IDENTIFICACIÓN
UNIDAD ACADÉMICA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS ASIGNATURA: ELECTROMAGNETISMO UNIDAD TEMÁTICA Capacitancia
Docente MEd. Ing. José Alexander Puerto Bautista
COMPETENCIAS ESPECIFICAS Y GENÉRICAS CRITERIOS DE EVALUACIÓN
Examina el potencial eléctrico, aplicando el concepto de potencial eléctrico como instrumento fundamental de solución en diversas situaciones problémicas, estimando el posible comportamiento de diversos sistemas en situaciones particulares numéricas, gráficas o analíticas, para reconocer y aplicar conceptos electrostáticos en situaciones complejas, presentando resultados correctos, provenientes de la solución de problemas particulares.
Autonomía en el aprendizaje: Evalúa su proceso de aprendizaje con el fin de establecer estrategias de mejora, de tal manera que se garantice el cumplimiento de sus propósitos de formación y las responsabilidades asumidas.
Gestión de la información digital: Gestiona la información
relacionada con un determinado proceso de la realidad con el fin de generar comprensión y conocimiento, teniendo como referencia los retos del contexto, las herramientas de planificación, y las tecnologías de la información y la comunicación.
Pensamiento crítico y resolución de problemas: Reflexiona sobre las consecuencias y efectos de las decisiones, conclusiones e interpretaciones con el fin de argumentar su análisis con base en criterios de autonomía y compromiso intelectual.
Argumenta el porqué del comportamiento de los campos eléctricos en capacitores con dieléctrico, teniendo en cuenta su geometría y el dieléctrico que separa los conductores.
Resuelve situaciones de capacitores con o sin dieléctrico, de acuerdo a los conceptos de potencial eléctrico y capacitancia
Interpreta los resultados provenientes de la solución de problemas particulares
Hace descripciones gráficas de los resultados obtenidos teóricamente en situaciones generales o particulares y explica su significado, utilizando recursos matemáticos relacionados con el tema.
Define estrategias para generar una cultura de seguimiento y autoevaluación de acuerdo con su planeación de estudio.
Utiliza métodos y herramientas para valorar su propio trabajo en relación con las metas esperadas.
Cumple con las tareas y actividades de aprendizaje de acuerdo con su planeación.
Examina y compara la información de distintas fuentes teniendo en cuenta si se trata de información confiable, válida, de actualidad, de autoridad académica y oportuna.
Interpreta la información para comprenderla y generar conocimiento que le posibilite actuar de forma integral y ética ante las situaciones y problemas.
Evalúa información relevante usando ideas abstractas de acuerdo con las categorías mentales
Llega a conclusiones y soluciones comparándolas contra criterios y estándares relevantes
Se comunica efectivamente con otros reconociendo posibles soluciones de acuerdo con problemas complejos que han sido planteados.
FUNDAMENTO TEORICO
CAPACITANCIA
Dos conductores separados por un aislante (o vacío) constituyen un capacitor (figura 1).
Un capacitor es un dispositivo que almacena energía potencial eléctrica y carga eléctrica. Para hacer un capacitor, basta aislar dos conductores (placas u hojas) uno del otro,colocados uno cerca del otro, pero sin tocarse (figura 2). Para almacenar energía en este dispositivo hay que transferir carga de un conductor al otro, de manera que uno tenga carga negativa y en el otro
Figura 1 Dos conductores cualesquiera a y b aislados
uno del otro forman un capacitor.
haya una cantidad igual de carga positiva. Debe realizarse trabajo para trasladar las cargas a través de la diferencia de potencial resultante entre los conductores, y el trabajo efectuado se almacena como energía potencial eléctrica.
Los capacitores son ampliamente utilizados en circuitos electrónicos. Permiten almacenar energía eléctrica que habrá de usarse posteriormente (por ejemplo, en el flash de una cámara fotográfica y para almacenar energía en computadoras cuando falla la corriente eléctrica). Los capacitores también sirven para bloquear picos de carga y energía con la finalidad de proteger circuitos. Las computadoras usan capacitores muy delgados para la memoria de “unos” y “ceros” del código binario en la memoria de acceso aleatorio (RAM), los láseres de pulso, sensores de bolsas de aire para automóviles y receptores de radio y televisión son otros ejemplos de aplicaciones de los capacitores.
Figura 3 Símbolo de capacitor Figura 4 Símbolo de batería
Si se aplica un voltaje a través de un capacitor conectando el capacitor a una batería mediante cables conductores, como el de la figura (5), las dos placas se cargan
rápidamente: una placa adquiere carga negativa y la otra una carga positiva de la misma magnitud. Cada terminal de la batería y la placa del capacitor conectada a ella están al mismo potencial, así que el voltaje completo de la batería aparece a través del capacitor.
Para un capacitor dado, se encuentra que la cantidad de carga Q que adquiere una de las placas es proporcional a la magnitud de la diferencia de potencial ∆𝑉 entre las placas
𝑄 ∝ ∆𝑉
La constante de proporcionalidad en la relación anterior, se llama la capacitancia del capacitor y se designa con la letra C.
𝑄 = 𝐶 ∙ ∆𝑉
𝐶 = 𝑄
∆𝑉
(Definición de Capacitancia de un
capacitor) (Ecuación 1)
− +
Figura 2 Diagramas de capacitores a) de placas paralelas y b) cilíndrico (placas
paralelas enrolladas).
Figura 5 a) Capacitor de placas paralelas conectado a una batería y b) El mismo circuito con los símbolos correspondientes.
La unidad del SI para la capacitancia es el coulomb entre volt, y recibe el nombre de farad (F), en honor del físico inglés del siglo XIX, Michael Faraday. De acuerdo con la ecuación (1), un farad es igual a un coulomb por volt (1 C/V):
1 𝐹 = 1 𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑 = 1𝐶
𝑉= 1𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏 𝑣𝑜𝑙𝑡
Cálculo de la capacitancia: Capacitor de placas paralelas con vacío
Dos placas metálicas paralelas de igual área A están separadas por una distancia d, como se muestra en la figura (6). Una placa tiene una carga +Q y la otra tiene una carga –Q (figura 7). Si las placas están muy juntas (en comparación con su longitud y ancho), se puede suponer que el campo eléctrico es uniforme entre las placas y cero en cualquier otra parte, se puede decir que el campo eléctrico está localizado casi por completo en la región entre las placas y las cargas en las placas se distribuyen de manera uniforme en sus superficies opuestas (figura 8).
La magnitud del campo eléctrico para el arreglo mostrado en las figuras (7) y (8) se calculó utilizando la ley de Gauss y era:
𝐸 = 𝜎 𝜖0
donde 𝜎 era la densidad superficial de carga en cada placa 𝜎 =𝑄
𝐴 Al reemplazar 𝜎 en el campo eléctrico obtenemos:
𝐸 = 𝑄 𝐴 𝜖0 = 𝑄
𝜖0𝐴
En el tema de potencial eléctrico se vio que la diferencia de potencial ∆𝑉 para un campo constante entre dos placas separadas una distancia d es:
∆𝑉 = 𝐸𝑑 Al reemplazar el campo eléctrico obtenido anteriormente = 𝑄
𝜖0𝐴 se obtiene:
∆𝑉 = 𝐸𝑑 = 𝑄
𝜖0𝐴∙ 𝑑 = 𝑄𝑑 𝜖0𝐴
Figura 6 Un capacitor de placas paralelas consiste
en dos placas conductoras paralelas,
cada una con una superficie A, separadas una distancia d. Cuando
se carga el capacitor al conectar las placas a las terminales de una batería, las placas adquieren cargas de igual
magnitud. Una de las placas tiene carga positiva y la otra carga
negativa.
Figura 7 Arreglo de las placas del capacitor
Figura 8 Vista lateral del campo eléctrico 𝑬⃗⃗
Sustituyendo esta diferencia de potencial ∆𝑉 en la expresión para la definición de la capacitancia se obtiene:
𝐶 = 𝑄
∆𝑉= 𝑄 𝑄𝑑 𝜖0𝐴
=𝜖0𝐴 𝑑
En la expresión obtenida se puede observar que la capacitancia sólo depende de la geometría del capacitor; la capacitancia para un capacitor de placas paralelas es directamente proporcional al área de sus placas A e inversamente proporcional a la separación de las placas d.
𝐶 =𝜖0𝐴 𝑑
(Capacitancia de un capacitor de
placas paralelas) (Ecuación 2)
Ejemplo 1
Se tiene un capacitor de placas paralelas cuyas placas miden 20 𝑐𝑚 × 3 𝑐𝑚 y están separadas por un hueco de aire de 1 𝑚𝑚 de espesor.
a. Calcule la capacitancia de este capacitor.
b. ¿Cuál es la carga en cada placa si se conecta una batería de 12 V a través de las dos placas?
c. ¿Cuál es el campo eléctrico entre las placas?
d. Estime el área que deben tener las placas para conseguir una capacitancia de 𝟏 𝑭, dada la misma separación de aire 𝒅.
Análisis
Se debe calcular el área A de las placas y con ese dato y la separación d se calcula la capacitancia del capacitor.
Con la capacitancia y el voltaje de la batería se calcula la carga que adquieren las placas.
A partir de la expresión de potencial eléctrico para un campo uniforme entre placas conductoras ∆𝑉 = 𝐸𝑑 se determina la magnitud del campo eléctrico entre las placas.
Para estimar el área de las placas para que la capacitancia del conductor sea de 1 𝐹 se despeja A de la expresión 𝐶 =𝜖0𝐴
𝑑
Solución Literal (a)
El área de las placas es:
𝐴 = 0,2𝑚 × 0,03𝑚 = 6 × 10−3 𝑚2
La capacitancia C es:
𝐶 =𝜖0𝐴
𝑑 =(8,85 × 10−12𝐶
𝑁 ∙ 𝑚2
⁄ ) (6 × 10−3 𝑚2)
(1 × 10−3 𝑚) = 53,1 × 10−12 𝐹 = 53,1 𝑝𝐹
Literal (b)
Para obtener la carga en cada una de las placas se debe despejar Q de la expresión 𝐶 = 𝑄
∆𝑉:
𝑄 = 𝐶∆𝑉 = 53,1 × 10−12 𝐹 × 12 𝑉 = 637,2 𝑝𝐶
Literal (c)
Para determinar el campo eléctrico se debe despejar E de la expresión ∆𝑉 = 𝐸𝑑:
𝐸 =∆𝑉
𝑑 = 12𝑉
0,001𝑚 = 12 𝑘𝑉 𝑚⁄
Literal (d)
Para estimar el área de las placas para que la capacitancia del conductor sea de 1 𝐹 se despeja A de la expresión 𝐶 =𝜖0𝑑𝐴 𝐴 =𝐶𝑑
𝜖0 = (1 𝐹)(0,001 𝑚) (8,85 × 10−12𝐶
𝑁 ∙ 𝑚2
⁄ )= 1,13 × 108 𝑚2= 113 𝑘𝑚2
Esta es el área un cuadrado de 10km de lado. Para tener una idea más amplia, Bucaramanga sin su área metropolitana tiene 162 𝑘𝑚2 y Floridablanca tiene un área de 97 𝑘𝑚2.
Combinaciones de Capacitores
Los capacitores se encuentran en muchos circuitos eléctricos. Por circuito eléctrico entendemos una trayectoria cerrada de conductores —generalmente alambres que conectan capacitores u otros dispositivos— por los cuales puede fluir carga y que incluyen una fuente de voltaje, como una batería, por ejemplo.
Los capacitores se fabrican con ciertas capacitancias y voltajes de trabajo estándares. Sin embargo, estos valores estándar podrían no ser los que se necesiten en una aplicación específica. Se pueden obtener los valores requeridos combinando capacitores; son posibles muchas combinaciones, pero las más sencillas son la conexión en serie y la conexión en paralelo.
Capacitores en paralelo
La figura 9 ilustra un circuito que contiene dos capacitores conectados en paralelo. Están en “paralelo” porque cuando se conecta una batería de voltaje 𝑉 a los puntos a y b, este voltaje 𝑉 = 𝑉𝑎𝑏 existe a través de cada uno de los capacitores. Esto es, ya que todas las placas del lado izquierdo de todos los capacitores se conectan mediante conductores, se encuentran al mismo potencial 𝑉𝑎 cuando se conectan a la batería; de igual modo, las placas del lado derecho de cada capacitor están al mismo potencial 𝑉𝑏. Cada placa de capacitor adquiere una carga dada por 𝑄1 = 𝐶1𝑉, 𝑄2= 𝐶2𝑉,. La carga total 𝑄 que debe abandonar la batería, que es también la carga total de la combinación de capacitores, y por consiguiente del capacitor equivalente es:
𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙= 𝑄1+ 𝑄2= 𝐶1𝑉 + 𝐶2𝑉 = (𝐶1+ 𝐶2)𝑉
La capacitancia equivalente 𝐶𝑒𝑞 de la combinación en paralelo se define como la capacitancia de un solo capacitor para que almacene la 𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙, cuando la diferencia de potencial es la misma.
𝐶𝑒𝑞=𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑉 =(𝐶1+ 𝐶2)𝑉
𝑉 = 𝐶1+ 𝐶2
Para 𝒏 número de capacitores en paralelo,
𝐶𝑒𝑞= 𝐶1+ 𝐶2+ 𝐶3+ ⋯ + 𝐶𝑛= ∑ 𝐶𝑖
𝑛
1
(Capacitancia equivalente para
capacitores en paralelo) (Ecuación 3)
La capacitancia equivalente de una combinación en paralelo es igual a la suma de las capacitancias individuales.
Figura 9
a) Una combinación en paralelo de dos capacitores en un circuito eléctrico en el cual la diferencia de potencial entre las terminales de la batería, es igual a V.
b) Diagrama de circuito para esta combinación en paralelo.
c) La capacitancia equivalente se conoce por la ecuación (3).
a b a b a b
Capacitores en serie
Los capacitores también pueden conectarse en serie; esto es, extremo con extremo, como se observa en la figura (10).
Una carga +𝑄 fluye de la batería a una de las placas de 𝐶1, y una carga – 𝑄 fluye a una de las placas de 𝐶2. La región A entre los capacitores estaba inicialmente neutra, así que la carga neta debe ser cero. La carga +𝑄 en la placa izquierda de 𝐶1 atrae una carga – 𝑄 en la placa opuesta. Como la región A debe tener una carga neta cero, hay, por lo tanto, una carga +𝑄 en la placa izquierda de 𝐶2. Así, vemos que la carga en cada capacitor posee el mismo valor 𝑄.
Las diferencias de potencial entre los puntos a y c: 𝑉𝑎𝑐; c y b: 𝑉𝑐𝑏; y a y b: 𝑉𝑎𝑏, pueden representarse como 𝑉𝑎𝑐= 𝑉1= 𝑄/𝐶1 𝑉𝑐𝑏 = 𝑉2 = 𝑄/𝐶2 𝑉𝑎𝑏 = 𝑉𝑎𝑐+ 𝑉𝑐𝑏 = 𝑉1+ 𝑉2 = 𝑄(1
𝐶1+ 1 𝐶2)
Un capacitor sencillo capaz de remplazar estos dos capacitores en serie sin afectar el circuito (esto es, con los mismos valores de 𝑄 y 𝑉) tendría una capacitancia equivalente 𝐶𝑒𝑞, donde 𝐶𝑒𝑞 =𝑄
𝑉 que es lo mismo que 𝑉 =𝐶𝑄
𝑒𝑞 . Igualando el potencial de la bateria 𝑉 con 𝑉𝑎𝑏 obtenemos:
𝑄
𝐶𝑒𝑞= 𝑄(1 𝐶1+ 1
𝐶2)
Al cancelar Q que se encuentra en ambos lados de la igualdad se obtiene
1 𝐶𝑒𝑞= 1
𝐶1+ 1 𝐶2 Para 𝒏 número de capacitores en serie,
1 𝐶𝑒𝑞 = 1
𝐶1+ 1 𝐶2+ 1
𝐶3+ ⋯ + 1
𝐶𝑛= ∑1 𝐶𝑖
𝑛
1
(Capacitancia equivalente para
capacitores en serie) (Ecuación 4)
El inverso de la capacitancia equivalente de una combinación en serie es igual a la suma de los inversos de las capacitancias individuales.
Figura 10
a) Combinación en serie de dos capacitores. Las cargas en ambos capacitores son iguales.
b) Diagrama del circuito para la combinación en serie.
c) La capacitancia equivalente se calcula a partir de la ecuación (4).
Ejemplo 2.
Acceda al siguiente vídeo: https://youtu.be/6t5-yGRla0o. También puede acceder a este ejemplo de manera virtual en el canal https://www.youtube.com/channel/UCDoHINGwlHXE8xsqkh7WBYA?sub_confirmation=1 bajo la lista de reproducción CAPACITANCIA https://www.youtube.com/playlist?list=PLB0eX4sVOI0QVfZLdzux-4q3OZtOnaEiw o en la lista de reproducción ELECTROMAGNETISMO https://www.youtube.com/playlist?list=PLB0eX4sVOI0S4Aen0obHrmlF-Iz- xWdLo.
Ejemplo 3.
Acceda al siguiente vídeo:https://youtu.be/FG3f9NUPE90 . También puede acceder a este ejemplo de manera virtual en el canal https://www.youtube.com/channel/UCDoHINGwlHXE8xsqkh7WBYA?sub_confirmation=1 bajo la lista de reproducción CAPACITANCIA https://www.youtube.com/playlist?list=PLB0eX4sVOI0QVfZLdzux-4q3OZtOnaEiw o en la lista de reproducción ELECTROMAGNETISMO https://www.youtube.com/playlist?list=PLB0eX4sVOI0S4Aen0obHrmlF-Iz- xWdLo.
Energía almacenada en un capacitor y densidad de energía en un campo eléctrico
Un capacitor cargado almacena energía eléctrica. La energía potencial eléctrica almacenada en un capacitor cargado es exactamente igual a la cantidad de trabajo requerido para cargarlo, es decir, para separar cargas opuestas y colocarlas en los diferentes conductores.
La energía potencial de un capacitor 𝑈 sin carga es igual a cero. Es posible expresar la energía potencial almacenada en el capacitor con carga como:
𝑈 =𝑄2 2𝐶=1
2𝐶𝑉2 =1
2𝑄𝑉 (Energía potencial eléctrica
almacenada en un capacitor) (Ecuación 5)
La densidad de energía (𝒖) eléctrica en un campo eléctrico es la energía por unidad de volumen donde existe el campo eléctrico.
𝑢 =1
2𝜖0𝐸2 (Densidad de energía en un
campo eléctrico) (Ecuación 6)
La energía eléctrica almacenada por unidad de volumen en una región del espacio es proporcional al campo eléctrico al cuadrado en esa región. Sus unidades son [𝐽
𝑚3].
Esta relación es válida para cualquier capacitor con vacío y por ello para cualquier configuración de campo eléctrico en el vacío.
Capacitores con material dieléctrico
Un dieléctrico es un material no conductor, como el hule, el vidrio o el papel encerado.
La mayoría de los capacitores tienen un material no conductor o dieléctrico entre sus placas conductoras. Esto cumple varios propósitos. Primero que nada, los dieléctricos tienen un rompimiento eléctrico (lo que permite que la carga eléctrica fluya) menos rápido que en el aire, así que pueden aplicarse mayores voltajes sin que pase la carga a través de la separación. Más aún, un dieléctrico facilita que las placas se localicen más cerca una de la otra sin tocarse, lo que da lugar a un incremento en la capacitancia, porque d es
menor. Por último, se encuentra de manera experimental que si un dieléctrico llena el espacio entre los dos conductores, se incrementa la capacitancia en un factor K conocido como la constante dieléctrica. Así,
𝐶 = 𝐾𝐶0 (Capacitancia de un capacitor
con dieléctrico) (Ecuación 7)
donde 𝐶0 es la capacitancia cuando el espacio entre los dos conductores del capacitor es un vacío, y C es la capacitancia cuando el espacio se ha llenado con un material con constante dieléctrica K.El factor adimensional k se llama constante dieléctrica del material. La constante dieléctrica varía de un material a otro.
Un dieléctrico tiene las siguientes ventajas:
Incrementa la capacitancia.
Incrementa el voltaje máximo de operación.
Proporciona un posible soporte mecánico entre las placas, lo que permite que estén cerca una de la otra sin tocarse, así reduce d y aumenta C.
La energía almacenada en un capacitor con dieléctrico estará dada por la ecuación:
𝑈 = 𝑄02 2𝐾𝐶0=𝑈0
𝐾
(Energía almacenada en un
capacitor con dieléctrico) (Ecuación 8) Figura 11 Un tipo común de capacitor utiliza láminas dieléctricas
para separar los conductores.
Tabla 1 Constantes dieléctricas y resistencias dieléctricas aproximadas de diversos materiales a temperatura ambiente
Donde 𝑈0 es la energía almacenada en el capacitor en ausencia del dieléctrico y 𝑄0 es la carga del capacitor en ausencia del dieléctrico.
Ejemplo 3.
Acceda al siguiente vídeo:https://youtu.be/TFeRqLeZHzw. También puede acceder a este ejemplo de manera virtual en el canal https://www.youtube.com/channel/UCDoHINGwlHXE8xsqkh7WBYA?sub_confirmation=1 bajo la lista de reproducción CAPACITANCIA https://www.youtube.com/playlist?list=PLB0eX4sVOI0QVfZLdzux-4q3OZtOnaEiw o en la lista de reproducción ELECTROMAGNETISMO https://www.youtube.com/playlist?list=PLB0eX4sVOI0S4Aen0obHrmlF-Iz- xWdLo.
BIBLIOGRAFÍA
Giancoli, D. (2008). Física para ciencias e ingeniería. Cuarta edición. México: Pearson Educación
Serway, R. A., & Jewett, J. W. (2009). Física para Ciencias e Ingeniería con Física Moderna (Séptima ed., Vol. II). Distrito Federal, México: Cengage Learning.
Young, H. D., & Freedman, R. A. (2009). Física Universitaria Volumen 2. Mexico: Pearson Education.
