6. Halla las razones trigonométricas de 75º sin usar calculadora. (sen,cos,tg)

Trigonometría

Ejercicios sin explicación 1. Sabiendo que 𝒔𝒆𝒏𝜶 =𝟏

𝟐 𝟗𝟎º < 𝜶 < 𝟏𝟖𝟎º , calcula cos𝟐𝜶 y 𝒕𝒈𝜶

−√3/2

2. Sabiendo que 𝐜𝐨𝐬 𝜶 = −𝟏_𝟐, 𝟗𝟎 < 𝜶 < 𝟏𝟖𝟎 calcula 𝒔𝒆𝒏𝜶, 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜶 y 𝒕𝒈𝜶.

√3 2,- √3 2,- , −√3 3. Resuelva la ecuación 𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝟎 𝑥1 3𝜋 4 + 2𝜋𝑘, 𝑥1= 7𝜋 4 + 2𝜋𝑘 4. Si 𝒔𝒆𝒏 𝜽 =𝟐 𝟓 𝟎º < 𝜽 < 𝟗𝟎º, calcula: a) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 b) 𝒕𝒈𝜽 17/25, 2√21/21 5. Sabiendo que 𝒔𝒆𝒏 𝜷 = −𝟒 𝟓 𝟏𝟖𝟎 º < 𝜷 < 𝟐𝟕𝟎º 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜷, 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜷 y 𝒕𝒈𝜷 24/25, -7/25, 4/3

6. Halla las razones trigonométricas de 75º sin usar calculadora. (sen,cos,tg)

√6+√2 4 , √6−√2 4 , 2+√3 7. Resuelve el triángulo 𝒂 = 𝟗𝟎 𝒄𝒎, 𝒄 = 𝟔𝟎 𝒄𝒎 𝑩̂ = 𝟔𝟎º b=79´3, 𝐵̂ = 80º, 𝐶̂ = 140º 8. Resuelve 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 − 𝒔𝒆𝒏𝒙 = 𝟎 𝑥1= 0º + 360𝑘, 𝑥2= 90 + 360𝑘

9. Sabiendo que 𝒕𝒈𝜷 = 𝟐 , calcula: a) 𝐜𝐨𝐬 𝜷 b) 𝒔𝒆𝒏 𝜷 c) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜷 √5/5, 2√5/5, -3/5 10. Resuelve el triángulo 𝒂 = 𝟗𝟎 𝒄𝒎, 𝒄 = 𝟔𝟎 𝒄𝒎 𝑩̂ = 𝟔𝟎º b=79´3, 𝐵̂ = 80º, 𝐶̂ = 140º

11. Resuelve el triángulo: a=20 cm, b=40 cm y 𝑩̂ = 𝟔𝟎º 𝐴̂ = 25, 𝐶̂ = 95, 𝐶 = 47𝑐𝑚

12. Resuelve el triángulo 𝑨̂=35, 𝑪̂=50 y b=12 cm 𝐵̂ = 105, 𝑐 = 9´51 𝑐𝑚

13. Resuelve el triángulo a= 10 cm, b=18 cm y 𝑩̂ = 𝟏𝟐𝟎º 𝐴̂ = 28º, c=10´30 cm, 𝐶̂ = 32º

300 4 y 700 1´5 y 𝛼 x y 300 40 10 2 𝛼 𝛼 𝛽 x Ejercicios con explicación

Soluciones al final.

1. Expresa los siguientes grados en radianes. a) 700

b) 1000

c) 800

d) 1400 e) 3200

2. Expresa en grados sexagesimal.

a) 𝜋

b)

c)

d)

e)

3. Resuelve los triángulos: a) b) c) d)

4. De un triángulo rectángulo se sabe que su altura y su base son iguales. ¿Cuánto miden sus ángulos?

5. Hallar el resto de razones trigonométricas, en el primer cuadrante 𝑎) 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 0,3

𝑏)cos𝛼 = 0.97 𝑐)𝑠𝑒𝑛𝛼 = 0,15 𝑑)𝑠𝑒𝑛𝛼 = 0,46

6. Determina, realizando un dibujo del circulo unidad, cómo son los signos de: a) El seno de 400

b) El coseno de 1300

c) El coseno de 3150

7. Sabiendo que 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 0,2 , y que 00< 𝛼 < 900. Calcula cos 𝛼, 𝑡𝑔𝛼, 𝑠𝑒𝑛𝛼.

8. Sabiendo que cos 𝛼 =1

4 , y que

𝜋

2 Calcula sen 𝛼, 𝑡𝑔𝛼, 𝑐𝑜𝑠𝛼.

9. Sabiendo que sen 𝛼 = 0´55 , y que

0

10. Sabiendo que 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 0,12 , y que 00< 𝛼 < 900. Calcula cos(2𝛼) , 𝑡𝑔(𝛼), 𝑠𝑒𝑛(2𝛼)

11. Demuestra, usando Pitágoras, la igualdad: 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + cos2𝑥 = 1 12. Si 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0´5, 0 < 𝑥 < 90 , calcula cos x

13. Si 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0´13, 0 < 𝑥 < 90 , calcula cos x 14. 𝑆𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = −0´2, 270 < 𝑥 < 360, calcula sen 2x 15. 𝑆𝑖 𝑡𝑔𝑥 = 2 , 0 < 𝑥 < 90 , calcula 𝑐𝑜𝑠 𝑥

16. 𝑆𝑖 𝑡𝑔𝑥 = −3 , 90 < 𝑥 < 180 , calcula 𝑐𝑜𝑠𝑥

17. A cierta hora del día, la sombra de una persona, que mide 2 metros, tiene una longitud de 4´6 metros. ¿Cuál es la inclinación de los rayos del sol respecto el suelo?

18. Determina la altura de una torre que, a una distancia de 24 m, se ve bajo un ángulo de 15º. 19. Calcula la altura de una torre cuya sombra mide 10 m en el instante en el que los rayos del sol forman un ángulo de 70º con el suelo.

20. Un helicóptero está volando a una altura de 500 m, desde esa altura es capaz de distinguir un pueblo con un ángulo de depresión de 5°. Determina a qué distancia del pueblo se encuentra.

Soluciones:

1. Expresa los siguientes grados en radianes. a) 𝟕𝟎𝟎 b) 𝟏𝟎𝟎𝟎 c) 𝟖𝟎𝟎 d) 𝟏𝟒𝟎𝟎 e) 𝟑𝟐𝟎𝟎 a) Usamos la relación 𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 1800 𝜋 1800 x 700 𝑥 =𝜋𝑥70 0 1800 = 7𝜋 18 𝑟𝑎𝑑 b) 𝜋 1800 x 1000 𝑥 =𝜋𝑥100 0 1800 = 10𝜋 18 = 5𝜋 9 𝑟𝑎𝑑 c) 𝑥 =4𝜋 9 𝑟𝑎𝑑 d) 𝑥 =7𝜋 9 𝑟𝑎𝑑 e) 𝑥 =16𝜋 9 𝑟𝑎𝑑

2. Expresa en grados sexagesimal.

a) 𝝅

b)

c)

d)

e)

300 4 y 𝛼 700 y 1´5 𝑥 =𝜋𝑥180 0 𝜋 = 180 0 b) x 𝜋₃ 1800 𝜋 𝑥 =

𝜋

3

3. Resuelve los triángulos: a)

_{𝑠𝑒𝑛(30}0_{) =}𝑦

4; 𝑦 = 4𝑠𝑒𝑛(30) = 2 La suma de los ángulos de un triángulo es 1800 𝛼 + 300_{+ 90}0_{= 180}0_{; 𝛼 = 60}0 b) 𝑡𝑔(700_{) =} 𝑦 1´5 ; 𝑦 = 1,5𝑡𝑔(70 0_{) = 4´62}

x y 300 2 𝛼 40 10 𝛼 𝛽 x 45 900 1800 c) cos(300_{) =}2 𝑥; 𝑥 = 2 cos(300₎= 2´3 𝑡𝑔(300) =𝑦 2; 𝑦 = 2𝑡𝑔(30 0_{) = 1´154} 300_{+ 90}0_{+ 𝛼 = 180}0_{; 𝛼 = 60}0 d) 𝑠𝑒𝑛(𝛼) =10 40= 0´4; 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(0,4) = 23´570 𝑡𝑔(23´57) =10 𝑥 ; 𝑥 = 10 𝑡𝑔(23´75)= 10 0´43= 23´2 23´570+ 900+ 𝛽 = 1800 ; 𝛽 = 66´430

4. De un triángulo rectángulo se sabe que su altura y su base son iguales. ¿Cuánto miden sus ángulos?

Hay que recordar que:

“El seno de un ángulo es la altura que tendría un triángulo, con ese mismo ángulo, en el circulo unidad, y el coseno es la base”

Es decir, es un ángulo que se encuentra en la justo en la mitad del primer cuadrante, y como todo el primer cuadrante mide 90, la mita tiene que ser 45.

2700 900 1800 00 1800 400 1300 3150

5. Hallar el resto de razones trigonométricas, en el primer cuadrante 𝒂) 𝒔𝒆𝒏𝜶 = 𝟎, 𝟑

𝒃)𝐜𝐨𝐬𝜶 = 𝟎. 𝟗𝟕 𝒄)𝒔𝒆𝒏𝜶 = 𝟎, 𝟏𝟓 𝒅)𝒔𝒆𝒏𝜶 = 𝟎, 𝟒𝟔

a) Para hallar las razones trigonométricas, vamos a usar 𝑠𝑒𝑛2_{𝛼 + cos}2_{𝛼 = 1}

como sabemos que 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 0,3 ;

(𝑜´3)2_{+ cos}2_{𝛼 = 1} cos 𝛼 = √1 − 0´32_{= 0´95} b) 𝑠𝑒𝑛2𝛼 + cos2𝛼 = 1; 𝑠𝑒𝑛2𝛼 + (0´97)2= 1; cos 𝛼 = √1 − 0´972_{= 0´243} c) cos 𝛼 = 0´98 d) cos 𝛼 = 0´788

6. Determina, realizando un dibujo del circulo unidad, cómo son los signos de: a) El seno de 𝟒𝟎𝟎

b) El coseno de 𝟏𝟑𝟎𝟎

c) El coseno de 𝟑𝟏𝟓𝟎

a) El seno de 400 _{tiene signo positivo, ya que 40}0 _{es un ángulo del primer cuadrante, y en el}

primer cuadrante las alturas son positivas ( van hacia arriba )

b) El coseno de 1350 _{tiene signo negativo, ya que 135}0 _{es un ángulo del segundo cuadrante y}

en el segundo cuadrante las bases son negativas (van hacia la izquierda).

c) El coseno de 3150 tiene signo positivo, ya que 3150 es un ángulo del cuarto cuadrante y en el cuarto cuadrante las bases son positivas (van hacia la derecha).

7. Sabiendo que 𝒔𝒆𝒏𝜶 = 𝟎, 𝟐 , y que 𝟎𝟎 < 𝜶 < 𝟗𝟎𝟎. Calcula 𝐜𝐨𝐬 𝜶, 𝒕𝒈𝜶, 𝒔𝒆𝒏𝜶.

Usamos 𝑠𝑒𝑛2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 1

(0´2)2_{+ cos}2_{𝛼 = 1}

𝑐𝑜𝑠𝛼 = √1 − 𝑠𝑒𝑛2_{𝛼 = ±√1 − 0´2}2₌

Como estamos en el primer cuadrante (00< 𝛼 < 900), los cosenos 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 0´979

La tangente la hallamos haciendo 𝑡𝑔𝛼 =𝑠𝑒𝑛(𝛼)_{𝑐𝑜𝑠(𝛼)}=_0´9790´2 = 0´204 8. Sabiendo que 𝐜𝐨𝐬 𝜶 =𝟏_𝟒 , y que 𝝅 < 𝜶 <𝟑𝝅_𝟐

Calcula 𝐬𝐞𝐧 𝜶, 𝒕𝒈𝜶, 𝒄𝒐𝒔𝒄𝜶. Usamos 𝑠𝑒𝑛2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 1 𝑠𝑒𝑛2𝛼 + (1 4) 2 = 1 𝑠𝑒𝑛𝛼 = √1 − cos2_{𝛼 = ±√1 − (}1 4) 2 = 0´968 Nos quedamos con la solución negativa, ya que estamos en el tercer cuadrante

𝑡𝑔𝛼 =𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼= 0´968 0´25 = 3´872 𝑐𝑜𝑠𝑐𝛼 = 1 𝑐𝑜𝑠𝛼= 1 0´25= 4 9. Sabiendo que 𝐬𝐞𝐧 𝜶 = 𝟎´𝟓𝟓 , y que 𝟎 < 𝜶 <𝝅

𝟐

Calcula 𝒄𝒐𝒔𝜶, 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 Usamos 𝑠𝑒𝑛2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 1

(0´55)2_{+ cos}2_{𝛼 = 1}

𝑐𝑜𝑠𝛼 = √1 − 𝑠𝑒𝑛2_{𝛼 = ±√1 − 0´55}2 _{= 0´835}

Y luego; 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 𝑠𝑒𝑛2𝛼 = (0´835)2− (0´55)2= 0´395

10. Sabiendo que 𝒄𝒐𝒔𝜶 = 𝟎, 𝟏𝟐 , y que 𝟎𝟎< 𝜶 < 𝟗𝟎𝟎. Calcula 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝜶) , 𝒕𝒈(𝜶), 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝜶) Usamos 𝑠𝑒𝑛2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 1 𝑠𝑒𝑛2_{𝛼 + (0´12)}2_{= 1} 𝑠𝑒𝑛𝛼 = √1 − cos2_{𝛼 = ±√1 − (0´12)}2_{= 0´992} cos(2𝛼) = cos2_{𝛼 − 𝑠𝑒𝑛}2_{𝛼 = (0´12)}2_{− (0´992)}2_{= −0969} 𝑠𝑒𝑛(2𝛼) = 2𝑠𝑒𝑛(𝛼)𝑐𝑜𝑠(𝛼) = 2(0´992)(0´12) = 0´238

11. Demuestra, usando Pitágoras, la igualdad: 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 + 𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙 = 𝟏

Para comprender lo que es el seno y el coseno tenemos que imaginarnos un circulo de radio uno, el círculo unidad.

Y luego dibujar en él un triángulo rectángulo.

El seno es la altura del triángulo, el coseno es la base. (Hay que recordar que el radio es 1)

Aplicando Pitágoras: 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + cos2𝑥 = 1

12. Si 𝒔𝒆𝒏 𝒙 = 𝟎´𝟓, 𝟎 < 𝒙 < 𝟗𝟎 , calcula cos x Usamos 𝑠𝑒𝑛2_{𝛼 + 𝑐𝑜𝑠}2_{𝛼 = 1} (0´5)2_{+ cos}2_{𝛼 = 1} 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 1

𝑐𝑜𝑠𝛼 = √1 − 𝑠𝑒𝑛2_{𝛼 = ±√1 − 0´5}2_{= 0´866}

Como estamos en el primer cuadrante, elegimos el coseno positivo 13. Si 𝒔𝒆𝒏 𝒙 = 𝟎´𝟏𝟑, 𝟎 < 𝒙 < 𝟗𝟎 , calcula cos x

Usamos 𝑠𝑒𝑛2_{𝛼 + 𝑐𝑜𝑠}2_{𝛼 = 1}

0´132_{+ cos}2_{𝛼 = 1}

𝑐𝑜𝑠𝛼 = √1 − 𝑠𝑒𝑛2_{𝛼 = ±√1 − 0´13}2 _{= 0´991}

Como estamos en el primer cuadrante, elegimos el seno positivo 14. 𝑺𝒊 𝒔𝒆𝒏 𝒙 = −𝟎´𝟐, 𝟐𝟕𝟎 < 𝒙 < 𝟑𝟔𝟎, calcula sen 2x Usamos 𝑠𝑒𝑛2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 1

(−0´2)2+ cos2𝛼 = 1

𝑐𝑜𝑠𝛼 = √1 − 𝑠𝑒𝑛2_{𝛼 = ±√1 − (−0´2)}2_{= 0´979}

Nos quedamos con la solución positiva, pues estamos en el cuarto cuadrante. Y luego hacemos 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2(−0´2)(0´979) = −0´391 15. 𝑺𝒊 𝒕𝒈𝒙 = 𝟐 , 𝟎 < 𝒙 < 𝟗𝟎 , calcula 𝒄𝒐𝒔𝒙

En este caso tenemos que usar dos ecuaciones: 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥= 𝑡𝑔𝑥; 𝑠𝑒𝑛

2_{+ cos}2_{𝑥 = 1}

𝑡𝑔𝑥 = 2, 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥= 2 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠𝑥

Luego, (2𝑐𝑜𝑠𝑥)2+ cos2𝑥 = 1; 4 cos2𝑥 + cos2𝑥 = 1; 5 cos2𝑥 = 1

cos2𝑥 =1 5; 𝑐𝑜𝑠𝑥 = ±√ 1 5= √5 5 Como estamos en el primer cuadrante, el coseno es positivo.

16. 𝑺𝒊 𝒕𝒈𝒙 = −𝟑 , 𝟗𝟎 < 𝒙 < 𝟏𝟖𝟎 , calcula 𝒔𝒆𝒏 𝒙 Procedemos como en el ejercicio anterior:

𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥= 𝑡𝑔𝑥; 𝑠𝑒𝑛

2_{+ cos}2_{𝑥 = 1}

𝑡𝑔𝑥 = −3, 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥 = −3 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠𝑥

Luego, (−3𝑐𝑜𝑠𝑥)2+ cos2𝑥 = 1; 9 cos2𝑥 + cos2𝑥 = 1; 10 cos2𝑥 = 1

cos2_{𝑥 =} 1 10; 𝑐𝑜𝑠𝑥 = ±√ 1 10= − √10 10

Como estamos en el primer cuadrante, el coseno es negativo

17. A cierta hora del día, la sombra de una persona, que mide 2 metros, tiene una longitud de 4´6 metros. ¿Cuál es la inclinación de los rayos del sol respecto el suelo?

En este triangulo podemos calcular la tangente, 𝑡𝑔𝛼 = 2

4´6= 0´437

Aplicamos arcotangente, 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑡𝑔(0´437) = 23´490

18. Determina la altura de una torre que, a una distancia de 24 m, se ve bajo un ángulo de 15º.

Aplicamos la tangente 𝑡𝑔15 = ℎ

24; ℎ = 25𝑡𝑔15 = 6´69 𝑚

19. Calcula la altura de una torre cuya sombra mide 10 m en el instante en el que los rayos del sol forman un ángulo de 70º con el suelo.

Aplicamos la tangente 𝑡𝑔70 = ℎ

10; ℎ = 10𝑡𝑔70 = 27´47 𝑚

20. Un helicóptero está volando a una altura de 500 m, desde esa altura es capaz de distinguir un pueblo con un ángulo de depresión de 5°. Determina a qué distancia del pueblo se encuentra.

Aplicamos la tangente 𝑡𝑔5 =500

𝑑 ; 𝑑 = 500