TP Nº 1 – Matemática 1 (ATH) 2015 – Página 1 TRABAJO PRÁCTICO N°1:FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL
ASIGNATURA: MATEMÁTICA 1
LIC.ADMINISTRACIÓN -LIC.TURISMO -LIC.HOTELERÍA -2015
1) Expresar los intervalos como conjuntos y los conjuntos en forma de intervalos y graficar: a)
[
1
;
6
)
b)6
,
5
≤
x
≤
9
c)[
−
1
,
5
;
4
,
5
]
d)−
3
<
x
≤
3
e)x
>
−
5
f)[
0
;
+
∞
)
g)7
≥
x
h)(
−
∞
;
−
0
,
5
]
2) Si
A
=
{
x
∈
ℜ
/(
x
2−
9
)(
3
+
x
2)
<
0
}
, indique a qué opción de las siguientes corresponde el conjunto en términos de intervalos: a) [-3 ; 3] b) (-3 ; 3) c) [-3 ; 0] d) (-3 ; 0)3) Expresar en forma de intervalos y de desigualdad, y graficar:
a)
x
>
1
b)
2
x
+
9
≥
4
c)
x
−
2
≤
9
d)
2
x
−
4
<
8
e)
x
−
1
>
6
f) 2 13− ≥
x
4) Para los conjuntos de los 3 ejercicios previos, hallar las cotas, supremo, ínfimo, máximo y mínimo. 5) Hallar el conjunto de números que satisfacen las siguientes desigualdades:
a) x2 −1<3 b) x2 +1>2x c) 5(x2 −2x)<0 d) e) 1
3 2x+ <
x
6) Dados los siguientes gráficos, indicar en cada caso si representan una función
f
,
f
:
A
→
ℜ
. Justificar. En el caso de las funciones: analizar si son inyectivas, suryectivas o biyectivas. Justificar.7) Dadas las siguientes relaciones
ℜ
:
A
→
B
: i)A
=
{
x
/
x
∈
N
∧
2
<
x
≤
5
}
B
=
{
x
/
x
∈
N
∧
4
≤
x
≤
10
}
R
=
{
(
x
,
y
)
/
x
∈
A
∧
y
∈
B
∧
x
es
divisor
de
y
}
ii)A
=
B
=
{
x
/
x
∈
N
∧
x
≤
12
}
}
{
x
y
x
A
y
B
x
es
el
doble
de
y
R
=
(
,
)
/
∈
∧
∈
∧
iii)A
=
{
x
/
x
∈
Z
∧
−
2
≤
x
≤
2
}
B
=
{
x
/
x
∈
Z
∧
−
2
≤
x
≤
11
}
R
=
{
(
x
,
y
)
/
x
∈
A
∧
y
∈
B
∧
y
=
3
x
+
5
}
iv)A
=
{
x
/
x
∈
N
∧
x
>
10
}
B
=
{
x
/
x
∈
N
}
R
=
{
(
x
,
y
)
/
x
∈
A
∧
y
∈
B
∧
y
=
5
}
a) Representar los conjuntos y las relaciones mediante diagramas de Venn.b) Indicar cuáles relaciones son funciones y cuáles no. Justificar.
c) Para cada relación, analizar si es inyectiva, si es suryectiva o biyectiva. Justificar.
d) Representar las funciones mediante una tabla y mediante un gráfico cartesiano.
En lo que sigue, tener en cuenta que:
Costo total = Costo fijo + Costo variable
Ingreso total = precio por unidad * nro. De unidades vendidas (o demandadas) Beneficio (o utilidad) = Ingreso total – Costo total
TP Nº 1 – Matemática 1 (ATH) 2015 – Página 2
8) Una compañía fabrica un producto para el cual el costo variable por unidad es de $6 y el costo fijo es de $80.000. Cada unidad tiene un precio de venta de $10.
i) Determinar las funciones: costo total, ingreso total y beneficio; y graficarlas. ii) ¿Cuántos artículos deben venderse para obtener un beneficio de $60.000? iii) ¿Y cuál es el punto de equilibrio entre costo e ingreso? Marcarlo en el gráfico.
9) Una empresa de turismo paga mensualmente $400 de alquiler, $50 por impuestos y gasta $150 por consumo eléctrico. Comercializa una excursión que tiene un costo de $25 y se vende a $75. Determinar:
i) las funciones: costo total, ingreso total y beneficio; ii) el punto de equilibrio;
iii) Si venden 10 excursiones al mes, ¿gana o pierde dinero?
iv) Si desea ganar al menos $500, ¿cuántas excursiones deberá vender?
10) Dadas las siguientes funciones, decir si están expresadas en forma implícita o explícita, y escribirlas en su otra forma, de ser posible:
a)
y
=
2
x
+
17
b)xy
=
5
c)10
x
−
2
y
=
0
11) Evaluar cada función en los valores de la variable independiente indicados en i, ii, iii. Simplificar los resultados. Determinar dominio e imágen y graficar.
a)
g
(
x
)
=
x
3−
4
x
2 i)g
(
4
)
ii)g
(
t
+
4
)
iii)g
(
3
/
2
)
b)
≥
−
<
+
=
0
3
0
1
3
)
(
x
si
x
x
si
x
x
f
i)f
(
−
1
)
ii)f
(
0
)
iii)f
(
2
)
iv)f
(
t
2+
1
)
c)
≥
+
−
<
+
=
1
1
1
1
)
(
x
si
x
x
si
x
x
h
i)
h
(
−
3
)
ii)h
(
1
)
iii)h
(
3
)
iv)h
(
b
2+
1
)
d)f
(
x
)
=
tg
( )
x
i) f(0) ii)f
(
π
/
4
)
iii)f
(
π
/
2
)
12) A partir de los gráficos siguientes indicar dominio, período, inyectividad, suryectividad y los valores que toman las ordenadas en las abscisas: 0, π/2, π, 2π, -π/2
13) Dadas las siguientes funciones reales f :ℜ→ℜ, determinar sus dominios y analizar cuáles son inyectivas, cuáles suryectivas y cuáles biyectivas.
a)
f
(
x
)
=
−
x
+
6
b)f
(
x
)
=
x
3 c) 1 1 ) ( + = x x f d)
−
>
−
≤
=
3
3
2
)
(
x
si
x
x
si
x
x
f
e) f(x)= x−3TP Nº 1 – Matemática 1 (ATH) 2015 – Página 3
14) Basándose en la gráfica de f (x) = x2, indicar las ecuaciones de las demás funciones cuadráticas:
15) A partir del gráfico de f(x), graficar:
a)
g
(
x
)
=
f
(
−
x
)
b)g
(
x
)
=
f
(
x
)
+
1
16) Hallar f(–x), g(–x),(
f
+
g
)(
x
)
,(
f
−
g
)(
x
)
,(
f
⋅
g
)(
x
)
,(
x
)
g
f
y
(
f
g
)
(x
)
, y dar los dominios de cada una: a)f
(
x
)
=
7
x
−
3
;
g
(
x
)
=
8
x
+
4
b)(
)
=
1
2;
g
(
x
)
=
x
+
2
x
x
f
c) d)f
(
x
)
=
e
x;
g
(
x
)
=
1
+
x
2 *e)g
x
x
x
x
x
f
;
(
)
ln
2
6
)
(
=
+
−
=
17) a) Si(
)
2
12
2
1
)
(
=
+
−
=
y
g
x
x
x
x
f
escribir al conjuntoA
=
{
x
∈
ℜ
/
f
g
( )
x
>
1
}
como intervalo o unión de intervalos.b) Identificar un par de funciones y que permitan escribir a como
i)
−
=
2
1
ln
)
(
x
x
f
ii)3
1
)
(
−
=
x
x
f
18) Sea
C
=
f
(x
)
el costo de un campo de “x” hectáreas. Explicar qué representan las siguientes cantidades)
600
(
f
y −1(
10000
)
f
. SiI
=
g
(C
)
expresa el importe en concepto del impuesto que debe pagarse por un campo que cuesta C pesos, explicar que representag
f
y, en particular,g
f
(
1500
)
.19) El costo de fabricar 10 máquinas de escribir al día, es de 350 pesos, mientras que cuesta 600 pesos producir 20 máquinas al día. Suponiendo un modelo de costo lineal , determine el costo de producir “x” máquinas al día y grafíquelo.
20)
Una agencia de turismo sabe que si el precio p al que vende la excursión es de $50, la demandarán x = 20 turistas por día; mientras que si el precio es de $35, la demandarán 80 turistas por día.TP Nº 1 – Matemática 1 (ATH) 2015 – Página 4
a) Obtener la función de demanda p(x), suponiendo que es lineal.
b) Si la función de oferta es p(x)= 1,75 x +15, graficar oferta y demanda y determinar el precio de equilibrio de mercado.
21) Para los siguientes casos de leyes de oferta y demanda de un dado producto, determinar la cantidad de artículos que deben producirse para que haya equilibrio en el mercado.
a) O(x) = x + 48; D(x) = −3x +88 b) O(x) = 4x + 3; D(x) =153− 2x 22) Para cada par de funciones:
i) Encontrar los puntos de intersección de cada función con los ejes cartesianos. ii) Encontrar las coordenadas de los puntos de intersección de ambas funciones. iii) Graficar.
a)
y
=
2
x
+
1
;y
=
−
x
2+
3
b) y=x−1; y= x c) y=e2x+3; y=523) Dadas las siguientes funciones, hallar, si es posible, la inversa de cada una (importante: especificar dominio e imagen considerados para la función y su inversa). Graficar la función y la inversa. Verificar cuando corresponda que (f f−1)(x)=(f−1 f)(x)=x
a)
f
(
x
)
=
−
2
−
x
2 b)x
x
f
(
)
=
1
c)f
(
x
)
=
4
−
x
d) 2 3 ) (x =x+ f e) f(x)=ln(x−1) 24) Si(
)
=
(2x−1)e
x
f
, entonces
1(
)
e
f
−es:
a)=1;
b)=0;
c)no existe, pues f(x) no es biyectiva;
d)ninguno de los anteriores
25) Para las siguientes funciones hallar: a) Dominio, b) Imagen, c) intersecciones con los ejes coordenados, d) paridad, e) analizar si son biyectivas y en caso de ser posible, hallar la inversa. Graficar.a)
+
−
=
2
3
4
1
)
(
x
x
x
h
b) r(x)=ex+3 −1 c) h(x)=− x26) Analizar para las funciones graficadas: a) dominio, b) imágen, indique si la imagen es un conjunto acotado y, de corresponder, si tiene ínfimo, mínimo, supremo o máximo, c) ceros, d) paridad, e) si son inyectivas, suryectivas o biyectivas, f) intervalos de crecimiento y decrecimiento, g) intervalos de positividad y negatividad, h) ¿tienen función inversa? Si-no, ¿por qué?
TP Nº 1 – Matemática 1 (ATH) 2015 – Página 5
c) d)
e) f)
