Matemática II (Matemática 4)

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Texto completo

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Matemática

Tercer Ciclo de Educación

General Básica para Adultos

M O D A L I D A D S E M I P R E S E N C I A L

(3)

Ministerio de Educación de la Nación. Santa Fe 1548. Buenos Aires. Hecho el depósito que marca la ley 11.723. Libro de edición argentina.

Ministro de Educación de la Nación

Prof. Dr. Hugo Oscar Juri

Secretario de Educación Básica

Lic. Andrés Delich

Subsecretario de Educación Básica

Lic. Gustavo Iaies

i n f o p a c e @ m e . g o v. a r

Material elaborado por los Equipos Técnicos del Programa de Acciones Compensatorias en Educación

(4)

Índice

Introducción . . . .

Números racionales . . . . Fracciones equivalentes . . . . Comparación de fracciones . . . . Operaciones con fracciones . . . . Suma y resta de fracciones con igual denominados . . . . Suma y resta de fracciones con distinto denominador. . . . Multiplicación de fracciones . . . . División de fracciones . . . . Potenciación con base fraccionaria . . . .

Cálculos con expresiones decimales . . . .

Radicación . . . .

Cálculo aproximado . . . .

Notación científica . . . .

Geometría: Triángulos . . . . Propiedad de los lados . . . . Angulos interiores . . . . Alturas . . . .

Introducción a la estadística . . . . Universo o población . . . . Instrumentos . . . . Variables estadísticas . . . . Frecuencias . . . . Diagramas . . . . Parámetros estadísticos . . . .

Claves de corrección . . . .

Anexo . . . . 5

6 14 22 26 26 27 34 40 43

46

49

55

58

65 66 68 70

72 75 80 80 83 88 93

103

(5)
(6)

Introducción

E

n el Libro anterior se mencionó que los números pueden ser usa-dos para contar o para medir. De acuerdo con cada situación se utili-zan diferentes tipos de números: naturales, enteros o racionales. Us-ted ya ha estudiado el conjunto de los números naturales y el de los enteros y cómo se opera con ellos. En la primera parte de este Libro analizará las operaciones que se realizan con los números racionales.

En la segunda parte continuará con geometría. Se trabaja sobre el triángulo y algunas de sus propiedades. En la parte final del Libro encontrará un anexo con el material que utilizará en este tema.

(7)

Números racionales

L

os números racionales pueden escribirse como fracción o en su expresión decimal. Comenzaremos a trabajar con los números ra-cionales en su expresión fraccionaria.

Observe la pared representada en el dibujo. Las cerámicas utiliza-das para revestirla fueron colocautiliza-das prolijamente en filas hasta cier-ta altura. ¿Cuáncier-tas filas de cerámica revisten la pared?¿Cuáncier-tas cerá-micas hay en cada fila? ¿Cuántas cerácerá-micas hay en total?

Si la tortuga tiene que recorrer desde Ahasta B¿qué parte del ca-mino recorrió la tortuga?

Estas últimas preguntas ¿pueden ser contestadas con un número entero? No, para contestar a estas preguntas es preciso utilizar fracciones;

• Hay 5 cerámicas y por cada fila

• Hay 38 cerámicas y en total La tortuga recorrió del camino.

(8)

Generalizando

Una fracción tiene la forma a donde

a

y

b

son números enteros y b ≠0

a

es el numerador y

b

el denominador de la fracción

7

5 , 38 y son números racionales expresados con fracciones.

Para escribir una fracción se utilizan dos números enteros, por lo tanto, el numerador y el denominador pueden ser números positi-vos, negativos o el cero; la única restricción es que el denominador no puede ser cero.

1

2 12 34

3

4

Revise en el Módulo 2, Libro 1 para repa-sar este tema si no lo recuerda.

Numerador

Denominador

a

b

Es el. . . e indica . . . .

Es el. . . e indica . . . . Recuerde que cuando se quiere generalizar, por ejemplo la defini-ción de fracdefini-ción, debemos reemplazar los números por letras. De esta manera se indica que no nos referimos a un caso particular; (por ejemplo ) ya que si afirmáramos que la manera de escribir fracciones es estaríamos diciendo que la única forma de escribir una fracción es con un 3 y con un 4.

Llamaremos “a" y “b" a los números que forman la fracción. De es-te modo referirnos de un modo general, a cualquier número "a" o cualquier número “b".

3 4 3 4

En la vida cotidiana utilizamos frecuentemente expresiones fracciona-rias. Por ejemplo para indicar los ingredientes de una receta de cocina:

J

Ingredientes

Ingredientes

litros de leche

pan de manteca

tazas y de harina

kilogramo de azúcar 1

1 2 1

(9)

También se utilizan fracciones en situaciones como las siguientes:

20 100 4

10

Cuatro de los diez autos son blancos; es decir de los autos son blancos.

Es muy frecuente referir la información en relación con un total de 100. Así, por ejemplo, se dice “20 de cada 100 personas de un ba-rrio tienen auto propio". En fracciones esto se expresa como . También suele decirse “el 20 % de...", que es una expresión equiva-lente. En síntesis, cuando se utiliza la expresión "tanto por ciento" Tres de las cuatro personas de la cola son hombres; es decir par-tes de quienes están en la cola son hombres.

(10)

Actividad Nº1

Para representar las siguientes fracciones se han utilizado diferen-tes figuras: barras, círculos, cuadrados, que representan la unidad.

Las partes en que se dividió cada figura indican el denomina-dor (cuartos, medios, tercios, etc.). El numeradenomina-dor está expre-sado en las partes sombreadas.

Complete el numerador, el denominador o ambos y los sombreados correspondientes, para indicar la fracción representada.

Represente en la recta numérica los números que haya obte-nido en la primera columna.

a

b

(11)

¿Entre qué números enteros están todas las fracciones de la primera columna?

En todos estos casos ¿cómo es el numerador con respecto al denominador?

En la primera columna todos los números son menores que 1. Los de la segunda columna ¿son mayores, menores o iguales a 1? ¿Cómo son en estos casos el numerador y el denominador?

Observe las fracciones que quedaron escritas en la tercera co-lumna. ¿Cómo son el numerador y el denominador? ¿Estas fracciones son menores, mayores o iguales a 1?

Antes de continuar consulte las Claves de Corrección. c

d

e

f

De acuerdo con las respuestas de la Actividad Nº1, las fracciones de la segunda columna son mayores que 1. Esto también lo podemos observar si representamos dichos números en la recta numérica.

Para representar de manera más sencilla estos números podemos pensar a cada uno de ellos como un número entero más una frac-ción de una unidad, tal como en los gráficos anteriores.

Por ejemplo el primero de los números es , que es 1 entero más de la unidad, por lo que en la recta este número está entre 1 y 2. Para ubicarlo con precisión dividimos el segmento que está entre 1 y 2 en 8 partes iguales (octavos) y marcamos la tercera de ellas.

11

(12)

Un caso particular de fracciones

Consideremos unidades iguales y que cada una de ellas esté dividi-da en 4 partes iguales, es decir en cuartos. Considere 8 de esas par-tes, es decir . Resulta entonces que se han considerado dos ente-ros para obtener los es decir = 2

Considere otro caso. Cada una de las tres unidades son iguales y es-tán divididas en tercios, en total hay nueve tercios. Entonces: = 3

Si cada unidad, todas iguales entre sí, está dividida en medios, te-ner ocho mitades de enteros iguales equivale a tete-ner 4 enteros. En-tonces = 4.

Como se observa en los ejemplos anteriores, hay fracciones que equivalen a números enteros, o lo que es lo mismo: todo número entero puede expresarse como una fracción.

8 4

8

4 84

9 3

8 2

Actividad Nº2

¿Qué relación debe existir entre el numerador y el denomina-dor para que una fracción positiva sea:

• menor que 1 • mayor que 1 • igual a 1

(13)

( )

En la foto hay 2 manzanas enteras más otra media manzana o sea ó 2

5

2 12

Las fracciones mayores que uno (como ) pueden escribirse tam-bién separando las unidades que contienen:

2 es una expresión mixta.

Es muy común expresar cantidades de esta manera:

“La película duró 2 horas y cuarto" ó “Un kilo y medio de pan”

Hasta aquí se ha trabajado con números fraccionarios positivos, pero hemos dicho que el numerador y el denominador son números ente-ros, por lo tanto uno o ambos pueden ser negativos. Recuerde que la única restricción es que el denominador no sea cero.

Si el numerador es positivo (+) y el denominador (-) ¿cuál es el sig-no de la fracción? ¿Y si ambos números son negativos? Tenga pre-sente la regla de signos estudiada en el Libro anterior.

Por ejemplo:

Si el numerador es 3 y el denominador es -4 deberíamos escribir .

Si el numerador es -2 y el denominador -5 deberíamos escribir .

En lugar de escribir el signo de cada uno de los números que forman la fracción se coloca un signo negativo a la altura de la línea de frac-ción, si es que sólo uno de los dos números es negativo. No se

colo-5 2

1 2

3 -4

-2 -5

1 2 1

( )

(14)

5 4

-En lugar de escribir escribimos -

No escribimos sino porque ambos son negativos y al dividir un negativo por un negativo la fracción resulta positiva.

En la recta numérica, del mismo modo que en los enteros, las frac-ciones negativas se colocan a la izquierda del cero.

Por ejemplo: 3 -4 3 4 3 4 -2

-5 25

3 4

-2 está entre -2 y -3

1 2

- está entre 0 y -1

8 3 7 2

entre. . . y. . .

entre. . . y. . .

2 5 7 2

entre. . . y. . .

entre. . . y. . . 12

5

entre. . . y. . .

entre. . . y. . .

1 2 - 3 4 -2

-4 -3 -2 -1 0

Los números enteros más cercanos a -2 son -2 y -3.

Actividad Nº3

Calcule mentalmente cuáles son los enteros más próximos entre los que están las siguientes fracciones.

¿Qué relación debe existir entre el numerador y el denomina-dor de una fracción negativa para que sea:

• menor que -1 • mayor que -1 • igual a -1

• equivalente a un entero negativo

-a

(15)

Fracciones equivalentes

Piense en algún amigo o familiar que tenga uno o varios sobre-nombres. Usted puede referirse a esa persona de diferentes formas. Lo mismo sucede con los números. Un mismo número puede ser expresado de diferentes maneras, pero siempre es el mismo

núme-ro, porque las expresiones son equivalentes.

Actividad Nº4

Todas las tiras dibujadas representan la unidad. Todas ellas son iguales.

Sombree las partes que correspondan para representar la fracción indicada en cada caso.

a

b

c

Compare las partes del entero que sombreó. En cada caso ¿cómo son entre sí?

Represente las cuatro fracciones en la recta numérica. Prime-ro trate de deducir qué ocurrirá.

(16)

obtenemos que es equivalente a .6

8 34

Tal como habrá observado en la actividad anterior, es posible escribir con números distintos, fracciones que representan la misma cantidad.

Las fracciones , , , representan el mismo número

racio-nal. Tienen diferente escritura, pero representan la misma

canti-dad. Es decir son fracciones equivalentes.

En síntesis

3

4 68 129 1216

3

4

6

8

9

12

12

16

=

=

=

3

4

6

8

=

Las fracciones que corresponden a un mismo punto de la recta numérica son fracciones equivalentes. Este

punto de la recta representa un número racional.

Este número puede expresarse a través de cualquiera de las fracciones equivalentes o en su expresión decimal.

En el ejemplo se presentaron fracciones equivalentes. Pero ¿cuál es el procedimiento para obtener una fracción equivalente a otra?

Ser equivalentes, es decir representar el mismo número, implica que si se modifica el numerador de una fracción dada (aumentán-dolo o disminuyén(aumentán-dolo) se debe modificar también el denominador de manera proporcional.

Por ejemplo:

Si al numerador y al denominador de la fracción la multiplicamos por 2

3 4

x2

(17)

Si se multiplica por 4 tendríamos:

También podríamos haber elegido como factor el número 5,

Podríamos haber elegido 25 como factor:

obtenemos que es equivalente a .12

16 34

3

4

12

16

=

x4

x4

obtenemos que es equivalente a .15

20 34

3

4

15

20

=

x5

x5

obtenemos que es equivalente a . Como de-cimal se expresa 0,75. En porcentaje: 75%.

75

100 34

3

4

=

100

75

x25

x25

El proceso de hallar fracciones equivalentes a una dada, multipli-cando numerador y denominador por un mismo número se llama

amplificación.

Actividad Nº5

Escriba las fracciones equivalentes a cada una de las que se presentan a continuación, respetando el numerador o deno-minador indicado. (Piense por qué número multiplicar o divi-dir alguna de las fracciones para obtener lo que quiere.)

Para cada una de las fracciones usted escribió otras cuatro equivalentes. ¿Son las únicas?

2

3 = 4 = 12= 9 = 30

4

8 = 2 = 80= 1 = 7

6

4 =12= 3 = 15=100

a

(18)

Actividad Nº6

Trate de hallar mentalmente 5 fracciones equivalentes para cada una de las que se presentan aquí:

Actividad Nº7

Para cada uno de los siguientes pares de fracciones halle otro par de fracciones que sean equivalentes a las dadas, pero que tengan el mismo denominador.

y

y

y 3 2 13 3 4 56 8 5 12

obtenemos que es equivalente a .12

18 2436

24

36

=

12

18

:2

:2

a

b

c

2 3 =

5 4 =

3 2 =

5 10=

Las fracciones equivalentes no sólo pueden hallarse por amplifica-ción. Cuando el numerador y el denominador pueden dividirse por un mismo número también se obtienen fracciones equivalentes.

En la fracción tanto el 24 como el 36 pueden dividirse por un mismo número, por ejemplo, por 2, entonces:

(19)

Veamos más ejemplos de simplificación.

La fracción puede ser simplificada pues el numerador y el

deno-Actividad Nº9

¿Cuántas fracciones equivalentes a pueden obtenerse divi-diendo el numerador y el denominador por un mismo número?

Exprese cómo pueden hallarse fracciones equivalentes por amplificación y por simplificación.

Pero el 24 y el 36 también son divisibles, es decir que se pueden di-vidir exactamente, por 3

24 36

12 20

obtenemos que también es equivalente a .8

12 2436

24

36

=

12

8

: 3

24

36

=

:

:

24

36

=

:

:

24

36

=

:

:

Actividad Nº8

Además del 2 y el 3 existen otros tres divisores comunes a 24 y 36. Encuéntrelos y obtenga las fracciones equivalentes co-rrespondientes.

a

b

El proceso por el cual hallamos fracciones equivalentes a una da-da, dividiendo el numerador y el denominador por un mismo nú-mero, se llama simplificación.

(20)

Si no hubiéramos advertido que el mayor número por el cual era posible dividir el numerador y el denominador era 4 y hubiésemos dividido por 2, la fracción así obtenida puede volver a dividirse por 2 obteniendo de igual forma la fracción .

La fracción también admite la posibilidad de ser simplificada por distintos números. Por 2, por 4 y por 8. Como ya se señaló convie-ne simplificar por el mayor de todos. En este caso por 8:

Igual que en el ejemplo anterior puede no haberse advertido que esta fracción se puede simplificar por 8. Suponga que sólo advier-te que se puede simplificar por 2.

La fracción equivalente obtenida admite la posibilidad de volver a ser simplificada, por ejemplo por 4.

Al simplificar por 2 y luego por 4 obtenemos el mismo resultado que simplificando directamente por 8.

Cuando una fracción puede ser simplificada por diferentes núme-ros, si no lo hacemos por el mayor de ellos, la fracción obtenida admite la posibilidad de ser nuevamente simplificada.

Cuando ya no es posible seguir simplificando, la fracción obtenida se la denomina fracción irreducible.

es la fracción equivalente irreducible de

es la fracción equivalente irreducible de 12

20 35

3 5 1 3

12 20 8 24 = 12 : 4

20 : 4= entonces 1220 = 35

8

24= 8 : 824 : 8= 13 entonces 248 = 13

8

24= 8 : 224 : 2=124

4

12= 4 : 412 : 4= 13

6 10

3 5

(21)

Muchas personas realizan la simplificación tachando el numerador y el denominador de la fracción y escribiendo en su lugar el resul-tado de la división de numerador y denominador por un mismo número. Por ejemplo, si tenemos la fracción y no advertimos que puede simplificarse por 20, pero sí por 10 y luego por 2, proce-demos de la siguiente manera:

120 100

120

12

100

20

12

10

=

120

6

100

=

5

(dividiendo numerador y denominador por 10)

12

6

10

5

6

5

=

(dividiendo por 2)

entonces

Obtener las fracciones irreducibles es útil para operar con fraccio-nes. Al simplificar se podrán expresar las mismas cantidades dadas con números menores en los numeradores y los denominadores, lo que facilitará la resolución de operaciones.

Actividad Nº10

Indique si son o no equivalentes los siguientes pares de frac-ciones:

Explique cómo hizo para reconocer cuáles eran equivalentes y cuáles no.

Actividad Nº11

Escriba la fracción irreducible equivalente a: a

b 8

5 y 2415 3020 y 32 13 y154 1815 y 65 64 y188

100 75 =

12 18 =

8 20 =

(22)

Al iniciar el tema se señaló que una fracción con denominador 100 suele expresarse como porcentaje: = 20%.

En la vida cotidiana utilizamos muchas veces equivalencias entre fracciones y porcentajes. Observe algunos ejemplos.

Si se considera , por amplificación puede obtenerse multipli-cando numerador y denominador por 25.

También es frecuente utilizar expresiones decimales que equivalen a fracciones irreducibles.

Por ejemplo:

Compré metro de tela equivale a compré 0,5 m de tela.

Poner kg de harina equivale a poner 0,75 kg de harina. a

b

c

20 100

25 100 1

4

1 2 3 4 1 4

Actividad Nº12

Escriba tres fracciones irreducibles que tengan:

Numerador 5

Denominador 3

Numerador 1

= que es lo mismo que escribir 25%. Por ello “la cuarta parte equivales a 25%.

que es lo mismo que escribir 50%. Así “la mitad” es el 50%.

25 100

1 2 = 50100

que es lo mismo que escribir 10%. La “décima parte” es el 10%.

(23)

Actividad Nº13

Calcule mentalmente a qué porcentajes equivalen las siguien-tes fracciones (recuerde que debe encontrar fracciones equi-valentes con denominador 100).

3 4 =

1 5 =

9 10 =

Comparación de fracciones

1 2

En las situaciones anteriores se puede observar que para comparar fracciones es necesario referirse al mismo entero.

(24)

activi-• una de las fracciones es negativa y la otra positiva; • ambas son positivas y tienen igual denominador; • ambas son positivas y tienen numeradores iguales;

• ambas son positivas y tienen distintos numeradores y denominadores; • ambas son negativas.

Actividad Nº14

Una de ellas es negativa y la otra positiva.

Por ejemplo

Si se compara un número positivo y un número negativo, ¿cuál estará siempre más a la izquierda? ¿por qué?

Si un número es negativo y el otro positivo ¿cuál es el me-nor? ¿por qué?

Actividad Nº15

Ambas son positivas y tienen igual denominador.

Por ejemplo

Marque ambos números en la recta.

Complete con <, > o =

Exprese cómo reconocer cuál es la menor de las fracciones posi-tivas si éstas tienen igual denominador. Justifique la respuesta. a

b

a

b

c

- 6 5 y 13

5 12 y 312

3

(25)

Actividad Nº16

Ambas fracciones son positivas y tienen distinto denominador pero los numeradores son iguales.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Represente las fracciones en la recta numérica o en gráficos (cómo le resulte más fácil) para determinar en cada uno de los ejemplos cuál es la fracción menor.

¿Cuál es la fracción menor si las dos son positivas y tienen igual numerador? ¿por qué?

Actividad Nº17

Ambas fracciones son positivas y tiene distintos denominado-res y numeradodenominado-res.

Para analizar este caso comparemos dos pares.

Marque en la recta ambos pares de fracciones.

Complete con <, > o =

Para determinar el menor ¿es suficiente comparar los numerado-res o los denominadonumerado-res como en los casos anterionumerado-res? ¿Por qué?

¿Se pueden obtener fracciones equivalentes a las dadas pero que tengan ambas el mismo denominador?

¿Cuál es el menor denominador común que pueden tener las fracciones ?

Escriba las fracciones equivalentes a las dadas, con igual a

b

2 3 y 25

2

5 con 34 12 con 310

2 5 y 34

3 4 y 32

a

b

c

d

e

f

2 5 . . . .

3

(26)

Actividad Nº19

En una balanza de platillos hay: en uno de los platos de kilo-gramo y en el otro de kilogramos. ¿Cuál de los dos platillos pesa más?

Una tuerca mide de pulgadas otra de pulgada. ¿Cuál es más grande?

En los siguientes pares de fracciones coloque <; = ó > según corresponda.

3 4 24

b c a b c a 1

2 con 310 g

h

Realice el proceso análogo para comparar

Exprese cómo reconocer la mayor de las fracciones si tienen distintos numerador y denominador y son positivas.

Actividad Nº18

Ambas fracciones son negativas.

Establezca cuál es la mayor. Fundamente su respuesta.

Repase el tema Compara-ción de números negativos que ya estudió en el Libro 3.

y

-2 3 24 y

-2 3 35 y

-7 4 3

2

3

4 58

5

3 . . . 43

3

10. . . 154

4

9 . . . 25

6

10. . . 159

7

2 . . . 216

18 8 . . . 94 1

4 . . . - 52

8

3 . . . -114

(27)

-5 8

Operaciones con fracciones

H

emos dicho que al comparar fracciones es preciso analizar si se refieren al mismo entero. A modo de ejemplo, no es lo mismo la mitad de la población de la provincia de La Rioja que la de la pro-vincia de Buenos Aires. Del mismo modo habrá que considerar que para operar con fracciones éstas deben estar referidas al mismo en-tero, pues no se puede operar si se refieren a diferentes enteros.

Suma y resta de fracciones

con igual denominador

La barra de chocolate de la figura está dividida en 8 partes de aproximadamente el mismo tamaño. Si primero se come 2 partes, es decir, aproximadamente del chocolate y más tarde se come otras tres, es decir aproximadamente de la barra. ¿Qué parte del total se comió?

2 8

3 8

5 8

3

8

5

8

=

2

8

+

(28)

+ = . . . .

Actividad Nº20

¿Por qué en la suma anterior se mantiene el denominador 8?

Escriba un enunciado sobre cómo se suman y restan fraccio-nes de igual denominador.

Para sumar o restar fracciones de igual denominador . . . .

. . . .

Realice las siguientes operaciones. a

b

c

1

5 + = 25 . . . 127 123 23 - = 13 . . . 113+ = 37 . . . .

Suma y resta de fracciones

con distinto denominador

Ya se analizó cómo se suman o restan fracciones con igual deno-minador. Este procedimiento ¿se puede aplicar para la suma o res-ta de fracciones con diferente denominador?

Analice el siguiente ejemplo:

Compré kg de pan y luego kg más. ¿Cuánto compré en total? Es evidente que compré kg. Fácilmente se puede considerar que el kg de la primera compra equivale a . Como ahora se tiene una fracción con igual denominador que la segunda ( ) se pueden su-mar sin dificultad.

Para analizar en general la suma de fracciones de distinto denomi-nador, realice la siguiente actividad.

1

2 14

3 4 1

2 24 1

(29)

Usted ya ha resuelto sumas de fracciones con igual denominador. Realizar la actividad anterior le permitió comprobar que es posible reemplazar cada fracción por otra equivalente y hallar la suma uti-lizando las equivalentes que tengan entre sí igual denominador.

Analice la siguiente suma: +

Para las fracciones y es posible hallar infinitas fracciones que

Actividad Nº21

Se quiere sumar + + . Para ello:

Halle series de fracciones equivalentes a las dadas. Como son irreducibles en todos los casos deberá obtenerlas por amplifi-cación. A modo de ejemplo está resuelta la primera serie.

= = = = = = = =

= = = = = = = =

= = = = = = = =

Cada una de las fracciones dadas ¿cuántas equivalentes tie-ne? Recuerde que usted sólo halló algunas.

Compare las fracciones equivalentes a ; ; y . ¿Es posible expresar cada una de las fracciones dadas en otras tres frac-ciones que tengan entre sí el mismo denominador?

Si se continúa colocando fracciones equivalentes ¿se halla-rían más fracciones equivalentes a las dadas con igual deno-minador (denodeno-minador común)?

¿Cuántas fracciones equivalentes a ; y tienen denomi-nador común?

¿Cuál es el resultado de + + ? a

b

c

d

e

f

2 3

2 3

2 3

2

3 14 56

2 3 14

3 4 16

3 4 16

5 6

1 4 56 4

6 69 128 1510 1218 1421 1624 1827 1

4 5 6

(30)

= = = = = =

En este caso el menor denominador común es 12.

Si se convierten ambas fracciones en equivalentes de denominador 12 se obtiene que:

= = y = =

Entonces sumar + es equivalente a sumar + y por tener igual denominador se procede sumando los numeradores.

+ = + =

Por lo tanto + =

Considere ahora la suma + .

Se ahorra tiempo si en lugar de escribir todas las fracciones equi-valentes se trata de hallar directamente el menor denominador co-mún en todas las fracciones equivalentes.

Si en las fracciones y los denominadores son 3 y 4. Los números que se obtienen de multiplicar a cada uno de ellos por 2, 3, 4... etc, serán: 3 – 6 – 9 – 12 – 15 – 18 ... para 3

4 - 8 – 12 – 16 ... para 4

A estos números se los llama múltiplos de 3 (0, 3, 6, 9, 12... ) y múltiplos de 4 (0, 4, 8, 12, 16...)

El menor múltiplo común de los números 3 y 4 es, como se puede observar en las series, el 12.

Preguntarse por el menor de los múltiplos comunes es preguntarse cuál es el menor de los números que puede dividirse por 3 y por 4 obteniendo como resto 0. La respuesta es el menor denominador común de las fracciones dadas.

Hallado el 12 como el menor denominador común, pueden buscar-se las fracciones equivalentes.

A hay que expresarlo con denominador 12, es decir hay que pre-guntarse ¿por qué número multiplico a 3 (denominador) para

lle-3 4

3 4

3 4 16

3 4 16

9 12 122

9

12 122 1211

3 4 2 3 1 6 2 3 2 3 3 4 3 4 11 12 1

6 122

9 12 3 . 3

4 . 3 1 . 26 . 2

6

(31)

Actividad Nº22

Considere estas tres fracciones: + -

¿Cuál es el denominador común para los denominadores 3, 10 y 6? Piense en el menor de todos los posibles denominadores comunes.

Complete sobre la línea de puntos las conversiones a las frac-ciones equivalentes:

= = = = = =

Reemplace cada fracción por la equivalente que halló y resuelva:

+ - = + - =

Para sumar o restar fracciones de igual denominador, se suman o restan los numeradores + = .

Para sumar o restar fracciones de distinto denominador, se reemplazan las fracciones dadas por fracciones equivalentes

gar a 12? La respuesta es 4. Por este mismo número hay que multipli-car a 2 (numerador) si se quiere obtener una fracción equivalente.

Del mismo modo se procede con el fracción . Como 3 es el núme-ro por el que hay que multiplicar a 4 para obtener 12 se tiene:

Así + = + = = 1

2

3

=

12

2

3

8

12

8

=

3 4 2 3 2

3 109 56 3

4 128 129 1712 52

a b c 3 4 2 3 a

b cb a+cb

5 6 9 10 3 .

3 . 109 10 .9. 56 5 .6 .

En síntesis:

;

3 4 = 12

(32)

a

b

/

c

Uso de la calculadora para operar con fracciones

Las calculadoras científicas, en su gran mayoría, tienen una tecla que permite introducir fracciones y operar con ellas.

Generalmente la tecla tiene el símbolo que con las letras a, b y c dispuestas en esa posición representan una expresión fraccionaria mixta, "a" representa la parte entera y b/c la par-te fraccionaria.

Su uso es muy variado, depende de la marca y el modelo de la calculadora, pero no es difícil de utilizar. Consulte con su do-cente sobre el uso de su calculadora.

Un modelo muy difundido se usa del siguiente modo:

Suponga que quiere sumar + -

Para introducir la primera fracción aprieta 3, luego la tecla y a continuación el 5, aparecerá en el visor:

Aprieta la tecla “+"

Introduce la segunda fracción de igual modo que la primera.

Aprieta “–" en el visor aparecerá

Introduce la tercera fracción

Y por último aprieta “=" y el resultado es

Ésta es la forma en que la calculadora indica el número mix-to 1 .

Como verá, se muestran tres posiciones separadas por /. En el primer lugar a la izquierda aparece el entero; en el segundo lugar el numerador y en el tercero el denominador.

Entero/ numerador/ denominador/

3

5 107 121

a /bc

3 5

1 3 10

1 13 60

(33)

Suma de fracciones y enteros

Suponga que necesita sumar + 2 (una fracción y un entero).

Todo número entero puede expresarse como una fracción, 2 = = = = = . . .

De todas las fracciones equivalentes a 2, conviene utilizar la que tiene denominador 4 (ya que queremos sumar 2 con ), o sea , lue-go sumar + 2 = + =

También puede realizar este cálculo mentalmente, 2 + , pensando, por ejemplo, cuántos cuartos son equivalentes a 2. La respuesta es 8 más 1, total .

Inv

Si a usted le interesa obtener el resultado escrito como frac-ción y no como número mixto tiene que apretar la secuencia de teclas y aparecerá en el visor

Es decir que el resultado de + - es

Esta es la forma más común de operar con las calculadoras científicas, pero no la única. Si la suya tiene otra forma de operar con las fracciones consulte con el docente, quien lo ayudará a utilizar correctamente la calculadora.

Inv a /b c

73 60

3 5

1 4

1 4

1 4

8 4 1

4 14 84 94

9 4 2

1 42 63 84

7

(34)

Actividad N

º

23

Resuelva mentalmente los cálculos que figuran a continua-ción. En primer lugar, estime el resultado, diciendo más que ... o algo menos que... Luego resuélvalos por escrito y finalmen-te verifique con la calculadora.

a b c d e f 3 4 1 3 1 2 1 4

1 + =

2 - =

+ =

1 4 1

2 - =

1 8 3

4 - =

1 4 1

4+ -1 =

a b c d e f 1 12 5

12 1211

5 6 5 3

1 5 157 3 10 - + = - = + - = 11 2 14 2 - + =

5 6 13 15

9 - - =

7 24 3

4+ 1 - =

Actividad N

º

24

(35)

Multiplicación de fracciones

Para analizar la multiplicación entre fracciones es necesario consi-derar el significado de la multiplicación entre fracciones.

Multiplicación de una fracción por un entero

1. El esmalte sintético viene en latas de litro; si compra 3 latas

de ¿cuánta pintura compró?

3 latas de litro cada una + + = 3 x

2. ¿Cuántos litros de vino hay sobre la mesa si se han colocado 4 botellas de litros cada una?

4 botellas de litros cada una + + + = 4 x 1

4

1 4 1

4

3 4

3

4 34

1 4

1

4 14 14

3 4 3

4 34 34

Cuando utilizamos la expresión “de” lo que se quiere hallar es el producto.

Si tenemos tres latas de litro cada una, juntas equivalen a litros

+ + = 3x =

Compramos l de pintura. 1 4

1

4 14 14 14

3 4

3 4

(36)

De igual modo se debe proceder si lo que se busca es una fracción de un entero:

“La cuarta parte de un grupo de 8 amigos son solteros, ¿cuán-tos solteros hay en el grupo?"

La cuarta parte de 8 . 8 = = 2

“Cinco octavos de los cuarenta días de vacaciones fueron solea-dos, ¿cuántos días de sol hubo en estas vacaciones?"

Cinco octavos de 40 . 40 = = 25

“Las tres quintas partes de un poste de doce metros están pintadas de azul, ¿cuántos metros del poste están pintados de azul?"

Tres quintos de 12 . 12 =

Para multiplicar una fracción por un número entero, se debe multiplicar el numerador por el entero.

Cada botella contiene litros de vino cada una, dos botellas equi-valen a 1 litros, las cuatro hacen un total de 3 litros.

+ + + = 4 x = = 3

Hay 3 litros de vino. 3

4 1 2

1

4 84

3

5 365

5

8 2008

3

4 34 34 34 124 3

(37)

Para facilitar las cuentas se puede simplificar antes de operar y así trabajar con números menores. Por ejemplo:

aquí no se puede simplificar

Como se puede observar es posible simplificar un numerador con el denominador de otra fracción, pero esta simplificación sólo pue-de hacerse en la multiplicación.

Multiplicación de dos fracciones

La mitad ( ) de una lata de pintura se secó. De la mitad que que-dó se usaron las partes para pintar el portón. ¿Cuánta pintura, del total de la lata, se usó para pintar el portón. ( de )

Para saber la cantidad de pintura que se usó en el portón es nece-sario calcular de , es decir .

Para hallar la respuesta nos ayudaremos con los siguientes gráficos:

3

4

1 . 3

1

=

= 3

4 .

1

4

1

2

1 . 1

2

=

=

. 2

1 1

1 2

3

5

. 12

=

1 2

3 4 12

3

4 12 34 12

3 4

El rectángulo es la la-ta, la dividimos por la mitad

Ahora dividimos a cada mitad en 4 (pa-ra obtener “cuartos” de esa mitad.

De la mitad sombrea-da tomamos 3 de las 4 partes de 3

4 12

1

(38)

Actividad N

º

25

Un campo está sembrado en sus partes, en de esos tie-nen sembrado trigo. ¿Qué fracción del campo está sembrada con trigo?

Recuerde que del campo se encuentran sembrados y de es-ta porción del campo la mies-tad está sembrada con trigo.

Queremos saber, del total del campo, qué fracción es la que corresponde al trigo.

Para resolver el problema siga los pasos siguientes:

El rectángulo representa el campo. Horizontalmente divídalo en quintos.

Sombree cuatro quintos ( ).

Trace, verticalmente, una línea para dividir a cada quinto por la mitad.

Remarque una de las mitades que sombreó.

El campo quedó “cuadriculado". Cada cuadro ¿qué fracción del campo es?

¿Cuántos cuadros son los que corresponden a de ?

Antes de continuar verifique con la clave de corrección. Como la pregunta que queremos contestar es qué parte de la lata se usó para pintar el portón, debemos observar la parte de la lata que quedó sombreada. Vemos que de es , o lo que es lo mismo 3

4

1 2

1 2 45

4

5 45

1 2 38

3 4

1 2

3 8

x =

a

b

c

d

e

f

de del campo 1

2 . 45

4 5

4 5

(39)

En el gráfico vemos que

Si simplificamos el resultado dividiendo numerador y denomi-nador por 2 se obtiene

En este caso se podría simplificar antes de hacer la cuenta:

Recuerde que puede hacerlo porque es una multiplicación. 1

2 45 104

4 10 2 5 x =

4

5

1

2

2

5

=

.

2 1

4

5

1

2

2

5

=

=

.

2 1

1 . 4

2 . 5

2

5

=

2 1 o

Actividad N

º

26

Explique cómo se obtienen el numerador y el denominador en una multiplicación de fracciones.

Generalice, en forma simbólica, la definición de multiplica-ción de fracciones.

Actividad N

º

27

La sociedad de fomento del barrio tiene 420 miembros. Las dos terceras partes de ellos son hombres ¿cuántos hombres hay?

Halle el producto de , con el resultado de: 2 – . Escriba el cálculo combinado que expresen estas operaciones.

de los litros del combustible de una moto es aceite. ¿Qué fracción del total de la mezcla es aceite?

Las partes de los 180 encuestados respondieron sí ¿Cuán-tos contestaron afirmativamente?

La tercera parte de los televidentes comenzaron a ver un partido de fútbol, pero sólo las partes de ellos lo terminaron de ver. ¿Qué fracción del total de televidentes vio el final del partido?

(40)

a

b

c

d

a

Actividad N

º

28

Resuelva mentalmente los siguientes problemas. Luego verifi-que sus respuestas haciendo las cuentas. Puede hacerlo con calculadora.

Un cajón de gaseosas tiene 12 botellas; si se consumen tres cuartas partes ¿cuántas botellas se tomaron?

Calcule el 50 % de $ 380.

Aproximadamente (10 %) de la población argentina está en edad escolar. Suponiendo la población en 36.000.000 ¿cuán-tos argentinos deberían ir a la escuela?

Las partes de los profesionales de un equipo de fútbol tienen más de 21 años. Si en el equipo hay 20 profesionales ¿cuántos son los mayores de edad?

Actividad N

º

29

Obtenga el producto de las siguientes multiplicaciones. No ol-vide simplificar el resultado cuando sea posible.

1 10

3 4

2

5 . =154

2

5 . =52

3

4 . =43

3

7 . =73 7

8 . =43

15

2 . . =45 13 203 . . =94 15

15

8 . . =

3 8 163

- . =

12

5 . =152

7 8 43

- . (- )=

5

12. . =45 43

(41)

b

c

d

e

¿Cómo son entre sí las fracciones que multiplicó en los tres últimos casos? (ejercicios j, k, l)

Las fracciones que tienen estas características se llaman

frac-ciones inversas multiplicativas.

Exprese la condición que debe cumplir una fracción para que sea la inversa de otra.

Halle la fracción inversa de cada una de las siguientes

Observe los resultados de las tres últimas multiplicaciones. ¿Siempre que se multipliquen fracciones inversas se podrán simplificar? ¿Cuál será siempre el resultado?

Recuerde que cuando un número es negativo, si es el primero que aparece en un cálculo, no es necesario encerrarlo entre paréntesis. Pero cuando aparece en medio de una cuenta debe colocarse el paréntesis para no confundir su signo negativo con la operación de restar.

3

4 12 78 4

División de fracciones

Con un kilo y medio (1 = ) de galletitas ¿cuántos paquetitos de se pueden llenar?

1 2 1

4

1 4

3 2

1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

(42)

Con un 1 kg podemos llenar 4 paquetes y con el medio restante otros 2, en total 6.

Repartir 1 kilo y ( kilo) en paquetes de es equivalente a dividir en grupos de kilo.

Por el análisis anterior vemos que : = 6 y también que . 4 es igual a 6.

Tenemos entonces que

(Observe que 4 es el inverso de .)

Analice estos ejemplos:

Con una damajuana de 4 litros (4 = ) podemos llenar 9 bo-tellas de litro, entonces : =9. También es el mismo resulta-do que x 2.

Tenemos entonces que

(Observe que 2 es el inverso de .)

Uno de los tamaños en que se vende café es de kilogramo; si di-vidimos 2 kg en paquetes de ¿cuántos paquetes obtenemos?

Por cada kg se obtienen 8 paquetes con 2 kg obtenemos 16 paquetes, entonces 2 : = 16 que también es el mismo resultado de 2 . 8.

O sea que

(Observe que es el inverso de 8.)

Observando los tres últimos ejemplos verá que la división entre dos fracciones da el mismo resultado que multiplicar la primera frac-ción por la inversa de la segunda. Aunque no lo justifiquemos éste es el procedimiento para dividir fracciones.

1

2 14

1 2

1 2 92 1

2 92

9 2 1 2 3 2 1 4 3 2 14

1 4 1 2 1 8 3 2 3

2 : 14 = 6

9 2 12

9 2

: = x 2

1

8 = 2 x 8

(43)

: = 1 3

: = x 4= -Ejemplos:

Al multiplicar fracciones negativas y positivas recuerde la regla de los signos estudiada en el Libro 3.

Por ejemplo:

x ( )= que simplificada es

-También se podría haber simplificado

si simplificamos obtenemos

si se hubiera simplificado antes

Para dividir dos fracciones se multiplica la primera fracción pon la inversa de la segunda fracción.

Simbólicamente : = . = .a b c d a b d c

a . d b . c

3

5 : 23 = . =35 32 109

6

5 : 152 = . = 965 152

7

4 : 2 = . =74 12 78

2

3 . (- )= -34 12 2

3 34 126 12

0 0 1 1 2 1 3 1 3

5 14 35 125

- : (- ) = - x (- ) =13 29 13 9 2 96

- . (- ) = 13 92 32

4 3

3 2

Actividad N

º

30

Resuelva y exprese el resultado como fracción irreducible

a)

: = 8 15 45

b)

: = 12

5 45

c)

: = 2 5 15

d)

- : =125 45

e)

- : (- ) =25 15

f)

: = 21 15 75

g)

- : 8 =25

(44)

( )

3

=

Potenciación con base fraccionaria

En el Libro anterior se trabajó con potenciaciones cuyas bases eran números enteros.

Para hallar la potencia de un número se multiplica el número que está en la base por sí mismo, tantas veces como lo indique el exponente.

Por ejemplo

43 = 4 . 4 . 4 (4 elevado a la tercera, o al cubo, es igual a 4 . 4 . 4)

Si la base en lugar de ser entera es una fracción, el concepto de po-tenciación no varía:

Como multiplicar fracciones es multiplicar los numeradores y los denominadores entre sí, tenemos que:

y como 3.3.3= 33y 4.4.4= 43resulta que:

En síntesis:

Cuando una fracción está elevada a una cierta potencia el resulta-do se halla elevanresulta-do numeraresulta-dor y denominaresulta-dor a dicha potencia.

En el ejemplo anterior quedó indicada esta cuenta, como 33=27 y 43= 64,

por lo tanto; la respuesta es:

Con un razonamiento semejante comprobaríamos que:

Otro ejemplo:

( )3 3= 4 34 34 34

( )3 3=

4 34 34 34 3 . 3 . 34 . 4 . 4

( )3 3= = =

4 3

3

43

3 . 3 . 3 4 . 4 . 4 3

4 34 34

( )3 3= = 4 3 2764

3

43

( )2 2= = 5 2 254

2

52

( )1 4= = 2 1 161

4

24

3

4

3

3

4

3 . .

. . =

(45)

b

c a

El paso intermedio no es necesario escribirlo. Por ejemplo:

Para hallar el resultado mentalmente elevamos el dos al cuadrado, que es 4 y el 3 al cuadrado que es 9. Por eso la respuesta es

En todos los ejemplos las bases eran positivas. Veamos qué ocurre si la base es negativa.

( )2 2= 3 49

(- )1 3= 2

(- )1 4= 2

4 9

Actividad N

º

31

Relea (si lo necesita) el libro anterior ¿Qué signo tiene la po-tencia cuando la base es negativa? ¿De qué depende el signo del resultado?

Al igual que en las potencias de base entera, si la base es negativa (-) el signo del resultado podrá ser positivo o negativo.

Será positivo (+) si el exponente es par y será negativo (-) si es impar.

Por ejemplo:

resultado positivo por ser el exponente par (4);

la potencia resulta negativa por ser el exponente impar (3). (- )3 4=

2 1681

(- )3 3= - 2 278

( )2 2= 5

Actividad N

º

32

Resuelva :

a)

( )1 4=

b)

( )2 3 = 3

c)

(- )1 4=

d)

( )4 3 = 5

e)

( )3 4 =

h)

(- )3 3=

f)

(- )1 5= 2

g)

(46)

3 4 89

f e d

c - . (- ) + (- )2

= 2

5 103 35 32 b

Actividad Nº33

Encuentre el o los números faltantes en las siguientes igualdades:

e d c b a a

( )3= 3 278

( )3 . . .= 5 259

( )10. . .=

3 9

( )3= 3 64

( )2=100 49

Cuando el exponente es 2 decimos, “.... al cuadrado"; cuando es 3 se lee “... al cubo".

En cálculos de potencia-ción elevar al cuadrado y al cubo es lo más común, por lo que es conveniente que recuerde los cuadra-dos y los cubos de los pri-meros núpri-meros. Revea la Actividad Nº36 del Libro 3

en la que se calcularon es-tas potencias.

Actividad Nº34

Resuelva las siguientes operaciones combinadas. Recuerde que pa-ra empezar hay que sepapa-rar en términos. Tiene un caso resuelto.

: + ( )2= 3

4 58 32

- : = 5 3 203

(2 - ) : + ( )3 3= 4 58 12

( - ) : = 2

3 89 53 203

- .(- ) + (1- )9 2+ = 10 35 32 78

g (- ) : + ( + )2

= 3

4 52 109 14 32

h (- )3

: + : - . = 2

3 29 23 89 1513 263

i (2+ - )3

+ (- )2= 2

3 16 53

7 4 . - ( )2+ (1 - )3=

1

4 52 32 32 - + (- )

3

= 5

8 94 12 58- - = -94 18 148

simplificando el resultado –

.

(47)

Un número racional admite escrituras distintas; no significa que sean números distintos.

1 = 1,5 porque =

= 0,75 porque es equivalente a

0,5 =

Habitualmente con los números decimales se realizan operaciones de suma, resta, multiplicación y división. Para recordar estas ope-raciones analice las situaciones siguientes.

Para festejar el cumpleaños de su hijo, María compra: 7 docenas de sandwiches a $ 3,50 la docena; 12 gaseosas a $ 1,80 cada una; una torta a $ 10,50 (cuesta $ 8,40 el kg.). Además contrató una anima-dora por 1,5 horas (una hora y media) a $ 12,50 la hora.

¿Cuánto gastó? Si pagó con $ 100, ¿cuánto le sobró? 1

2

1 2

1 2 105 3

4 34 10075

Cálculos con expresiones decimales

L

os números racionales pueden expresarse en forma de fracción o en su expresión decimal. El uso de una u otra depende de la si-tuación a la que se esté haciendo referencia.

Actividad N

º

35

¿Qué tipo de expresión utilizaría en cada una de las siguien-tes situaciones?

el peso del pan

el saldo de una cuenta bancaria la duración de un partido de fútbol el importe de una factura de luz

Fracción

Situación Decimal

(48)

Calcule:

Sandwiches

Gastó $ 24,5 3,5

24,5 x 7

Total

Sandwiches $ 24,50 Gaseosas $ 21,60

Animadora $ 18,75 Torta $ 10,50

$ 75,35

Gaseosas

Gastó $ 21,6 1,8

36 21,6 18 x 12

Animadora

Gastó $ 18,75 12,5

625 125 18,75

x 1,5

Si pagó con $ 100 le quedan 10 0

2 4 , 6 5 7 5 , 3 5

-10 5 8 4

210 4 2 0

0 0 1 , 2 5

Si queremos averiguar cuánto pesaba la torta, tenemos que dividir 10,5 con 8,4 (lo que pagó y lo que cuesta cada kilo). Esta división da el mismo resultado que 105 : 84

La torta pesaba 1,25 kg.

Con los números decimales, los cálculos a mano se hacen mucho más lentos, es conveniente emplear una calculadora (no necesariamente científica) para ganar tiempo.

Cuando la utilizamos puede suceder que nos equivoquemos y apretemos una tecla en lugar de otra; el resultado será enton-ces diferente al que deberíamos haber obtenido. Si usamos la calculadora de manera "mecánica" posiblemente no descu-bramos nuestro error.

La mejor forma de utilizarla es anticipándose al resultado, pensar aproximadamente cuál debe ser el resultado. Por ejemplo:

(49)

esta cuenta seguro que da algo menos que 13. ¿Se dio cuenta por qué? Observe los números que queremos multiplicar.

El número 0,986 es muy cercano a 1 si pensamos en un 1 la cuenta a realizar es 1 x 12,35 que es 12,35; pero como el nú-mero es aun menor que 1 el resultado será menor que 12,35. Por lo tanto, si en el visor aparece un número mayor que 13 seguro que se equivocó.

En el ejemplo anterior podemos anticipar que la respuesta es-tará por debajo de 13, pero es obvio que será mayor que 10.

Si el resultado que obtenemos es 11 (que es incorrecto), posi-blemente no nos demos cuenta que cometimos un error, pero en general cuando usamos mal una calculadora los errores son muy evidentes.

Aunque no siempre es fácil anticiparse con mucha precisión a un resultado, inténtelo. Si usted se acostumbra, notará que cada vez lo hace más rápido y mejor. Es un ejercicio que nos ayuda a cometer menos errores y vale tanto para cuando usa-mos una calculadora como para cuando haceusa-mos las cuentas a mano.

Actividad N

º

36

Piense en la respuesta aproximada de los siguientes cálculos y luego resuélvalos con una calculadora. Compruebe en cada caso cuán cerca estuvo del resultado correcto. Recuerde que en lugar de la coma, que no existe en las calculadoras, debe usar el punto.

23,5 x 10,02 =

4,36 : 2 =

3,45 + 0,638 + 0,12 =

2,1 x 4,024 =

262,56 : 1,98 = a

b

c

d

(50)

Radicación

S

i un número elevado al cuadrado da 9 ¿cuál es ese número?

x2= 9

Si 8 es el cubo de un cierto número x ¿de qué número se trata?

Simbólicamente x3 = 8

Para resolver ambos problemas usted tuvo que pensar en un cálculo opuesto a la potenciación, ya que lo que tiene como dato es el resul-tado de una potenciación y lo que se busca es el número que hace de base en ese cálculo. A esta operación se la denomina radicación.

En el primer caso x2=9

Se busca la “raíz cuadrada de 9", es decir, qué número o números multiplicado por sí mismo (o elevado al cuadrado) da por resultado 9.

En este caso hay dos resultados posibles: 32 = 9

(-3)2 = 9

En el segundo caso x3= 8

Se trata de hallar “la raíz cúbica de 8" porque se busca conocer que número o números multiplicado por sí mismo 3 53

veces da por resultado 8.

En este caso 23=8 tiene una única solución ya que (-2)3= -8

• Problema 1

En la caja de embalaje de cerámicas para piso se informa que estas son cuadradas y tienen una superficie de 900 cm2cada una. ¿Cuál es el ancho de cada cerámica?

• Problema 2

(51)

• Analicemos el primer problema

La cerámica es cuadrada, sus lados son iguales. Necesitamos cono-cer la medida de uno cualquiera de ellos.

Llamando L a la medida de uno de los lados, recordemos que para calcular la superficie del cuadrado se multiplica lado por lado. La operación a realizar es L X L o lo que es igual L2 porque los lados

son iguales. Sabemos, además, que esta cuenta es igual a 900 cm2.

Luego, podemos escribir la siguiente ecuación: L2 = 900

Recuerde, tal como se vio en funciones, en el Libro 3, que cuando no conocemos el valor

de algo que puede tomar diferentes valores (variable) la reemplazamos por una letra.

Cuando tenemos una variable formando parte de la igualdad, a dicha expresión la

lla-mammos ecuación, y la variable se llama incógnita. Resolver la ecuación significa hallar

el o los valores que puede tener la variable para que se cumpla la igualdad.

Nos preguntamos entonces: ¿cuál es el número positivo, que eleva-do al cuadraeleva-do da por resultaeleva-do 900?

La respuesta es: 30 pues 302 = 900

Observamos que en la ecuación L2= 900 conocemos el valor de la

potencia: 900 y su exponente 2, pero no conocemos la base: L de dicha potencia.

A la base L la definimos como la “raíz cuadrada de 900" y la indicamos:

L= 2 900 pues L2 = 900

En nuestro ejemplo:

30= 2 900 pues 302 = 900

(52)

• Analice el segundo problema

Como el tanque es un cubo las dimensiones largo, ancho y alto son iguales. Por lo tanto todas las aristas también lo son. Llamaremos A al valor de esta arista.

Si la fórmula para calcular el volumen V del tanque, al igual que para cualquier prisma recto es largo por ancho por altura se puede escribir:

V = A x A x A o V = A3

Sabemos que el volumen del tanque es de 8 m3, luego: 8 = A3

En esta ecuación debemos buscar el número A que elevado al cubo dé como resultado 8.

La respuesta es: 2 pues 23= 8. Definimos a 2 como la “raíz cúbica de 8"

Simbólicamente: 2 = 3 8 pues 23= 8

Podemos obtener el ancho del tanque así: A = 3 8 pues A3= 8

Finalmente, la respuesta a nuestro problema es que el tanque mide 2 m x 2 m x 2 m.

Volviendo a pensar en los ejemplos dados y en la notación que uti-lizamos podemos definir esta nueva operación:

3 8 se lee raíz tercera de ocho o raíz cúbica de ocho y lo

que buscamos como respuesta es un número que cumpla con la con-dición de que si lo elevamos al cubo la respuesta es 8. Ese número, en este caso es 2, ya que 23= 8.

3 8 = 2

(53)

3-8

3125=5 pues 53 = 125

El índice de una raíz debe ser un número natural mayor o igual a dos (n ≥2). Cuando es 2 no es necesario escribirlo (esta es una decisión convencional). Por ejemplo 9 = 2 9 en

ambos casos se lee “raíz cuadrada de 9”

n a se lee raíz enésimade un número a. Lo que se busca es un

nú-mero b que al elevarlo a la potencia n, permita obtener el número a.

En símbolos:

Por ejemplo

3 27 = 3 pues 33 = 27

5 -32 = -2 pues (-2)5 = -32

Algunas aclaraciones más:

n

a = b

n

a = b si

b

n

= a

índice

radicando

raíz signo radical

Actividad N

º

37

Halle las raíces y justifique la respuesta como en el primero de los casos.

a

b

51 c

(54)

Tanto en los ejemplos como en la Actividad Nº 37 todas los índices fueron números impares. Podemos sintetizar esta situación de la siguiente manera:

¿Que ocurre si el índice es par? Veamos algunos ejemplos:

25 = para hallar la raíz cuadrada de 25 debemos pensar qué número elevado al cuadrado da 25.

5 es solución a este problema ya que 52= 25

Pero también lo es el número -5, pues (-5)2= (- 5) x (- 5) = 25

En estos casos, cuando un número admite dos raíces, la única dife-rencia que hay entre ambas soluciones es el signo, por eso lo pode-mos indicar de esta manera:

25 = 5.

Si la raíz es parte de un cálculo combinado sólo consideramos la solución positiva.

¿Y si el radicando es negativo? Por ejemplo -9.

Ahora lo que buscamos es un número cuyo cuadrado es - 9. Y por lo visto en el Libro 3 ningún número racional elevado a un expo-nente par, da un número negativo.

Si n es impar, es positiva, si a es positivo y es negativa si a es negativo

¿Los resultados anteriores son únicos? ¿Por qué?

¿Qué signo tienen los resultados obtenidos? ¿de qué depende?

na

e

5

-f

g

h

1 32

30,008 =

(55)

En resumen:

Si n es par y a positiva n a = ±b tiene dos soluciones;

una positiva y otra negativa pues (-b)n= a y (+b)n = a.

Si n es par y a negativo, no existe na.

Actividad N

º

38

Halle las siguientes raíces. No olvide indicar la doble solución y aquellas que no tienen raíz.

36 =

4 =

4 16 =

6 1 =

-4 =

3 1000 =

0,09 =

9 =

4

3 -1 =

4 81 =

5

-1 =

32

25 =

4

4

=

16 81

Actividad N

º

39

¿Cuáles son los números enteros que tienen raíz cuadrada en-tera entre 10 y 50?

Escriba todos los números enteros entre -30 y 10 que tengan raíz cúbica entera.

¿Cuáles son los números fraccionarios menores que 5 cuyo denominador sea 4, que tienen raíz cuadrada exacta?

a

b

(56)

Cálculo aproximado

S

i usted va a cenar con dos amigos, gastan $20, y deciden pagar en partes iguales ¿cuánto deberá pagar cada uno?

Al dividir 20 por 3, el resultado no da un número entero.

Tampoco es posible obtener resto cero, aun si continuamos hallando más decimales en el cociente. De todos modos para la situación que estamos planteando, es suficiente con calcular hasta los centavos.

Al hacer cálculos con números racionales en su expresión decimal, puede ocurrir que el resultado o los números que debemos utilizar tengan muchas cifras decimales. En algunos caso hay números ra-cionales, como , que tiene infinitas cifras decimales.

En general no es necesario utilizar demasiadas cifras decimales, es suficiente con utilizar las primeras. Con cuántas cifras es necesa-rio trabajar es algo que se decide en función de la precisión que se requiera o el sentido del resultado. En la situación de dividir los $ 20 del gasto de la cena en 3, carece de sentido hallar decimales del or-den de los milésimos o más, pues sólo se manejan centavos.

Al decidir tomar sólo algunas cifras del número decimal lo que es-tamos haciendo es un cálculo aproximado.

Decimos que es aproximado ya que si el número fuese 2,2325791 y nosotros tomamos 2,23 desechando el resto de las cifras decimales, el resultado será muy cercano al que obtendríamos usando el nú-mero completo, pero no es igual.

Por ejemplo:

1,0934518 . 25,325819 = 27,692562

Pero si en su lugar multiplicamos: 1,09 . 25,32 obtenemos 27,5989

Que no es lo mismo, pero es muy aproximado.

2 0 3 2 0

2 0 6 , 6 6

(57)

Esto no sólo ocurre con los números racionales. Existen otros que no lo son (no se pueden expresar como la razón entre dos enteros), como es el caso del número π, que se trabajó en el Módulo 5 y se utiliza para resolver situaciones tales como la longitud de un cir-cunferencia. Todos estos números tienen infinitas cifras decimales. El número π no es 3,1; tampoco es 3,14; ni 3,14159; ni es igual a 3,141592653589793238462643; pero cualquiera de estas expresio-nes decimales es el valor aproximado de π.

Si queremos multiplicar 2.π de acuerdo a la precisión que necesi-temos, reemplazaremos π por cualquiera de los valores aproxima-dos. En el caso del número π el decimal 3,14 es uno de los reem-plazos aproximados posibles.

Usualmente hay dos maneras de aproximar un número:

Truncamiento: se suprimen las cifras decimales a partir de

deter-minado lugar, por ejemplo = 3,1415.

Redondeo: Si queremos trabajar con 4 cifras decimales (diez

milé-simos), el valor de la cuarta cifra dependerá de la quinta. Si la quinta cifra es menor que 5 truncamos el número en la cuarta. Si la quinta cifra es mayor o igual a 5 aumentamos una unidad a la cuarta.

Por ejemplo: en el número , como la quinta cifra es 9, el redondeo es = 3,1416.

Otros ejemplos con 3 cifras decimales (milésimos)

8 = 2,8284271247461... Por truncamiento 8 = 2,828 y por redondeo también (la cuarta cifra es un 4).

= 0,2626262626... Por truncamiento = 0,262 y por re-dondeo =0,263 (la cuarta cifra es un 6).

26

99 2699

(58)

f 4,375 + 23, 318 = e

d 3. 24 = c

b a

a

b

c

Actividad N

º

40

Usando la calculadora realice las siguientes cuentas y luego escriba el valor aproximado truncado y redondeado con 2 ci-fras decimales (centésimos).

11 =

6 =

3 2 =

38 : 110 =

Lo común es que tengamos que realizar cálculos con números de-cimales que podemos redondear en su segunda (centésimos) o ter-cer cifra (milésimos); pero no siempre es así.

Actividad N

º

41

Una pared de 14,36 metros de largo, debe ser dividida en tres par-tes iguales para armar tres habitaciones. Calcule la medida de cada una de esas partes (por redondeo), tenga en cuenta que la mayor precisión que podemos tomar está en el orden de los milímetros.

Cinco amigos comparten un departamento; este mes los gastos por servicios son de $ 162,42. Si dividen los gastos en partes iguales ¿cuánto debe pagar cada uno? (resuélvalo por trunca-miento en los centavos).

Un rectángulo tiene 2,15 cm de base y 6,32 cm de altura. Cal-cule el área del rectángulo con una precisión del orden de los centésimos de cm por redondeo. Recuerde que el área se cal-cula multiplicando la base por la altura.

(59)

Notación científica

L

a circunferencia aproximada de la órbita de la Tierra es de 938.900.000 km.

La masa de los océanos es de 1.350.000.000.000.000.000 toneladas.

La estrella más cercana a la tierra (fuera del sol) está aproximada-mente a 9.600.000.000.000 km.

Lea en el Libro 2, Módulo Nº5, en el apartado Poten-ciación, cómo se escriben cantidades como suma de potencia de 10.

Actividad N

º

42

Halle las siguientes potencias.

102= 107=

103= 108=

104= 109=

105= 1010=

106=

Analice el resultado de las potencias anteriores. Compare la can-tidad de ceros del resultado con el exponente de esa potencia de 10. ¿Qué conclusión puede obtener? Justifique su respuesta. a

Figure

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