Descomposici´ on en el dominio del tiempo

La t´ecnica de descomposici´on en el dominio del tiempo (DDT), tambi´en puede utilizarse para extraer las formas modales de una estructura cuando se cuenta con registros de datos.

Esta t´ecnica extrae de un sistema de varios grados de libertad modos aislados que representan un sistema de un grado de libertad. Para lograr identificar o aislar dichos modos es necesario hacer uso de la teor´ıa de filtros.

3.1. AN ´ALISIS MODAL TRADICIONAL An´alisis Modal Experimental

Filtros El filtro es un instrumento que se utiliza para mitigar partes no deseadas de las se˜nales. Es com´un su utilizaci´on con se˜nales procedentes de aceler´ometros, transductores de presi´on y fuerza con el fin de eliminar la distorsi´on que se produce a altas frecuencias. Sin embargo, si hacemos una mala elecci´on se introduce una distorsi´on adicional.

Los filtros transmiten la se˜nal de forma que la salida es el resultado de hacer la convoluci´on de la se˜nal de entrada con la funci´on de respuesta a un impulso unitario (h(t)) del filtro. Una caracter´ıstica de los filtros es su respuesta en frecuencia en el dominio de la frecuencia mientras que en el dominio del tiempo su respuesta es a un impulso unitario, las dos caracter´ısticas contienen la misma informaci´on relacionadas por la transformada de Fourier.

Tipos de filtros Existen principalmente dos tipos de filtros:

a) Selectivos en frecuencia:Eliminan o permiten el paso de determinado rango de frecuencias, y a la vez modifica la magnitud de la se˜nal. Para la selecci´on de frecuencia contamos con cuatro filtros frecuentes:

1. Paso Bajo: S´olo permite el paso de la frecuencias superiores a la frecuencia del corte y mitiga todas las frecuencias menores a la frecuencia de corte.

2. Paso Alto: S´olo permite el paso de las frecuencias inferiores a la frecuencia del corte y mitiga todas las frecuencias superiores a la frecuencia de corte.

3. Paso Banda:Permite el paso de un rango medio de frecuencias definido entre una frecuencia de corte inferior y una frecuencia de corte superior.

4. Rechaza Banda:Elimina el paso de rango medio de frecuencias definidas por la frecuencia de corte superior y la frecuencia de corte inferior.

b) Selectivos en el tiempo: Llamados tambi´en como paso todo, este tipo de filtro no modifica el espectro en magnitud s´olo afecta a la fase, se emplea para derivar o integrar una se˜nal un valor de mas o menos 90◦. En ´el se elimina los problemas de fase de una se˜nal y ocasiona un retardo an´alogo.

Posterior a la selecci´on del ancho que contiene solamente las frecuencias correspondiente al modo que se desea aislar. En [12], se explican el proceso de aislamiento de los modos en 3 pasos, pero para poder entenderlos es necesario explicar unos conceptos te´oricos de la misma fuente.

Extracci´on de formas modales. Un sistema estructural est´a compuesto en parte por sus modos, y su respuesta din´amica lineal esta condicionada por la ortogonalidad de dichos modos. La contribuci´on de cada uno de los modos influye directamente en el desplazamiento, velocidad o aceleraci´on del sistema estructural. Como ejemplo se plantea un elemento simplemente apoyado que en su longitud tiene p sensores colocados, los cuales registran el desplazamientoY(t) ocasionado por una carga a trav´es del tiempot. Podemos definir el desplazamiento en funci´on de las formas modales con la siguiente ecuaci´on:

Y(t) =

∞

X

3.1. AN ´ALISIS MODAL TRADICIONAL An´alisis Modal Experimental

ϕi= [ϕ1i...ϕpi]T la forma modal i.

Ci(t) el factor de participaci´on modal i.

Con la siguiente ecuaci´on la aceleraci´on puede expresarse como: Y(t) = ∞ X i=1 ¨ Ci(t)ϕi (3.25)

Para evitar problemas de aliasing es necesario que el ancho de la banda de las muestra sea menor a la frecuencia de muestreo dividido en dos.

Como cada sensor registra una respuesta de aceleraciones tenemos un sistema de varios grados de libertad y m´ultiples salidas, con todos estos registros se tiene n modos de vibraci´on dominante. De- bido a su ortogonalidad, estos se encuentran desacoplados y puede obtenerse su respuesta mediante la ecuaci´on (3.26) donde el ´ultimo termino representa un vector de orden px1 correspondiente al error por truncamiento en el tiempo de muestreok.

Y(k) = n X i=1 ¨ Ci(t)ϕi+ ¨εt(k) (3.26) ¨ εt(k) = ∞ X i=n+1 ¨ Ci(t)ϕi (3.27)

Existen diferentes t´ecnicas para obtener modos de vibraci´on basados en la respuesta pr´oxima a la zona de resonancia para el sistema de un grado de libertad, donde un s´olo modo domina el comportamiento del sistema. Sin embargo, existe el riesgo de identificar modos falsos en sistemas con varios grados de libertad.

La soluci´on a este tipo de problema se puede hacer por medio de filtros digitales para un ancho de banda definido, el cual se puede observar usando el espectro de densidad espectral. M´as espec´ıfi- camente un filtro paso bajo que se utiliza para crear el modelo aislado. Con este filtro se busca la se˜nal que contenga informaci´on s´olo del modo aislado del sistema de un grado de libertar, para cada modo aislado se evalu´a la respuesta discreta en el dominio del tiempo, la respuesta de la se˜nal para cada uno de los modos aislados por el filtro esta dada por:

¨ Yi(k) = ¨Ci(k)ϕi+ ¨εf(k) (3.28) ¨ εf(k) = p=1 X j=1 dj(k)ψj (3.29) siendo: ¨

εf(k) el vector de ordenpx 1, representa el ruido en el tiempo de muestreo,k, debido al filtro de

ancho de banda y el residuo.

ψj = [ψ1j...ψpj]T las bases ortogonales del ruido.

¨

d(k) la contribuci´on de ruido en el modoj para el tiempo de muestreok. Paranmuestras registradas la ecuaci´on que la describe es:

3.1. AN ´ALISIS MODAL TRADICIONAL An´alisis Modal Experimental

siendo:

Yi la matriz de orden pxncon la aceleraci´on del modo aislado i en la historia en el tiempo.

¨

Ci el vector de orden N x 1, con la contribuci´on modal i, en la respuesta de aceleraci´on en el

tiempo. ¨

dj el vector de ordenN x 1, con la contribuci´onj del ruido.

La correlaci´on de la energ´ıa del modoicon respecto a la ubicaci´on se evalu´a usando la correlaci´on cruzadaEi matriz de ordenpxp.

Ei=YiYiT (3.31)

El vectorYi de orden 1xN est´a compuesto por el espacio modal y el espacio del ruido ortogonal.

Dicho espacio modal se constituye de un vector base que representa la contribuci´on modal i de la historia de tiempo ¨Ci, y el espacio del ruido esta compuesto por p 1 bases que representan

el aporte del factor de ruidojd¨j, desdej = 1 hasta j =p 1. Debido a la ortogonalidad de los

modos podremos decir que ¨C_mTC¨n es igual a cero cuandomes diferente deny distinto de cero,qm,

cuandomynson iguales. Sucede lo mismo con ¨dT_md¨n que es igual a cero cuandomes diferente de

ny diferente de cero,σmcuandomigual an, y ¨CmTd¨n= ¨dTnC¨mson cero los valores deqi= ¨CiTC¨i

yσi= ¨dTjd¨j son el nivel de energ´ıa en los modosiyj. Sustituyendo lo que acabamos de definir en

la ecuaci´on 3.31 se tiene:

Ei=ϕiqiϕTi +

X

ψjσjpsiTj (3.32)

Realizando una reducci´on de la ecuaci´on anterior queda de la siguiente forma:

Ei=UΩUT (3.33)

siendo:

U = [ϕiψ1. . . ψp−1] la matriz de ordenpxp, que un vector singular de la matrizYi.

ω= [qiσ1. . . σp−1] matriz diagonal de ordenpxp, correspondiente a el valor singular de la matriz

Yi

Retomando el proceso de aislamiento de los modos se describen los 3 pasos.

1. Dise˜nar un filtro para cada forma modal que se quiere aislar, despu´es de obtener los filtros. Realizar el filtrado de los datos de las historias temporales con lo cual se construye una matriz de ordenpxN, que contiene los modos aislados de la aceleracionesYi,psiendo el n´umero de

sensores yN el n´umero de puntos de muestreo.

2. Se evalu´a la matriz de correlaci´onEi y su descomposici´on de valores singularesU.

Ei=YiYiT (3.34)

U =SV D(Ei) (3.35)