COMPLEMENTO MATEMÁTICO
COMPLEMENTO MATEMÁTICO
LA PARÁBOLA
LA PARÁBOLA
Cuál es la distancia que separa el centro de un túnel con forma Cuál es la distancia que separa el centro de un túnel con forma de arco parabólico y altura máxima de 18 mts. Con respecto del de arco parabólico y altura máxima de 18 mts. Con respecto del túnel de sujeción de una señal colocada a una altura de 10 mts. túnel de sujeción de una señal colocada a una altura de 10 mts. El túnel tiene una luz total de 24 mts.
El túnel tiene una luz total de 24 mts.
CASO
LOGRO DE SESIÓN
LOGRO DE SESIÓN
Al
Al fifinanalilizzar ar la la sesesisión ón el el esestutudidianantte e ididenentitifificca a y y grgrafaficica a loloss co
compmpononenentetes s de de la la paparrábábolola a asasí í cocomo mo plplanantetea a y y rresesueuelvlvee pr
proboblelemamas s de de cocontntexexto to rereal al rerelalaciciononadados os a a su su esespepecicialalididadad haciendo uso de la teoría de la ecuación de la parábola.
Saberes Previos
Ecuaciones
TEMARIO
DEFINICION DE LA PARABOLA
ECUACIONES:
ECUACIÓN CANÓNICA
Sobre el eje “x” Sobre el eje “y”
ECUACIÓN ORDINARIA
Sobre el eje “x” Sobre el eje “
y
”LA PARABOLA
Definición:
Una parábola es el
lugar geométrico
de un
punto P que se mueve en un plano de tal manera que su
distancia de una recta fija
l
llamada
directriz
, situada en el
plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo F
llamado foco y que no pertenece a la recta.
Ecuación Canónica con eje vertical (arriba)
La ecuación de una Parábola con
en el
sobre el
y
en el punto
con
es:
Abre hacia arriba
Vértice:
(0, 0)
Foco:
(0, )
Longitud del Lado Recto:
= |4|
Ecuación de la Directriz:
= – 2,
0
4
x
py
p
LA PARABOLA
vértice origen
,
ejeV(0, 0) F(0, p) L(–2p, p) R(2p, p)
GRÁFICA:
4 LR p y pEjemplo:
Hallar la ecuación de la parábola con V(0; 0) y foco F(0;2) y bosqueje su gráfica.Solución: puesto que el foco es F(0;2), se concluye que p = 2 (y por lo tanto, la directriz es y = -2) Así, la ecuación de la parábola es
= 4 = 2 = 4 2
= 8
Ejemplo: Hallar la ecuación de la parábola cuyo foco es F(0 , 3/2) y cuya directriz es la recta l : 2y + 3 = 0.
La ecuación de una Parábola con
en el
,
sobre el
y
en el punto
con
es:
Abre hacia abajo
Vértice:
(0, 0)
Foco:
(0, )
Longitud del Lado Recto:
= |4|
Ecuación de la Directriz:
= – 2
,
0
4
x
py
p
Ecuación Canónica con eje vertical (abajo)
vértice origen eje focal e foco F
V(0, 0) F(0, p) L(2p, p) R(–2p, p)
GRÁFICA:
y p 4 LR pEjemplo:
Encuentre el foco y la directriz de la parábola y = −y bosqueje su gráfica.
Solución: Para hallar el foco y la directriz, se escribe en forma estándar la ecuación = −. Comparando esto con la ecuación general = 4,
se puede observar que 4 = −1, por lo tanto = −1/4. Así, el foco es
F(0, -1/4) y la directriz es y=1/4. La grafica de la parábola, junto con el foco y la directriz son:
La ecuación de una Parábola con
en el
sobre el
y
en el punto
con
es:
Abre a la derecha
Vértice:
(0, 0)
Foco:
(, 0)
Longitud del Lado Recto:
= |4|
Ecuación de la Directriz:
= – 2
,
0
4
y
px
p
Ecuación Canónica con eje horizontal (derecha)
vértice origen
,
ejeV(0, 0) F(p, 0) L(p, 2p) R(p, –2p)
GRÁFICA:
x p 4 LR pEjemplo:
Encuentre la ecuación de la parábola con vértice V(0; 0) y foco F(5; 0) y bosqueje su gráfica.Solución: Puesto que el foco es F(5;0), se concluye que p = 5 (y por lo tanto, la directriz es x = –5 ) Así, la ecuación de la parábola es
= 4 = 5 = 4 5
= 20
Ejemplo: En cierta parábola la distancia del vértice al foco F es 1. P es un punto de la parábola que dista 5 unidades del foco. Q es la proyección de P sobre la directriz. R es la intersección de la directriz con el eje x. Hallar el área del cuadrilátero PQRF.
La ecuación de una Parábola con
en el
,
sobre el
y
en el punto
con
es:
Abre a la izquierda
Vértice:
(0, 0) Foco: (, 0)
Longitud del Lado Recto:
= |4|
Ecuación de la Directriz:
= – 2
,
0
4
y
px
p
Ecuación Canónica sobre “y” (izquierda)
vértice origen eje focal e foco F
V(0, 0) F(p, 0) L(p, –2p) R(p, 2p)
GRÁFICA:
x p 4 LR pEcuación Ordinaria de la Parábola
(Vertical)
>
Abre hacia arriba
Vértice:
(ℎ, )
Foco:
(ℎ, + )
Directriz:
= – + <
Abre hacia abajo
Vértice:
(ℎ, )
Foco:
(ℎ, + )
Directriz:
= – + Ejemplo:
Encuentre el vértice, el foco y la directriz de la parábola:
2
Ejemplo:
Encuentre el vértice, el foco y la directriz de la parábola:Ejemplo:
Encuentre el vértice, el foco y la directriz de la parábola:Ecuación Ordinaria de la Parábola
(Horizontal)
>
Abre a la derecha
Vértice:
(ℎ,)
Foco:
( + ℎ,)
Directriz:
= – + ℎ
<
Abre a la izquierda
Vértice:
(ℎ, )
Foco:
( + ℎ,)
Directriz:
= – + ℎ
y k
2 4
p x h
Ejemplo: Encuentre el vértice, el foco y la directriz de la parábola:
2Ejemplo:
Hallar la ecuación de la parábola, si se dan el foco F(5 , 2) y la directriz l: x -3 = 0.Forma General de la Ecuación de la
Parábola.
0
2 Dx
Ey
F
y
Eje HORIZONTAL:
Ejemplo:
Encuentre el vértice, el foco y la directriz de la parábola:2
6 4 5 0
Ejemplo:
Dada la ecuación de la parábola: : 3 − 30 + 24 + 43 = 0, hallar todos sus elementos y esbozar su gráfica.Ejemplo:
Hallar los elementos de la parábola de eje horizontal que pasa por los puntos A(3 , 3), B(6 , 5) y C(6 , -3). Esbozar su gráfica.Aplicación de la Ecuación de la
Parábola.
Las parábolas tienen una propiedad importante que las hace útiles como reflectores
para lámparas y telescopios. La luz de una fuente colocada en el foco de una
superficie con sección transversal parabólica se reflejará de tal forma que viaja paralela al eje de la parábola. Así, un espejo parabólico refleja la luz en un haz de rayos paralelos. Por el contrario, la luz que se aproxima al reflector en rayos paralelos a su eje de simetría es concentrada al foco. Esta propiedad de reflexión,
que se puede demostrar por medio de cálculo, se emplea en la construcción de telescopios reflectores.
Ejemplo:
Hallar el punto focal de un reflector proyector.Un proyector tiene un reflector parabólico que forma un “tazón” que mide 12 pulgadas de ancho de
borde a borde y 8 pulgadas de profundidad, como se ilustra en la figura. Si el filamento del bombillo se localiza en el foco, ¿Qué tan lejos del vértice del reflector está?
Solución: Se introduce un sistema de coordenadas y se coloca una sección transversal parabólica del reflector de modo que su vértice esté en el origen y su eje sea vertical. Entonces la ecuación de esta parábola tiene la forma = 4. Considerar
que el punto (6; 8) se encuentra sobre la parábola y la empleamos para hallar p. El punto (6; 8) satisface la ecuación = 4
6 = 4(8) 36 = 32
= 9 8
El foco es F(0; 9/8), de modo que la distancia entre el vértice y el foco es
= 1
pulg. Debido a que el filamento está colocado en
Ejemplo: Las dos torres de suspensión de un puente colgante distan entre sí 300 m. y se extienden 80m por encima de la calzada. Si el cable (que tiene la forma de una parábola) es tangente a la calzada en el centro del puente, determinar la altura del cable por encima de la pista a 50m y también a 100m del centro del puente. (Asumir que la pista es horizontal)
