Análisis dinámico experimental de edificios esbeltos
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(2) agradecimientos Agradezco a mi familia, que aunque nos separa una larga distancia siempre estuvieron en mi corazón y siempre creyeron que la culminación de esta meta seria posible. A mis tutores Iván Muñoz Dı́az y Jaime Garcı́a Palacios, por brindarme la posibilidad de formar parte del equipo de trabajo de esta investigación, por el amplio conocimiento y el tiempo que me brindaron cuando lo necesitaba. A todos mis compañeros de máster por compartir un excelente año de aprendizaje y en especial a José Manuel Soria que siempre estuvo para ayudarme con su amplio conocimiento. A todos los profesores que comparte su experiencia, conocimientos y que lo hace de la mejor forma posible.. A todos muchas gracias. Se agradece al Ministerio de Economı́a y Competividad del Gobierno de. España el hacer posible este trabajo gracias a la financiación del proyecto SETH, con referencia IPT-2012-0703-380000, del Programa INNPACTO..
(3) resumen Es conocido que la variación del comportamiento dinámico de las estructuras puede ser empleado dentro de un sistema de monitorización de su integridad estructural. Ası́, este estudio tiene como objetivo comprender el comportamiento dinámico de edificios esbeltos, frente a diferentes agentes ambientales como la temperatura y/o dirección y velocidad del viento.En el marco de esta investigación, se estudian dos edificios: la Torre de la ETSI (Escuela Técnica Superior de Ingenieros) de Caminos, Canales y Puertos de la UPM (Universidad Politécnica de Madrid) y un edificio de viviendas situado en la calle de Arturo Soria de Madrid. Los datos medioambientales antes mencionados, se registraron con sendas estacionales meteorológicas situadas en las azoteas de ambos edificios. Se realiza el análisis modal operacional de ambas estructuras. Este análisis se realiza a partir de las mediciones de las aceleraciones ante excitaciones ambientales, es un análisis basado sólo en la respuesta de la estructura. Por tanto, no es necesario interrumpir el funcionamiento en servicio de la instalación, obteniendo su comportamientos en este estado. A partir de este análisis, se obtienen las frecuencias naturales, los amortiguamientos modales y las formas modales. Ası́, en este trabajo se ha estudiado la relación existente entre la variación en la estimación de las frecuencias naturales y la variación de los agentes ambientales (fundamentalmente la temperatura). Los ensayos dinámicos en los dos edificios mencionados anteriormente, se han realizado utilizando acelerómetros de alta sensibilidad sincronizados inalámbricamente, lo cual ha simplificado el trabajo experimental si lo comparamos con los sistemas tradicionales. Como resultado del trabajo realizado se pueden destacar los siguientes puntos: (i) se ha visto que con el equipamiento disponible se pueden realizar análisis dinámicos de edificios, (ii) se ha mejorado el conocimiento dinámico de estas estructuras, y (iii) se ha visto la importancia que pueden tener los agentes ambientales dependiendo por un lado del tipo estructura del edificio. A partir del trabajo, se podrán actualizar modelos matemáticos que sirvan para la predicción de daños en las estructuras, y por otro, se podrán eliminar los efectos de los agentes ambientales, lo cual es un punto vital si se quiere emplear los parámetros modales para el cálculo de indices de daño. La aplicación de este tipo de investigación ayudará a tener una información mayor sobre el comportamiento de las estructuras y ası́, en el futuro, poder realizar distintos tipos de procesos, como la formulación de modelos matemáticos que reflejen con mayor fidelidad el comportamiento real. De esta forma, la monitorización de los agentes medioambientales permitirán valorar la influencia de estas variaciones sobre la estructura pudiéndose eliminar estos efectos. Con ello, se mejora la incertidumbre en la variación de frecuencias que puede ser utilizada como un sistema de activación de alarmas frente a la detección de daños estructurales..
(4) abstract It is known that the variation of the dynamic behavior of structures can be used within a system to monitor structural integrity. So, this study aims to understand the dynamic behavior of slender buildings, against different environmental agents such as temperature and / or wind direction and velocity. As part of this investigation, two buildings are studied: the ETSI’s (Escuela Técnica Superior de Ingenieros) main tower of Ëscuela de Caminos, Canales y Puertos öf UPM (Universidad Politécnica de Madrid) and a residential building located in the streets Arturo Soria Madrid. The environmental data were recorded with weather stations located on the roof of both buildings. In both structures a modal operational analysis has been carried out. This analysis is performed from the measurements of the acceleration to the environmental excitation, this analysis is based only on the response of the structure. Therefore, it is not necessary to interrupt the operation of the structure, getting its behavior in this state. From this analysis, the natural frequencies, modal damping and mode shapes are obtained. So, in this work we have studied the existing relationship between the variation in the estimate of the natural frequencies and the variation of environmental agents (mainly temperature). The dynamic tests in the two buildings mentioned above, have been made using high-sensitivity accelerometers wirelessly synchronized, which has simplified the experimental work when compared to traditional systems. As a result of work performed can highlight the following points: (i) it has been found that with the available equipment can perform dynamic analysis of buildings, (ii) has improved dynamic knowledge of these structures, and, (iii) can be seen the potential importance of environmental agents depending on the type of building structure. From the work, mathematical models can be updated that serve to prediction of damage to structures, and on the other side, may eliminate the effects of environmental agents, which is a vital point if you want to use the modal parameters for calculating damage ratings. The application of this type of research will help to have more information about the behavior of structures and so, in the future, conduct various processes, as the formulation of mathematical models that reflect more accurately an actual behavior. In this way the monitoring of environmental agents will allow evaluate the influence of these variations on the structure being possible eliminate these effects. Thereby, improvement the uncertainty in the frequencies variation that can be used as an alarm activation system from detection of structural damage..
(5) Índice general 1. Motivación 1.1. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Objetivos especı́ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Estructura de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11 11 12 12. 2. Equipos y Proceso de medida 2.1. Generalidades previas . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Análisis Modal . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Vibraciones . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. Vibraciones Libres . . . . . . . . . . . 2.1.4. Señal y Tipos de señales. . . . . . . . 2.1.5. Transductores . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6. Análisis armónico o análisis de Fourier 2.1.7. Transformada de Fourier . . . . . . . . 2.1.8. Análisis en dominio de la frecuencia . 2.2. Equipos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Transductores . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Convertidores de Señal . . . . . . . . . 2.2.3. Sistema de medida . . . . . . . . . . . 2.3. Proceso de medida . . . . . . . . . . . . . . .. 13 13 13 14 14 14 15 16 16 17 18 18 20 21 21. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. 3. Análisis Modal Experimental 3.1. Análisis Modal Tradicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Función de respuesta en frecuencia (FRF) y función de respuesta a impulsos (IRF). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Métodos de estimación de parámetros modales . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2.1. Peak Picking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2.2. Descomposición en el dominio de la frecuencia . . . . . . . . . . . 3.1.2.3. Descomposición en el dominio del tiempo . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Análisis Modal Operacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Métodos de estimación de parámetros modales . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1.1. Identificación de subespacios estocásticos (SSI) . . . . . . . . . .. 30 30. 4. Resultados 4.1. Torre de la Escuela ETSI Caminos Canales y Puertos 4.1.1. Identificación mediante SSI-DATA . . . . . . . 4.1.1.1. Registro Temporal . . . . . . . . . . . 4.1.1.2. Transformada de Fourier . . . . . . . 4.1.1.3. Densidad Espectral de Potencia . . .. 55 55 55 56 58 59. I. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 31 34 34 36 40 44 44 45.
(6) 4.1.1.4. Coeficiente de Kurtosis . . . . . . . . . . . . . 4.1.1.5. Dosados de vibración (VDV) . . . . . . . . . . 4.1.1.6. Formas modales . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. Influencia de agentes ambientales . . . . . . . . . . . . . 4.1.2.1. Registro Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2.2. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . 4.1.2.3. Densidad Espectral de Potencia . . . . . . . . 4.1.2.4. Coeficiente de Kurtosis . . . . . . . . . . . . . 4.1.2.5. Dosados de vibración (VDV) . . . . . . . . . . 4.1.2.6. Resultados ante la variación ambiental. . . . . 4.1.2.7. Variación ambiental continua para cada uno de 4.1.3. Correlación entre temperatura y frecuencia. . . . . . . . 4.2. Edificio de Arturo Soria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Configuración No 1 Dirección X aplicando SSI-DATA . 4.2.1.1. Registro Temporal. . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1.2. Transformada de Fourier. . . . . . . . . . . . . 4.2.1.3. Matriz de Autocorrelación MAC. . . . . . . . . 4.2.1.4. Diagrama de Estabilización . . . . . . . . . . . 4.2.1.5. Formas modales . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Configuración No 1 Dirección Y aplicando SSI-DATA . 4.2.2.1. Registro Temporal. . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2.2. Transformada de Fourier. . . . . . . . . . . . . 4.2.2.3. Matriz de Autocorrelación MAC. . . . . . . . . 4.2.2.4. Diagrama de Estabilización . . . . . . . . . . . 4.2.2.5. Formas modales . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3. Configuración No 2 Dirección X aplicando SSI-DATA . 4.2.3.1. Registro Temporal. . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3.2. Transformada de Fourier. . . . . . . . . . . . . 4.2.3.3. Matriz de Autocorrelación MAC. . . . . . . . . 4.2.3.4. Diagrama de Estabilización . . . . . . . . . . . 4.2.3.5. Formas modales . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4. Configuración No 2 Dirección Y aplicando SSI-DATA . 4.2.4.1. Registro Temporal. . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4.2. Transformada de Fourier. . . . . . . . . . . . . 4.2.4.3. Matriz de Autocorrelación MAC. . . . . . . . . 4.2.4.4. Diagrama de Estabilización . . . . . . . . . . . 4.2.4.5. Formas modales . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.5. Influencia de los agentes ambientales . . . . . . . . . . . 4.2.6. Correlación entre temperatura y frecuencia. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . los . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . modos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61 62 63 65 66 67 69 70 71 71 80 81 86 86 87 87 88 89 89 90 90 91 92 93 93 93 94 94 96 96 97 97 98 98 100 100 101 101 103. 5. Conclusiones. 105. Bibliografı́a. 107.
(7) Índice de figuras 2.1. Modos de vibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Acelerómetro Piezoeléctrico Fuente:Anil K. Chopra [1] . . . . . . 2.3. Esquema Transformada de Fourier. [2] . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Ejemplo de Espectrograma en función del tiempo y en función de 2.5. Esquema de medición de vibración básico Fuente: Kirchoff . . . 2.6. Esquema Acelerómetros piezoeléctricos. Fuente: Kirchoff . . . . 2.7. Acelerómetros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Convertidor de señal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Esquema de medición de vibraciones real. . . . . . . . . . . . . . 2.10. Escuela ETSI Caminos, Canales y Puertos. . . . . . . . . . . . . 2.11. Planos Estructurales zona 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12. Planos Estructurales zona 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13. Esquema de ubicación de sensores. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14. Edificio de ARTURO SORIA. Fuente: Google Maps . . . . . . . 2.15. Distribución por planta edificio ARTURO SORIA. . . . . . . . . 2.16. Diseño de setup de medida principales. . . . . . . . . . . . . . . . 2.17. Sofware de medida UPM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.18. Inspección Visual de la Señal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . la frecuencia[3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13 16 17 17 18 19 20 20 21 22 23 23 24 25 26 27 28 29. 3.1. Función de respuesta en frecuencia, excitación en punto 1 y respuesta en punto 1. Fuente: DIMEC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Función de respuesta en frecuencia, excitación en punto 1 y respuesta en punto 2 y viceversa. Fuente: DIMEC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Función de respuesta en frecuencia, excitación en punto 2 y respuesta en punto 2. Fuente: DIMEC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Diagrama de Nyquist Fuente: Univerity of Exeter Prof. Paul Reynolds . . . . . . . 3.5. Metodo Peak-Picking Fuente: DIMEC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Densidad Espectral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Selección de Correlación MAC Fuente: Bibliografı́a [11] . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Ejemplo de representación de la matriz MAC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. Diagrama de Estabilidad y gráfica de Amplitud. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33 33 36 37 38 40 54. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8.. 57 57 58 58 59 60 60 61. Registro Temporal de Aceleraciones. . . . . . . . . . . . Registro Temporal de Aceleraciones forma superpuesta. Transformada de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformada de Fourier superpuesta. . . . . . . . . . . Densidad de frecuencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Densidad Espectral de Potencia de cada canal. . . . . . Potencia de densidad espectral superpuesta. . . . . . . . Potencia de densidad espectral superpuesta. . . . . . . . III. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. 32 32.
(8) 4.9. Coeficiente normalizado de Kurtosis. . . . . . . . . . . . 4.10. Valor de Dosis de la Vibración. . . . . . . . . . . . . . . 4.11. Primer modo de flexión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.12. Segundo modo de flexión. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.13. Tercer modo de flexión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.14. Registro Temporal de Aceleraciones para 4 canales. . . . 4.15. Registro Temporal de Aceleraciones forma superpuesta. 4.16. Transformada de Fourier para 4 canales. . . . . . . . . . 4.17. Transformada de Fourier forma superpuesta. . . . . . . 4.18. Densidad de Frecuencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.19. Densidad Espectral de Potencia de los 4 canales. . . . . 4.20. Densidad Espectral de Potencia forma superpuesta. . . . 4.21. Densidad Espectral de Potencia del sistema. . . . . . . . 4.22. Coeficiente normalizado de Kurtosis. . . . . . . . . . . . 4.23. Valor de Dosis de Vibración para 4 canales. . . . . . . . 4.24. Registro de frecuencias dı́a 6 de junio. . . . . . . . . . . 4.25. Registro de frecuencias dı́a 7 de junio. . . . . . . . . . . 4.26. Registro de frecuencias dı́a 8 de junio. . . . . . . . . . . 4.27. Registro de frecuencias dı́a 18 de junio. . . . . . . . . . . 4.28. Registro de frecuencias dı́a 19 de junio. . . . . . . . . . . 4.29. Registro de frecuencias dı́a 22 de junio. . . . . . . . . . . 4.30. Registro de frecuencias dı́a 5 de julio. . . . . . . . . . . . 4.31. Registro de frecuencias dı́a 6 de julio. . . . . . . . . . . . 4.32. Dispersión de los modos superiores a 3 Hz. . . . . . . . . 4.33. Variación de las frecuencias 6 de Junio. . . . . . . . . . 4.34. Variación de las frecuencias 7 de Junio. . . . . . . . . . 4.35. Variación de las frecuencias 8 de Junio. . . . . . . . . . 4.36. Variación de las frecuencias 18 de Junio. . . . . . . . . . 4.37. Variación de las frecuencias 19 de Junio. . . . . . . . . . 4.38. Variación de las frecuencias 22 de Junio. . . . . . . . . . 4.39. Variación de las frecuencias 5 de Julio. . . . . . . . . . . 4.40. Variación de las frecuencias 6 de Julio. . . . . . . . . . . 4.41. Variación de las frecuencias 6, 7 y 8 de Junio. . . . . . . 4.42. Correlación lineal 6 junio. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.43. Correlación lineal 7 junio. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.44. Correlación lineal 8 junio. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.45. Correlación lineal 18 junio. . . . . . . . . . . . . . . . . 4.46. Correlación lineal 19 junio. . . . . . . . . . . . . . . . . 4.47. Correlación lineal 22 junio. . . . . . . . . . . . . . . . . 4.48. Correlación lineal 5 julio. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.49. Correlación lineal 6 julio. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.50. Correlación 1 modo de flexión dirección principal X. . . 4.51. Correlación 1 modo de flexión dirección principal Y. . . 4.52. Registro temporal de aceleraciones. . . . . . . . . . . . . 4.53. Transformada de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.54. Transformada de Fourier forma superpuesta. . . . . . . 4.55. Matriz de Autocorrelación MAC. . . . . . . . . . . . . . 4.56. Diagrama de estabilización. . . . . . . . . . . . . . . . . 4.57. Registro temporal de Aceleraciones. . . . . . . . . . . . 4.58. Transformada de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62 63 64 64 65 66 66 67 68 68 69 69 70 70 71 72 72 73 73 74 74 75 75 76 76 77 77 78 78 79 79 80 80 81 81 82 82 83 83 84 84 85 85 87 87 88 88 89 90 91.
(9) 4.59. Transformada de Fourier forma superpuesta. 4.60. Matriz de Autocorrelación de MAC. . . . . . 4.61. Diagrama de estabilización. . . . . . . . . . . 4.62. Registro temporal de aceleraciones. . . . . . . 4.63. Transformada de Fourier. . . . . . . . . . . . 4.64. Transformada de Fourier forma superpuesta. 4.65. Matriz de Autocorrelación MAC. . . . . . . . 4.66. Diagrama de estabilización. . . . . . . . . . . 4.67. Registro temporal de aceleraciones. . . . . . . 4.68. Transformada de Fourier. . . . . . . . . . . . 4.69. Transformada de Fouerier forma superpuesta. 4.70. Matriz de Autocorrelación MAC. . . . . . . . 4.71. Diagrama de estabilización. . . . . . . . . . . 4.72. Registro en la dirección X. . . . . . . . . . . . 4.73. Registro en la dirección Y. . . . . . . . . . . . 4.74. Variación de las frecuencias en la dirección X. 4.75. Variación de las frecuencias en la dirección Y. 4.76. Correlación en la dirección X. . . . . . . . . . 4.77. Correlación en la dirección Y. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 91 92 93 94 94 95 96 97 98 98 99 100 100 101 102 102 103 104 104.
(10) Índice de cuadros 2.1. Propiedades acelerómetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8.. Registro ambiental medida principal . . . . . . . . . Registro Periódico de medidas . . . . . . . . . . . . . Parámetros Modales de la Estructura . . . . . . . . . Registro ambiental medida Arturo Soria . . . . . . . Parámetros modales estructura configuración 1 en X. Parámetros modales estructura configuración 1 en Y. Parámetros modales estructura configuración 2 en X. Parámetros modales estructura configuración 2 en Y.. VI. . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. 19. . 55 . 56 . 63 . 86 . 89 . 93 . 97 . 101.
(11) Capı́tulo 1. Motivación Los edificios altos se caracterizan por ser de alguna manera más vulnerables a ciertos efectos naturales. Encontramos que paı́ses como México consideran a las edificaciones con rango de altura entre 5 y 25 pisos como más vulnerables a fallos por eventos sı́smicos, cabe pensar que es debido a un motivo especı́fico, la justificación es que los edificios con alturas entre el rango mencionado tienden a ser más vulnerables debido a que la frecuencia propia de la estructura es propensa a coincidir con las frecuencias propias de los sismos. Si llegase a ocurrir una eventualidad de éste tipo darı́a inicio a un efecto de resonancia lo que ocasionarı́a una amplitud en las fuerzas externas que afectan a la estructura. Si se tiene una estructura ya construida se le quiere realizar una modificación, por ejemplo, añadir o quitar plantas, variando la masa total de la estructura, colocar máquinas que generan efectos de vibración, conocer la respuesta frente a cambios ambientales etc; a priori, se desconoce la respuesta real de la estructura ante estos cambios y la influencia que pudieran ejercer sobre la vida util de la misma. Por eso es necesario comprender su comportamiento dinámico que permitirı́a ajustar un modelo de elementos finitos que se adapte lo más cerca posible a la realidad. De esta forma se puede valorar más claramente la conveniencia o no de realizar dichos cambios. Con este objetivo, se ha realizado el estudio del proceso de análisis modal experimental en su conjunto. Con ello se espera eliminar los efectos de los agentes medioambientales sobre la medida de las frecuencias propias de vibración de la estructura, y de esta forma, reducir el intervalo de confianza de su posible variación mejorando su capacidad de ser utilizadas como indicador de posibles variaciones en el comportamiento estructural. Durante este proceso ha sido necesario realizar un estudio de las implicaciones del análisis modal y por este motivo los primeros capı́tulos se centran en conocer la base teórica del análisis modal experimental, metodologı́a, teorı́as de cálculo, equipos, procedimientos para la toma de muestras realizadas en esta investigación para finalmente exponer los resultados obtenidos.. 1.1.. Objetivo general. Realizar el estudio del comportamiento dinámico de edificios por medio del análisis modal operacional frente a diferentes agentes ambientales como pueden ser: temperatura, dirección y velocidad del viento, y ası́ observar si existe alguna relación con los modos propios de vibración.. 11.
(12) 1.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS. 1.2.. Motivación. Objetivos especı́ficos. - Realizar mediciones en dos tipos de edificios por medio de un sistema de monitorización de vibraciones mediante el uso de acelerómetros para conocer su respuesta ante agentes ambientales y cargas de servicio. - Presentar diferentes tipos de métodos de estimación de parámetros modales. - Obtener los parámetros modales de las estructuras por medio del método de identificación de subespacios estocásticos (SSI). - Verificar los resultados obtenidos de las diferentes mediciones realizadas y comparar con los valores de los agentes ambientales externos que se presentaron en el mismo instante de tiempo.. 1.3.. Estructura de la Tesis. El capitulo uno detalla la motivación asociada a esta investigación, En él se describe el objetivo principal y los pasos mas importantes de este desarrollo. En el capitulo dos se presentan algunos conceptos generales a modo de pequeña introducción a los diferentes temas y conceptos que se encontraran a lo largo del trabajo. Adicionalmente, se describen los equipos y la metodologı́a utilizada. Para el capitulo tres se definen los diferentes tipos de análisis modal experimental basados en la ëntrada-salidaÿ s̈olo salida,̈ también se presentan algunos métodos de estimación de parámetros modales. El capitulo cuatro explica los resultado obtenidos de la identificación de las dos estructuras estudiadas por medio del análisis modal operacional y la metodologı́a del SSI, además, se presenta la variación de los resultados frente a los cambios presentados por los agentes ambientales. Por último, el capitulo cinco menciona algunas ideas que relevantes asociadas a estos resultados para tener en cuenta en ésta y futuras investigaciones.. 12.
(13) Capı́tulo 2. Equipos y Proceso de medida 2.1. 2.1.1.. Generalidades previas Análisis Modal. El análisis modal se utiliza para determinar los modos de vibración de una estructura; con estos modos de vibración se puede entender el comportamiento de la misma. La base teórica del análisis modal se basa en plantear la ecuación del movimiento, suponer una forma de respuesta e imponer que esta cumpla la ecuación que rige el movimiento del sistema; dicho proceso se tornará largo en el caso que nuestro sistema sea de varios grados de libertad. La ecuación del movimiento (2.1), tiene como componentes la matriz de masa, matriz de rigidez y matriz de amortiguamiento. Todas ellas pueden determinarse a través de las medidas dinámicas realizadas sobre la estructura. Sin embargo este proceso de interpretación no es fácilmente abordable. mẍ + cẋ + kx = f (t). Figura 2.1: Modos de vibración. 13. (2.1).
(14) 2.1. GENERALIDADES PREVIAS. 2.1.2.. Equipos y Proceso de medida. Vibraciones. La vibración es el resultado dinámico de una estructura sometido a acciones variables, estas acciones hacen que se presente una oscilación mecánica entorno a una posición de referencia. El tiempo que tarda la estructura en realizar dicho movimiento y regresar a su posición inicial se llama periodo el cual es igual a T = f1 . La frecuencia (f ),se puede definir como el número de ciclos que tarda la estructura en realizar dicho movimiento, en un tiempo determinado de un segundo; esta unidad se mide en Hz. Y por último el desplazamiento máximo del sistema desde su posición de equilibrio se denomina amplitud de vibración. La respuesta total de un sistema de varios grados de libertad es la composición de la respuesta asociada a cada uno de los modos de vibración. Existen dos tipos de vibraciones, forzadas y libres.. 2.1.3.. Vibraciones Libres. Por vibraciones libres se entiende el movimiento de una estructura cuando sobre ella no actúa ninguna fuerza externa, excitación dinámica o movimiento de ayuda. Las vibraciones libres se inician por perturbar la estructura de su posición de equilibrio al inducirle algún tipo de desplazamiento inicial. A diferencia del uso de excitadores donde en la ecuación de movimiento 2.1, se conoce la fuerza f (t) aplicada, en las vibraciones libres esta ecuación toma este valor como cero quedando de la siguiente manera. mẍ + cẋ + kx = 0. (2.2). Que para el caso de un sistema de un sólo grado de libertad su respuesta esta gobernada por un modo de vibración. Donde: Aceleracion es igual a ẍ =. ω 2 sin(ωt. ϕ). (2.3). Velocidad es igual a ẋ = ω cos(ωt. ϕ). (2.4). Desplazamiento es igual x = sin(ωt. ϕ). (2.5). Siendo ω es la frecuencia en herzios sobre segundos y ϕ es el desfase. Todo esto puede variar de muchas formas ya que la variable ω depende de la masa m y de la rigidez k de la estructura. Si se quiere obtener esta respuesta con la medida de aceleraciones en el dominio del tiempo, en estructuras aparentemente muy rı́gidas en las que no parece que puedan percibirse movimientos, es muy importante contar con excelentes equipos de alta sensibilidad.. 2.1.4.. Señal y Tipos de señales.. Se define como la transmisión de información sobre la variación de una magnitud. Hay diferentes tipos de señales, entre las que destacan las analógicas y las digitales.. 14.
(15) 2.1. GENERALIDADES PREVIAS. Equipos y Proceso de medida. Una señal digital es discontinua que solo puede tener dos valores 0 y 1, que pueden ser impulsos eléctricos de alta y baja tensión, interruptores abierto o cerrados entre otros. Una señal analógica es la que presenta una variación continua con el tiempo y puede tener infinitos valores. Son muy adecuadas para representar la variación de magnitudes fı́sicas, ya en la naturaleza siempre percibimos señales analógicas como la luz, el sonido, la energı́a, variación de temperatura, presión etc., que pueden ser transformadas en señales eléctricas mediante un adecuado transductor.. Ruido Blanco Es una señal aleatoria que se caracteriza por tener distintos valores de señal, pero ninguno tiene correlación estadı́stica, esto hace que la PSD (Densidad Espectral de Potencia, en ingles Power Spectral Density) sea plana, lo que quiere decir que tiene un mismo valor de potencia para todas las frecuencias del espectro estudiado. El nombre lo toma debido a que ocurre el mismo fenómeno con la luz blanca; cuando la PSD no llega a ser plana, puede haber cierto grado de correlación o se suele decir que esta coloreada. Es importante conocer y entender el ruido blanco, ya que en ocasiones cuando se realizan mediciones en ensayos, los transductores pueden llegar a percibir esta señal y podrı́amos tener problemas con los datos obtenidos o realizar una mala interpretación de los mismos.. 2.1.5.. Transductores. Un transductor es un dispositivo que transforma valores de variables fı́sicas en señales eléctricas equivalentes. Para una misma magnitud fı́sica a medir, puede haber varios tipos de transductores disponibles debiendo adecuarse la elección de los mismos a las condiciones de la medida y los posteriores análisis se quieren realizar. Con ello se fijarán parámetros como la frecuencia de muestreo, el fondo de escala, la sensibilidad, el limite admisible de ruido, etc. Es por tanto necesario asociar el objetivo final del análisis al proceso de medida conociendo las limitaciones o mejoras que éste último puede aportar al primero. Un transductor piezoeléctrico o acelerómetro piezoeléctrico, tiene una pequeña masa que ejerce carga sobre un cristal piezoeléctrico por la acción de un resorte (ver figura 2.2). Cuando la base vibra, la carga ejercida por la masa sobre el cristal cambia con la aceleración, de ahı́ que el voltaje de salida generado por el cristal será proporcional a la aceleración, una de las principales ventajas del acelerómetro piezoeléctrico es su alta sensibilidad y su alto rango de frecuencias, es decir, un amplio ancho de banda[5], además de la linealidad en su respuesta.. 15.
(16) 2.1. GENERALIDADES PREVIAS. Equipos y Proceso de medida. Figura 2.2: Acelerómetro Piezoeléctrico Fuente:Anil K. Chopra [1] .. 2.1.6.. Análisis armónico o análisis de Fourier. El análisis de la señal puede realizarse desde dos perspectivas, en el dominio del tiempo, donde se trabaja directamente con la señal adquirida, o en el dominio de la frecuencia donde la señal puede expresarse como la suma de infinitas funciones senoidales definidas por su frecuencia, amplitud y fase. Entre ambas axiste una transformación dada por la Transformada de Fourier [1]. La serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente en una función periódica y continua a trozos, está función se descompone en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simples. El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier.. 2.1.7.. Transformada de Fourier. Un problema que es difı́cil de resolver en sus “coordenadas ”originales, puede resultar más sencillo de resolver al transformarlo a un espacio distinto, y si realizamos la transformada inversa nos devuelve la solución al espacio original. La transformada de Fourier relaciona una función en el dominio del tiempo y la puede transformar al dominio de la frecuencia y viceversa, se entiende un poco mejor observando la figura 2.3. 16.
(17) 2.1. GENERALIDADES PREVIAS. Equipos y Proceso de medida. Figura 2.3: Esquema Transformada de Fourier. [2]. 2.1.8.. Análisis en dominio de la frecuencia. La vibración puede estar formada por muchas componentes cada una con una frecuencia distinta y todas actuando simultáneamente, esto hace que el análisis de la señal sea muy complicado de realizar. Como solución existe el proceso de descomponer las señales de vibración en componentes individuales de frecuencia, proceso conocido como “análisis en frecuencia ”para los análisis en los que tenemos demasiadas señales actuando a la vez, si realizamos un análisis en el dominio de la frecuencia podremos obtener un gráfico que nos represente el nivel de vibración con respecto a la frecuencia llamado espectrograma (ver figura 2.4), y esté a su vez puede proporcionar información especı́fica sobre la frecuencia en la que se produce mayor señal1 .. Figura 2.4: Ejemplo de Espectrograma en función del tiempo y en función de la frecuencia[3] 1 ANÁLISIS. MODAL OPERACIONAL:TEORIA Y PRACTICABiblioteca de Ingenieria de la Universidad de Sevilla visto abril 2014. 17.
(18) 2.2. EQUIPOS. 2.2.. Equipos y Proceso de medida. Equipos. La realización de un modelo numérico que represente el comportamiento estructural de una edificación no deja de ser una aproximación que depende de muchos factores, desde el ingeniero que plantea el modelo, a grado y complejidad del modelo elegido para representar la estructura, hasta factores más difı́cilmente evalúables como los módulos de elasticidad reales, las contribuciones de la tabiquerı́a no solo en masa, sino en rigidez, etc. En el caso de las estructuras analizadas en este trabajo de investigación no se puede tener una completa fiabilidad de que los datos asignados de masa, rigidez y amortiguamiento sean los correctos (ecuación 2.1). Es en este caso cuando se puede hacer uso de los métodos experimentales para medir la respuesta de vibración de la estructura como se mencionó en el capı́tulo anterior; realizar una medición periódica de las caracterı́sticas de vibración de la estructura llega a ser esencial para establecer márgenes de seguridad adecuados. Cualquier cambio de las frecuencias naturales u otras caracterı́sticas de la vibración indicarán un posible fallo y la necesidad de realizar un mantenimiento. “La figura 2.5 ilustra las caracterı́sticas básicas de un esquema de medición de vibración. En esta figura, el movimiento (o fuerza dinámica) del cuerpo vibratorio se transforma en una señal eléctrica por medio de un transductor o detector de vibración. Por lo común, el transductor es un dispositivo que transforma los cambios de cantidades mecánicas (desplazamiento, velocidad, aceleración o fuerza) en cambios de cantidades eléctricas (voltaje o corriente). Como la señal de salida (voltaje o corriente) de un transductor es muy débil para ser registrada de forma directa, se utiliza un instrumento de conversión de señales para amplificar la señal al valor requerido. La salida del instrumento de conversión de señales se puede presentar en una pantalla de visualización para su inspección visual, capturar en una unidad de registro o guardar en una computadora para usarla posteriormente. Los datos se pueden analizar entonces para determinar las caracterı́sticas de vibración deseadas de la estructura.” 2. Figura 2.5: Esquema de medición de vibración básico Fuente: Kirchoff. Para la medición las estructuras de este trabajo se mantiene el mismo sistema básico de medición, utilizando los equipos que se describen a continuación.. 2.2.1.. Transductores. Para la realización de las mediciones se cuenta con 24 transductores, especı́ficamente acelerómetros capaces de trabajar en humedad variable y temperaturas de hasta 230◦ C, cuyas propiedades fundamentales se muestran en el cuadro 2.1 y un esquema en la figura 2.6. 2 Medición. de vibración y aplicaciones Gustav Robert Kirchhoff. 18.
(19) 2.2. EQUIPOS. Sensor ID SN33899 SN29255 SN33828 SN30644 SN30643 SN30642 SN29259 SN32555 SN32543 SN29246 SN29247 SN29248 SN33900 SN33898 SN33897 SN33896 SN32541 SN32542 SN32557 SN32544 SN25321 SN30636 SN25303 SN25302. Sensibilidad V /(m/s2 ) 1.006 1.06 0.985 1.003 1.05 0.996 1.039 0.983 1.035 1.055 1.075 1.046 1.007 0.999 1.005 0.998 1.061 1.058 1.06 1.058 1.013 0.997 1.02 1.018. Equipos y Proceso de medida. Sensibilidad mV /g 9.87 10.4 9.66 9.84 10.29 9.77 10.19 9.64 10.15 10.34 10.55 10.26 9.88 9.8 9.86 9.78 10.41 10.37 10.39 10.38 9.93 9.78 10 9.99. Resolución g rms 0.000001 0.000008 0.000001 0.000001 0.000001 0.000001 0.000008 0.000008 0.000008 0.000008 0.000008 0.000008 0.000001 0.000001 0.000001 0.000001 0.000008 0.000008 0.000008 0.000008 0.000001 0.000001 0.000001 0.000001. Rango de Frecuencia ( 5 %) Hz ( 10 %) Hz 0.1 – 200 0.07 – 300 0.15 – 1000 0.10 – 2000 0.1 – 200 0.07 – 300 0.1 – 200 0.07 – 300 0.1 – 200 0.07 – 300 0.1 – 200 0.07 – 300 0.15 – 1000 0.10 – 2000 0.15 – 1000 0.10 – 2000 0.15 – 1000 0.10 – 2000 0.15 – 1000 0.10 – 2000 0.15 – 1000 0.10 – 2000 0.15 – 1000 0.10 – 2000 0.1 – 200 0.07 – 300 0.1 – 200 0.07 – 300 0.1 – 200 0.07 – 300 0.1 – 200 0.07 – 300 0.15 – 1000 0.10 – 2000 0.15 – 1000 0.10 – 2000 0.15 – 1000 0.10 – 2000 0.15 – 1000 0.10 – 2000 0.1 – 200 0.07 – 300 0.1 – 200 0.07 – 300 0.1 – 200 0.07 – 300 0.1 – 200 0.07 – 300. Cuadro 2.1: Propiedades acelerómetros. Figura 2.6: Esquema Acelerómetros piezoeléctricos. Fuente: Kirchoff. A continuación se muestran algunos de los acelerómetros utilizados.(Figura 2.7). 19. Rango de medida g pk 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5.
(20) 2.2. EQUIPOS. Equipos y Proceso de medida. Figura 2.7: Acelerómetros.. 2.2.2.. Convertidores de Señal. La caja cuenta con tres módulos, uno de adquisición de datos a 24 bits con 4 canales de entrada un segundo sincronización de la señal entre las diferentes cajas de adquisición y el último de transmisión de la señal adquirida al ordenador que actúa como servidor de todas las cajas. Este sistema de adquisición de señales diseñado por equipo de investigación de la ETSI de Telecomunicaciones y la escuela Caminos Canales y Puertos de la UPM; cuenta con 4 canales de entrada como se menciono anteriormente, estos se encuentran conectados a los acelerómetros, y este a su vez se conecta mediante red inalámbrica (Wireless Nerwork en inglés), a un ordenador con el que realizaremos una primera inspección visual de las señales registradas.. Figura 2.8: Convertidor de señal.. 20.
(21) 2.3. PROCESO DE MEDIDA. Equipos y Proceso de medida. “Cada caja inalámbrica tiene su propio módulo de potencia suministrada por baterı́as de plomo. Las baterı́as suministran una tensión de entre 20 y 26 voltios a través de su ciclo de vida y una corriente de 3 Amperios. Esta tensión se convierte a diferentes niveles con el fin de suministrar todos los módulos en el área. Se necesita un paquete de dos baterı́as dentro de la caja para un funcionamiento correcto. Cada baterı́a es de plomo-ácido de 12 V, con capacidad de 7 Ah y un peso de 2.8 Kg. Las baterı́as están conectadas en serie para obtener en total 24 V con un peso total de 5.6 Kg.”3. 2.2.3.. Sistema de medida. La imagen 2.9 ilustra el esquema básico de medición de vibraciones con los equipos utilizados para esta investigación, a la derecha una placa apoyada sobre sus equinas por medio de tornillos que se utiliza como base para los sensores ubicados por la estructura a estudiar, a la cual esta conectado el acelerómetro que registra y enviá las señales a través del cable a nuestro convertidor de señal, que como se mencionó anteriormente enviá la señal mediante red inalámbrica al ordenador para que posteriormente se pueda realizar la inspección visual y analizar los datos obtenidos.. Figura 2.9: Esquema de medición de vibraciones real.. 2.3.. Proceso de medida. Una de las estructuras que forman parte de este trabajo es la Torre ETSI de la Escuela de Caminos, Canales y Puertos de la UPM, ésta se encuentra ubicada el noroeste del centro de la ciudad de Madrid y cuenta con trece plantas en total, de las cuales dos sótanos y las plantas entre la baja y la tres tienen un área igual a 19377,51 m2 y las plantas cuatro a la diez cuentan con un área igual a 256 m2 . Podemos observar unas fotografı́as generales en la figura 2.10 y planos de las plantas en las figuras 2.11 y 2.12. 3 Wireless. Measurement System for Structural Health Monitoring With High Time-Synchronization Accuracy. 21.
(22) 2.3. PROCESO DE MEDIDA. Equipos y Proceso de medida. (a) Vista general de la escuela. (b) Vista general de la Torre. Figura 2.10: Escuela ETSI Caminos, Canales y Puertos. 22.
(23) 2.3. PROCESO DE MEDIDA. Equipos y Proceso de medida. Figura 2.11: Planos Estructurales zona 1.. Figura 2.12: Planos Estructurales zona 2.. 23.
(24) 2.3. PROCESO DE MEDIDA. Equipos y Proceso de medida. En cuanto al proceso de medida, con el fin de obtener resultados adecuados fue necesario ubicar los sensores en puntos previamente seleccionadas donde se esperaba obtener una mayor información de la dinámica de la estructura. Se optó por ubicar los sensores midiendo en sentido X y Y a la vez en la placa de conexión entre la torre y la escalera metálica exterior y otros sensores al interior de la torre para poder medir la posible torsión de la misma.. Figura 2.13: Esquema de ubicación de sensores.. En la figura 2.13 se describe la ubicación por planta de cada caja y sus respectivos canales. En las cuatro primeras plantas se deja un solo sensor de medida. Las plantas con los cuatro canales en ellas se utilizan para evaluar la torsión y en los otros solo se mide en las dos direcciones principales. La segunda estructura de este estudio es el edificio de ARTURO SORIA cuyo uso es de vivienda y se encuentra ubicado al norte de la ciudad de Madrid, éste cuenta con 19 plantas que incluyen 24.
(25) 2.3. PROCESO DE MEDIDA. Equipos y Proceso de medida. dos sótanos y cada planta cuenta con un área de 671,91 m2 divididos en cuatro viviendas casi simétricas con respecto a los dos ejes a excepción del hueco de los ascensores y la escalera, se puede observar una fotografı́a del edificio en la figura 2.14 y un plano general de distribución por planta en la figura 2.15.. Figura 2.14: Edificio de ARTURO SORIA. Fuente: Google Maps. 25.
(26) 2.3. PROCESO DE MEDIDA. Equipos y Proceso de medida. Figura 2.15: Distribución por planta edificio ARTURO SORIA.. Para la medida de este edificio se plantearon dos tipos de configuraciones principales (ver esquema de configuración en figura 2.16). En el primero los sensores se ubican cerca al punto de la escalera en cada planta manteniendo un eje vertical y se mide en las direcciones X, Y y Z pero se dejan algunos en la planta 15 y 16 con un brazo que mide siempre en sentido X. En la segunda configuración principal se mantiene el mismo eje vertical pero se omite la respuesta de algunas plantas y nos centramos en medir un poco más a fondo la posible torsión de la estructura, por eso ubicamos sensores en otras plantas de la misma forma que lo hicimos con los brazos ubicados en la planta 15 y 16, de igual manera que en la primera configuración se mide en las tres direcciones.. 26.
(27) 2.3. PROCESO DE MEDIDA. Equipos y Proceso de medida. Figura 2.16: Diseño de setup de medida principales.. El orden para realizar la medida es muy importante, si no lo realizamos de la manera adecuada posiblemente se nos presenten problemas para sincronizar nuestro sistema de medida de vibraciones. Conociendo la ubicación donde deseamos colocar los sensores, debemos conectarlos a cada uno de los canales de nuestra caja convertidor de señal por medio de los cables y antes de encender nuestras cajas de conversión (las cuales deben contar con carga suficiente como se explica anteriormente), encendemos el router que genera la conexión inalámbrica entre la caja y el ordenador. Encendemos el ordenador y verificando que este iniciada la red inalámbrica y se encuentre conectado al router abrimos el programa SETH Monitoring App, diseñado por el equipo de la UPM mencionado anteriormente [6]. Con este programa podemos seleccionar el setup, duración de la medida, la frecuencia de muestreo, y aun más importante, enviamos la orden al sistema para que inicie la medición (ver figura 2.17).. 27.
(28) 2.3. PROCESO DE MEDIDA. Equipos y Proceso de medida. Figura 2.17: Sofware de medida UPM.. Después de iniciar el programa y señalar los parámetros anteriores, podemos encender las cajas de conversión de señal, las cuales se sincronizan con el programa y este reconocerá todas las cajas que se encuentren dentro del rango de la red inalámbrica proporcionada por el router. Como ya se ha mencionado, el sistema de medición cuenta con una etapa que consiste en una inspección visual (Figura 2.5) en este proceso se obtiene una imagen que representa la medida, por ejemplo, ver la figura 2.18a, en ella puede observarse que todas las señales de los cuatro canales tienen variaciones en la amplitud en el mismo punto a través del cada ciclo, lo que indica que es una buena medida y que no presenta errores en la recolección de la muestra; mientras que la figura 2.18b, representa en los dos primeros canales, picos bruscos de variación en una misma dirección de amplitud (positivo o negativo). Esto indica un error en la recolección de la muestra. El motivo más probable puede ser que los sensores estaban mal conectados a los cables, los cables mal conectados a la caja de conversión, algún roce o pisada a los cables, entre otros factores.. 28.
(29) 2.3. PROCESO DE MEDIDA. Equipos y Proceso de medida. (a) Medida Correcta. (b) Medida Errónea. Figura 2.18: Inspección Visual de la Señal.. 29.
(30) Capı́tulo 3. Análisis Modal Experimental El análisis modal experimental se basa en determinar los parámetros modales a partir de mediciones realizadas sobre la estructura, a diferencia del análisis modal analı́tico, donde los parámetros se derivan de modelos de elementos finitos (FEM). Hay dos formas de hacer un análisis modal experimental: análisis modal tradicional y análisis modal operacional. Las funciones tradicionales del análisis modal de respuesta en frecuencia (o funciones de impulsorespuesta), se calculan a partir de fuerzas de entrada medidas y respuesta de salida de una estructura. En el análisis modal operacional la identificación del sistema se basa en la respuesta medida. Las fuerzas ambientales y de funcionamiento excitan la estructura, pero no son medidas.. 3.1.. Análisis Modal Tradicional. El análisis modal tradicional basado en la Función de Respuesta en Frecuencia (FRF) es de vital importancia para entender y optimizar el comportamiento inherente de estructuras, dando lugar a construcciones más ligeras, más fuertes y seguras, menos consumo de materiales, una mayor comodidad y un mejor rendimiento. En el análisis modal se obtiene un modelo matemático del comportamiento dinámico de una estructura. El modelo matemático se compone de un conjunto de modos, cada modo asociado a una frecuencia natural y un amortiguamiento modal, estos parámetros modales proporcionan una descripción completa del comportamiento dinámico de la estructura. Este tipo de análisis modal se basa en la construcción de la matriz de Función de Respuesta en Frecuencia (FRF), la cual relaciona las fuerzas de excitación y las respuesta de vibración.. 30.
(31) 3.1. ANÁLISIS MODAL TRADICIONAL. 3.1.1.. Análisis Modal Experimental. Función de respuesta en frecuencia (FRF) y función de respuesta a impulsos (IRF).. La función de respuesta en frecuencia (FRF) es la función de transferencia evaluada en el eje de frecuencia (jw) y esta definida por la siguiente ecuación: H(jw) =. n X Q∗ φ∗ φ∗T Qi φi φTi + i i i∗ (jw λi ) (jw λi ) i=1. (3.1). Donde cada término de la suma se refiere a la parte de la respuesta asociada a cada modo de vibración. La función de respuesta a impulso (IRF) viene dada por la transformada inversa de la función de respuesta en frecuencia, como sigue:[9] h(t) =. N X. ∗. λrt Qr φr φTr eλrt + Q∗r φ∗r φ∗T r e. . (3.2). r=1. donde: λi , λ∗i son raı́ces de la ecuación caracterı́stica del sistema. φi vectores normales. Qi , Qr constantes de residuo. Se debe tener en cuenta que, para el sistema con múltiples grados de libertad, para cada valor de w, H(jw) es una matriz y Hik (jw) es la función de respuesta en frecuencia cuando excitemos la estructura en k y se mide la respuesta en i, o al revés. Tomando como ejemplo un sistema con dos grados de libertad podemos ilustrar su función de respuesta en frecuencia ante tres situaciones distintas y observar que los picos en las curvas corresponden a las frecuencias de resonancia y su valor es igual en las tres FRFs debido a que son caracterı́sticas globales de la estructura. Mientras que las frecuencias que tienen caı́das en la función de frecuencia en frecuencia se llaman antiresonancias y estas varı́an en cada FRF debido a que son caracterı́sticas locales de la estructura (ver figuras 3.1, 3.2 y 3.3).. 31.
(32) 3.1. ANÁLISIS MODAL TRADICIONAL. Análisis Modal Experimental. Figura 3.1: Función de respuesta en frecuencia, excitación en punto 1 y respuesta en punto 1. Fuente: DIMEC s. Figura 3.2: Función de respuesta en frecuencia, excitación en punto 1 y respuesta en punto 2 y viceversa. Fuente: DIMEC. 32.
(33) 3.1. ANÁLISIS MODAL TRADICIONAL. Análisis Modal Experimental. Figura 3.3: Función de respuesta en frecuencia, excitación en punto 2 y respuesta en punto 2. Fuente: DIMEC. Es importante mencionar que la función de respuesta en frecuencia posee valores complejos, y se pueden representar como amplitud y fase vs. frecuencia, parte real e imaginaria vs. frecuencia o parte real vs. imaginaria y la frecuencia la tomamos como un parámetro que varı́a dentro de la curva. Este último es llamado Diagrama de Nyquist.. Figura 3.4: Diagrama de Nyquist Fuente: Univerity of Exeter Prof. Paul Reynolds. 33.
(34) 3.1. ANÁLISIS MODAL TRADICIONAL. 3.1.2.. Análisis Modal Experimental. Métodos de estimación de parámetros modales. Para el análisis modal tradicional se utiliza la función de transferencia también conocida como función de respuesta en frecuencia (FRF), la cual es una función compleja definida en el dominio de la frecuencia que describe el comportamiento de un sistema a partir de una entrada conocida y su respuesta (la entrada es proporcionada por equipos excitadores). A partir de las FRF se extraen los parámetros modales de la estructura. 3.1.2.1.. Peak Picking. Dentro de la identificación en el dominio de la frecuencia se cuenta con un método estocástico denominado Peak-Picking (PP, detección de picos), el cual posiblemente es el esquema más utilizado debido a su metodologı́a simple de identificación de parámetros modales de estructuras de ingenierı́a civil sometido a cargas ambientales. El proceso consiste en observar los picos de la gráfica de la función de la densidad espectral promediado y normalizada, estos picos constituyen estimadores de frecuencias naturales. Es una técnica desarrollada en el dominio de la frecuencia ya que tiene una gran velocidad de realización y simplicidad en los algoritmos utilizados. Función de transferencia Se puede expresa la ecuación de la dinámica en el dominio de Laplace asumiendo que la velocidad y los desplazamientos iniciales son iguales a cero, de la forma siguiente: (mp2 + cp + k)X(p) = F (p). (3.3). Z(p)X(p) = F (p). (3.4). Que se puede agrupar en la forma: Siendo Z(p) se designa como rigidez dinámica. Reemplazando en la ecuación (3.4) obtenemos la función de transferencia H(p) X(p) = H(p)F (p). (3.5). 1 (3.6) mp2 + cp + k Para entender un poco mejor el proceso que realiza el método de Peak-Picking se introducen algunos comprobaciones adicionales. H(p) =. Factores de amortiguamiento y Frecuencias naturales Partiendo del denominador de la ecuación (3.6) y reescribiéndola de la siguiente manera: c k p+ =0 (3.7) m m La ecuación anterior (3.7), es la ecuación caracterı́stica del sistema que al resolver con la función cuadrática se obtiene: r k c 2 c ( ) (3.8) h= 2m 2m m Si se asume que no hay amortiguamiento, se tiene un sistema conservativo donde la constante c = 0, y la frecuencia natural del problema queda definida de la siguiente manera. r k ωn = (3.9) m p2 +. 34.
(35) 3.1. ANÁLISIS MODAL TRADICIONAL. Análisis Modal Experimental. También se define el amortiguamiento crı́tico Cc , como el valor que adquiere el amortiguamiento que hace que el valor dentro de la raı́z de la ecuación (3.8) sea igual a cero. r k Cc = 2m (3.10) m Con esto puede obtenerse uno de los conceptos más importante, conocido como razón de amortiguamiento ζ: C ζ= (3.11) Cc Volviendo a la ecuación (3.8), y resolviendo utilizando dos raı́ces complejas conjugadas se tiene: h = σ + jωd. (3.12). h∗ = σ. (3.13). jωd. siendo: σ el factor de amortiguamiento ωd la frecuencia natural y representa el complejo conjugado. Si se define la relación siguiente: ωd = ωn. p 1. ζ2. (3.14). Como ya se ha comentado la función de densidad espectral promediada y normalizada ayuda a determinar las frecuencias naturales observando los picos de las gráficas, esta función puede obtenerse por medio de la transformada de fourier discreta (DFT), la cual toma las medidas obtenidas por los acelerómetros y las transforma al dominio de la frecuencia. A este proceso es importante añadirle la función de coherencia, la cual nos limita el rango de elección de dichas frecuencias, gracias a que la respuesta de la relación señal-ruido tiene valores próximos a uno en las frecuencias de resonancia. El procedimiento del método es el siguiente como dice en (DIMEC) referencia [9]. 2 Estimar la frecuencia natural es el máximo valor de la curva de función de respuesta en frecuencia (FRF), ωr = ωmax . 2 Amortiguamiento Se ubica la intersección entre la amplitud de la FRF igual a la frecuencia a lado y lado del la máxima (ver figura 3.5). ζr =. 35. ωb ωa 2ωr. α√ max 2. con. (3.15).
(36) 3.1. ANÁLISIS MODAL TRADICIONAL. Análisis Modal Experimental. Figura 3.5: Metodo Peak-Picking Fuente: DIMEC. 3.1.2.2.. Descomposición en el dominio de la frecuencia. El método de descomposición en el dominio de la frecuencia es uno de los métodos más sencillos. Mediante éste, se obtienen las frecuencias naturales y los modos propios más el coeficiente de amortiguamiento sin ningún problema. Para introducir las bases teóricas se toma como referencia la siguiente formulación explicada en [10]. (3.16) Gyy (jw) = H̄(jw)Gxx (jw)H(jw)T siendo: Gxx (jw) la matriz de orden rxr de densidad espectral de la entrada y r es el número de entradas. Gyy (jw) la matriz de orden mxm de densidad espectral de salida y m corresponde al número de salida. H(jw) la matriz de orden m x r conocida como FRF, el superindice “T ”matriz transpuesta. La densidad espectral puede definirse como la representación de la distribución de la energı́a para todas las frecuencias. ! X dk¯φk φ¯Tk dk φk φTk + (3.17) Gyy (jw) = jw − λk jw − λk k∈sub(w). dk = γkT Cγk. (3.18). siendo: dk un escalar. φk el modo de vibración. λk los polos de la función de respuesta en frecuencia. Sub(w) el conjunto de modos de vibración que colabora en gran parte a la respuesta para la frecuencia w. La entrada representada por la matriz de densidad espectral resulta ser una matriz constante. Después de tener los fundamentos teóricos, se define el algoritmo de identificación.. 36.
(37) 3.1. ANÁLISIS MODAL TRADICIONAL. Análisis Modal Experimental. En primer lugar, se evalúa la matriz de densidad espectral para obtener los valores de Ĝyy (jw) asociados a las frecuencias discretas w = wi , Después de encontrar dichos valores se descompone utilizando la formulación dada por la Descomposición en Valores Singulares (SVD) Ĝyy (jw) = Ui Si ŪiT. (3.19). siendo: Ui = [Ui1 , Ui2 , ..., Uim ] la matriz que contiene los vectores singulares. Si una matriz diagonal que contiene los valores singulares. Dichos valores singulares se interpretan como una combinación lineal de densidades autoespectrales de un conjunto de sistemas de un grado de libertad. Obteniendo los modos de vibración a partir de los picos en la representación de los valores singulares. El valor singular mayor representa la fuerza del modo de vibración dominante para cada frecuencia i y los otros valores singulares pueden contener ruido u otros modos escondidos detrás del dominante. Se puede decir que muy próximo al pico dominante sólo existirá un modo en el conjunto Sub(w), ˆ = Ui1 y el valor coel primer vector singular Ui1 será una consideración del modo de vibración phi rrespondiente será la función de densidad espectral del sistema representado en la expresión (3.17). Las distintas maneras en que se deforma la estructura está intrı́nseco en los vectores singulares.. Figura 3.6: Densidad Espectral.. Gracias a este método se puede identificar modos de vibración muy próximos, examinando el mayor o dominante y además los modos siguientes. Posteriormente ajustando la curva cerca del modo de vibración identificado se localiza la frecuencia natural. En la figura 3.6, puede verse una representación de la densidad espectral donde al fijarse en la ubicación de los picos se tiene algunas frecuencias que pueden estar relacionadas con modos propios de la estructura.. 37.
(38) 3.1. ANÁLISIS MODAL TRADICIONAL. Análisis Modal Experimental. Tomando la función de densidad espectral y realizando una transformación al dominio del tiempo por medio de la transformada de Fourier, se obtiene como resultado la respuesta del sistema de un grado de libertad amortiguado. El siguiente paso incluye un concepto llamado “correlación MAC (Modal Assurance Criteria) ”, cuya función permite obtener un valor de correlación entre los modos de frecuencia superiores e inferiores del modo de vibración de una frecuencia especı́ficamente seleccionada, el valor MAC permite comparar la ortogonalidad que deben cumplir los modos. De esta forma puede descartarse o no si son o no modos coincidentes. Los modos coincidentes obtiene valores de MAC cercanos a la unidad mientras que los ortogonales son cercanos a cero. Para cada uno de los modos seleccionados bajo el criterio anterior se tiene su respectivas frecuencia. Cada una de ellas genera un rango de selección dado por al ancho de las frecuencias mencionadas para posteriormente realizar la antitransformada de Fourier[11]. La figura 3.7 ayuda a entender mejor el rango de selección del que se habla.. Figura 3.7: Selección de Correlación MAC Fuente: Bibliografı́a [11]. A continuación se presenta la formulación empleada para el cálculo de los parámetros de amortiguamiento y la frecuencia natural para una vez que se tiene la señal en el dominio del tiempo.. La Frecuencia Natural.. fd f=p 1 − ζ2. siendo: fd la frecuencia natural amortiguada. ζ el coeficiente de amortiguamiento.. 38. (3.20).
(39) 3.1. ANÁLISIS MODAL TRADICIONAL. Análisis Modal Experimental. Coeficiente de Amortiguamiento ζ=p. δ δ 2 + 4π 2. (3.21). siendo: δ igual al decremento logarı́tmico experimentado por la señal.. Decremento Logarı́tmico δ=. 2 ln k. . wa jwb j. (3.22). Donde: wa y wb son los extremos inicial y final de la señal considerada respectivamente. Estos deben estar separados por un valor entero k de ciclos, es decir, o son picos o son valles.. Función de autocorrelación “MAC ” El indicador MAC (en inglés Modal Asurance Criterion) es un factor de correlación entre dos modos por medio del valor adquirido, cero indican que no hay correlación o uno existe correlación perfecta de los modos. Dicha función se encuentra definida en [11] por la siguiente ecuación: M AC =. φH 0. jφH φi j 2 0 φi φH φ0 i. (3.23). siendo: φ0 el vector modal de referencia. φi el vector modal i-esimo. H la transpuesta conjugada compleja. Al calcular la correlación para todos los modos puede construirse una matriz de valores llamada matriz de MAC, que si el cien por ciento de los modos llegan a ser ortogonales en dicha matriz, la diagonal principal tendrá valor de 1 mientras que los valores fuera de la diagonal principal sera 0. podemos seleccionar algunos valores bajo un criterio personal (MAC=¿0.8).. 39.
(40) 3.1. ANÁLISIS MODAL TRADICIONAL. Análisis Modal Experimental. Figura 3.8: Ejemplo de representación de la matriz MAC.. “Las causas para que el parámetro MAC no alcance exactamente el valor unidad para modos correlacionados pueden ser varios 3 El modelo analı́tico es una aproximación de la estructura real. 3 Presencia de ruido en las medidas. 3 Análisis modal pobre de los datos medidos. 3 Inapropiada elección de los grados de libertad incluidos en la correlación. La elección de los grados de libertad con los que se va a calcular el MAC es bastante importante. Se tiene que elegir un número de grados de libertad suficiente para que se puedan distinguir bien los diferentes modos de vibración.”4. 3.1.2.3.. Descomposición en el dominio del tiempo. La técnica de descomposición en el dominio del tiempo (DDT), también puede utilizarse para extraer las formas modales de una estructura cuando se cuenta con registros de datos. Esta técnica extrae de un sistema de varios grados de libertad modos aislados que representan un sistema de un grado de libertad. Para lograr identificar o aislar dichos modos es necesario hacer uso de la teorı́a de filtros. 4 Análisis. modal operacional: Teorı́a y practica, capı́tulo 7 comprobaciones. 40.
(41) 3.1. ANÁLISIS MODAL TRADICIONAL. Análisis Modal Experimental. Filtros El filtro es un instrumento que se utiliza para mitigar partes no deseadas de las señales. Es común su utilización con señales procedentes de acelerómetros, transductores de presión y fuerza con el fin de eliminar la distorsión que se produce a altas frecuencias. Sin embargo, si hacemos una mala elección se introduce una distorsión adicional. Los filtros transmiten la señal de forma que la salida es el resultado de hacer la convolución de la señal de entrada con la función de respuesta a un impulso unitario (h(t)) del filtro. Una caracterı́stica de los filtros es su respuesta en frecuencia en el dominio de la frecuencia mientras que en el dominio del tiempo su respuesta es a un impulso unitario, las dos caracterı́sticas contienen la misma información relacionadas por la transformada de Fourier.. Tipos de filtros Existen principalmente dos tipos de filtros: a) Selectivos en frecuencia: Eliminan o permiten el paso de determinado rango de frecuencias, y a la vez modifica la magnitud de la señal. Para la selección de frecuencia contamos con cuatro filtros frecuentes: 1. Paso Bajo: Sólo permite el paso de la frecuencias superiores a la frecuencia del corte y mitiga todas las frecuencias menores a la frecuencia de corte. 2. Paso Alto: Sólo permite el paso de las frecuencias inferiores a la frecuencia del corte y mitiga todas las frecuencias superiores a la frecuencia de corte. 3. Paso Banda: Permite el paso de un rango medio de frecuencias definido entre una frecuencia de corte inferior y una frecuencia de corte superior. 4. Rechaza Banda: Elimina el paso de rango medio de frecuencias definidas por la frecuencia de corte superior y la frecuencia de corte inferior. b) Selectivos en el tiempo: Llamados también como paso todo, este tipo de filtro no modifica el espectro en magnitud sólo afecta a la fase, se emplea para derivar o integrar una señal un valor de mas o menos 90◦ . En él se elimina los problemas de fase de una señal y ocasiona un retardo análogo. Posterior a la selección del ancho que contiene solamente las frecuencias correspondiente al modo que se desea aislar. En [12], se explican el proceso de aislamiento de los modos en 3 pasos, pero para poder entenderlos es necesario explicar unos conceptos teóricos de la misma fuente.. Extracción de formas modales. Un sistema estructural está compuesto en parte por sus modos, y su respuesta dinámica lineal esta condicionada por la ortogonalidad de dichos modos. La contribución de cada uno de los modos influye directamente en el desplazamiento, velocidad o aceleración del sistema estructural. Como ejemplo se plantea un elemento simplemente apoyado que en su longitud tiene p sensores colocados, los cuales registran el desplazamiento Y (t) ocasionado por una carga a través del tiempo t. Podemos definir el desplazamiento en función de las formas modales con la siguiente ecuación: ∞ X Y (t) = Ci (t)ϕi (3.24) i=1. siendo: T. Y (t) = [Y1i ...ϕpi ] el vector desplazamiento registrado en cada uno de los puntos donde se encuentran los sensores p. 41.
(42) 3.1. ANÁLISIS MODAL TRADICIONAL. Análisis Modal Experimental. T. ϕi = [ϕ1i ...ϕpi ] la forma modal i. Ci (t) el factor de participación modal i. Con la siguiente ecuación la aceleración puede expresarse como: Y (t) =. ∞ X. C̈i (t)ϕi. (3.25). i=1. Para evitar problemas de aliasing es necesario que el ancho de la banda de las muestra sea menor a la frecuencia de muestreo dividido en dos. Como cada sensor registra una respuesta de aceleraciones tenemos un sistema de varios grados de libertad y múltiples salidas, con todos estos registros se tiene n modos de vibración dominante. Debido a su ortogonalidad, estos se encuentran desacoplados y puede obtenerse su respuesta mediante la ecuación (3.26) donde el último termino representa un vector de orden px1 correspondiente al error por truncamiento en el tiempo de muestreo k. Y (k) =. n X. C̈i (t)ϕi + ε̈t (k). (3.26). i=1 ∞ X. ε̈t (k) =. C̈i (t)ϕi. (3.27). i=n+1. Existen diferentes técnicas para obtener modos de vibración basados en la respuesta próxima a la zona de resonancia para el sistema de un grado de libertad, donde un sólo modo domina el comportamiento del sistema. Sin embargo, existe el riesgo de identificar modos falsos en sistemas con varios grados de libertad. La solución a este tipo de problema se puede hacer por medio de filtros digitales para un ancho de banda definido, el cual se puede observar usando el espectro de densidad espectral. Más especı́ficamente un filtro paso bajo que se utiliza para crear el modelo aislado. Con este filtro se busca la señal que contenga información sólo del modo aislado del sistema de un grado de libertar, para cada modo aislado se evaluá la respuesta discreta en el dominio del tiempo, la respuesta de la señal para cada uno de los modos aislados por el filtro esta dada por: Ÿi (k) = C̈i (k)ϕi + ε̈f (k) ε̈f (k) =. p=1 X. dj (k)ψj. (3.28) (3.29). j=1. siendo: ε̈f (k) el vector de orden p x 1, representa el ruido en el tiempo de muestreo, k, debido al filtro de ancho de banda y el residuo. T. ψj = [ψ1j ...ψpj ] las bases ortogonales del ruido. ¨ d(k) la contribución de ruido en el modo j para el tiempo de muestreo k. Para n muestras registradas la ecuación que la describe es: Yi = ϕi C̈iT +. p−1 X j=1. 42. ψj d¨Tj. (3.30).
(43) 3.1. ANÁLISIS MODAL TRADICIONAL. Análisis Modal Experimental. siendo: Yi la matriz de orden p x n con la aceleración del modo aislado i en la historia en el tiempo. C̈i el vector de orden N x 1, con la contribución modal i, en la respuesta de aceleración en el tiempo. d¨j el vector de orden N x 1, con la contribución j del ruido. La correlación de la energı́a del modo i con respecto a la ubicación se evaluá usando la correlación cruzada Ei matriz de orden p x p. Ei = Yi YiT (3.31) El vector Yi de orden 1xN está compuesto por el espacio modal y el espacio del ruido ortogonal. Dicho espacio modal se constituye de un vector base que representa la contribución modal i de la historia de tiempo C̈i , y el espacio del ruido esta compuesto por p 1 bases que representan el aporte del factor de ruido j d¨j , desde j = 1 hasta j = p 1. Debido a la ortogonalidad de los T modos podremos decir que C̈m C̈n es igual a cero cuando m es diferente de n y distinto de cero,qm , cuando m y n son iguales. Sucede lo mismo con d¨Tm d¨n que es igual a cero cuando m es diferente de T ¨ n y diferente de cero, σm cuando m igual a n, y C̈m dn = d¨Tn C̈m son cero los valores de qi = C̈iT C̈i T ¨ ¨ y σi = dj dj son el nivel de energı́a en los modos i y j. Sustituyendo lo que acabamos de definir en la ecuación 3.31 se tiene: X Ei = ϕi qi ϕTi + ψj σj psiTj (3.32) Realizando una reducción de la ecuación anterior queda de la siguiente forma: Ei = U ΩU T. (3.33). siendo: U = [ϕi ψ1 . . . ψp−1 ] la matriz de orden p x p, que un vector singular de la matriz Yi . ω = [qi σ1 . . . σp−1 ] matriz diagonal de orden p x p, correspondiente a el valor singular de la matriz Yi Retomando el proceso de aislamiento de los modos se describen los 3 pasos. 1. Diseñar un filtro para cada forma modal que se quiere aislar, después de obtener los filtros. Realizar el filtrado de los datos de las historias temporales con lo cual se construye una matriz de orden p x N , que contiene los modos aislados de la aceleraciones Yi , p siendo el número de sensores y N el número de puntos de muestreo. 2. Se evaluá la matriz de correlación Ei y su descomposición de valores singulares U . Ei = Yi YiT. (3.34). U = SV D(Ei ). (3.35). 3. La primera columna de la matriz de los valores singulares U , representa la forma modal sin amortiguamiento del modo aislado. Finalizado el paso 3 tenemos las formas modales de interés φi , primera columna de la matriz U , las frecuencias naturales se pueden extraer de los picos encontrados en la función de densidad. 43.
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