Aspectos generales sobre los métodos iterativos

En casos sencillos las soluciones de la ecuación de continuidad se pueden encontrar resolviendo simultáneamente un sistema de ecuaciones lineales. Sin embargo, en problemas que contienen gran número de nodos, las soluciones simultáneas son imprácticas. En vez de eso, se suponen grupos de soluciones de prueba y sucesivamente se van mejorando las suposiciones hasta conseguir la solución correcta. En pocas palabras, los métodos iterativos consisten en suponer y ajustar.

En el desarrollo de este trabajo se hace uso de la técnica iterativa Gauss-Seidel, la cual es un caso particular de la técnica de iteración denominada “Sobre Relajamiento Sucesivo” (SOR, por sus siglas en inglés).

2.6.1 Método iterativo de Gauss - Seidel

En este método se hace uso de los puntos nodales en forma ordenada, esto es (ver Figura 10), se empieza en i =2 y j = 2 y el modo de moverse es de izquierda a derecha y el siguiente movimiento es una línea hacia abajo (como si se estuviera leyendo la página de un libro). De esta manera siempre se hará uso de nuevos valores calculados. En general, para problemas con gran cantidad de nodos, los PH en los nodos que se encuentran arriba, al norte y al oeste del nodo (i,j,k) serán calculados antes de que el PH sea calculado en el nodo (i,j,k). En otras palabras, hi-1,j,k, hi,j-1,k y hi,j,k-1 serán conocidos a la iteración m+1 cuando sea momento de calcular hi,j,k a la iteración m+1 (Wang et al., 1982).

Figura 10. Iteración Gauss-Seidel. Las flechas indican el orden de iteración. Los superíndices indican el número de iteración en el que se encuentra el proceso. Tomado de Wang, et al. (1982, p. 26).

2.6.2 Sobre Relajamiento Sucesivo (SOR)

El cambio entre dos iteraciones sucesivas es llamado residual c. El residual c está definido por

L = ℎ_G,I,J]-_{− ℎ}

G,I,J] . (41)

Al remplazar ℎ_G,I,J]- por ℎ_G,I,J] después de cada cálculo, el procedimiento Gauss-Seidel reduce o relaja el residual en cada nodo y de esta manera lleva a una solución de cada ecuación algebráica. En el método de SOR, el residual del método Gauss-Seidel es multiplicado por un factor de relajamiento ω donde ω ≥ 1, y el nuevo valor ℎ_G,I,J]- está dado por la ecuación:

ℎG,I,J]-= ℎG,I,J] + _L . (42)

Esta es la ecuación en SOR para actualizar hi,j,k en la iteración m+1.

En el método de SOR, se adiciona un mayor residual a ℎ_G,I,J] que en el método de Gauss- Seidel, por lo que el ℎ_G,I,J]- calculado se dice que está sobre relajado. Si 0 < ω <1, el valor actualizado de PH se dice que está sub-relajado. Si ω = 1, la ecuación de SOR se convierte en el método de Gauss-Seidel.

Existen métodos para seleccionar el mejor valor de ω para un problema en particular (Remson et al., 1971), pero, dada la complejidad de los procedimientos, es mucho más

fácil encontrar un valor óptimo de ω por prueba y error. En general 1 ≤ ω ≤ 2 (Wang et al., 1982).

2.6.3 Iteraciones en la modelación desarrollada

En el desarrollo del algoritmo propuesto, se utiliza un método iterativo para obtener la solución de un sistema de ecuaciones en diferencias finitas para cada intervalo de tiempo (el cual puede ser variable). En este método, el cálculo de los valores de PH al fin de cada intervalo de tiempo se inicia asignando arbitrariamente un valor de prueba, o estimado, para el PH en cada nodo. Se inicia entonces un procedimiento de cálculo que altera estos valores estimados, produciendo un nuevo grupo de valores de PH que están más cerca de satisfacer el sistema de ecuaciones. Este nuevo grupo de valores de PH toman el lugar de los valores iniciales, y el proceso se repite produciendo nuevos grupos de valores de PH que cada vez satisfacen más el sistema de ecuaciones. Cada repetición de cálculo es llamado iteración. Después de cierto número de iteraciones los cambios son muy pequeños. Este comportamiento se usa para determinar cuándo detener el proceso de cálculo, como se describe a continuación.

Así, durante los cálculos para cada intervalo de tiempo, se generan sucesivamente valores de PH en cada iteración, cada arreglo contiene un valor de PH por cada nodo activo de la rejilla. En la Figura 11, estos arreglos se representan como rejillas en tres-dimensiones, cada uno identificado por un símbolo de arreglo, h, el cual porta dos superíndices. El primer superíndice indica la etapa de tiempo para la cual se calculan los potenciales hidráulicos en el arreglo, mientras que el segundo superíndice indica el número de iteración que produce el arreglo de potenciales hidráulicos. Así hm,1 representa el arreglo de variables calculadas en la etapa de tiempo m para la primera iteración, y así sucesivamente. Los valores de PH que fueron inicialmente supuestos para la etapa de tiempo m, aparecen en el arreglo hm,0 (Harbaugh, 2005).

Figura 11. Cálculos iterativos y distribución del PH. Modificado de Harbaugh (2005, p. 30).

Sería ideal que se pudiera especificar el número exacto de iteración en la cual debe detenerse el proceso y que al mismo tiempo los valores de PH calculados son cercanos a la solución exacta. Dado que la solución real es desconocida, es necesario usar un método indirecto que indique cuando hay que detener las iteraciones. El método más comúnmente usado es especificar qué el cambio en los potenciales hidráulicos calculados que ocurren de una iteración a la siguiente sean menores que una cierta cantidad, denominada criterio de cierre o criterio de convergencia, el cual es especificado por el usuario. Después de cada iteración, se examina el valor absoluto del PH para todos los nodos de la rejilla. El mayor cambio en valor absoluto se compara con el criterio de convergencia. Si este valor es

menor que el criterio de convergencia se dice que las iteraciones han convergido, y el proceso es finalizado para esa etapa de tiempo. Normalmente, este método para determinar cuándo detener las iteraciones es adecuado.

Este algoritmo también incorpora un número máximo permisible de iteraciones por etapa de tiempo. Si la convergencia no es alcanzada dentro de este máximo número de iteraciones, entonces el proceso iterativo es finalizado.

Los valores iniciales estimados de PH del arreglo hm,0 de la Figura 11, pueden ser asignados arbitrariamente. Teóricamente, el proceso iterativo eventualmente convergerá al mismo resultado no importando los valores iniciales de PH escogidos, aunque los cálculos pueden aumentar más en un caso que en otro. En este algoritmo los PH calculados para el final de cada etapa de tiempo se usan como valores iniciales del PH para la siguiente etapa. Un proceso iterativo da solamente una aproximación a la solución del sistema de ecuaciones en diferencias finitas para cada etapa de tiempo; la exactitud de esta aproximación depende de varios factores, incluyendo el criterio de convergencia empleado. Incluso si se obtuvieran soluciones exactas al de ecuaciones diferenciales en diferencias finitas, en cada etapa de tiempo, estas soluciones serían solamente una aproximación a la solución de la ecuación diferencial de flujo (19). La discrepancia entre el PH, ℎ_G,I,J] , dado por la solución de ecuaciones diferenciales para un nodo y tiempo, y el PH h(x,y,z,t), el cual está dado por la solución formal de la ecuación diferencial para el correspondiente punto y tiempo, es denominado error de truncado. En general, este error tiende a aumentar cuando el espaciamiento entre nodos de la rejilla y el espaciamiento en tiempo son mayores. También hay que hacer notar que si pudiera obtenerse una solución formal de la ecuación diferencial, ésta sería solamente una aproximación a las condiciones de campo, en el cual la conductividad hidráulica y almacenamiento específico son raramente conocidas con exactitud, además de las incertidumbres con respecto a los límites hidrológicos que generalmente están presentes (Harbaugh, 2005).