y aprobada por el siguiente comité
______________________________________ Dr. Rogelio Vázquez González
Director del Comité
______________________________________ Dr. José Manuel Romo Jones
Miembro del Comité
______________________________________ Dr. Silvio Guido Lorenzo Marinone Moscheto
Miembro del Comité
______________________________________ Dr. Thomas Gunter Kretzschmar
Miembro del Comité
______________________________________ Dr. Antonio González Fernández Coordinador del programa del Posgrado en
Ciencias de la Tierra
______________________________________ Dr. David Hilario Covarrubias Rosales Director de la Dirección de Estudios de
Posgrado
Programa de Posgrado en Ciencias en Ciencias de la Tierra
Modelación en 3-D de acuíferos utilizando el método de las diferencias finitas
Tesis
para cubrir parcialmente los requisitos necesarios para obtener el grado de Maestro en Ciencias
Presenta:
Adrián Misael León Sánchez
Resumen de la tesis de Adrián Misael León Sánchez, presentada como requisito parcial para la obtención del grado de Maestro en Ciencias en Ciencias de la Tierra con orientación en Geociencias Ambientales
Modelación en 3-D de acuíferos utilizando el método de las diferencias finitas
Resumen aprobado por:
Dr. Rogelio Vázquez González
El agua es un recurso vital que requiere la atención inmediata para asegurar su
conservación en términos de cantidad y calidad. Dado que las fuentes de agua superficial
son muy limitadas, los recursos hidráulicos subterráneos son muy importantes; por lo que
el estudio de estos recursos es necesario, empleando comúnmente para ello el modelado
numérico de flujo de agua subterránea.
Esta propuesta pretende implementar la generación de un algoritmo de modelado directo,
basado en el esquema de discretización de diferencias finitas en tres-dimensiones (3-D) de
las ecuaciones que gobiernan el flujo de agua subterránea, con la intención de simular y
predecir el comportamiento de un acuífero, de flujo transitorio y flujo estacionario, así
como la determinación de los parámetros geohidrológicos (por ejemplo, nivel freático del
acuífero, dirección y magnitud del flujo de agua subterránea), todo lo anterior a partir de un
modelo sintético del acuífero. Se hace uso del lenguaje de programación FORTRAN y se
tiene contemplado el uso de visualizadores capaces de mostrar animaciones del
comportamiento del acuífero en tiempo y en espacio. Este desarrollo no pretende competir
con software comercial existente, sino proporcionar una herramienta propia, abierta a
modificaciones, adaptaciones, etc., que pueda utilizarse por cualesquiera usuarios sin
constituir una caja negra. Por otra parte el desarrollo del algoritmo pondrá de manifiesto las
limitaciones y los problemas de la implementación numérica de la solución de un sistema
de ecuaciones diferenciales con variaciones temporales y espaciales, así como con distintas
condiciones de frontera.
Abstract of the thesis presented by Adrián Misael León Sánchez, as a partial requirement to obtain the Master of Science degree in Earth Sciences with orientation in Environmental Geosciencies.
3-D modeling of aquifers using the finite difference method
Abstract approved by
Dr. Rogelio Vázquez González
Water is a vital resource that requires immediate attention to ensure their conservation in
terms of quantity and quality. As surface water sources are very limited, groundwater
resources are very important, so the study of these resources is necessary, thereby
commonly using numerical modeling of groundwater flow.
This proposal aims to implement an algorithm to generate direct modeling, scheme based
on the finite difference discretization of three-dimensional (3-D) of the equations
governing the groundwater, with the aim to simulate and predict the behavior of an aquifer,
of transient flow and steady flow,and the determination of the geohydrological parameters
(for example, the water table aquifer, direction and magnitude of groundwater flow), all
this from a synthetic model of aquifer. We used the FORTRAN programming language and
it is planned to use software capable of displaying animations of the aquifer behavior in
time and space. This development is not intended to compete with existing commercial
software, but to provide a proprietary tool, opened to modifications, adaptations, etc., that
can be used by others without constituting a black box. Moreover the development of the
algorithm will highlight the limitations and problems of the numerical implementation of
the solution of a system of differential equations with temporal and spatial variations, and
with different boundary conditions.
Dedicatoria
A mis padres, Daniel Misael León Chávez y María Dolores Sánchez Fuentes, quienes
poseen todo mi amor, respeto, reconocimiento y lealtad.
A mis hermanos:
• Claudia y Héctor
• Rossana
• Paul y Mirla
A mis sobrinos:
• Sebastián
• Esteban
• Héctor
A toda mi familia.
Agradecimientos
Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) por el apoyo económico que me brindó para realizar mis estudios de posgrado.
Al Centro de Investigación Científica y de Educación Superior de Ensenada, Baja California (CICESE), por la formación académica y recursos que me proporcionó.
Al Dr. Rogelio Vázquez González por haberme acogido en su grupo de trabajo y dedicarme parte de su valioso tiempo.
A mi Comité de Tesis por el tiempo otorgado a este trabajo.
• Dr. José Manuel Romo Jones
• Dr. Silvio Guido Lorenzo Marinone Moscheto
• Dr. Thomas Gunter Kretzschmar
Al personal académico de la División de Ciencias de la Tierra de CICESE por su total
disposición en la transmisión de conocimiento.
Al personal administrativo y técnico, cuyo arduo trabajo y dedicación son dignos de
reconocer.
Especialmente a Salvador, Nelly, Minerva, Ludmila, Anaid y Amalia, por haberme
brindado su amistad y su tiempo.
Tabla de contenido
Resumen ... I
Abstract ... II
Dedicatoria ... III
Agradecimientos ... IV
Tabla de contenido ... V
Lista de figuras ... VIII
Lista de tablas ... XIII
Capitulo 1. Introducción ... 1
Capitulo 2. Metodología ... 6
2.1 Física del flujo de agua subterránea 6 2.1.1 Ley de Darcy... 6
2.1.2 Ley de Darcy en tres dimensiones ... 6
2.1.4 Problemas dependientes del tiempo... 10
2.1.4.1 Acuíferos confinados ... 11
2.1.4.2 Acuíferos no confinados ... 12
2.2 Aspectos relevantes del método de diferencias finitas 13 2.2.1 Diferencias finitas en una dimensión ... 13
2.2.1.1 Aproximación por líneas rectas ... 14
2.2.1.2 Aproximación por series de Taylor ... 15
2.2.2 Aproximación en diferencias finitas en dos o tres dimensiones ... 16
2.3 Modelo matemático analítico 18
2.4 Convención de la discretización 19
2.5.1 Aproximación explícita en diferencias finitas para la variación con respecto al
tiempo ... 28
2.6 Aspectos generales sobre los métodos iterativos 32 2.6.1 Método iterativo de Gauss - Seidel ... 32
2.6.2 Sobre Relajamiento Sucesivo (SOR) ... 33
2.6.3 Iteraciones en la modelación desarrollada ... 34
2.7 Simulaciones del estado estacionario 37 2.8 Tipos de celdas y simulación de fronteras 37 2.9 Simulación de los estreses. 39 2.9.1 Simulación de pozos de extracción o inyección de agua ... 39
2.9.2 Simulación de recargas verticales (precipitación) ... 40
2.9.3 Simulación de recargas laterales ... 40
2.9.4 Simulación de la presencia de ríos ... 40
2.9.5 Simulación de la presencia de drenajes ... 42
2.9.6 Simulación del proceso de evapotranspiración (ET) ... 43
2.10 Cálculo de gradiente hidráulico 44 2.11 Diagrama de flujo 44 Capitulo 3. Resultados ... 47
3.1 Pruebas con resultado previamente conocido. 47 3.1.1 Modelo con valores de PH constante en la frontera. ... 47
3.1.2 Simetría ... 49
3.1.3 Modelo con frontera impermeable... 51
3.1.4 Prueba con las entradas al sistema iguales a las salidas del mismo ... 53
3.2 Comparación con una solución analítica sencilla 54 3.3 Comparación del algoritmo propuesto con MODFLOW. 57 3.3.1 Modelo con presencia de pozos de extracción de agua (Modelo 1). ... 58
3.3.3 Modelo con la adición de la presencia de un drenaje (Modelo 3) ... 60
3.3.4 Modelo con la adición de la recarga por precipitación (Modelo 4). ... 61
3.3.5 Modelo con la adición del proceso de evapotranspiración (Modelo 5). ... 61
3.3.6 Resumen de diferencias relativas y tiempos de proceso. ... 61
3.4 Visualización de la información en tres-dimensiones. 62 3.4.1 Visualización del gradiente hidráulico ... 63
3.4.2 Visualización 3-D del cambio de PH... 66
3.4.3 Modelo sintético del acuífero del Valle de Guadalupe, B. C., México. ... 69
Capitulo 4. Conclusiones ... 78
ANEXOS. Uso del algoritmo desarrollado. ... 79
Archivo de parámetros de entrada ... 79
Especificación del modelo a usar (flujo estacionario o de flujo transitorio) ... 81
Especificación del número de renglones, de columnas y de capas del modelo ... 81
Especificación de las dimensiones tiene cada celda ... 81
Especificación de la posición espacial de cada celda ... 84
Especificación de las celdas activas, cuales son las celdas inactivas y cuáles son las celdas con PH constante ... 85
Especificación del modelo inicial de PH ... 87
Especificación del modelo de conductividades hidráulicas... 88
Especificación de los estreses a los que será sometido el modelo ... 89
Especificación de archivos con información de estreses para el caso estacionario .. 90
Especificación de archivos con información de estreses para el caso transitorio ... 91
Otros archivos de entrada necesarios ... 95
Salida de la información ... 97
Salida de la información para el caso estacionario. ... 97
Salida de la información para el caso transitorio. ... 98
Lista de figuras
Figura Pág.
1 Recipiente de sección constante por el que se hace circular agua
enchufándolo a un recipiente situado a un nivel de altura superior y
constante. En el otro extremo se regula el caudal de salida mediante un
grifo que en el experimento mantiene el caudal constante. Modificado
de Wang (1982, p. 6).
7
2 Flujo para un volumen elemental de fluido. Modificado de Rushton, et
al. (1979, p. 13)
8
3 Representación gráfica del efecto de almacenamiento para acuíferos
confinados (a) y no confinados (b). Modificado de Rushton, et al. (1979,
p. 16).
11
4 Variación representativa del PH en una sección de acuífero como a)
función continua y b) aproximación en diferencias finitas. Tomado de
Rushton, et al. (1979, p. 27).
14
5 a) Rejilla en Tres-Dimensiones y b) determinación de coeficientes de
ecuaciones en diferencias finitas. Tomado de Rushton, et al. (1979, p.
31).
17
6 Discretización de un acuífero hipotético. Modificado de Harbaugh
(2005, p. 21)
21
7 Índices para las seis celdas adyacentes y que rodean a la celda i,j,k
(oculta). Modificado de McDonald et al. (1984, p. 14).
24
8 Flujo que entra a la celda i,j,k y que procede de la celda i,j-1,k.
Modificado de Harbaugh (2005, p. 23).
24
10 Iteración Gauss-Seidel. Las flechas indican el orden de iteración. Los
superíndices indican el número de iteración en el que se encuentra el
proceso. Tomado de Wang, et al. (1982, p. 26).
33
11 Cálculos iterativos y distribución del PH. Modificado de Harbaugh
(2005, p. 30).
35
12 Acuífero discretizado, mostrando fronteras y designación de celdas.
Tomado de Harbaugh (2005, p. 33).
38
13 Discretización de dos ríos en segmentos. Algunos segmentos pequeños
son ignorados. Tomado de Harbaugh (2005, p. 81)
42
14 Diagrama de flujo del algoritmo desarrollado. 45
15 Modelo inicial cuya frontera tiene valores de PH constante. Solo se
muestra la primera capa del modelo, las restantes cuatro son idénticas.
48
16 Modelo conformado en su totalidad por el valor 100. Ver escala de
color.
49
17 Modelo inicial con la ubicación de un pozo (celda color amarillo). Solo
se muestra la primera capa del modelo, las restantes cuatro son
idénticas.
50
18 Resultados arrojados por el algoritmo propuesto donde se aprecia la
simetría que guarda la información con respecto a los ejes de simetría
51
19 Modelo con frontera impermeable, celda con PH constante (celda color
rojo) y geometría irregular. Solo se muestra la primera capa del modelo,
las restantes cuatro tienen la misma configuración.
52
20 Resultado del proceso iterativo del modelo con frontera impermeable y
geometría irregular.
53
21 a) Ubicación de las celdas donde se asignaron las recargas laterales
(celdas color amarillo) y de las celdas donde llevó a cabo el cálculo del
volumen que sale del sistema (celdas color rojo). b) Parte del archivo de
control donde se muestra el cálculo de las entradas y el cálculo de las
salidas (Recuadro rojo).
54
23 Modelo inicial que representa un cambio en el PH y cuyos resultados
finales se compararon con los datos de la Tabla 1. Solo se muestra la
primera capa del modelo
56
24 Resultados de la versión 3-D del modelo con solución analítica sencilla 57
25 Modelo inicial y ubicación de pozos de extracción de agua 59
26 Modelo que muestra la posición del río en celdas color azul 60
27 Modelo que muestra la posición del drenaje en celdas color gris 60
28 Modelo inicial usado para mostrar la variación del gradiente hidráulico
generado a partir de un pozo de extracción de agua
64
29 a) Dirección del gradiente hidráulico debido a la presencia de un pozo
de extracción de agua y de dos zonas impermeables (Vista superior). b)
Dirección del gradiente hidráulico debido a la presencia de un pozo de
extracción de agua y de dos zonas impermeables (Vista lateral).
65
30 Dirección del gradiente hidráulico para cada uno de los 12 periodos de
estrés a los que fue sometido el modelo.
66
31 Modelo inicial usado para la demostración de los cambios en el PH
debido a los diferentes periodos de estrés a los que fue sometido el
modelo. Celdas color gris representan celdas con PH constante, la celda
amarilla muestra la posición del pozo.
67
32 a) Estrés 01: 00 días 04 hrs 48 min; b) Estrés 02: 00 días 07 hrs 41 min;
c) Estrés 03: 00 días 12 hrs 12 min; d) Estrés 04: 00 días 19 hrs 42 min;
e) Estrés 05: 01 días 07 hrs 26 min; f) Estrés 06: 02 días 02 hrs 24 min;
g) Estrés 07: 03 días 08 hrs 38 min; h) Estrés 08: 05 días 08 hrs 53 min
68
33 Modelo de conductividades hidráulicas [LT-1]. a) Vista superior, b) Vista inferior, c) Vista frontal, d) Vista trasera, e) Vista lateral
izquierda, f) Vista lateral derecha
70
34 Diferentes ángulos, vistas y perspectivas del modelo de conductividades
hidráulicas [LT-1].
71
35 Avistamiento de la información gracias a cortes, planos y acercamientos
del modelo
36 PH del modelo estacionario. Este modelo será usado como inicial para
cuando inicie el cálculo del modelo de flujo transitorio.
73
37 Cambio de los niveles de PH. Notese como los niveles disminuyen
conforme pasa el tiempo. a) Estrés 30: 60 meses; b) Estrés 60: 120
meses; c) Estrés 90: 180 meses; d) Estrés 120: 240 meses.
74
38 Cambio en los niveles de PH y cambio en la dirección del gradietne
hidráulico. a) Estrés 30: 60 meses; b) Estrés 60: 120 meses; c) Estrés 90:
180 meses; d) Estrés 120: 240 meses.
76
39 Contenido del archivo INPUT.TXT, el cual contiene todos los
parámetros de entrada de un modelo.
80
40 Información contenida en el archivo GX.txt. El tamaño de todas las
celdas en la dirección X es de 500 metros. Solo se muestra la primer
capa del modelo.
82
41 Información contenida en el archivo GY.txt. El tamaño de todas las
celdas en la dirección Y es de 500 metros. Solo se muestra la primer
capa del modelo
83
42 Información contenida en el archivo GZ.txt. El tamaño de todas las
celdas en la dirección Z es de 20 metros. Solo se muestra la primer capa
del modelo
83
43 Primera capa del archivo GPOSX.TXT. Las restantes 8 capas son
idénticas
84
44 Primera capa del archivo GPOSY.TXT. Las restantes 8 capas son
idénticas
84
45 Primeras dos capas del archivo GPOSZ.TXT. Nótese que la posición de
las capas está referenciada con respecto al nivel medio del mar
85
46 Actividad o inactividad de las celdas del modelo. El caracter 0 indica la
inactividad de la celda, mientras que el carácter 2 indica que la celda es
activa. Poner atención en los tres caracteres 1 ubicados en la esquina
inferior izquierda de la figura. Esta figura representa a la capa número
cuatro del modelo.
47 Modelo inicial de PH. Poner atención en los tres valores de 295
ubicados en la esquina inferior izquierda. Los valores 100 serán
modificados, dado que corresponden a celdas activas
88
48 Modelo de conductividades hidráulicas. Se puede observar la
heterogeneidad del medio. Se muestra solamente la capa 4 del modelo
89
49 Configuración de los archivos que contienen la información para los
estreses: Recarga lateral, presencia de pozos, evapotranspiración,
presencia de ríos, presencia de drenajes
91
50 Interior del archivo GSTR.TXT 91
51 Capas 2 y 3 del modelo utilizado. Las celdas amarillas representan
aquellas celdas que están expuestas a la intemperie en cada capa
93
52 Configuración interna del archivo GFLUJO.TXT establecido en la línea
24 del archivo INPUT.TXT
95
53 Primera capa del archivo GS.TXT que especifica los valores del
coeficiente de almacenamiento del modelo
Lista de tablas
Tabla Pág.
1 Resultados obtenidos a partir de la evaluación de la ecuación (48) 55
2 Diferencias relativas máximas encontradas y tiempos de proceso de
MODFLOW y del algoritmo desarrollado.
Capitulo 1. Introducción
En muchas regiones del planeta, el abastecimiento de agua potable para los diferentes usos
está condicionado al buen manejo de los recursos hidráulicos subterráneos, debido a que,
por sus características climáticas y/o geográficas, éstos no disponen de fuentes de agua
superficial en cantidad suficiente para satisfacer la demanda. La importancia del agua
subterránea ha inducido el desarrollo de investigación científica y tecnológica para
entender los fenómenos relacionados con este tema; y para disponer de metodologías que
aporten soluciones a los problemas de flujo, el almacenamiento y la calidad del agua en el
subsuelo (Vázquez, 2002).
Las herramientas tradicionales para estudiar el flujo de agua subterránea, como la mayoría
de las transformaciones de materia y energía en las ciencias naturales, son las leyes de la
física, que se deducen de la observación sistemática del fenómeno. A éstas, se les da forma
para su cuantificación mediante ecuaciones matemáticas y son validadas en casos reales
con mediciones de campo.
El estudio del agua subterránea no ha quedado fuera de la generación de modelos
matemáticos y físicos. En general un modelo matemático que representa a un sistema
geohidrológico consiste en un conjunto de ecuaciones diferenciales que describen la
relación entre las propiedades físicas del sistema y su respuesta a las modificaciones en las
condiciones de operación. El modelo se define en forma particular al establecer las
condiciones de frontera, que representan la interacción del sistema con su entorno. La
repuesta a los cambios en las condiciones de operación del acuífero, se manifiesta a través
de variables medibles, tales como el nivel del agua en los pozos, también llamado en la
literatura potencial hidráulico (PH) o nivel piezométrico (que es función de la
conductividad hidráulica del medio poroso), la precipitación, porcentaje de infiltración del
agua al subsuelo, entre otras. Las modificaciones pueden producirse por causas naturales,
como el efecto de un periodo de sequías, disminuyendo así el nivel freático, o inducidas
por el manejo y aprovechamiento de los recursos hidráulicos mediante pozos de bombeo
En la construcción de un modelo, siempre es necesario hacer suposiciones para simplificar
la representación matemática de las condiciones de campo que, para un caso real, son
demasiado complicadas para ser representadas exactamente por el modelo. Usualmente, las
suposiciones necesarias para resolver un modelo matemático con soluciones analíticas, son
válidas solamente para casos particulares caracterizados por su simplicidad y de aplicación
limitada a condiciones reales.
Con el uso de las computadoras digitales de alta velocidad se han desarrollado lo que se
conoce como simuladores o modelos numéricos del flujo de agua subterránea. En un
sentido amplio, un modelo numérico es un conjunto de elementos estructurados para
representar una versión simplificada del sistema real. Para el caso del agua subterránea, un
modelo numérico del flujo es una representación, por medio de elementos interpretables
por la computadora, de la geometría del sistema geohidrológico, las propiedades físicas de
los materiales que lo integran y las ecuaciones del modelo físico que lo gobierna. Los
modelos numéricos han ganado popularidad debido a la versatilidad para adaptarse a
diferentes tipos de condiciones de campo. La simulación numérica del flujo de agua
subterránea se usa extensivamente para estudiar los efectos de decisiones de manejo y
aportar elementos de juicio para decidir las acciones tendientes a conservar la cantidad y
calidad del agua subterránea. Se puede utilizar un modelo numérico para predecir y evaluar
los posibles efectos de diferentes programas de manejo y las condiciones del acuífero, por
ejemplo, la ubicación de una zona de pozos de bombeo y el volumen extraído.
La confiabilidad de las predicciones que puedan obtenerse mediante la modelación en
computadora de un acuífero, dependerá de qué tan bien represente el modelo a las
condiciones de campo. Los simuladores de flujo requieren, en todos los casos, la
información sobre las propiedades físicas del sistema geohidrológico que se pretende
estudiar, tales como la conductividad hidráulica y el coeficiente de almacenamiento de los
materiales del medio natural. Es esencial contar con datos de campo suficientes, en
cantidad y calidad, cuando se utiliza un modelo para hacer proyecciones de la evolución
del sistema geohidrlógico a futuro (Wang y Anderson, 1982).
Para estudiar los problemas relacionados al manejo de acuíferos en casos reales, por lo
matemático en los simuladores del flujo de agua subterránea. Los métodos más utilizados
para la simulación son el de diferencias finitas y el de elementos finitos. En ambos casos se
requiere subdividir la región que ocupa el acuífero (el dominio del problema) en celdas o
elementos definidos por líneas que unen puntos nodales. En el método de diferencias finitas
se utilizan celdas rectangulares y se supone que las propiedades del acuífero son constantes
dentro de cada celda y están definidas por un valor asignado en el punto nodal que define la
celda. El método de elementos finitos utiliza diferentes formas geométricas para discretizar
el medio, siendo los triángulos el caso más simple.
El objetivo de la modelación es calcular el valor de las variables que representan la
respuesta del sistema a un cambio de estado en las condiciones de operación del acuífero.
La solución se obtiene en los puntos nodales previamente establecidos en el proceso de la
discretización del dominio de flujo. Esto es lo que se entiende como la solución de sistemas
con parámetros distribuidos en forma discreta (Vázquez, 2002).
Cuando se usa la aproximación en diferencias finitas para la implementación de
simuladores numéricos del flujo de agua subterránea, la geometría del acuífero se discretiza
en celdas o bloques homogéneos. Los criterios para la selección del tamaño de las celdas
son, por un lado, la cantidad y distribución de información disponible, en cuanto a las
propiedades físicas y condiciones de operación del acuífero y, por otro, el tipo y la
densidad de información que se pretende generar mediante la simulación del sistema
geohidrológico. Una vez hecha la selección del tamaño de las celdas, no necesariamente
constante en todo el dominio del flujo, se fija la escala de la discretización, esto es, la
resolución espacial de la respuesta del modelo. Esta resolución determina el tamaño
mínimo que debe tener la manifestación de algún fenómeno para que pueda ser
reproducido por el modelo (Bierkens y Henk, 1994).
Se han realizado trabajos, tales como el de Campos (2008) y Gil (2010), donde se aborda la
problemática de la modelación de acuíferos en dos dimensiones (2-D) a partir del esquema
de discretización de diferencias finitas. En ambos trabajos la generación de un algoritmo de
modelación ha sido necesaria para el desarrollo de los mismos. Dicho esquema en 2-D ha
realidad, debido a que los acuíferos modelados generalmente son espacialmente mucho
más extensos en su dimensiones horizontales que en sus dimensiones verticales.
Sin embargo, la velocidad y capacidad de las computadoras actuales permiten generar
algoritmos capaces de llevar a cabo una modelación de acuíferos en tres dimensiones (3-D)
bajo el mismo esquema de diferencias finitas. Existen aplicaciones comerciales, tales como
MODFLOW, software generado y utilizado por el Servicio Geológico de los Estados
Unidos, con el cual es posible resolver modelos bajo el esquema de las diferencias finitas
en 3-D.
En este trabajo se generó un algoritmo numérico que utiliza parámetros geohidrológicos
para construir simulaciones numéricas en 3-D del flujo de agua subterránea, para acuíferos
confinados y no confinados, tanto para el caso de flujo transitorio como para el caso de
flujo estacionario. Se utiliza un esquema de discretización de diferencias finitas para la
solución del problema directo. La implementación de este algoritmo permite llevar a cabo
modificaciones e implementar módulos capaces de incorporar nuevos parámetros,
simulaciones y/o nuevas problemáticas. El algoritmo se prueba haciendo uso de modelos
sintéticos, los resultados de nuestra modelación se comparan con los resultados de la
modelación a partir de software comercial, específicamente comparaciones con
MODFLOW.
La presentación de los resultados se lleva a cabo en visualizadores 3-D, capaces de mostrar
la geometría, propiedades del medio poroso con diferentes perspectivas o ángulos de
visualización, además del uso de animaciones del comportamiento del acuífero tanto en
tiempo como en espacio.
El Capítulo 2 de éste documento inicia con la presentación los aspectos teóricos, las
ecuaciones fundamentales y la solución numérica en la cual está basado el algoritmo
desarrollado. También se presentan las condiciones que se deben cumplir para simular los
diferentes tipos de estrés (precipitación, inyección o extracción de agua por medio de pozos
de bombeo, recargas laterales, presencia de ríos, presencia de drenajes y procesos de
evapotranspiración), así como el cálculo del gradiente hidráulico.
En el Capítulo 3 se presentan todas las pruebas a las que fue sometido el algoritmo
que se llevaron a cabo corresponden a situaciones que podrían denominarse de resultado
previamente conocido o esperado, según la situación. El capítulo continúa con la
comparación de los resultados arrojados por el algoritmo desarrollado y los resultados
arrojados por MODFLOW. Dicha comparación arroja una diferencia relativa (en %) entre
ambos resultados, el cual ayuda a validar también el buen funcionamiento del algoritmo
propuesto. En la parte final del capítulo se modela la respuesta en tiempo y en espacio de
un acuífero con geometría y propiedades físicas, que pueden considerarse semi-reales, que
es sometido a diferentes tipos de estrés.
El Capítulo 4 presenta las conclusiones finales obtenidas a partir del desarrollo de este
trabajo.
En ANEXO de este documento se incorpora un manual de usuario del algoritmo
desarrollado, en el cual se indica la manera correcta de ingresar la información así como los
Capitulo 2. Metodología
2.1Física del flujo de agua subterránea
2.1.1 Ley de Darcy
Henry Philibert Gaspard Darcy fue un ingeniero francés que hizo varias contribuciones a la
Hidráulica. Darcy se propuso encontrar experimentalmente los factores que gobiernan el
flujo de agua a través de un filtro de arena (Figura 1). Él midió la descarga cronometrando
la velocidad a la que el agua llena una pileta de un metro cuadrado, y midió la caída de PH
en la arena. Darcy definió PH a la altura, relativa a la elevación de la parte más baja de la
arena, en la cual el agua se eleva en cada tubo en forma de U. Aunque Darcy usó
manómetros llenos de mercurio, él siempre reportó sus datos de PH en términos de la altura
equivalente de agua
Por una serie de experimentos, Darcy estableció que, para un tipo de arena, el volumen de
la descarga Q es directamente proporcional a la caída de PH, h2-h1, y al área de la sección
transversal A, pero inversamente proporcional a la diferencia de longitudes l2–l1. Llamando
a la constante de proporcionalidad K, conductividad hidráulica, la Ley de Darcy está dada
por:
= −ℎ− ℎ
− . (1)
El signo negativo significa que el agua fluye en la dirección de la pérdida de PH (Wang,
1982).
2.1.2 Ley de Darcy en tres dimensiones
Es necesario generalizar el PH en función de las tres coordenadas espaciales, esto es,
h=h(x, y, z), y también generalizar dh/dl, la razón de cambio de PH con la posición, a las
tres dimensiones. Se supone un medio poroso isotrópico y se supone también que la razón
Figura 1. Recipiente de sección constante por el que se hace circular agua enchufándolo a un recipiente situado a un nivel de altura superior y constante. En el otro extremo se regula el caudal de salida mediante un grifo que en el experimento mantiene el caudal constante. Modificado de Wang (1982, p. 6).
Se define q=Q/A como la razón volumétrica de flujo por unidad de área. La cantidad q es
llamada descarga específica. En el límite, cuando la caída de PH, h2-h1, ocurre sobre un
intervalo l2-l1 cada vez más pequeño, se puede escribir la ley de Darcy en la forma
diferencial:
= −ℎ . (2)
La descarga específica q tiene unidades de velocidad y es conocida también como la
velocidad de Darcy.
La generalización en 3-D de la Ley de Darcy requiere que la forma en una dimensión,
= −ℎ , = −ℎ , = −ℎ . (3)
Hay que notar que las derivadas espaciales son derivadas parciales, debido a que el PH es
ahora función de las tres coordenadas espaciales. La ecuación (3) puede ser escrita en
notación vectorial como:
= − ℎ. (4)
El vector velocidad q tiene componentes qx, qy y qz, y el vector gradiente grad h tiene componentes ℎ/, ℎ/ y ℎ/. Dado que cada componente de q es el mismo múltiple escalar, K, del componente correspondiente de (- grad h), los vectores q y (-gradh), ambos apuntan en la misma dirección. Esta conclusión sigue de la suposición de isotropía (Wang, 1982).
2.1.3 Flujo en estado estacionario
Considerando el flujo en estado estacionario a través de un volumen elemental de espacio
(Figura 2) y asumiendo que el fluido es incompresible y que se filtra de tal manera que los
poros en el subsuelo son incompresibles, el principio de conservación de la masa estipula
que la suma del flujo de masa entrando al cubo es igual a la suma del flujo de masa que
sale del cubo.
Figura 2. Flujo para un volumen elemental de fluido. Modificado de Rushton, et al. (1979,
En el punto central P(x = y = z = 0) de un elemento (Figura 2), las velocidades son qx, qy y
qz. Consecuentemente en el plano = −, la velocidad en la dirección x es:
−2 .
La razón de volumen total de flujo de agua que entra al elemento a través del plano, está
dada por la velocidad multiplicada por el área,
−2 .
De forma similar, la razón de volumen total de flujo que abandona el elemento a través del
plano = +
está dada por
+2 .
De esta manera la razón neta de volumen total de flujo que hay en el elemento debido al
flujo en la dirección x es
.
Expresiones similares pueden obtenerse para las direcciones y y z, y por lo tanto la razón de
volumen total de flujo que deja el elemento es
! + + " . (5a)
De acuerdo al principio de conservación esto debe ser igual a cero, por lo tanto:
+ + = 0 . (5b)
Esta es la ecuación de continuidad para el estado estacionario. Diferenciando cada una de
las ecuaciones (3) con respecto a x, y y z respectivamente y sustituyendo en la ecuación
(5b), se tiene (Rushton et al., 1979):
2.1.3.1Condiciones de frontera
Los diferentes tipos de condiciones de frontera que pueden aplicar en estado estacionario
pueden ser agrupadas como sigue (Rushton et al., 1979):
a) El PH toma valores conocidos en la frontera.
b) Para una frontera impermeable no hay cruce de agua por la frontera. Dado que el
flujo es proporcional al gradiente de potencial, esta condición se satisface al
establecer ℎ/% = 0, donde n apunta en dirección normal a la frontera.
c) Una condición similar aplica cuando la magnitud del flujo que cruza la frontera es
conocida. Esto es representado por el gradiente normal ℎ/% = - (velocidad normal a la frontera dividido por la permeabilidad normal a la frontera).
d) En una superficie libre estacionaria, la posición actual de la frontera es conocida,
pero dos condiciones deber ser satisfechas simultáneamente en la frontera. La
primera condición es que ningún flujo cruza la frontera, puesto que ℎ/% = 0; y la segunda es que la presión es atmosférica, h = z.
Algunas de estas condiciones pueden mantenerse tanto en fronteras internas como externas.
Condiciones a), b) y c) también aplican para problemas dependientes del tiempo, pero
superficies libres dependientes del tiempo requieren una definición más compleja que la
que se dio en d).
2.1.4 Problemas dependientes del tiempo
En muchos problemas de flujo de agua subterránea, la variación del PH con el tiempo es de
significancia considerable. Al considerar problemas dependientes del tiempo, es importante
tomar en cuenta de forma separada los dos mecanismos alternativos para acuíferos
2.1.4.1Acuíferos confinados
Para acuíferos confinados, Figura 3a, una caída en el PH del agua subterránea de ∆h resulta
en una reducción de la presión. El volumen de agua liberado por unidad de volumen del
acuífero debido a un decremento en el PH es denominado el coeficiente de almacenamiento
específico, Ss(Rushton et al., 1979).
Figura 3. Representación gráfica del efecto de almacenamiento para acuíferos confinados (a) y no confinados (b). Modificado de Rushton, et al. (1979, p. 16).
Al examinar el balance de masa para un elemento saturado en un acuífero confinado, indica
que ambos, la compresibilidad del agua y el cambio en el volumen del poro, debido a la
compresión vertical del acuífero, contribuyen al almacenamiento específico. Así el
almacenamiento específico es función de la densidad del agua, la porosidad, el volumen de
compresibilidad del poro y la compresibilidad del agua. Aunque se puede escribir una
expresión para el almacenamiento específico, su magnitud es usualmente determinada por
pruebas de campo. Usualmente Ss se encuentra en el rango 10-5 a 10-7 [m-1]. Hay que notar que el almacenamiento específico aplica a todo el volumen saturado del acuífero.
La ecuación diferencial que incluye el efecto del almacenamiento específico puede ser
de la compresibilidad y cambios de densidad son incluidos en el coeficiente de
almacenamiento específico, es permisible continuar trabajando en términos de la
conservación de volumen.
Siguiendo la derivación de la ecuación (5a), el volumen neto que deja el elemento del
acuífero durante un tiempo δt debido al cambio de velocidades es igual a:
! + + " &' .
Durante el incremento de tiempo δt, el potencial del agua subterránea en el punto P se
incrementa por un δh, así el volumen de agua tomado en almacenamiento debido a este
incremento en el potencial es:
() &ℎ .
Por el principio de continuidad estas dos cantidades deben sumar cero, por lo tanto en el
límite:
+ + = −( )ℎ' .
Substituyendo por qx, qy y qz de la ecuación (3) lleva a la ecuación diferencial
ℎ + ℎ + ℎ = −()ℎ' . (7)
Note que esta ecuación se mantiene para cualquier elemento dentro del acuífero saturado
(Rushton et al., 1979).
2.1.4.2Acuíferos no confinados
En un acuífero no confinado, Figura 3b, dos mecanismos aplican. Debido a la
compresibilidad del acuífero y del agua, el coeficiente de almacenamiento específico aplica
a todos los elementos dentro de la porción saturada del acuífero. Además, la caída de la
superficie libre de agua lleva a una desecación del acuífero. Una unidad de caída en la
superficie libre resulta en una liberación de agua del almacenamiento igual a Sy por unidad
de área plana, donde Sy es el rendimiento específico. El rendimiento específico es a veces
se mueve, tales como el borde de capilaridad y el aire atrapado, es recomendable estimar el
rendimiento específico a partir de observaciones en la respuesta del acuífero.
La liberación de agua debido al rendimiento específico ocurre en la superficie libre, a
diferencia del efecto del almacenamiento específico el cual es distribuido uniformemente a
través del volumen saturado del acuífero.
De los dos mecanismos, solo el almacenamiento específico es incluido en la ecuación
diferencial que describe la conservación de volumen, [ecuación (7)]. El rendimiento
específico, el cual resulta del movimiento de la superficie libre, está incluido como una
condición de frontera (Rushton et al., 1979).
2.2Aspectos relevantes del método de diferencias finitas
Las ecuaciones que describen a los problemas más prácticos de movimiento de agua
subterránea no pueden ser resueltas por medios analíticos, a menos de que se introduzcan
simplificaciones considerables. Sin embargo, pueden obtenerse soluciones numéricas para
esas ecuaciones. Uno de los métodos numéricos primeramente usados con éxito fue la
aproximación por diferencias finitas (Richardson, 1911). Aunque otros métodos, como el
elemento finito (Zienkiewicz, 1977) y elemento en la frontera (Liggett, 1977), han sido
introducidos, la simplicidad y flexibilidad del método de las diferencias finitas hace
confiable el uso de éste método para aquellos que no son especialistas en el análisis
numérico. Otra característica favorable del método de las diferencias finitas es que las
no-linealidades que surgen a partir de cambios en los valores de los parámetros, tal como el
cambio entre los estados confinados y no confinados, pueden ser incluidas sin dificultad.
2.2.1 Diferencias finitas en una dimensión
Si el flujo es predominante en una dirección, entonces la idealización en una dimensión es
usada y la ecuación básica para acuíferos confinados y no confinados se puede reescribir
ℎ(, ')
= ()ℎ(, ')' − ,(, '), (8)
donde W(x,t) es flujo de entrada al acuífero debido a recargas y movimiento de agua en la
superficie.
Por lo tanto, puede derivarse de (8) que el flujo estacionario en un acuífero de
conductividad hidráulica constante que se incrementa debido a recargas en una dimensión
es:
ℎ() = −,(), (9)
donde h(x) es el PH, K es la conductividad hidráulica, y W(x) es el flujo por unidad de área.
Para establecer la aproximación en diferencias finitas de las ecuaciones anteriores, se
consideran dos métodos: 1) por líneas rectas y 2) por Series de Taylor (Rushton, et al.,
1979).
2.2.1.1Aproximación por líneas rectas
Una variación representativa de PH en una sección del acuífero está representada en la
Figura 4. La función se representa por puntos discretos de PH, posicionados a intervalos de
∆x (Figura 4b). Los PH desconocidos son escritos como h-1, h0, h1, etc.
La aproximación de los valores de las pendientes en puntos intermedios pueden ser calculados como: ℎ -= ℎ− ℎ. ∆ , ℎ
0= ℎ.− ℎ∆ ,0
donde los sufijos +1/2 y -1/2 significan distancias de 12∆ a cada lado del nodo O. La
segunda diferencial puede ser escrita como
!ℎ" .
= ℎ = 3ℎ
-−
ℎ
04 ∆5 =(ℎ0− 2ℎ∆.+ ℎ) . (10)
Por lo que, la ecuación diferencial (9) puede ser escrita según la ecuación algebraica
(Rushton, et al., 1979):
ℎ0− 2ℎ.+ ℎ = −∆
,
. (11)
2.2.1.2Aproximación por series de Taylor
La aproximación por diferencias finitas puede ser identificada al considerar series de
Taylor:
ℎ = ℎ.+∆1! ℎ.+∆2! ! ℎ" .
+∆3! !8 8ℎ8" .
+∆4! !: :ℎ:" .
+ ⋯ (12)
ℎ0 = ℎ.−∆1! ℎ
.+ ∆ 2! ! ℎ " .− ∆8 3! ! 8ℎ 8" .+ ∆: 4! ! :ℎ :" . + ⋯ (13)
sumando se tiene que:
ℎ0− 2ℎ.+ ℎ = ∆! ℎ " .+ ∆: 12 ! :ℎ :" .+ ⋯,
por lo tanto:
!ℎ"
. =
1
−∆12 ! :ℎ:"
.+ ⋯
son denominados error de truncado, para ciertos problemas el error de truncado es igual a
cero; entonces la solución en diferencias finitas es idéntica a la solución teórica. (Rushton,
et al., 1979).
2.2.2 Aproximación en diferencias finitas en dos o tres dimensiones
Aproximaciones en dos o tres dimensiones pueden ser derivadas directamente usando las
series de Taylor y tomando el caso general de las tres dimensiones mostrado en la Figura
5a) se tiene que
!ℎ+ℎ+ℎ"
. =
1
∆(ℎ− 2ℎ.+ ℎ8) +∆1(ℎ− 2ℎ. + ℎ:) +
+∆1(ℎ= − 2ℎ.+ ℎ>) . (15)
Los puntos nodales no están siempre uniformemente espaciados, por lo que se requiere un
tratamiento especial en diferencias finitas. Varias aproximaciones son posibles. El objetivo
es crear una solución aproximada en diferencias finitas para la expresión general en 3-D del
flujo en un acuífero de conductividad hidráulica constante, cuya expresión es:
ℎ
+
ℎ
+
ℎ
= −, . (16)
Usando el área sombreada de la Figura 5b) y las pendientes en la mitad de los nodos
3 y 0, y 0 y 1 son respectivamente (h0-h3)/∆xb y (h1-h0)/∆xa. Por lo tanto, se tiene que:
!ℎ"
? =
2 ∆@+ ∆AB
ℎ − ℎ?
∆@ −
ℎ? − ℎ8 ∆A C ,
(17)
!ℎ"
? =
2 ∆@+ ∆AB
ℎ− ℎ?
∆@ −
ℎ?− ℎ: ∆A C ,
!ℎ"
? =
2 ∆@+ ∆AB
ℎ= − ℎ?
∆@ −
Figura 5. a) Rejilla en Tres-Dimensiones y b) determinación de coeficientes de ecuaciones en diferencias finitas. Tomado de Rushton, et al. (1979, p. 31).
Multiplicando estos términos por 0.25(∆xa+∆xb)(∆ya+∆yb)(∆za+∆zb) y sustituyendo en la
ecuación (16) queda (Rushton, et al., 1979):
(∆@+ ∆A)(∆@+ ∆A)
2 Bℎ∆− ℎ@ ?−
ℎ?− ℎ8
∆A C +
+(∆@+ ∆A)(∆2 @+ ∆A)Bℎ∆− ℎ?
@ −
ℎ?− ℎ:
∆A C +
+(∆@+ ∆A)(∆2 @+ ∆A)Bℎ=∆− ℎ?
@ −
ℎ?− ℎ>
∆A C =
= −0.25 , (∆@+ ∆A)(∆@+ ∆A)(∆@+ ∆A) .
(18)
Estas expresiones tienen significado físico. Considerando el área sombreada de la figura
5b); para los nodos 0 – 1, la expresión
(h1 – h0) × área sombreada / distancia entre nodos,
donde el área sombreada es igual a 0.5(∆ya+∆yb) y la distancia entre los nodos es igual a
∆xa, es equivalente al primer término de la ecuación en diferencias finitas [ecuación (18)].
De esta manera los coeficientes para problemas en una, dos o tres dimensiones pueden ser
2.3Modelo matemático analítico
El movimiento en tres-dimensiones de agua de densidad constante a través de un material
poroso en el interior de la tierra pude ser descrito por la ecuación diferencial parcial
siguiente (Harbaugh, 2005):
ℎ + ℎ + ℎ + , = ()ℎ' , (19)
donde:
Kx, Kyy Kz son valores de conductividad hidráulica a lo largo de los ejes coordenados
x, y y z, los cuales se suponen paralelos a los ejes principales de
anisotropía de la conductividad hidráulica (LT-1); h es el PH (L);
W es un flujo volumétrico por unidad de volumen que representa fuentes o
sumideros de agua, con W<0 para flujos que salen del sistema agua-tierra,
y W>0 para flujos que entran al sistema (T-1);
(E es el almacenamiento específico del material poroso (L-1); t es tiempo (T).
A diferencia de la ecuación (7), la cual considera solamente el flujo de agua que entra y
salé de la celda unitaria y que proviene de las celdas circundantes, la ecuación (19)
considera los volúmenes de agua que entran y salen del sistema debido a los diferentes
estreses a los que es expuesto el modelo (precipitación, ríos, drenajes, pozos, etc.).
En general, Ss, Kx, Ky y Kz pueden ser funciones del espacio (Ss = Ss(x,y,z), Kx = Kx(x,y,z),
Ky = Ky(x,y,z), Kz = Kz (x,y,z)) y W puede ser función de tiempo y espacio (W = W(x,y,z,t)).
La ecuación (19) describe el flujo de agua subterránea bajo condiciones de no equilibrio en
un medio heterogéneo y anisotrópico, siempre que los ejes principales de conductividad
hidráulica estén alineados con los ejes coordenados del sistema de referencia utilizado. La
ecuación (19), junto con la especificación de las condiciones de flujo y/o PH, constituye
una representación matemática del un sistema de flujo de agua subterránea. Una solución
de la ecuación (19), en un sentido analítico, es una expresión algebraica, dada h(x,y,z,t) tal
tiempo, se satisfacen la ecuación y sus condiciones iniciales y de frontera. Una distribución
de PH de esta naturaleza, y que varía en el tiempo, caracteriza el sistema de flujo, el cual
mide tanto la energía del flujo y el volumen de agua almacenada, y pude ser usado para
calcular direcciones y tasas de movimiento.
Exceptuando a sistemas muy simples, las soluciones analíticas de la ecuación (19) son
raramente posibles, así que algún método numérico debe emplearse para obtener soluciones
aproximadas. Uno de ellos es el método de diferencias finitas, donde el sistema continuo
descrito por la ecuación (19) es remplazado por un grupo finito de puntos discretos en el
espacio y tiempo, y las derivadas parciales son reemplazadas por términos calculados a
partir del las diferencias en valores de PH en dichos puntos. El proceso lleva a sistemas de
ecuaciones simultáneas en diferencias, algebraicas y lineales; su solución ofrece valores de
PH en puntos y tiempos específicos. Estos valores constituyen una aproximación a la
variación con el tiempo de la distribución del PH que sería dada por una solución analítica
de la ecuación diferencial parcial de flujo.
La diferencia finita análoga de la ecuación (19) puede ser derivada aplicando las reglas del
cálculo diferencial, sin embargo, se usa un método alternativo para ayudar a simplificar el
tratamiento matemático y explicar el procedimiento computacional en términos de
conceptos físicos familiares relacionados con el sistema de flujo (Harbaugh, 2005).
2.4Convención de la discretización
La Figura 6 muestra una discretización parcial de un sistema-acuífero con una rejilla de
bloques llamados celdas, cuyas localizaciones están descritas en términos de renglones,
columnas y capas. Se usa un sistema indexado i, j, k. Para un sistema que consiste de N
renglones, M columnas y O capas, i es el índice para las renglones, i = 1,2,….,N; j es el
índice para las columnas, j = 1,2,…. , M; k es el índice para las capas; k = 1,2, …., O. Por
ejemplo, la Figura 6 muestra un sistema con N = 5, M= 9, y O= 5. En la formulación de las
ecuaciones del modelo, se hace una suposición, que las capas generalmente corresponden a
unidades de horizontes geológicos. Así, en términos de coordenadas cartesianas, el índice k
nombrar capas de arriba hacia abajo, un incremento en el índice k corresponde a un
decremento en la elevación. Similarmente, los renglones se consideran paralelos al eje x,
así que incrementos en el índice de renglones, i, correspondería a decrementos en y; y las
columnas son consideradas paralelas al eje y, así que incrementos en el índice de columnas,
j, corresponde a incrementos en x. Estas convenciones fueron seguidas en la construcción
de la Figura 6, si solo se requiere que los renglones y columnas caigan a lo largo de
direcciones ortogonales consistentes con las capas, y no se requiere la designación de ejes
coordenados, x, y y z (Harbaugh, 2005).
Dentro de cada celda hay un punto llamado “nodo” en el cual el PH debe ser calculado.
Puede usarse muchos esquemas para localizar los nodos en las celdas, sin embargo, la
ecuación de diferencias finitas que se desarrolla en las siguientes secciones, usa la
formulación de bloque-centralizado, en la cual los nodos están localizados en el centro de
la celda.
Siguiendo las convenciones usadas en la Figura 6, el ancho de las celdas en dirección de
los renglones, en una columna dada, j, es designado ∆rj;, el ancho de las celdas en la
dirección de las columnas en un renglón dado, i, se designa ∆ci; y el espesor de la celda en
una capa dada, k, se designa ∆vk. Así, una celda con coordenadas (i,j,k)=(4,8,3) tiene un
volumen de ∆r8 ∆c4 ∆v3. Hay que hacer notar que en coordenadas cartesianas con renglones
paralelos a al eje x y columnas paralelas al eje y, ∆rj corresponde a ∆xj y ∆ci corresponde a
∆yi.
En la ecuación (19), h (PH) es una función del tiempo tanto como del espacio, así que, en
la formulación de las diferencias finitas, se requiere una discretización del tiempo. El
EXPLICACIÓN
--- Frontera del acuífero
● Celda activa
○ Celda inactiva
∆rj Dimensión de la celda a lo largo de la dirección de los renglones
(Subíndice j indica el número de columna)
∆ci Dimensión de la celda a lo largo de la dirección de las columnas
(Subíndice i indica el número de renglón)
∆vk Dimensión de la celda a lo largo de la dirección vertical (Subíndice
k indica el número de capa)
2.5Ecuación en diferencias finitas
El desarrollo de la ecuación de flujo de agua subterránea en la forma de las diferencias
finitas sigue a la aplicación de la ecuación de continuidad: la suma de todos los flujos que
entran y salen de una celda deben ser iguales a la razón de cambio de almacenamiento en la
celda. Bajo la suposición de que la densidad del agua subterránea es constante, la ecuación
de continuidad que expresa el balance de flujo por celda es (Harbaugh, 2005):
F G = ((∆ℎ∆' ∆H , (20)
donde:
Qi es una razón de flujo que entra a la celda (L3T-1);
SS ha sido introducido como la notación de almacenamiento específico en la
formulación de diferencias finitas; su definición es equivalente a Ss de la ecuación
(19), esto es, SS es el volumen de agua que puede ser inyectada por unidad de
volumen del material del acuífero por unidad de cambio en el PH (L-1); ∆V es el volumen de la celda (L3); y
∆h es el cambio en el PH en un intervalo de tiempo de longitud ∆t.
El término del lado derecho es equivalente al volumen de agua almacenada en un intervalo
de tiempo ∆t al darse un cambio en el PH de ∆h. La ecuación (20) se formula en términos
de la entrada de flujo a la celda y ganancia en el almacenamiento. La salida de flujo y las
pérdidas son representadas al definir salida de flujo como el negativo de la entrada de flujo
y la pérdida como ganancia negativa en el almacenamiento.
La Figura 7 representa seis celdas del acuífero adyacentes a la celda i,j,k (i-1,j,k; i+1,j,k;
i,j-1,k; i,j+1,k; i,j,k-1; e i,j,k+1). Para simplificar el siguiente desarrollo, los flujos han sido
considerados positivos si ellos entran a la celda i,j,k; el signo negativo que usualmente se
incorpora en la ley de Darcy ha sido eliminado en todos los términos. Siguiendo estas
convenciones, el flujo hacia dentro de la celda i,j,k que viene de la celda i,j-1,k (Figura 8)
G,I0/,J = KG,I0/,J∆LG∆MJNℎG,I0,J∆P − ℎG,I,JO
I0/ , (21)
donde
hi,j,k Es el PH en el nodo i,j,k, y hi,j-1,k es el PH en el nodo i,j-1,k;
qi,j-1/2,k es la razón de flujo volumétrico a través de la cara entre las celdas i,j,k e i,j-1,k
(L3T-1);
KRi,j-1/2,k Es la conductividad hidráulica a lo largo del renglón y se calcula como una
media armónica entre los nodos i,j,k e i,j-1,k, es decir:
KG,I0/,J= QQR,S,TR,S,T-QQR,SU1,TR,SU1,T , (LT-1);
∆ci∆vk es el área de la celda que es normal al dirección del renglón (L2); ∆rj-1/2 es la distancia entre los nodos i,j,k e i,j-1,k (L).
La ecuación (21) proporciona el flujo exacto para el caso estacionario en una-dimensión a
través de un bloque de acuífero que se extiende desde el nodo i,j-1,k hasta el nodo i,j,k y
teniendo un área común de ∆ci∆vk. KRi,j-1/2,k es la conductividad hidráulica del material
entre los nodos i,j,k e i,j-1,k, la cual es la conductividad hidráulica efectiva para la región
entera entre los nodos, normalmente calculada como una media armónica en el sentido
Figura 7. Índices para las seis celdas adyacentes y que rodean a la celda i,j,k (oculta). Modificado de McDonald et al. (1984, p. 14).
Figura 8. Flujo que entra a la celda i,j,k y que procede de la celda i,j-1,k. Modificado de Harbaugh (2005, p. 23).
El subíndice i,j-1/2,k es usado en la ecuación (21) para designar la región entre los nodos
qi,j-1/2,k indica que el flujo que va de i,j-1,k al nodo i,j,k; ∆rj-1/2 es la distancia entre los nodos
i,j,k e i,j-1,k, y KRi,j-1/2,k es la conductividad hidráulica efectiva entre nodos. El término
“1/2” es usado en la misma manera para indicar la región entre nodos en muchas de las
ecuaciones de este documento.
Expresiones similares puede ser escritas para aproximar el flujo hacia dentro de la celda a
través de las restantes cinco caras, por ejemplo, para el flujo in la dirección de los
renglones a través de la cara entre las celdas i,j,k e i,j+1,k (Harbaugh, 2005),
G,I-/,J = KG,I-/,J∆LG∆MJNℎG,I-,J∆P − ℎG,I,JO
I-/ . (22)
Mientras que para la dirección de los renglones, el flujo hacia dentro del bloque a través de
la cara frontal es:
G-/,I,J = VG-/,I,J∆PI∆MJNℎG-,I,J∆L − ℎG,I,JO
G-/ , (23)
y el flujo dentro de la celda a través de la cara trasera es:
G0/,I,J = VG0/,I,J∆PI∆MJNℎG0,I,J∆L − ℎG,I,JO
G0/ . (24)
Para la dirección vertical, el flujo a través de la cara inferior es
G,I,J-/ = HG,I,J-/∆PI∆LGNℎG,I,J-∆M − ℎG,I,JO
J-/ , (25)
mientras que el flujo a través de la cara superior esta dado por
G,I,J0/ = HG,I,J0/∆PI∆LGNℎG,I,J0∆M − ℎG,I,JO
J0/ . (26)
De la ecuación (21) hasta la (26), cada una de ellas expresa flujo que entra a la celda i,j,k a
través de cada una de sus caras en términos de potenciales hidráulicos, dimensiones de la
rejilla y conductividad hidráulica. La notación puede ser simplificada al combinar
dimensiones de la rejilla y conductividad hidráulica dentro de una sola constante, la
“conductancia hidráulica” o, simplemente, la “conductancia”. Por ejemplo,
VKG,I0/,J =KG,I0/,J∆P ∆LG∆MJ
I0/ , (27)
CRi,j-1/2,k es la conductancia en el renglón i y la capa k entre los nodos i,j-1,k e i,j,k
(L2T-1)
Así, la conductancia es el producto de la conductividad hidráulica por el área por la que
pasa el flujo, dividido entre la longitud de la trayectoria de flujo (en este caso, la distancia
entre nodos).
Substituyendo la conductancia de la ecuación (27) dentro de la ecuación (21) da como
resultado (Harbaugh, 2005):
G,I0/,J = VKG,I0/,JNℎG,I0,J− ℎG,I,JO . (28)
Similarmente, de la ecuación (22) a la (26) pueden ser reescritas de la siguiente forma
G,I-/,J = VKG,I-/,JNℎG,I-,J− ℎG,I,JO , (29)
G0/,I,J = VVG0/,I,JNℎG0,I,J− ℎG,I,JO , (30)
G-/,I,J = VVG-/,I,JNℎG-,I,J− ℎG,I,JO , (31)
G,I,J0/ = VHG,I,J0/NℎG,I,J0− ℎG,I,JO , (32)
G,I,J-/ = VHG,I,J-/NℎG,I,J-− ℎG,I,JO , (33)
donde las conductancias son definidas análogamente a CR en la ecuación (27).
Las ecuaciones (28) a la (33) se toman en cuenta para el cálculo del flujo hacia dentro de la
celda i,j,k que viene de las seis celdas adyacentes. Para contabilizar el flujo que entra a la
celda por procesos externos al acuífero, tales como ríos, drenajes, recarga aérea,
evapotranspiración, o pozos, se requieren términos adicionales. Estos flujos pueden ser
dependientes al PH en la celda que recibe pero independientes de todos los otros
potenciales hidráulicos del acuífero, o pueden ser totalmente independientes del PH de la
celda que recibe el flujo. Flujo que viene de fuentes externas al acuífero pueden ser
expresados por la expresión (Harbaugh, 2005):
WG,I,J,X = YG,I,J,XℎG,I,J+ G,I,J,X , (34)
donde
ai,j,k,n Representa flujo desde “n” fuentes externas, cuyo flujo entra a la celda i,j,k
(L3T-1), y
De forma similar, todas las demás fuentes externas o tipos de estrés que sufra el acuífero
pueden ser representados por una expresión de la forma de la ecuación (34). En general, si
hay N fuentes externas o tipos de estrés que afectan una sola celda, el flujo combinado
puede ser expresado como
F WG,I,J,X Z
X[
= FNYG,I,J,XℎG,I,JO Z
X[
+ F G,I,J,X Z
X[
. (35)
Definiendo Pi,j,k y Qi,j,k por las expresiones
\G,I,J = F YG,I,J,X Z
X[
y
G,I,J = F G,I,J,X Z
X[
.
El término general para flujo externo para la celda i,j,k es
F WG,I,J,X = \G,I,JℎG,I,J+ G,I,J Z
X[
. (36)
Aplicando la ecuación de continuidad (20) a la celda i,j,k tomando en cuenta los flujos que
vienen de las seis caras adyacentes, cambio en almacenamiento y flujos externos da como
resultado (Harbaugh, 2005):
G,I0/,J+ G,I-/,J+ G0/,I,J+ G-/,I,J+ G,I,J0/+ G,I,J-/+
+ \G,I,JℎG,I,J + G,I,J = ((G,I,JN∆PI∆LG∆MJO∆ℎ∆' ,G,I,J
(37)
donde
∆hi,j,k/∆t Es una aproximación en diferencias finitas para la derivada del PH con
respecto al tiempo (LT-1);
SSi,j,k Representa el almacenamiento específico de la celda i,j,k (L-1); y ∆rj∆ci∆vk Es el volumen de la celda i,j,k (L3).
Las ecuaciones (28) a la (33) pueden ser sustituidas dentro de la ecuación (37) para dar una
aproximación en diferencias finitas para la celda i,j,k, dando como resultado (Harbaugh,
VKG,I0/,JNℎG,I0,J− ℎG,I,JO + VKG,I-/,JNℎG,I-,J− ℎG,I,JO + VVG0/,I,JNℎG0,I,J− ℎG,I,JO + VVG-/,I,JNℎG-,I,J− ℎG,I,JO +
VHG,I,J0NℎG,I,J0− ℎG,I,JO + VHG,I,J-NℎG,I,J-− ℎG,I,JO +
+ \G,I,JℎG,I,J + G,I,J = ((G,I,JN∆PI∆LG∆MJO∆ℎ∆' .G,I,J
(38)
2.5.1 Aproximación explícita en diferencias finitas para la variación con respecto al tiempo
La aproximación en diferencias finitas para la derivada del PH con respecto al tiempo,
∆hi,j,k/∆t debe ser expresada en términos de potenciales hidráulicos específicos y tiempos.
La Figura 9 muestra un hidrógrafo de valores de PH en el nodo i,j,k. Se muestran dos
valores en el eje horizontal: tm, el tiempo en el cual los términos de flujo de la ecuación
(37) son evaluados; y tm-1, un tiempo que precede a tm. Los valores de PH en el nodo i,j,k
asociados con estos tiempos son designados por el subíndice ℎG,I,J] y ℎG,I,J]0,
respectivamente. Una aproximación a la derivada con respecto al tiempo en el tiempo tm es
obtenida al dividir la diferencia de potencial ℎG,I,J] - ℎG,I,J]0 entre el intervalo de tiempo tm
- tm-1, esto es,
∆ℎG,I,J ∆' =^
ℎG,I,J] − ℎG,I,J]0 ']− ']0 .
Así la pendiente del hidrógrafo, o derivada con respecto al tiempo, se aproxima usando el
cambio en PH en el nodo en un intervalo de tiempo que precede, y termina con el tiempo
en el cual el flujo es evaluado. Así, este término es denominado aproximación de
diferencias hacia atrás, en el cual ∆h/∆t es aproximado sobre un intervalo de tiempo que se
extiende hacia atrás en tiempo desde tm, el tiempo en el cual los términos de flujo son
calculados.
La aproximación de diferencias hacia atrás es siempre numéricamente estable, esto es, los
errores introducidos en cualquier tiempo disminuyen progresivamente en tiempos
cuando esta aproximación lleva a sistemas de ecuaciones más grandes que deben ser
resueltos simultáneamente para cada paso en el tiempo (Harbaugh, 2005).
EXPLICACIÓN
tm Tiempo al final del periodo de tiempo m
ℎG,I,J] PH en el nodo i,j,k al tiempo tm
………… Aproximación en diferencias hacia atrás de
la pendiente del hidrógrafo al tiempo tm
Figura 9. Hidrógrafo para la celda i,j,k. Modificado de Harbaugh (2005, p. 27).
La ecuación (38) puede ser reescrita en la forma de las diferencias hacia atrás al especificar
los términos del flujo al tiempo tm, el final del intervalo de tiempo, y aproximando la