta los pinceles!
El nifio cuenta todos los pinceles y vuelve ...
Este ejemplo pone en evidencia una diferencia entre el conteo como saber cultural habitual y el conteo como
cono-cimiento para resolver la situaci6n fundamental.
(,Podemos afirmar que el alumno sabe con tar cuando es capaz de formal' colecciones adecuadas, bastante nume-rosas, en Ias condiciones previamente descriptas? No pOI' completo. Tambien debe sentirse suficientemente seguro de su conteocomo para identificar las fuentes de elTor y, si es necesario, discutirlas. Por ejemplo, si en el momento en que va a buscar los pinceles alguien Ie roba un vasito, al regresar y distribuir los pinceles debe ser capaz de decirle:
Esta confianza en sus metodos exige a la vez una posi-ci6n reflexiva con respecto a ellos, un "metaconocimiento", palabras para expresar los conocimientos adquiridos, un metaJenguaje y, finalmente, todo 10 que constituye la con-versi6n de algunos conocimientos en saberes.
Con respecto a los metodos clasicos, la situaci6n de con-teo puede resultar util en diversos momentos del aprendiza-je y sobre todo para analizar con los profesores que quiere decir "contar" en terminos "concretos". No es verdad que el aprendizaje a traves del uso exclusivo de la situaci6n funda-mental sea mas rapido 0 mas eficaz, esa situaci6n puede ser
inutilmente pesada cuando el alumno ya comprendi6 que es
10
que se Ie quiere ensefiar.5. La adaptacion de las situaciones
a los alumnos: la optimizacion
Es inevitable el uso de un medio (abaco, contador, lapiz y papel, etc.) para efectuar ciertos calculos. Con una volun tad de transparencia democrc:itica, la Convenci6n de 1792 que es-tableci6 el sistema decimaJl6 rechaz6 el uso de aparatos "mis-teriosos" y propici6 una ensefianza obligatoria del calculo con lapiz y papel. La elecci6n de los "algoritmos" a ensefiar planteaba un compromiso entre la fiabilidad y la rapidez de ejecllci6n -exigidas pol' las actividades calclliatorias intensas, necesarias para la sociedad industrial y comercial
emergen-N. de T.: se refiere a la universalizaci6n del sistema decimal de medi-da, una de las reformas exigidas en la Revoluci6n Francesa de 1789.
te- y las capacidades de aprendizaje del sector de poblacion afectado (y tambien la herencia de practicas antiguas). Se pueden concebir otras disposiciones para hacer las cuentas y, por d.lculos de ergonomfa, comparar sus ventajas.
He demostrado, primero a traves de calculos realizados con modelos matematicos y luego por medio de la experien-cia, que la ejecucion a la francesa de la multiplicacion y sobre todo de la division era muy sensible a variables sobre las que se podfa actuar facilmente y que inutilmente llevaba a fraca-sos -a menudo costofraca-sos, a veces irremediables- siempre dis-criminatorios. Propuse disposiciones mejor adaptadas, prevf (calcule) y mostre (es decir, verifique) la ganancia (en resul-tados obtenidos y en tiempo) que se podia obtener a traves de esas modificaciones faciles de ensefiar17•
Estos dos ejemplos me ensefiaron que el saber no se difunde natural mente, ni siquiera cuando una investigacion didactic a ofrece una solucion practica -a traves de un me-todo cientifico y bastante universalmente convincente- a un problema efectivo.
6. La adaptacion de Los aLumnos a Las situaciones:
Los saLtos
y
Los obstacuLos
Los sujetos (y las instituciones) se adaptan alas situa-ciones con que se encuentran y fabric an para ello
conoci-N. de T.: $e refiere al estudio de los algoritmos de la multiplicaci6n "per
gelaSIa" yde la division (par aproximaciones sucesivas al dividendo a traves de multiplos del divisor). A pesar de que ambos resultados tue-ron difundidos en publicaciones y jornadas destinadas a docentes, no se introdujeron en el sistema educativo por vias institucionales. Veanse Brousseau (1973) yBriand, N. Brousseau, Greslard et al. (1985).
mientos y saberes. Como acabamos de ver, las variantes de una situacion relativa a un mismo saber matematico pueden presentar gran des diferencias de complejidad y en conse-cuencia conducir a estrategias optimas diferentes y tambien a maneras diferentes de conocer un mismo saber.
Una metafora simple permitira ilustrar esta declara-cion: no reconocemos y no tratamos todos los numeros naturales de la misma manera. Por ejemplo hasta el 3, los comprendidos entre 4 y 7, entre 15 y 40, entre 100 Y 1000, y 18471847. No resolvemos un sistema lineal de dimension n con los mismos metodos para n = 2, 5, 10 0 100.
EI costa del reconocimiento directo (a ojo/a primera vista) del numero de elementos de una coleccion crece muy rapidamente. Mas aHa de 5 hay que estructurar y enumerar la coleccion. La estructura aditiva encuentra bastante rapida-mente sus lfmites y si uno debe utilizar con frecuencia gran-des cantidagran-des, hay que adaptar el sistema de numeraci6n.
La ensefianza debe seguir esta ley. Comenzamos por aprender a usar pequefios numeros y los usamos para cons-truir otros mas grandes. La funcion de Peano (agregar uno cada vez) parece la mas simple. Pero, enrealidad, como esta creacion recursiva es demasiado costosa para ser efectiva, los nifios desarrollan modos de reconocimiento (concepcio-nes) apropiados. l.Pueden pasar de un modo a otro siguiendo el orden natural 0 se van a encontrar con dificultades? l.No
serfa preferible favorecer la creacion de estas estrategias, si es preciso eligiendo con tar de entrada cantidades muy grandes, para desalentar el prolongamiento desesperado de un metodo de reconocimiento cada vez mas inadaptado?
La respuesta depende de la forma en que se distribuyen los costos para cada concepcion de los numeros naturales. Veamos un ejemplo: supongamos que hemos combinado todos los costos (uso, fiabilidad, aprendizaje, ... relativos a
frecuencias de empleo usuales), en una sola variable fi que representa el precio medio del tratamiento de un numero n; f1 representa el costa del reconocimiento visual, f2 el de la estructuracion aditiva, f3 el de la estructuracion multi plica-tiva, f4 el de la numeracion decimal.
Cada funcion tiene un minimo. Para val ores inferiores de las abscisas, el rendimiento baja: el metoda de conteo es inutilmente complejo para tratar una coleccion dema-siado pequefia, la concepcion es demasiado sofisticada, el aprendizaje demasiado largo, etc. Para una coleccion mas grande, el conteo se queda sin aliento, el costa de ejecucion para reconocer el numero se convierte en preeminente, el rendimiento de la concepcion se derrumba. El aprendizaje por adaptacion supone que se elijan las variables de modo tal que el conocimiento que se quiere "hacer descubrir" sea significativamente mas ventajoso que cualquier otro.
Cada metoda (reconocimiento visual, estructuracion aditiva y multiplicativa, etc.) se vuelve rapidamente com-plejo e incierto cuando aumenta el tamafio de la coleccion, mientras que el metodo siguiente no presenta todavia una eficacia evidente. Los campos de utilizacion justificada y facil estan separados. Si bien el "descubrimiento" por par-te de los alumnos de una nueva estrapar-tegia es po sible, ese hallazgo esta mas motivado cuando las condiciones de la situacion corresponden a una ventaja mayor del nuevo
me-todo en relacion con el anterior. Y este ultimo, por 10 tanto, se muestra inmediatamente ineficaz.Este caso sugiere evitar las dificultades mencionadas efectuando una progresion a traves de saltos
informacio-naZes, es decir, a traves de modificaciones de una variable didactica donde se proponen caracteristicas informaciona-les 10 suficientemente diferentes como para que surja un cambio de metodo.
Costo del conocimiento
Variable de complejidad
La figura anterior representa la hipote~is favorable de una progresion regular de la ensefianza. El pasaje progresi-vo de una concepcion a otra no presenta dificultades debi-das a los saltos de complejidad informacional.
Cada manera organizada pero particular de tratar una no-cion matematica constituye 10 que llamamos una concepno-cion. Par ejemplo, distinguimos varias concepciones diferentes de la divisionl8• El pasaje de un conocimiento a otro dentro de
una misma concepcion no es costoso, el aprendizaje tampo-co, porque corresponde a 10 que Piaget identifica como una asimilacion. EI pasaje de una concepcion a otra es mas diffcil porque corresponde a un cambio importante de repertorio. Su
---18 N. de T.: Yeanse Brousseau yBrousseau (1987) Y Brousseau (1988)
aprendizaje exige cierta reorganizacion de los conocimientos anteriores (una acomodacion). Estas concepciones, pues, es-tin determinadas por su estructura logica interna pero tambien por la frecuencia y la eficacia con las que son titiles. Las con-cepciones pueden determinarse teoricamente como conjuntos de conocimientos y de saberes, frecuentemente requeridos en simultaneo para resolver situaciones, y pueden determinarse empfricamente como patrones de respuestas coherentes dadas por gran parte de los sujetos a un tipo de situacion.
Es interesante recalcar que la adaptacion optima de un sujeto (0 una institucion) a un conjunto de condiciones con-duce a este sujeto a concepciones diferentes para una mis-ma nocion mis-matemMica. Esto se encuentra en la base de h teorfa de la transposici6n didactica. Inversamente, las con-cepciones determinan ambitos donde la nocion matemMica es eficaz, ambitos -la mayorfa de las veces- separados.
El aprendizaje presenta frecuentes rupturas que pueden tener formas y orfgenes variados: saltos informacionales, cam-bios en la forma de control (proto, para 0matemMico), origen
ontogenetico, eleccion didactica, contingencia epistemologica, etc. Algunas de las concepciones adquiridas no desaparecen inmediatamente en provecho de una concepcion mejor: resis-ten, provocan errores y se constituyen asf en "obstaculos".
Debemos el concepto de "obstaculo epistemologico" a Bachelard19, quien explicito que ese tipo de obstaculo no
se producfa en matematicas. La modelizacion de las situa-ciones me condujo a pensar 10 contrario y a proponer una definicion apropiada:
---19 N. de T.: Bachelard (1938).
- Un obstaculo es un "conocimiento" en el senti do que Ie hemos dado de "manera regular de tratar un conjunto de situaciones".
- Este conocimiento da resultados correctos 0
venta-jas apreciables en determinado ambito, pero se reve-la falso 0 completamente inadaptado en un ambito
nuevo 0 mas amplio.
- El conocimiento nuevo, verdadero 0 valido sobre
un ambito mas amplio no se establece "a partir" del conocimiento anterior sino contra el: utiliza otros puntos de vista, otros metodos, etc. Entre ell os no existen relaciones "logicas" evidentes que permiti-rfan desacreditar facilmente el error antiguo a traves del conocimiento nuevo. Por el contrario, compiten en el antiguo ambito.
- Estos conocimientos no son construcciones persona-les variabpersona-les. Son respuestas "universapersona-les" en ambi-tos precisos. Aparecen entonces casi necesariamente en la genesis de un saber, ya sea en una genesis his-torica 0 didactica.
De esta "definicion" se pueden deducir algunas caracte-rfsticas observables de los obstaculos:
Un obstaculo se manifiesta a traves de errores, pero esos errores en un mismo sujeto estan unidos entre sf por una fuente comtin: una manera de conocer, una concepcion caracterfstica, coherente aunque no correcta, un "conoci-miento" anterior que tuvo exito en todo un dominio de ac-ciones. "No se trata de considerar los obstaculos externos como la complejidad 0 la fugacidad de los fenomenos, ni
de incriminar la debilidad de los sentidos 0 del espfritu
hu-mana: es en el acto mismo de conocer, fntimamente, donde aparecen, por una especie de necesidad funcional, los
entor-pecimientos y las confusiones. [...] se conoce
en contrade
un conocimiento anterior"20.
De este modo, el obstaculo no desaparece con el
apren-dizaje de un nuevo conocimiento. Por el contrario, opone
resistencia a su adquisicion, a su comprension, frena su
aplicacion, subsiste en estado latente y reaparece de forma
imprevista, en especial en su ambito anterior, cuando las
circunstancias 10permiten.
Es inutil, pues, ignorar un obstaculo. Hay que
recha-zarlo explfcitamente, integrar su negacion en eI
aprendi-zaje de un conocimiento nuevo, particularmente bajo la
forma de contraejemplos. En este sentido, es constitutivo
del saber.
Algunos ejemplos: los obstaculos no siempre son
co-nocimientos "falsos", como el tratamiento separado de la
parte entera y Ia parte decimal de los numeros decimales,
o indebidamente extendidos, como la IineaIidad. EI
alum-no que tuvo que comprender que el producto de numeros
naturales mayores que 1 es una repeticion de sumas -y, en
consecuencia, es mas grande que cada factor- no accede
facilmente a interpretar y utilizar 0,2 x 0,3
=0,6 ni
distin-gue el numero natural 4 que tenia un antecesor, del
"mis-mo" 4 pero ahora decimal que no 10 tiene. EI obstaculo
es, por 10 tanto, un conocimiento perfectamente legftimo
e inevitable.
La existencia de obstaculos en la continuidad de las
funciones fue estudiada por EI Bouazzaoui (1988) y en un
coloquio realizado en Montreal presento como objeto de
estudio algunas cuestiones relativas a los obstacuIos y los
conflictos sociocognitivos21.
20 N. de T.: Ibidem (edici6n 1985, p. 15)
21 N. de T.: Yeanse Brousseau (1983), (1989) y (1989a).
La puesta en evidencia de Ia necesidad de Ia
institucio-nalizaci6n y luego la existencia de Ios obstaculos de origen
epistemologico 0 didactic022tuvo consecuencias
importan-tes sobre el estado cientffico de la modelizacion de las
situa-ciones en didactica:
1. La modelizacion de Lassituaciones en didactica
-en
Ias cuales el docente se limita a crear y mantener
las situaciones sin intervenir sobre el proceso
cog-nitivo-
permite identificar, concebir y mejorar Las condiciones espedficas de la construccion autono-ma de Los conocimientos matematicos.Esto parece
justificar las tesis constructivistas.
2. Pero el funcionamiento natural de Las situaciones "constructivistas" conduce al alumno a conocimien-tos localmente adaptados, pero que la mayoria de Las veces se revelaron, mas adelante,
insuficienteso
inclu-sofalsos
y algunos se constituyeron en obstaculos. 3. Ademds, esta construccion autonoma no puede darel estado de saber a Losconocimientos desarrollados.
Los conocimientos canonicamente constituidos son
aquellos inteligibles para los otros, compartidos,
con-formes a la voluntad didactica de Ia sociedad, cuya
importancia esta garantizada por la historia y Ia
cul-tura y que seran reutilizados mas adelante. La
inter-vencion didactica del docente es la que permite
iden-tificar conocimientos canonicos en 10que el alumno
N. de T.: Los obstaculos de origen epistemol6gico son aquellos que no se pueden ni se deben evitar porque son constitutivos del conocimiento mismo; los de origen didactico son los que parecen depender de las elecciones que se hacen en la enseiianza.
o los alumnos han concebido en las situaciones auto-nomas. Este estado de conocimiento institucionaliza-do no puede surgir de las situaciones, ya que en ellas -para el alumna- se disimula la intencion didactica.
4. Las afirmaciones 2 y 3 no contradicen la hipotesis se-gun la cual solamente los funcionamientos autonomos del alumno son el indicador de que adquirio conoci-mientos utilizables. Pero tampoco alivian !as crfticas de las pedagog£as que no permiten el funcionamiento
10-calmentejustificado de los conocimientos del alumno. 5. Por el contra rio, esas afirmaciones hacen aparecer
como indispensable la inmersion de los mode/os de situaciones en didactica en modelos mas amplios, que incluyan las accionesdel profesor.
6. Finalmente, a pesar de que tome una evidente po-sicion de realismo y positivismo racionalista (una especie de vuelta alas exigencias del conductismo), las especulaciones teoricas se amplfan y la exten-sion de los estudios plantea el problema de la con-sistencia general de este enfoque. ;,Hay que aceptar una teorfa de las situaciones didacticas?
Si consideramos la ensefianza como "el proyecto y accion social de que un alumno se apropie de un saber constituido 0en
vIas de constitucion", la didactica de la matemlitica seconvier-te en "la ciencia de las condiciones de difusion y apropiacion de los conocirnientos matemliticos utiles a los hombres y asus instituciones". La modelizacion de esta difusion conduce a uti-lizar el terrnino "situacion didactica" en el sentido de "entorno del alumno, que induye todo 10 que coopera especfficamente en la componente matematica de su formaci on" . Recordemos que al inicio del texto presentamos las situaciones· didacticas desde dos puntos de vista23: en la seccion A utilizamos el
pri-mero y ahora nos conviene pensar desde el segundo.
Una interaccion se vuelve didactica si y solo si uno de los sujetos exhibe la intencion de modificar el sistema de co-nocimientos de otro (los medios de decision, el vocabulario, los modos de argumentacion, las referencias culturales).
Muchas obras esquematizan la situacion de ensefianza
por el "triangulo" representado en la figura 6, que
solamen-te toma en cuenta las relaciones del sissolamen-tema "profesor" con
el sistema "alumno".
Este esquema tiene el inconveniente de reducir el
en-torno did,ktico a la accion del profesor y oculta
comple-tamente las relaciones del sujeto con todo media
adidac-tica. GA que nos referimos? La intervencion del profesor
evoca necesariamente, para los conocimientos que ensefia,
un funcionamiento posible en otras circunstancias, no
so-lamente en las "situaciones de uso didactico" (ejercicios
o problemas) que plantea. Crea, entonces, ficticia
0~fec-tivamente, otro "medio" donde el alumno actua de forma
autonoma. Esto conduce entonces a un esquema como el
que muestra la figura 7.
·1
ALumnOrS
Situaci6n didactica (como herramienta)
Por
10tanto, la primera cuestion teorica que se plantea
es: el profesor
wuede
no tener en cuenta ese medio? La
segunda es: Gqueestructura hay que atribuirle?
EI estudio de las situaciones como herramientas
didac-ticas (es decir en el primer sentido) conduce a aceptar las
siguientes proposiciones:
- La comunicacion "didactica" tiene por fin dar a su
destinatario un instrumento de control
0de
regula-cion sobre cierto media. Llamamos madela
implici-to de acci6n a la capacidad minima de controF4. La
conciencia que puede tener el sujeto que aprende
de su capacidad de control sobre una situacion
0un
medio dado es identificada como "su"
conocimien-to. Tomar conciencia de sus conocimientossupone,
por parte del que aprende, la pnktica (efectiva
0ficticia) de ciertos tipos de interacciones sociales
(formulaci6n, prueba) y, ademas, el uso de un
re-pertorio cultural determinado. Este bagaje de
cono-cimientos culturales (formulables
0comunicables
al menos a traves de procedimientos no verbales)
es objeto de un reconocimiento por medio de un
sistema de saberes (que incluye la sintaxis) mas
0menos especffico.
Los instrumentos culturales de reconocimiento y
or-ganizaci6n de los conocimientos son los saberes,
ob-jetos de una actividad especffica de las instituciones
N. de T.: Ya se hizo una referencia a esta nocion en elitem 2 de la seccion A, aJ describir las situaciones de accion.