Colección de Problemas de Control Automático

(1)

Colecci´ on de Problemas de

Control Autom´ atico

3

^o

Ingenier´ıa Industrial

F. Salas, T. ´Alamo, F. Cuesta, D. Lim´on y C. Vivas

Depto. Ingenier´ıa de Sistemas y Autom´ atica Universidad de Sevilla

1

(2)

Depto. Ing. de Sistemas y Autom´atica. ESI. US. ii

(3)

Parte I

Dise˜ no de controladores en el dominio frecuencial

1

(4)

(5)

Control Autom´atico, 3^o Ing. Industrial. 3

Problema I.1

Cuesti´on 1 Parcial 2000-01

Dada la funci´on de transferencia:

G(s) = 10 s(s + 1)² Se pide:

1. Dibujar el bode del sistema y calcular m´argenes de fase y ganancia.

2. Dise˜nar una red mixta de forma que el sistema compensado tenga un margen de fase de 50 grados y un error en r´egimen permanente frente entrada en rampa sea del 2 por ciento.

3. Dise˜nar para el mismo sistema un controlador PD que tenga una ganancia tal que el error en r´egimen permanente frente entrada en rampa sea del 5 por ciento.

Problema I.2

Cuesti´on 1 Final 2000-01

Para el sistema cuyo diagrama de bode aparece en la figura I.2.a:

1. Obtenga la funci´on de transferencia G(s) del sistema. Justifique la respuesta.

2. Como puede apreciarse en el diagrama de bode del sistema, si ´este fuese controlado con acci´on proporcional el sistema se har´ıa cr´ıticamente estable para un valor de K

= 10. Se pide:

(a) Indicar sobre el bode original, el bode del sistema controlado K G(s) para K = 10.

(b) Para el sistema del apartado 2a, dise˜nar una red de avance de fase tal que el sistema resultante tenga un margen de fase de 60 grados.

3. Dise˜ne un controlador PID para el sistema original utilizando alguno de los m´etodos de Ziegler-Nichols (ver tabla adjunta). Justifique la respuesta.

Kp T_d Ti

B.A. ^1.2T_KL 2L 0.5L B.C. 0.6Kcr 0.5Pcr 0.125Pcr

(6)

Depto. Ing. de Sistemas y Autom´atica. ESI. US. 4

Figura I.2.a:

Problema I.3

Cuesti´on 1 Sept 2000-01

Dado el sistema con funci´on de transferencia:

G(s) = 1

s(s + 2)(s + 3) Se pide:

1. Dibujar el bode del sistema y calcular m´argenes de fase y ganancia.

2. Calcular la ganancia de un controlador proporcional que garantice un error en r´egimen permanente frente a una entrada en rampa inferior al 6%.

3. Diseñar una red mixta tal que el error en régimen permanente frente a entrada en rampa sea inferior al 6% y el margen de fase sea superior a 50ô.

Problema I.4

Dado el siguiente diagrama de bloques (Fig. I.4.a):

(7)

+ +

) (s + K

−

Figura I.4.a:

• Dibuje el diagrama de Bode del sistema sin compensar.

• Sup´ongase que el controlador viene dado por K(s) = 1 + τ s

1 + ατ s (4.1)

donde τ = 10 y α = 0.1. Calcule el margen de fase del sistema compensado, as´ı como el error en r´egimen permanente frente entrada rampa.

• Suponiendo que α = 0.1, seleccione el valor de τ de forma que el sistema compensado tenga el mayor margen de fase posible.

• Sup´ongase ahora que

K(s) = K

1 + 1

Tis

(4.2) Calc´ulese K y Ti de forma que el sistema compensado tenga un margen de fase de 30 grados.

Problema I.5

Dado el siguiente diagrama de bloques de un sistema compensado:

+ + +

) (s + K

−

Figura I.5.a:

(8)

Depto. Ing. de Sistemas y Autom´atica. ESI. US. 6 1.- Dibuje el diagrama de Bode del sistema sin compensar. (Como gu´ıa: usar valores de 0o y -90o para el valor de la fase de un polo en las frecuencias extremas y la siguiente tabla para las intermedias)

Frecuencia relativa al polo 0.01 0.1 0.3 0 3 10 100 Separación del valor central (en grados) 45 40 30 0 -25 -40 -45 2.- Suponer que K(s) es un controlador PI. Diseñar éste de forma que el margen de

ganancia del sistema compensado sea de 20 dB.

3.- Suponer que K(s) es una red mixta. Diseñar ésta de forma que el sistema realimentado tenga un error en régimen permanente frente entrada escalón menor o igual del 1% y margen de fase de 30 grados.

4.- Suponer que K(s) es un controlador PID. Diseñar éste de forma que se parezca lo más posible a la red mixta diseñada en el punto anterior.

5.- Indique ventajas e inconvenientes del controlador PID del apartado 3 frente a la red del apartado 4.

Problema I.6

Cuesti´on 1 Septiembre 2001-02

Dado el diagrama de bode de un sistema G1(s) (Fig: )

1.- Se introduce una red de adelanto Ga(s) = Ka 1+τ^a

1+α^aτas con αa = 0.2 y con su cero en 1/τa= 20. ¿C´omo se debe cambiar la ganancia Ka para obtener una frecuencia de corte en ω_c = 20rad/s ? Explicar paso a paso el procedimiento que emplea para obtener su respuesta.

Dibujar el sistema compensado en l´ınea discontinua o en otro color utilizando la siguiente tabla como referencia para dibujar la fase.

Frecuencia relativa al polo 0.01 0.1 0.3 0 3 10 100 Separaci´on del valor central (en grados) 45 40 30 0 -25 -40 -45 2.- Calcular el tiempo de subida aproximado del sistema compensado en 1. Explique su

respuesta.

3.- A˜nadida a la red de adelanto del apartado 1, se emplea otra red de retardo de fase G_r(s) = K_r_1+α^1+τ^r

rτrs para reajustar la ganancia al valor inicial (con G₁(s)) de la constante de error de velocidad est´atica K_v1 y conseguir igualmente ωc = 20rad/s.

¿Cu´ales son los valores requeridos de Kry αr? Explicar paso a paso el procedimiento que emplea para obtener su respuesta. Dibujar el sistema compensado e indicar en la figura los m´argenes de fase y de ganancia.

(9)

Frecuencia (rad/s)

Fase (grados)Magnitud (dB)

-100 -80 -60 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

10⁰ 10¹ 10² 10³

-270 -260 -240 -220 -180 -160 -140 -120 -100 -90

Figura I.6.a:

(10)

Problema I.7

G(s) = 1 s(s + 1)² Se pide:

1.- Dibujar el bode del sistema y calcular m´argenes de fase y ganancia.

Frecuencia relativa al polo 0.01 0.1 0.3 0 3 10 100 Separaci´on del valor central (en grados) 45 40 30 0 -25 -40 -45 2.- Se desea controlar el proceso de forma que el sistema controlado cumpla EXACTA-

MENTE TODAS las siguientes especificaciones:

• Error en r´egimen permanente ante entrada escal´on = 0

• Error en r´egimen permanente ante entrada en rampa > 0

• Margen de fase = 45o

Para ello se pide dise˜nar (si es posible) los siguientes controladores: (JUSTIFIQUE LA RESPUESTA)

(a) Control PD (b) Control PI

(c) Red de retardo de fase

3. Dise˜nar una red de avance de fase para que el sistema controlado cumpla las siguientes especificaciones:

• Error en r´egimen permanente ante entrada escal´on = 0

• Error en r´egimen permanente ante entrada en rampa > 0

• Margen de fase ≥ 45o

• ωc ≥1rad/s

Problema I.8

(11)

)1 ( )1 10

( 1

+ + s

) s

s ( + K

−

Figura I.8.a:

1.- Dibuje el diagrama de Bode del sistema sin compensar. (Como gu´ıa: usar valores de 0o y -90o para el valor de la fase de un polo en las frecuencias extremas y la siguiente tabla para las intermedias)

Frecuencia relativa al polo 0.01 0.1 0.3 0 3 10 100 Separación del valor central (en grados) 45 40 30 0 -25 -40 -45 2.- Suponer que K(s) es una red de retardo. Diseñar ésta de forma el error en régimen

permanente frente entrada escal´on sea del 5% y el margen de fase de 35 grados.

3.- Suponer que K(s) es un PID. Diseñar éste de forma que el sistema realimentado tenga un error en régimen permanente frente entrada en rampa sea del 10% y margen de fase de 45 grados.

Problema I.9

s s s

s 10 11( )1 1000

+ +

) + s ( + K

−

Figura I.9.a:

Frecuencia relativa al polo 0.01 0.1 0.3 0 3 10 100 Separaci´on del valor central (en grados) 45 40 30 0 -25 -40 -45

(12)

Depto. Ing. de Sistemas y Autom´atica. ESI. US. 10 2.- Suponer que K(s) es un controlador proporcional. ¿Se puede controlar el sistema de manera que el sistema resultante cumpla las especificaciones de error en r´egimen permanente ante entrada en rampa<10% y margen de fase ≥ 40o?

3.- Además, con objeto de garantizar la rapidez del sistema se desea que la frecuencia de corte del sistema con 0dB sea superior a 20 rad/s. Diseñar una red de compensación que cumpla las 3 especificaciones.

Problema I.10

Cuesti´on 1 parcial 2003-04

+ +

) (s + K

−

Figura I.10.a:

Frecuencia relativa al polo 0.01 0.1 0.3 0 3 10 100 Separaci´on del valor central (en grados) 45 40 30 0 -25 -40 -45 2.- Obtenga un controlador K(s) = Kc(1 + Tds) de forma que el sistema compensado

tenga ganancia 0 dB en ωc= 5rad/s y margen de fase de 45 grados

3.- Diseñe una red de avance tal que ésta tenga una máxima aportación de fase de 50 grados y el margen de fase del sistema compensado sea de 45 grados.

4.- Obtenga una red de retardo de forma que el error en r´egimen permanente frente entrada en rampa sea del 20 por ciento y el margen de fase de 45 grados

(13)

Problema I.11

G(s) = K(s + 50) s(2s + 1)(s + 1)² Se pide:

Frecuencia relativa al polo 0.01 0.1 0.3 0 3 10 100 Separaci´on del valor central (en grados) 45 40 30 0 -25 -40 -45 2.- ¿Para qu´e valor aproximado de K > 0 se hace el sistema en bucle cerrado cr´ıticamente

estable? Sintonice los par´ametros de un PID por las reglas de Ziegler-Nichols en bucle cerrado: Kp = 0.6Kcr, Ti = 0.5Pcr y T_d= 0.125Pcr.

3.- ¿Es necesario controlar G(s) con un PID para conseguir que el sistema en bucle cerrado tenga error nulo en r´egimen permanente ante entrada en escal´on? Justifique su respuesta

4.- ¿Se podr´ıa controlar con un PD para hacer el sistema estable para todo K > 0?

Justifique con el diagrama de Bode si su respuesta es negativa, o dise˜ne un PD si su respuesta es positiva.

5.- Dise˜ne una red de retardo de fase con K = 1 para que el margen de fase sea mayor que 20o.

Problema I.12

Frecuencia relativa al polo 0.01 0.1 0.3 0 3 10 100 Separaci´on del valor central (en grados) 45 40 30 0 -25 -40 -45

(14)

) s ( + K

−

⁽¹⁰ ¹⁾⁽⁰^.¹ ¹⁾

10 +

+ s

s

Figura I.12.a:

2.- Suponer que K(s) es una red de red de avance. Diseñar, si es posible, ésta de forma que el error en régimen permanente frente entrada escalón sea del 1% y el margen de fase de 50o. Justifique su respuesta.

3.- Suponer que K(s) es un controlador proporcional derivativo. Dise˜nar, si es posible,

éste de forma que el error en régimen permanente frente entrada escalón sea del 1%

y el margen de fase de 45o. Justifique su respuesta.

4.- Suponer que K(s) es un controlador proporcional integral. Dise˜nar, si es posible,

éste de forma que el error en régimen permanente frente entrada escalón sea inferior al 1% y el margen de ganancia de 30 dB. Justifique su respuesta.

Problema I.13

Se desea controlar un sistema din´amico con un esquema de realimentaci´on unitaria que se muestra en el siguiente diagrama de bloques en el cual, K(s) representa el controlador.

Se desea que el sistema en bucle cerrado tenga una respuesta ante un escalón unitario con una sobreoscilación inferior al 20% y que alcance el valor 1 en régimen permanente. Se desea además que el error en régimen permanente cuando la entrada es una rampa sea inferior a 0.1.

Figura I.13.a:

(15)

Control Autom´atico, 3^o Ing. Industrial. 13 1.- Determinar las especificaciones del sistema compensado en el dominio de la frecuen-

cia as´ı como la ganancia m´ınima que debe tener el controlador.

Frecuencia relativa al polo 0.01 0.1 0.3 0 3 10 100 Separaci´on del valor central (en grados) 45 40 30 0 -25 -40 -45 3.- Dise˜nar (si es posible) una red de avance que controle el sistema.

4.- Dise˜ne (si es posible) una red de retardo que controle el sistema.

5.- Dise˜ne (si es posible) una red mixta que controle el sistema.

6.- Trace (de forma aproximada) y compare las respuestas ante escalón unitario del sistema controlado con una red de retardo y una mixta, indicando salida en régimen permanente, sobreoscilación y tiempo de subida.

Figura I.13.b:

Problema I.14

Cuesti´on 1 final 2004-05

Se desea controlar la temperatura de salida de una caldera de vapor actuando sobre la válvula de regulación de combustible. Para que la caldera funcione aceptablemente se debe cumplir que para una temperatura deseada de 200 oC, la temperatura no supere 230 oC y en régimen permanente la temperatura sea superior a 198 oC. Para ello se modela dicho sistema obteniéndose la siguiente función de transferencia.

G(s) = 1

(100s + 1)(10s + 1)³

1.- Determinar las especificaciones del sistema compensado en el dominio de la frecuencia as´ı como la ganancia m´ınima que debe tener el controlador.

(16)

Depto. Ing. de Sistemas y Autom´atica. ESI. US. 14 2.- Dibuje el diagrama de Bode del sistema sin compensar. (Como gu´ıa: usar valores de 0o y -90o para el valor de la fase de un polo en las frecuencias extremas y la siguiente tabla para las intermedias)

Frecuencia relativa al polo 0.01 0.1 0.3 0 3 10 100 Separaci´on del valor central (en grados) 45 40 30 0 -25 -40 -45 3.- Dise˜nar (si es posible) una red de avance que controle el sistema.

4.- Dise˜ne (si es posible) una red de retardo que controle el sistema.

5.- Dise˜ne (si es posible) una red mixta que controle el sistema.

6.- Finalmente se decide implementar la red mixta diseñada en el apartado anterior y al probarla sobre el sistema se observa que el comportamiento de la caldera es aceptable, aunque se desea que fuese más rápido, es decir, con un menor tiempo de subida. Justifique razonadamente cómo ajustar el controlador para este fin.

Problema I.15

Se desea controlar un sistema del cual se conoce su diagrama de Bode, que se muestra en la figura I.15.a.

El sistema en bucle cerrado debe cumplir que el error en posici´on sea nulo, en velocidad inferior a 0.01 y la sobreoscilaci´on inferior al 20% (Margen de Fase superior a 45o).Se pide:

1.- Calcular (si es posible) una red de avance que controle el sistema cumpliendo todas las especificaciones.

2.- Calcular (si es posible) una red de retardo que controle el sistema cumpliendo todas las especificaciones.

3.- Calcular (si es posible) una red de mixta que controle el sistema cumpliendo todas las especificaciones.

4.- Estime los tiempos de subida de cada uno de los controladores anteriormente dise˜nados.

5.- Dise˜ne un controlador PID mediante el m´etodo de Ziegler-Nichols en bucle cerrado (Kc=0.6 Kcrit, Ti=0.5 Pcrit, Td=0.125 Pcrit ), siendo Kcrit la ganancia cr´ıtica y Pcrit el periodo cr´ıtico.

(17)

Figura I.15.a:

(18)

Problema I.16

Se desea controlar un sistema dinámico con un esquema de realimentación unitaria, como se representa en la figura, donde K(s) representa el controlador. Se desea que el sistema en bucle cerrado tenga una respuesta ante escalón con una sobreoscilación inferior al 5%, un tiempo de subida inferior a 1s, y un error de seguimiento ante entrada en rampa inferior al 10%.

-

+

K(s)

_s_(s+1)^s+0.1τ2(s+10τ )

Figura I.16.a:

1. Determinar las especificaciones del sistema compensado en el dominio de la frecuencia, as´ı como la ganancia m´ınima que debe tener el controlador. (Puede aproximar el tiempo de subida por la expresi´on ts≈ ^π

2ω^c)

Para τ = 1, Dibujar el diagrama de Bode del sistema sin compensar (con la ganancia m´ınima calculada en el apartado anterior), y calcule los m´argenes de fase y ganancia del sistema.

Como gu´ıa: usar valores de 0ô y −90ô para el valor de la fase de un polo en las frecuencias extremas, y la siguiente tabla para las intermedias (Tome valores simétricos para un cero).

Frecuencia relativa al polo 0.01 0.1 0.3 1 3 10 100 Separaci´on del valor central (en grados) 45 40 30 0 -30 -40 -45 2. Para τ = 1, ¿Podr´ıa dise˜nar una red de avance que compensase el sistema?, ¿y un

PD?, ¿quiz´as un PI?. Razone las respuestas.

3. Para τ = 1, dise˜ne (si es posible), una red de retardo que controle el sistema.

Si no pudiese diseñar una red de retardo para cumplir todas las especificaciones, relaje la restricción de sobreoscilación, y estime la sobreoscilación resultante para el sistema controlado.

4. Para τ = 1, dise˜ne (si es posible), una red mixta que controle el sistema.

5. Suponga ahora que τ puede tomar valores entre 0.1 y 1. Redise˜ne la red mixta del apartado anterior para que el controlador verifique las restricciones para todo el rango de valores de τ .

Nota: Observe que el sistema original, puede descomponerse como _s(s+1)¹ ₂ en cascada con una red de avance que depende de τ .

(19)

Problema I.17

En una planta de producción de biocombustible se ha diseñado un control proporcional para controlar la concentración del producto de un reactor mediante la manipulación de la válvula de refrigerante. El sistema controlado no tiene un comportamiento adecuado y se ha decidido su mejora. Para ello, se ha procedido a la obtención de un diagrama de Bode experimental del sistema a controlar, obteniéndose la siguiente gráfica:

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20 0 20 40 60

Magnitud (dB)

10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10²

−360

−315

−270

−225

−180

−135

−90

−45 0

Desfase (grados)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Figura I.17.a:

Las condiciones deseables del sistema en bucle cerrado son un error en régimen permanente frente a entrada en escalón inferior al 1% y una sobreoscilación inferior al 20%.

Responda y justifique las siguientes cuestiones:

1. El controlador P se hab´ıa diseñado tomando K_c = 1. ¿Cumple el sistema realimentado las especificaciones impuestas? Para ello calcule el error que tendr´ıa el sistema realimentado en régimen permanente, la sobreoscilación y el tiempo de subida ante

(20)

Depto. Ing. de Sistemas y Autom´atica. ESI. US. 18 una entrada en escal´on.

2. Calcule las especificaciones en el dominio de la frecuencia.

3. Dise˜ne (si es posible) una red de avance de fase que controle el sistema.

4. Dise˜ne (si es posible) una red de retardo de fase que controle el sistema

5. Diseñe (si es posible) una red de mixta de fase que controle el sistema. En este caso, procure que el sistema realimentado sea lo más rápido posible.

Problema I.18

Cuesti´on 2 septiembre 2005-06

En el denominado Control sin hilos de los aviones, el movimiento de los alerones se lleva a cabo por un sistema de posicionamiento hidr´aulico, uno de los cuales se muestra en la siguiente figura

u(t)

Figura I.18.a:

en la cual se observa cómo un motor eléctrico impulsa una bomba que a su vez sumin- istra la presión de alimentación de un pistón al cual se haya conectado el alerón. De esta forma, variando la tensión de alimentación del motor, por mediación de la señal u(t) de entrada del amplificador de potencia, se puede variar la posición del alerón. El modelo dinámico de éste sistema es

G(s) = 0.1

s(s + 3)(s + 1)²

siendo la entrada u(t) en voltios y la salida θ(t) grados. Se desea controlar el posicionamiento del aler´on con un error en velocidad en r´egimen permanente que no supere 0.1 grados.

Para ello se pide:

1.- Trazar el diagrama de Bode del sistema sin compensar.

(21)

Control Autom´atico, 3^o Ing. Industrial. 19 2.- Calcular una red de retardo de forma que el sistema en bucle cerrado no supere un

20% de sobreoscilaci´on y posea un margen de ganancia superior a 20 dB.

3.- Dise˜nar un PID por las reglas de Ziegler Nichols en bucle cerrado. (K = 0.5Kcr, Ti= 0.5Pcr, Td= 0.125Pcr).

4.- Dise˜nar una Red Mixta de forma que el sistema en bucle cerrado no supere un 20%

de sobreoscilaci´on y el ancho de banda del sistema en bucle abierto sea superior a 1 rad/s.

(22)

(23)

Parte II

Dise˜ no de controladores usando el lugar de las ra´ıces

21

(24)

(25)

Problema II.1

G(s) = 1

(s + 2)(s + 3)(s + 4) Se pide:

1.- Dibujar detalladamente con trazo grueso y puntas de flecha el lugar de las ra´ıces cuando el control es proporcional con ganancia K negativa.

2.- Si al controlador del apartado anterior con K negativa se a˜nade un polo en s = −1 , ¿cu´al ser´ıa el valor de K para obtener un sistema en bucle cerrado con coeficiente de amortiguamiento δ = 0.6?

3.- Si se introduce en el controlador un cero adicional al polo en en el intervalo (−1, 0),

¿se podr´ıa hacer el sistema estable para cualquier valor de K < 0? Dibujar el lugar de las ra´ıces aproximado (sin calcular valores num´ericos del lugar) para alg´un valor del cero propuesto con el fin de justificar la respuesta.

4.- Calcule el rango de valores de K > 0 v´alidos para obtener un sistema con coeficiente de amortiguamiento δ ≥ 0.6 y tiempo de subida ts ≤1.5 si el sistema s´olo tuviese los polos en s = −2 y s = −3.

Problema II.2

Cuesti´on 2 Parcial 2000-01 Dado el sistema a controlar:

G(s) = K(s + 8) (s + 1)(s + 3)(s + 10) Se pide:

1.- Dibujar detalladamente con trazo grueso y puntas de flecha el lugar de las ra´ıces cuando el control es proporcional con ganancia K positiva. No hace falta calcular puntos de separaci´on o ingreso. Para ellos aportar una soluci´on cualitativa.

2.- ¿Se puede despreciar el efecto del polo en s = −10 , en el sistema original, para cualquier valor de K? Razone su respuesta.

(26)

Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. 24 3.- Estudiar cualitativamente la variación de la sobreoscilación con K en el sistema original y en el sistema modificado eliminando el polo en s = −10 . Dibujar el lugar de las ra´ıces aproximado del sistema modificado (sin calcular valores numéricos del lugar) para justificar la respuesta.

4.- Si se modifica nuevamente el sistema, eliminando tanto el polo en s = −10 como el cero en s = −8, calcular el rango de K para que se cumplan las siguientes especificaciones de dise˜no:

• erp(escalon) ≤ 20%

• δ ≥ 0.6

• t_s< 1s

Problema II.3

Al sistema servomecanismo G(s) = _s(s+1)¹ se le aplica un controlador consistente en un amplificador de ganancia KA > 0 y una realimentación de la señal de velocidad medida con un tacómetro de ganancia K_T > 0 como se muestra en el diagrama de bloques de la figura.

K_A

K_T 1 1 +

s s

1 +

- -

R(s) E(s) + U(s) V(s) P(s)

Figura II.3.a:

1.- Obtener el lugar de las ra´ıces generalizado del sistema en bucle cerrado respecto a la variaci´on de la ganancia K_T si se fija K_A = 4. Dibujar detalladamente el lugar con trazo grueso y puntas de flecha.

2.- ¿Para qu´e valor de K_T el sistema en bucle cerrado deja de tener sobreoscilaci´on?.

3.- Si se elige KT = 5, ¿qu´e rango de valores de KA consigue que el sistema no tenga sobreoscilaci´on?

(27)

Problema II.4

G(s) = K(Xs − 1)(s + 3) s²+ 2s + 2 Se pide:

1.- Dibujar el lugar de las ra´ıces y estudiar la estabilidad del sistema en función del parámetro X para K = 1. Suponiendo realimentación unitaria y negativa.

2.- Dibujar el lugar de las ra´ıces y estudiar la estabilidad del sistema en función del parámetro K para X = 1. Suponiendo realimentación unitaria y negativa.

3.- Para el caso del apartado 2 (X = 1, K variable), dibujar cualitativamente c´omo se modificar´ıa el lugar de las ra´ıces al introducir un polo doble en s = −2, sabiendo que no existen puntos de separaci´on e ingreso.

4.- Para el caso del apartado 2, diseñar un controlador PI (si es posible) para que el error en régimen permanente ante una entrada en escalón sea nulo.

Problema II.5

1.- Dado el sistema con funci´on de transferencia:

G(s) = K(s + 1) s²+ 2s + 2

Dibujar detalladamente el lugar de las ra´ıces del sistema realimentado para cualquier valor de K (tanto positiva como negativa). Indicar tambi´en el rango de valores de K para los cuales el sistema es estable en bucle cerrado.

2.- Dado el sistema con dos ceros imaginarios puros:

G(s) = K(s + pj)(s − pj) s(s²+ 1)

Se pide representar el lugar de las ra´ıces del sistema realimentado para K > 0, y para los casos p = 0.5, y p = 1.5. Indicar, en ambos casos, el rango de valores de K para los que el sistema es estable en bucle cerrado. (Nota: no existen puntos de separaci´on ni ingreso).

(28)

Problema II.6

G(s) = K(T s + 1)

(0.2s + 1)(0.5s + 1)(s + 1)

Se pide:

1.- Suponga que T es igual a cero. Dibuje el lugar de las ra´ıces (K > 0) y determine la estabilidad del sistema en funci´on de K suponiendo realimentaci´on unitaria y negativa.

2.- Determine el valor de T de forma que el lugar de las ra´ıces (K > 0) pase por el punto −3.25 + 5j. Dibuje para dicho valor de T el lugar de las ra´ıces (no es necesario calcular el punto de separaci´on). Calcule el valor de K para que el sistema en bucle cerrado (realimentaci´on unitaria y negativa) tenga un polo en −3.25 + 5j.

Problema II.7

G(s) = 3

(s + 1)(s + 3)

Se pide:

1.- Utilizar el lugar de las ra´ıces para calcular un controlador proporcional que minimice el error en régimen permanente frente entrada escalón y garantice una sobreoscilación no superior al 20%. (Supóngase realimentación unitaria negativa).

2.- Supóngase que se quiere controlar el sistema a través de un controlador proporcional derivativo. Calcúlese la ganancia de éste de forma que el error en régimen permanente frente entrada escalón sea del 10%. Represente el lugar de las ra´ıces generalizado en función del tiempo derivativo (T_d) (Asúmase valores tanto positivos como negativos para Td).

3.- Dado el lugar de las ra´ıces generalizado del apartado anterior determine para qu´e rango de valores de T_del sistema no sobreoscila. Calcule el valor de T_dque hace que el sistema compensado tenga una sobreoscilaci´on del 20%.

(29)

Problema II.8

G(s) = K

s((s + 4)²+ 16)

Se pide:

1.- Calcule y dibuje con detalle el lugar de las ra´ıces para todo valor de K.

2.- ¿Se podr´ıa calcular un controlador PI que estabilizase el sistema para todo valor de K > 0? Razone su respuesta y dibuje los lugares que precise a mano alzada.

3.- Considere el PD GP D(s) = K(s+c). Encuentre el rango de valores de c que garantiza que el sistema compensado G(s)GP D(s) en bucle cerrado es estable para cualquier valor de K > 0.

Problema II.9

G(s) = K(s + 6) s²+ 2s + a

Se pide:

1.- Sup´ongase que a = 17. Para dicho valor de a, dibuje el lugar de las ra´ıces (para valores positivos y negativos de K).

2.- b) Supóngase que el sistema representado por la función de transferencia G(s) se con- trola a través de un controlador proporcional de ganancia K = 0.1 (realimentación unitaria negativa). Utilizando el lugar de las ra´ıces generalizado, determine si existe un rango de valores del parámetro a que garantice que la sobreoscilación del sistema se encuentre entre el 10% y el 20%.

(30)

Problema II.10

G(s) = K(s + 2)(s + 3) s(s + 1)

Se pide:

1.- Dibuje el lugar geom´etricos de las ra´ıces para K > 0.

(a) Indique c´omo es la sobreoscilaci´on de la respuesta del sistema en bucle cerrado para todo el rango de K > 0.

(b) ¿Para qué valor de K > 0 es el error en régimen permanente ante entrada en escalón menor o igual que el 10%? Justifique su respuesta.

(c) ¿Dónde se podr´ıa añadir un polo real no positivo para que el sistema en bucle cerrado se volviera cr´ıticamente estable para algún valor de K > 0? Justifique su respuesta.

2. Dibuje el lugar geométricos de las ra´ıces para K < 0. ¿Podr´ıa estabilizarse el sistema para todo valor de K < 0 añadiendo algún controlador de los estudiados en este curso? Justifique su respuesta.

Problema II.11

G(s) = K(s + 50) s(2s + 1)(s + 1)²

Se pide:

1.- Dibujar el lugar de las ra´ıces para K > 0. No es necesario calcular puntos de separaci´on ni de ingreso.

2.- ¿Se podr´ıa controlar con un PD para hacer el sistema estable para todo K > 0?

Dise˜ne un PD si su respuesta es afirmativa, y tanto si es afirmativa como negativa dibuje un boceto del lugar de las ra´ıces resultante.

(31)

Problema II.12

G(s) = K(T s + 1)(s + 2) (s + 3)(s + 4)

Se pide:

1.- Suponiendo que T = 1, dibujar el lugar de las ra´ıces para K mayor o igual a cero.

2.- Suponiendo que T = 1, determinar el valor positivo de K que hace m´axima la sobreoscilaci´on del sistema en bucle cerrado.

3.- Determinar el valor de K y T de forma que el sistema en bucle cerrado tenga un polo en −1.5 + 0.3j.

Problema II.13

Cuesti´on 3 parcial 2004-05 Dado el siguiente sistema:

Figura II.13.a:

Se pide

1.- Suponiendo que K(s) es un controlador proporcional dibujar el lugar de las ra´ıces en funci´on de la ganancia del controlador (tanto positiva como negativa).

2.- Dise˜nar un controlador PD de forma que el sistema compensado tenga como frecuencia natural ωn = 5rd/s y coeficiente de amortiguamiento δ = 0.5 (consid´erese ganancia positiva).

3.- Compruebe cualitativamente que utilizando el lugar de las ra´ıces que al controlar el sistema con un PI con cualquier T_i > 0, el sistema es estable para alg´un valor de la ganancia positivo.

(32)

Problema II.14

Cuesti´on 4 final 2004-05 Dado el siguiente sistema:

Figura II.14.a:

Se pide:

1.- Suponiendo que K(s) es un controlador proporcional dibujar el lugar de las ra´ıces en funci´on de la ganancia del controlador (tanto positiva como negativa).

2.- Suponer que K(s)=5+(Ki/s). Dibujar el lugar de las ra´ıces generalizado en función del parámetro Ki>0. (Nota: el lugar generalizado tiene un solo punto de separación, el cual no es necesario que se calcule con exactitud)

3.- Utilizando el lugar generalizado del apartado anterior, calcular el rango de valores positivos de Ki tales que el error en r´egimen permanente frente entrada rampa sea inferior al 10% y la sobreoscilaci´on menor del 20%.

Problema II.15

Cuesti´on 3 septiembre 2004-05 Dado el siguiente sistema:

G(s) = K (1 + τ s) (1 + ατ s)

0.1 (s + 3)(s + 4)

Se solicita:

1.- Suponiendo que α = 0.1 y τ = 2 dibujar el lugar de las ra´ıces para valores positivos y negativos de K.

2.- Dibuje el lugar de las ra´ıces generalizado respecto al par´ametro 1/τ suponiendo que K = 10 y α = 0.1.

(33)

Problema II.16

Se desea controlar la concentración (y) de un reactor actuando sobre la válvula de reactivo (u). Para ello se modela el comportamiento dinámico del sistema obteniéndose la siguiente función de transferencia

G(s) = 1

(s + 1)(s + 2)(s²+ 6·s + 13)

El sistema se debe controlar de forma que el error en r´egimen permanente ante una referencia constante sea inferior al 1% y que la din´amica en bucle cerrado se aproxime a la de un sistema de segundo orden con δ = 0.5 y ωn= 2 rad/s.

1.- Trazar el lugar de las ra´ıces del sistema.

Nota: los posibles puntos de separaci´on e ingreso son −1.44, −2.65 ± 1.34 j 2.- Justifique si es posible controlar el sistema con un controlador P.

3.- Para controlar este sistema se ha elegido un controlador PID que responde a la siguiente funci´on de transferencia

C(s) = K1 + Ti·s + Ti·T_d·s² s·T_i·(α·T_d·s + 1)

Dise˜nar el controlador mediante el lugar de las ra´ıces y determinar el valor de los par´ametros Ti, Td, K y α.( Asumir que los ceros del PID son reales.)

Problema II.17

Cuesti´on 1 final 2005-06 Dado el sistema:

) 2 )(

1 (s+ s+

K

s a

a + +

-

r y

Figura II.17.a:

Se solicita:

(34)

Depto. Ing. de Sistemas y Autom´atica. ESI. US. 32 a) Determinar el valor de K > 0 y a > 0 para que el sistema en bucle cerrado tenga un polo en −1.3 + 2j.

b) Suponga que K = 1. Dibuje el lugar de las ra´ıces generalizado en función del parámetro a > 0. (No es necesario calcular con precisión los puntos de separación e ingreso).

Problema II.18

Dado el sistema representado por el siguiente diagrama de bloques

-

+ K(s) (s+1)(s+2)(s+4)¹

Figura II.18.a:

1.- Suponga que K(s) = _{τ ·s+1}^K^c ; obtenga utilizando el lugar de las ra´ıces el valor de Kc

y τ para que el sistema en bucle cerrado tenga un polo en s₀= −1 + j.

Trace, de forma aproximada, el lugar de las ra´ıces resultante.

2.- Suponga que K(s) = _{τ ·s+1}^K^c ·^s+a_s+b; obtenga utilizando el lugar de las ra´ıces el valor de Kc, τ , a y b para que el sistema en bucle cerrado tenga un polo en s₀= −1 + j y el error en r´egimen permanente frente entrada a escal´on sea inferior al 10%.

(35)

Parte III

Automatismos

33

(36)

(37)

Problema III.1

Se desea controlar de forma autom´atica el acceso a un banco mediante un sistema de dos puertas (ver figura III.1.a). El funcionamiento del mismo es el siguiente:

Figura III.1.a:

PROCESO DE ENTRADA AL BANCO

Cuando una persona entra en la zona intermedia se cierra la puerta exterior y se comprueba si lleva algún objeto de metal. En ese caso, se activará una alarma (AL) y se abrirá la puerta exterior para que la persona salga (la alarma se desactivará una vez que la persona haya salido). En caso contrario (no metal), se abrirá la puerta interior y cuando la persona se encuentre dentro del banco se cerrará la puerta interior y se abrirá la exterior.

PROCESO DE SALIDA DEL BANCO

Cuando una persona desee salir deberá pulsar y soltar el botón (P). Una vez pulsado, se cerrará la puerta exterior, se abrirá la interior y la persona pasará a la zona intermedia.

Una vez all´ı, se cerrar´a la puerta interior y se abrir´a la exterior para que pueda abandonar el recinto.

SE PIDE

Dise˜nar una red de petri que permita controlar el sistema.

NOTAS IMPORTANTES

• La puerta exterior se encuentra inicialmente abierta y la interior cerrada.

• Una persona no podr´a acceder a la zona intermedia mientras esta est´e ocupadada.

(38)

• En cada puerta se dispone de un sensor (SE en la puerta exterior y SI en la puerta interior) que permite detectar el paso de una persona mediante una activaci´on y desactivaci´on consecutivas.

• La detecci´on de metales se realiza mediante el sensor SM (SM=1 -¿metal detectado).

• Las se˜nales PE (puerta exterior) y PI (puerta interior) permiten abrir y cerrar las puertas (1 abrir, 0 cerrar).

• S´olo puede pasar una persona a la vez.

Problema III.2

Se desea automatizar el mecanismo de subida y bajada de un toldo. Para ello se dispone de un motor para subir y bajar el toldo, de dos sensores (SS y SB) que indican respectivamente cuando el toldo est´a completamente subido o bajado y de un pulsador (P) que va a servir para controlar la subida y bajada del toldo.

El funcionamiento que se desea es el siguiente:

Suponemos el toldo inicialmente subido.

Si se pulsa el pulsador P, empezará a bajar hasta que llegue al final o hasta que se vuelva a pulsar P, momento en el que debe pararse el toldo. Si una vez parado se vuelve a pulsar P, el toldo deberá empezar a moverse hacia arriba hasta que vuelva a llegar a la posición superior o se pulse nuevamente P, casos en los que debe pararse el toldo. En resumen, el pulsador P para el toldo y cambia el sentido de movimiento.

Se pide:

Obtener la matriz de fases del automatismo correspondiente, suponiendo que el motor puede estar parado (MP), subiendo (MS) o bajando (MB).

Problema III.3

Se desea controlar de forma automática el funcionamiento de un semáforo de peatones que dispone de un botón (P) para que los peatones soliciten cruzar. El esquema de funcionamiento es el siguiente:

(39)

• El sem´aforo cambia de rojo (R) a verde (V), y de verde a rojo cada minuto.

• Si el semáforo está en rojo y el peatón pulsa el botón de solicitud de cruce, el semáforo debe cambiar a verde, teniendo en cuenta lo siguiente: si el semáforo lleva más de 30 segundos en rojo, el cambio se realizará de forma inmediata, pero si lleva menos de 30 segundos deberá esperar otros 30 segundos para realizar el cambio.

Se pide:

Dise˜nar una red de petri que permita controlar el proceso.

NOTAS:

• El sem´aforo estar´a inicialmente en rojo.

• El peatón sólo puede cruzar cuando el semáforo está en verde.

• Se dispone de un ´unico temporizador de 30 segundos.

• No es necesario soltar el bot´on P para que se realice la conmutaci´on

Problema III.4

Se desea automatizar el elevalunas el´ectrico de un coche. Para ello se dispone de un motor para subir y bajar la ventanilla, de dos sensores (VS y VB) que indican respectivamente cuando la ventanilla est´a completamente subida o bajada y de un pulsador (P) que va a servir para controlar la subida y bajada de la ventanilla.

El funcionamiento que se desea es el siguiente:

Suponemos la ventanilla inicialmente subida.

Si se pulsa el pulsador P, empezará a bajar hasta que llegue al final o hasta que se suelte P, momento en el que debe pararse la ventanilla. Si una vez parada se vuelve a pulsar P, la ventanilla deberá empezar a moverse hacia arriba hasta que vuelva a llegar a la posición superior o se suelte nuevamente P, casos en los que debe pararse. En resumen, el pulsador P para la ventanilla y cambia el sentido de movimiento.

Se pide:

Obtener la matriz de fases del automatismo correspondiente, suponiendo que el motor puede estar parado (MP), subiendo (MS) o bajando (MB).

(40)

Problema III.5

Se desea controlar de forma autom´atica la entrada y salida de productos en un almac´en, utilizando cintas transportadoras y un robot (para desplazar los productos de una cinta a otra), como se muestra en la figura III.5.a.

Figura III.5.a:

El número máximo de piezas que puede haber en el almacén es de 100. Asimismo es necesario controlar que el almacén esté vac´ıo o que esté lleno. El funcionamiento del almacén es como sigue:

• Cuando se desea almacenar una pieza, el operario la coloca sobre la cinta de entrada y pulsa el botón de entrada (PE). En ese momento la pieza debe ser transportada sobre la cinta (CE) hasta llegar al final de la misma (SE). Si el almacén está lleno, la pieza permanecerá en dicha posición hasta que se saque alguna pieza del mismo.

Cuando haya sitio, el robot deber´a recogerla y depositarla en la cinta auxiliar 2.

Para ello, será necesario activar la señal RE, de modo que el robot se acerque a la posición de entrada, y esperar 30 segundos para que el robot complete el movimiento.

• Del mismo modo, cuando se desee sacar una pieza se pulsar´a el bot´on de salida (PS).

Si no hay piezas, la petición será ignorada. En caso contrario la pieza se desplazará sobre la cinta de salida hasta la posición SS y esperará all´ı para ser trasladada por el robot a la cinta auxiliar 1. Para dicho traslado será necesario activar la señal RS y esperar 30 segundos para completar el movimiento.

Se pide:

Dise˜nar una red de petri que permita controlar el proceso.

NOTAS IMPORTANTES:

(41)

• Se dispone de un contador de 100 piezas con dos entradas (IC, DC, para incrementar/decrementar el contador) y dos salidas (C100, C0, que valen 1 cuando el contador vale 100 y 0, respectivamente).

• Es necesario incrementar/decrementar el contador cuando se finalice el proceso de entrada/salida de piezas.

• La cinta de entrada se pone en marcha/paro con la se˜nal (CE), y la de salida con (CS).

• Las cintas auxiliares est´an siempre en funcionamiento. ” Se dispone de un temporizador de 30 segundos.

• El robot sólo puede atender una petición a la vez, por lo que no se deben activar simultáneamente las señales RE y RS.

• Se dar´a prioridad a la salida de piezas frente a la llegada.

Problema III.6

Para describir el comportamiento de un sistema de gestión de alarma ante intruso en una habitación se utilizó la matriz de fase de la figura III.6.a, donde M activa el sistema de alarma (si M pasa a ”0” no se desactiva), P lo desactiva, D es un detector de movimiento dentro de la habitación, S es un indicador de sistema de alarma activo o no y A es la señal que enciende el altavoz de alarma (que ha de sonar cuando se active D) o lo apaga

A S AUTÓMATA

GESTOR

SISTEMA DE ALARMA

DETECTOR DE MOVIMIENTO D

M P

+ -

Figura III.6.a:

a) Descubra 4 errores en la matriz de la figura III.6.b indicando la soluci´on correcta.

b) Rellene los huecos libres.