Wavelets techniques applied in solving systems of equations linear from the numerical solution of equations differentials simulation of oil wells

(1)

Técnicas wavelets aplicadas en la solución de sistemas de ecuaciones lineales provenientes de la solución numérica de ecuaciones

diferenciales en simulaci´on de pozos petroleros

Enrique Flores

^∗

, Edwin Vargas, Demetrio Rey

Instituto de Matemática y Cálculo Aplicado, Facultad de Ingenier´ıa, Universidad de Carabobo, Bárbula, Venezuela

Resumen.-

El presente trabajo presenta el uso de técnicas wavelets en conjunto con métodos iterativos en la solución numérica de ecuaciones diferenciales que surgen del uso de métodos impl´ıcitos de diferencias finitas de orden superior, en el caso de una ecuación diferencial en derivadas parciales que representa un modelo de simulación en la industria petrolera. Se determinan el sistema de ecuaciones lineales proveniente del uso de diferencias finitas de orden superior para dos casos distintos del mismo modelo de simulación, y se realiza la transformación de dicho sistema a la base wavelet empleando la familia daubechies con distinta cantidad de coeficientes. Se determina la solución exacta del sistema original, la solución del sistema original y la solución del sistema transformado a la base wavelet empleando el método iterativo BiCGSTAB sin precondicionamiento, midiendo en cada caso la cantidad de iteraciones para la convergencia y el error relativo en el cálculo de la solución aproximada. Se obtiene como resultado en los casos estudiados que la cantidad de iteraciones es similar para las distintas cantidades de coeficientes empleados, y que el error relativo var´ıa dependiendo de la cantidad de coeficientes empleados.

Palabras clave: Diferencias finitas, m´etodo iterativo, wavelets,

Wavelets techniques applied in solving systems of equations linear from the numerical solution of equations di fferentials simulation of oil wells

Abstract.-

This paper presents the use of wavelet techniques in conjunction with iterative methods in the numerical solution that arise from the use of implicit finite di fference methods of higher order differential equations in the case of a di fferential equation in partial derivatives representing a simulation model in the oil industry. The system of linear equations are determined from the use of finite difference higher order for two different cases of the same simulation model, and the transformation of that is done wavelet based system employing daubechies family with di fferent number of coe fficients. It is determined the exact solution of the original system, the solution of the original system and the transformed system solution using wavelet based BiCGSTAB iterative method without preconditioning, measuring in each case the number of iterations for convergence and the relative error in the calculation of the approximate solution. We obtained as a result in the case studies that the number of iterations is similar for the different amounts of coefficients used, and that the error varies depending on the number of coefficients used.

Keywords: Finite Di fferences, iterative method, wavelets, Recibido: Junio 2014

Aceptado: Julio 2014

∗

Autor para correspondencia

Correo-e: [email protected] (Enrique Flores )

1. Introducci´on.

La soluci´on num´erica de problemas con aplica-

ci´on real, los cu´ales en diversos casos son modela-

dos a trav´es de ecuaciones diferenciales, conduce a

(2)

modelos matemáticos cada vez más complejos. En el caso de la resolución de problemas de valores en la frontera, el uso de esquemas impl´ıcitos en los métodos de diferencias finitas de orden superior lleva a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales de la forma:

Ax = b , A ∈ R

^n×n

, x ∈ R

^n×1

, b ∈ R

^n×1

(1) sistemas que en forma general son de grandes dimensiones y con posibilidad de matriz A densa. Trabajos previos [1] indican que es usual adoptar técnicas iterativas para la resolu- ción computacional eficiente y robusta de dichos sistemas; por ejemplo, el uso de subespacios de Krylov acompañadas de un precondicionamiento efectivo; donde se puede alcanzar gran velocidad de convergencia, manteniendo pequeño el número de iteraciones.

Investigaciones previas [2] plantean que un sistema tal como el descrito por la Ecuaci´on (1) puede transformarse a un sistema de la forma:

A ˆ ˆx = ˆb (2)

donde:

A ˆ = WAW

^T

ˆx = Wx ˆb = Wb

Obtenida la solución del sistema descrito por la Ecuación (2) la solución ˆx del sistema descrito por la Ecuación (1) se obtiene mediante:

x = W

^T

ˆx

El procedimiento descrito se puede emplear solo para sistemas cuyo tama˜no sea n = q · 2

^k

, para alg´un entero k > 0.

En el mismo orden de ideas, otros trabajos [3]

indican que las tecnicas wavelets tienen aplicabi- lidad en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales que surgen de la solución numérica de problemas de valores en la frontera mediante el uso de métodos miméticos, métodos que guardan cierta similitud en sus esquemas numéricos con

los métodos en diferencias finitas tradicionales en virtud que se puede lograr una reducción en el número de iteraciones necesarias para la obtención de soluciones aproximadas en dichos sistemas, a expensas de un incremento del error relativo en la aproximación de dicha solución al emplear como métodos iterativos.

Por otra parte, trabajos sobre simulación en yacimientos petroleros [4], proponen el uso de métodos expl´ıcitos en diferencias finitas de orden superior en la aproximación numérica de la solución numérica de la ecuación de convección- difusión, en el caso particular de un modelo de simulación en la industria petrolera, quedando abierto realizar la aproximación numérica usando métodos impl´ıcitos de diferencias finitas de orden superior.

En virtud de los resultados obtenidos en las investigaciones referidas en ésta introducción, el presente trabajo propone realizar un estudio del uso de técnicas wavelets en la resolución, mediante métodos iterativos, de los sistemas de ecuaciones lineales que surgen en la aproximación numérica de la solución de la ecuación de convección- difusión, en el caso particular de un modelo de simulación en la industria petrolera.

2. Fundamentaci´on te´orica.

2.1. Ecuación de convección-difusión.

La Ecuación de convección-difusión unidimensional (3), es una ecuación diferencial en derivadas parciales de la forma

φ ∂C (x, t)

∂t = D ∂

²

C (x, t)

∂x

²

− u ∂C (x, t)

∂x (3)

donde φ es la porosidad, C(x, t) es la concentra-

ci´on normalizada, D es el coeficiente difusivo,

u es la velocidad de flujo (coeficiente convectivo),

x es la posici´on, t es el tiempo [5]. La relaci´on

entre los coeficientes difusivo y convectivo le

otorga al problema un car´acter desde el punto de

vista f´ısico [6] ; para D peque˜no el problema se

considera fundamentalmente convectivo, mientras

que para D grande el problema se considera

fundamentalmente difusivo.

(3)

La ecuación de convección-difusión exhibe muchas de las caracter´ısticas de ecuaciones de simulación de yacimientos de petróleo: C(x, t) puede ser la función de presión y la función de saturación, y la constante D =

_µ^k

puede representar la transmisibilidad en el reservorio, donde k es la permeabilidad y µ es la viscosidad del fluido [5].

2.2. M´etodos impl´ıcitos de diferencias finitas.

El método de diferencias finitas consiste en convertir una función de valores continuos en una función de valores discretos, mediante el reemplazo del dominio continuo donde se desea determinar la solución de la ecuación diferencial por un conjunto de puntos discretos (mallado), y las derivadas en la ecuación diferencial son reemplazadas por operadores discretos que surgen del truncamiento de la serie de Taylor en el punto donde se desea hacer la aproximación [7] .

En el caso de la ecuación de convección- difusión unidimensional objeto de éste trabajo (3), si la discretización se hace de la siguiente forma:

φ C

ⁿ_i⁺¹

− C

ⁿ_i

4t

= D C

_i−1ⁿ

− 2C

ⁿ_i

+ C

ⁿ_i₊₁

4x

²

− u C

ⁿ_i

− C

ⁿ_i−1

4x donde: C

_iⁿ

= C(x, t)

C

ⁿ_i⁺¹

= C(x, t + 4t) C

ⁿ_i−1

= C(x − 4x, t) C

ⁿ_i₊₁

= C(x + 4x, t)

se afirma que el la formulaci´on en diferencias finitas es expl´ıcita; mientras que si la discretizaci´on se hace de la siguiente forma:

φ C

ⁿ_i⁺¹

− C

_iⁿ

4t = D C

ⁿ_i−1⁺¹

− 2C

ⁿ_i⁺¹

+ C

ⁿ_i₊₁⁺¹

4x

²

− u C

ⁿ_i⁺¹

− C

ⁿ_i−1⁺¹

4x ,

donde: C

_i−1ⁿ⁺¹

= C(x − 4x, t + 4t) C

ⁿ_i₊₁⁺¹

= C(x + 4x, t + 4t)

se afirma que el la formulaci´on en diferencias

finitas es impl´ıcita. En forma general, los métodos expl´ıcitos tienen una cota superior en el valor de 4t para estabilidad numérica, y requieren disminuir 4t a medida que 4x disminuye; mientras que los métodos impl´ıcitos son siempre estables, independiente del valor de 4t [8]. Los métodos impl´ıcitos conducen a un sistema de ecuaciones de la forma:

Ax = b , A ∈ R

^n×n

, x ∈ R

^n×1

, b ∈ R

^n×1

2.3. La transformada wavelet y su aplicaci´on

en la soluci´on de sistemas de ecuaciones lineales.

La transformada wavelet es una herramienta que divide datos en diferentes componentes de frecuencia y luego estudia cada componente en resoluciones que se ajustan a su escala. La aplicación de la transformada wavelet a una serie de datos numéricos se puede hacer a través de un algoritmo basado en un banco de filtros que permite obtener la transformada wavelet, a partir de los datos de interés; dicho algoritmo se conoce como la transformada wavelet discreta (DWT por sus siglas en inglés) [2].

Determinar la transformada discreta wavelet (DWT) de un vector v de n elementos consiste en obtener un vector transformado que tiene en una mitad, conocida como parte alta, la misma información de alta frecuencia que el vector original y en otra mitad, conocida como parte baja, la información de baja frecuencia. La información de baja frecuencia se obtiene aplicando un filtro G, denominado pasa-bajo, determinado por los coeficientes {g

i

}

_i^L₌₁

, convolucion´andolo con los datos; similarmente para obtener la informaci´on de alta frecuencia se aplica un filtro de alta frecuencia H, denominado pasa-alto, {h

i

}

_i^L₌₁

. La representaci´on matricial de los filtros H y G se muestra a continuaci´on:

H =



 

 

h

1

h

2

· · · h

_L

0 0 · · · · 0 0 0 h

₁

h

₂

· · · h

_L

0 · · · · 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

h

3

h

4

· · · h

_L

0 · · · · 0 h

1

h

2



 

 

n 2×n

G =



 

 

g

1

g

2

· · · g

L

0 0 · · · · 0 0 0 g

1

g

2

· · · g

L

0 · · · · 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

g

3

g

4

· · · g

L

0 · · · · 0 g

1

g

2



 

 

n 2×n

(4)

La matriz de transformaci´on wavelet se define como:

W = H G

!

n×n

(4) Y la DWT aplicada al vector v de n elementos se determina a trav´es de:

Wv = Hv Gv

!

=



 

  d

₁

...

d

_n/2

s

₁

...

s

n/2



 

 

Es de resaltar que la matriz de transformaci´on wavelet W es una matriz ortogonal, lo que garantiza que W

⁻¹

= W

^T

.

Mediante el uso de la matriz de transformaci´on wavelet, un sistema de ecuaciones lineales de la forma:

Ax = b (5)

puede transformarse a un sistema de la forma:

A ˆ ˆx = ˆb donde:

A ˆ = WAW

^T

ˆx = Wx

ˆb = Wb (6)

Obtenida la soluci´on el sistema descrito por la (6) la soluci´on ˆx del sistema descrito por la (5) se obtiene mediante:

x = W

^T

ˆx

El procedimiento descrito se puede emplear solo para sistemas cuyo tama˜no sea n = q · 2

^k

, para alg´un entero k > 0.

2.4. M´etodos iterativos.

La idea detrás de los métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales es re- emplazar el sistema dado por otro sistema que puede ser resuelto con mayor facilidad; es decir, en lugar de resolver Ax = b se resuelve un sistema más simple K x

0

= b y tomar x

0

como una aproximaci´on para x [9].

Los métodos iterativos pueden dividirse en dos tipos: los métodos clásicos y los métodos de proyección [10]. Dentro de los métodos clásicos pueden nombrarse la iteración de Jacobi, la iteración de Gauss-Seidel, y el método SOR.

éstos métodos son de concepción relativamente simple; sin embargo, son útiles en una clase restringida de problemas matriciales [11]. Los métodos de proyección consisten en extraer las soluciones aproximadas a partir de un subespacio previamente establecido. Dentro de los métodos de proyección, se encuentran los basados en subespacios de Krylov, que se consideran como una de las técnicas iterativas más importantes para la resolución de grandes sistemas lineales [12].

En el presente trabajo, se empleará como método iterativo el método BiCGSTAB sin precondicionamiento, método que está basado en subespacios de Krylov.

3. Experimentaci´on.

Se determinó el esquema numérico proveniente del uso de métodos impl´ıcitos de diferencias finitas de orden 2, partiendo de las formulación propuesta por Guo y Wang [4]:

φ ^∂C _∂t = α 1 ∂C

∂x + α 2 ∂

²

C

∂x

²

+ α 3 ∂

³

C

∂x

³

+ α 4 ∂

³

C

∂x

³

(7) donde: α

₁

= −u

α

₂

= D −

^φu4x−u_2φ²^4t

α

₃

= −

^uD4t_φ

α

4

=

^D_2φ²^4t

La formulaci´on impl´ıcita en diferencias finitas de la Ecuaci´on (7) es:

C

_iⁿ⁺¹

− C

_iⁿ

= α

1

4t

φ4x C

₁^∗

+ α

2

4t φ4x

²

C

^∗₂

+ α

3

4t

φ4x

³

C

^∗₃

+ α

4

4t

φ4x

⁴

C

₄^∗

(5)

donde:

C

^∗₁

= C

ⁿi⁺¹

− C

ⁿ_i−1⁺¹

C

^∗₂

= C

ⁿ_i⁺¹

− 2C

ⁿ_i⁺¹

+ C

ⁿ_i−1⁺¹

C

^∗₃

= C

ⁿ_i⁺¹

− 3C

ⁿ_i⁺¹

+ 3C

ⁿ_i−1⁺¹

− C

ⁿ_i−2⁺¹

C

^∗₄

= C

ⁿ_i₊₂⁺¹

− 4C

ⁿ_i₊₁⁺¹

+ 6C

ⁿi⁺¹

− 4C

ⁿ_i−1⁺¹

+ C

ⁿ_i−2⁺¹

la cual puede reescribirse como:

k

1

C

ⁿ_i−2⁺¹

+ k

2

C

ⁿ_i−1⁺¹

+ k

3

C

_iⁿ⁺¹

+k

4

C

_iⁿ₊₁⁺¹

+ k

5

C

_iⁿ₊₂⁺¹

= k

6

C

ⁿ_i

(8) donde:

k

₁

=

_φ4x^α⁴^4t4

−

_φ4x^α³^4t₃

k

₂

= −4

_φ4x^α⁴^4t4

+ 3

_φ4x^α³^4t3

+

_φ4x^α²^4t2

−

^α_φ4x¹^4t

k

3

= 6

_φ4x^α⁴^4t4

− 3

_φ4x^α³^4t3

− 2

_φ4x^α²^4t2

+

^α_φ4x¹^4t

− 1 k

4

= −4

_φ4x^α⁴^4t⁴

+

_φ4x^α³^4t³

+

_φ4x^α²^4t²

k

₅

= 4

_φ4x^α⁴^4t4

k

₆

= −1

La Ecuación (8) define el esquema numérico en diferencias finitas de orden 2 obtenido a partir de métodos impl´ıcitos, para 3 ≤ i ≤ N + 2, 2 ≤ n ≤ N + 1 ; siendo N el tamaño del sistema de ecuaciones a resolver. Las condiciones iniciales y en la frontera son de tipo Dirichlet, establecidas por Peaceman [5] , las cuáles se indican a continuación:

C(x, 0) = 0, x > 0 C(0, t) = 1, C(∞, t) = 0, t > 0

En los nodos ubicados en la frontera (i = 3, i = N+2), se agregar´an nodos fantasmas siguiendo lo propuesto por Causon y Mingham [7], que consiste en asignar los valores en la frontera a los nodos fantasmas inmediatos.

La representación de los elementos no nulos del esquema numérico en diferencias finitas de orden 2 obtenido a partir de métodos impl´ıcitos para el caso N = 64, se muestra en la Figura 1:

Se realizó la resolución de los esquemas numéri- cos de orden 2, para dos grupos de valores de los parámetros en dichos esquemas, tomados del trabajo de Guo y Wang [4]:

1. Caso 1: L = 1000; φ = 0,30; u = 0,05;

D = 0,1; 4x = 10; 4t = 42.

2. Caso 2: L = 1000; φ = 0,30; u = 1; D = 0,1;

4x = 10; 4t = 1,5.

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

Figura 1: Elementos no nulos en el esquema num´erico en diferencias finitas de orden 2 obtenido a partir de m´etodos impl´ıcitos

Transformado el sistema Ax = b al sistema A ˆ ˆx = ˆb (sistema en la base wavelet con:

A ˆ = WAW

^T

, ˆx = Wx, ˆb = Wb; y siendo W:

matriz de transformación wavelet definida por la Ecuación (4)) la solución aproximada del sistema original partiendo de su cálculo en la base wavelet se obtiene mediante:

x = W

^T

ˆx

La generación de los esquemas numéricos con sus respectivas condiciones de borde, la generación de la matriz de transformación wavelet, y la transformación del esquema original a la base wavelet fue implementada computacionalmente en el lenguaje de programación Octave, el cual es software libre, y cuya sintáxis es equivalente a la empleada por el software comercial MATLAB ®.

La soluci´on exacta se obtiene mediante la instruc- ci´on de Octave:

x = A\b

Se emple´o en todos los experimentos la familia wavelet daubechies.

En cada caso se hicieron varió el tamaño del sistema: N = 16 , 64 , 256, y se varió la cantidad de coeficientes: 4 , 6 , 8 y 12 coeficientes.

En cada caso se determin´o la soluci´on exacta del

sistema original, la soluci´on del sistema original

con los m´etodos iterativos indicados y la soluci´on

del del sistema transformado a la base wavelet

(6)

con los m´etodos iterativos indicados, realizando la medici´on de las siguientes variables:

N´umero de iteraciones para lograr la convergencia.

Error relativo en la aproximaci´on de la soluci´on.

4. Resultados Obtenidos Caso 1

Los resultados obtenidos se observan en las Figuras 2 y 3, que se muestran a continuaci´on, donde puede observarse que la cantidad de iteraciones no presenta una diferencia significativa al variar la cantidad de coeficientes de la familia wavelet, mientras que los errores relativos si var´ıan significativamente al variar la cantidad de coeficientes de la familia wavelet.

5 10 15 20 25 30

0 50 100 150 200 250 300

Iteraciones

n sistema original

4 coeficientes 6 coeficientes 8 coeficientes 12 coeficientes

Figura 2: Caso 1 orden 2 Iteraciones Daubechies- BiCGSTAB sin precondicionamiento

Caso 2

Los resultados obtenidos se observan en las Figuras 4 y 5, que se muestran a continuaci´on, donde puede observarse que la cantidad de iteraciones no presenta una diferencia significativa al variar la cantidad de coeficientes de la familia wavelet, mientras que los errores relativos si var´ıan significativamente al variar la cantidad de

-5.2 -5.1 -5 -4.9 -4.8 -4.7 -4.6 -4.5

0 50 100 150 200 250 300

Log(error relativo)

n

sistema original 4 coeficientes 6 coeficientes 8 coeficientes 12 coeficientes

Figura 3: Caso 1 orden 2 Error relativo Daubechies- BiCGSTAB sin precondicionamiento

coeficientes de la familia wavelet. En éste caso, la tendencia es hacia la reducción del error relativo a medida que aumenta el tamaño del sistema.

5 10 15 20 25 30

0 50 100 150 200 250 300

Iteraciones

n sistema original

4 coeficientes 6 coeficientes 8 coeficientes 12 coeficientes

Figura 4: Caso 2 orden 2 Iteraciones Daubechies- BiCGSTAB sin precondicionamiento

5. Conclusiones.

En los experimentos realizados se pudo observar

que la cantidad de iteraciones es similar para las

distintas cantidades de coeficientes empleados, y

que la cantidad de iteraciones aumenta con el

tama˜no del sistema. El error relativo var´ıa depen-

diendo de la cantidad de coeficientes empleados,

(7)

-5.2 -5 -4.8 -4.6 -4.4 -4.2

0 50 100 150 200 250 300

Log(error relativo)

n

sistema original 4 coeficientes 6 coeficientes 8 coeficientes 12 coeficientes

Figura 5: Caso 2 orden 2 Error relativo Daubechies- BiCGSTAB sin precondicionamiento

mostrándose que en el caso donde predomina el término convectivo (Caso 2), la tendencia es a la reducción del error relativo a medida que aumenta el tamaño del sistema.

Referencias

[1] L. Villar´ın, A. L. Mec´ıas, M. L. Romañach, and Y. L. Zaila. Gmres precondicionado con wavelets, un algoritmo de selección del umbral para la obtención del patrón de dispersión. Revista Investigación Operacional, 33(3):222 – 232, 2005.

[2] L. Acevedo. Computaci´on paralela de la transformada wavelet. Aplicaciones de la Transformada wavelet al

álgebra lineal numérica. Tesis doctoral, Universidad Politécnica de Valencia, Valencia, España, 2009.

[3] E. Flores, E. Vargas, and D. Rey. Aplicación de técnicas wavelets en los sistemas de ecuaciones lineales resultantes de la aproximación numérica de solución de ecuaciones diferenciales usando discretizaciones miméticas. In Avances en simulación numérica y modelado computacional, SVMNI. XI Congreso Internacional de Métodos Numéricos en Ingenier´ıa y Ciencias Aplicadas CIMENICS 2012, Isla de Margarita, Venezuela, marzo 2012. CIMENICS, SVMNI.

[4] B. Guo and X. Wang. Testing of new high-order finite di fference methods for solving the convection-diffusion equation. E-journal of Reservoir Engineering, 1(1):1–

14, 2005.

[5] D. W. Peaceman. Fundamentals of numerical reservoir simulation. Elsevier, 2000.

[6] F. Hern´andez. Estudio de los sistemas lineales dispersos provenientes de discretizaciones mim´eticas,

caso: Operador de convecci´on-difusi´on. Trabajo de grado de maestr´ıa, ´ Area de estudios de posgrado, Facultad de Ingenier´ıa, Universidad de Carabobo, Valencia, Venezuela, 2005.

[7] D. M. Causon and C. G. Mingham. Introductory Finite Difference Methods for PDEs. Ventus Publishing ApS, Bookboon, 2010.

[8] S. Nakamura. Métodos numéricos aplicados con software. Prentice-Hall Hispanoamericana, México, 1ra edition, 1992.

[9] H. A. Van der Vorst. Iterative Krylov methods for large linear systems, volume 13. Cambridge University Press, 2003.

[10] G. Larrazábal. Técnicas algebraicas de precondicionamiento para la resolución de sistemas lineales.

Tesis doctoral, Universidad Polit´ecnica de Valencia, Valencia, Espa˜na, 2002.

[11] K. Chen. Matrix preconditioning techniques and applications. Number 19. Cambridge University Press, 2005.

[12] Y. Saad. Iterative methods for sparse linear systems.

SIAM, 2003.