Si 8 es el cubo de un cierto número x ¿de qué número se trata? Simbólicamente x3 = 8
Para resolver ambos problemas usted tuvo que pensar en un cálculo opuesto a la potenciación, ya que lo que tiene como dato es el resul- tado de una potenciación y lo que se busca es el número que hace de base en ese cálculo. A esta operación se la denomina radicación. En el primer caso x2=9
Se busca la “raíz cuadrada de 9", es decir, qué número o números multiplicado por sí mismo (o elevado al cuadrado) da por resultado 9. En este caso hay dos resultados posibles:
32 = 9 (-3)2 = 9
En el segundo caso x3= 8
Se trata de hallar “la raíz cúbica de 8" porque se busca conocer que número o números multiplicado por sí mismo 3 53
veces da por resultado 8.
En este caso 23=8 tiene una única solución ya que (-2)3= -8 • Problema 1
En la caja de embalaje de cerámicas para piso se informa que estas son cuadradas y tienen una superficie de 900 cm2cada una. ¿Cuál es el ancho de cada cerámica?
• Problema 2
Se construye un tanque de agua con forma cúbica (igual largo, ancho y alto) de un volumen de 8 m3¿Cuáles son las dimensiones del tanque?
• Analicemos el primer problema
La cerámica es cuadrada, sus lados son iguales. Necesitamos cono- cer la medida de uno cualquiera de ellos.
Llamando L a la medida de uno de los lados, recordemos que para calcular la superficie del cuadrado se multiplica lado por lado. La operación a realizar es L X L o lo que es igual L2 porque los lados
son iguales. Sabemos, además, que esta cuenta es igual a 900 cm2.
Luego, podemos escribir la siguiente ecuación: L2 = 900
Recuerde, tal como se vio en funciones, en el Libro 3, que cuando no conocemos el valor de algo que puede tomar diferentes valores (variable) la reemplazamos por una letra.
Cuando tenemos una variable formando parte de la igualdad, a dicha expresión la lla- mammos ecuación, y la variable se llama incógnita. Resolver la ecuación significa hallar el o los valores que puede tener la variable para que se cumpla la igualdad.
Nos preguntamos entonces: ¿cuál es el número positivo, que eleva- do al cuadrado da por resultado 900?
La respuesta es: 30 pues 302 = 900
Observamos que en la ecuación L2= 900 conocemos el valor de la
potencia: 900 y su exponente 2, pero no conocemos la base: L de dicha potencia.
A la base L la definimos como la “raíz cuadrada de 900" y la indicamos: L= 2 900 pues L2 = 900
En nuestro ejemplo:
30= 2 900 pues 302 = 900
Hablamos de número positi- vo pues la medida de la cerá- mica no puede ser negativa.
• Analice el segundo problema
Como el tanque es un cubo las dimensiones largo, ancho y alto son iguales. Por lo tanto todas las aristas también lo son. Llamaremos A al valor de esta arista.
Si la fórmula para calcular el volumen V del tanque, al igual que para cualquier prisma recto es largo por ancho por altura se puede escribir:
V = A x A x A o V = A3
Sabemos que el volumen del tanque es de 8 m3, luego: 8 = A3
En esta ecuación debemos buscar el número A que elevado al cubo dé como resultado 8.
La respuesta es: 2 pues 23= 8. Definimos a 2 como la “raíz cúbica de 8"
Simbólicamente: 2 = 3 8 pues 23= 8
Podemos obtener el ancho del tanque así: A = 3 8 pues A3= 8
Finalmente, la respuesta a nuestro problema es que el tanque mide 2 m x 2 m x 2 m.
Volviendo a pensar en los ejemplos dados y en la notación que uti- lizamos podemos definir esta nueva operación:
3 8 se lee raíz tercera de ocho o raíz cúbica de ocho y lo
que buscamos como respuesta es un número que cumpla con la con- dición de que si lo elevamos al cubo la respuesta es 8. Ese número, en este caso es 2, ya que 23= 8.
3 8 = 2
Si en lugar de referirnos a un ejemplo generalizamos la situación, es decir, cambiamos los números por letras que representan a cual- quier número, tendríamos lo siguiente:
3-8
3125=5 pues 53 = 125
El índice de una raíz debe ser un número natural mayor o igual a dos (n ≥2). Cuando es 2 no es necesario escribirlo (esta es una decisión convencional). Por ejemplo 9 = 2 9 en ambos casos se lee “raíz cuadrada de 9”
n a se lee raíz enésimade un número a. Lo que se busca es un nú-
mero b que al elevarlo a la potencia n, permita obtener el número a.
En símbolos: Por ejemplo 3 27 = 3 pues 33 = 27 5 -32 = -2 pues (-2)5 = -32 Algunas aclaraciones más:
n
a = b
na = b si
b
n= a
índice radicando raíz signo radicalActividad Nº37
Halle las raíces y justifique la respuesta como en el primero de los casos. a b 51 c
Tanto en los ejemplos como en la Actividad Nº 37 todas los índices fueron números impares. Podemos sintetizar esta situación de la siguiente manera:
¿Que ocurre si el índice es par? Veamos algunos ejemplos:
25 = para hallar la raíz cuadrada de 25 debemos pensar qué número elevado al cuadrado da 25.
5 es solución a este problema ya que 52= 25
Pero también lo es el número -5, pues (-5)2= (- 5) x (- 5) = 25
En estos casos, cuando un número admite dos raíces, la única dife- rencia que hay entre ambas soluciones es el signo, por eso lo pode- mos indicar de esta manera:
25 = 5.
Si la raíz es parte de un cálculo combinado sólo consideramos la solución positiva.
¿Y si el radicando es negativo? Por ejemplo -9.
Ahora lo que buscamos es un número cuyo cuadrado es - 9. Y por lo visto en el Libro 3 ningún número racional elevado a un expo- nente par, da un número negativo.
Si n es impar, es positiva, si a es positivo y es negativa si a es negativo
¿Los resultados anteriores son únicos? ¿Por qué?
¿Qué signo tienen los resultados obtenidos? ¿de qué depende?
na e
5 - f g h 1 32 30,008 =Usted posiblemente pensó en -3, y esto no es correcto. Ya que (-3) x (-3)=9 y no -9
En resumen:
Si n es par y a positiva n a = ±b tiene dos soluciones;
una positiva y otra negativa pues (-b)n= a y (+b)n = a.
Si n es par y a negativo, no existe na.
Actividad Nº38
Halle las siguientes raíces. No olvide indicar la doble solución y aquellas que no tienen raíz.
36 = 4 = 4 16 = 6 1 = -4 = 3 1000 = 0,09 = 9 = 4 3 -1 = 4 81 =
5 -1 = 32 25 = 4 4 = 16 81Actividad Nº39
¿Cuáles son los números enteros que tienen raíz cuadrada en- tera entre 10 y 50?
Escriba todos los números enteros entre -30 y 10 que tengan raíz cúbica entera.
¿Cuáles son los números fraccionarios menores que 5 cuyo denominador sea 4, que tienen raíz cuadrada exacta?
a
b