Extensi´ on de medidas
Problemas para examen
Semianillos de conjuntos
1. Escriba la definici´on de semianillo de conjuntos.
2. Convenio: el conjunto vac´ıo pertenece a cualquier semianillo. En los siguientes problemas se supone que la condici´on ∅ ∈ S est´a incluida en la definici´on de semianillo de conjuntos. Algunos autores no la incluyen.
3. Semianillo de los conjuntos unipuntuales de un conjunto. Sea X un conjunto.
Denotemos porS al conjunto que consiste en el conjunto vac´ıo y en todos los subconjuntos unipuntuales de X:
S = {∅} ∪ {x}: x ∈ X . Demuestre que S es un semianillo de conjuntos.
4. F´ormulas para la intersecci´on y la diferencia de dos intervalos semiabiertos.
Sean a, b, c, d ∈ R.
I. Encuentre una f´ormula general para [a, b) ∩ [c, d). Sugerencia: usar max y min.
II. Suponiendo que c < d represente R \ [c, d) como una uni´on de dos intervalos.
III. Suponiendo que c < d encuentre una f´ormula para [a, b) \ [c, d).
Recordamos que para cualesquiera a, b ∈ R el conjunto [a, b) se define como {x ∈ R : (a ≤ x) ∧ (x < b)}.
5. Semianillo de los intervalos semiabiertos del eje real. Muestre que los intervalos [a, b), donde a, b ∈ R, forman un semianillo sobre R. Sugerencia: use las f´ormulas del problema anterior.
6. Teorema (el producto de dos semianillos es un semianillo). Sean X, Y algunos conjuntos, S1 un semanillo sobre X yS2 un semianillo sobre Y . Definimos
S1×S2 :=A × B : A ∈S1, B ∈ S2
Muestre queS1×S2 es un semianillo sobre X × Y .
7. Intersecci´on de dos semianillos no necesariamente es semianillo. Construya dos semianillosS1 yS2 sobre un conjunto X tales que su intersecci´onS1∩S2no sea semianillo.
Indicaci´on: puede construir S1 y S2 sobre un conjunto de tres elementos: X = {0, 1, 2}.
Anillos de conjuntos
8. Demuestre que la operaci´on 4 es asociativa y conmutativa. ¿Cu´al es el conjunto neutro para esta operaci´on? Dado un conjunto A, encuentre un conjunto B tal que A 4 B = ∅s.
9. Demuestre que la operaci´on ∩ es asociativa y conmutativa.
10. Demuestre la ley distributiva entre 4 y ∩:
(A 4 B) ∩ C = (A ∩ C) 4 (B ∩ C).
11. Definici´on del anillo de conjuntos a trav´es de 4 y ∩. Escriba la definici´on de anillo de conjuntos en t´erminos de las operaciones 4 y ∩. Notemos que en la definici´on de un anillo de conjuntos no se trata de dos operaciones binarias arbitrarias, como en ´algebra moderna. Se trata de dos operaciones muy espec´ıficas. Notemos que las operaciones 4 y ∩ tienen propiedades buenas, y no hay necesidad de pedir estas propiedades en la definici´on del anillo de conjuntos. Por lo tanto, en la definici´on del anillo de conjuntos se pide solamente que la colecci´on sea cerrada bajo 4 y ∩, y que el conjunto vac´ıo sea un elemento de la colecci´on.
12. Escriba la definici´on de ´algebra de conjuntos sobre un conjunto X.
13. Conjunto-potencia es un ´algebra de conjuntos. Demuestre que 2X es un ´algebra de conjuntos sobre X.
14. Exprese algunas operaciones con conjuntos a trav´es de otras:
4 en t´erminos de ∪ y \.
∩ en t´erminos de \.
\ en t´erminos de 4.
∪ en t´erminos de 4 y ∩.
15. Sea A ⊆ 2X tal que ∅ ∈ A. Demuestre que A es un anillo de conjuntos si, y solo si, A es cerrado bajo ∪ y \.
16. Colecciones de conjuntos, cerradas bajo algunas operaciones y no cerra- das bajo otras. Construir un conjunto X y una colecci´on A ⊆ 2X con las siguientes propiedades:
(a) ∅ ∈ A,
(b) A es cerrada bajo ∪, (c) A es cerrada bajo 4,
(d) A no es cerrada bajo \.
Este ejemplo muestra que las condiciones (a), (b), (c) no definen un anillo de conjuntos.
17. Colecciones de conjuntos, cerradas bajo algunas operaciones y no cerra- das bajo otras. Construir un conjunto X y una colecci´on A ⊆ 2X con las siguientes propiedades:
(a) ∅ ∈ A,
(b) A es cerrada bajo ∩, (c) A es cerrada bajo \, (d) A no es cerrada bajo ∪.
Este ejemplo muestra que las condiciones (a), (b), (c) no definen un anillo de conjuntos.
18. Cualquier anillo de conjuntos es un semianillo de conjuntos. SeaA un anillo sobre un conjunto X. Demuestre que A es un semianillo sobre X.
19. Intersecci´on de anillos es un anillo. Sea A un conjunto de anillos sobre un conjunto X. Demuestre que el conjunto
B := Y ⊆ X : ∀A ∈ A Y ∈ A es un anillo sobre X.
20. Anillo generado por un conjunto. Sean X un conjunto y C ⊆ 2X. Escriba la definici´on del anillo generado por C.
21. Teorema (descripci´on del anillo generado por un semianillo). Sea S un se- mianillo sobre un conjunto X. Denotemos porA al conjunto de todas las uniones finitas disjuntas de elementos de S:
A :=
A ⊆ X : ∃m ∈ {1, 2, . . .} ∃P1, . . . , Pm ∈S disjuntos, A =
m
[
i=1
Pi
.
Demuestre que A es el anillo generado por S.
22. Anillo generado por los subconjuntos unipuntuales de un conjunto. Sea X un conjunto. Denotemos por S al conjunto que consiste en el conjunto vac´ıo y en todos los subconjuntos unipuntuales de X:
S = {∅} ∪ {x}: x ∈ X .
Se sabe que S es un semianillo. Describa el anillo generado por S.
Premedidas
23. Escriba la definici´on de premedida.
24. Toda premedida es finitamente aditiva. Demuestre que toda premedida cumple con la propiedad finitamente aditiva.
En los siguientes cuatro problemas denotamos por S al conjunto de los intervalos semi- abiertos (de la forma [a, b) con a ≤ b) y por µ a la longitud: µ([a, b)) = b − a. Vamos a demostrar que µ es una premedida sobreS.
25. Lema. Sean P1, . . . , Pn, Q ∈ S tales que P1, . . . , Pn son disjuntos a pares y Pk ⊆ Q para cada k. Demuestre que
n
X
k=1
µ(Pk) ≤ µ(Q).
26. Lema. Sean c, d ∈ R tales que c < d, y sea A un conjunto finito de intervalos abiertos acotados en R tal que
[c, d] ⊆ [
A∈A
A.
Demuestre que
d − c < X
A∈A
(sup(A) − inf(A)).
Sugerencia: utilice el teorema de Heine–Borel de la compacidad de intervalos cerrados acotados en R.
27. Lema. Sea (Pk)k∈N una sucesi´on en S y sea Q un elemento de S tales que
Q ⊆
∞
[
k=1
Pk.
Entonces
µ(Q) ≤
∞
X
k=1
µ(Pk).
28. Teorema. Sea S el conjunto de los intervalos semiabiertos del eje real:
S := [a, b): a, b ∈ R, a ≤ b .
Definimos la funci´on µ : S → [0, +∞] mediante la regla µ([a, b)) = b − a, para cualesquier a, b ∈ R tales que a ≤ b. Demuestre que µ es una premedida usando los tres lemas anteriores.
29. Teorema de la extensi´on de una premedida de un semianillo al anillo ge- nerado. Enuncie el teorema. La demostraci´on se divide en las siguientes partes:
Unicidad.
Definici´on de la premedida µ en el anillo y justificaci´on de la definici´on.
Verificaci´on de los axiomas de premedida para la funci´on µ.
Clases mon´ otonas de conjuntos
30. Escriba la definici´on de clase mon´otona de conjuntos.
Los siguientes ejercicios de clases mon´otonas no se incluyen en el examen.
31. Demuestre que la intersecci´on de un conjunto de clases mon´otonas es una clase mon´otona.
32. Teorema. SeaS un anillo de conjuntos. Demuestre que la clase mon´otona M generada por S es un σ-anillo de conjuntos. En particular, si S es una ´algebra de conjuntos sobre X, entoncesM es una σ-´algebra sobre X.
33. Corolario (descripci´on del σ-anillo generado a trav´es de la clase mon´otona generada). SeaS un semianillo de conjuntos sobre X. Denotemos por A al anillo generado por S y por M a la clase mon´otona generada por A. Demuestre que M es el σ-anillo generado por S. En particular, si S es una semi´algebra sobre X, entonces M es una σ-
´
algebra sobre X.
Medidas exteriores
34. Escribir la definici´on de medida exterior sobre un conjunto X.
35. Ejemplo. Sea X un conjunto. Definimos ϕ : 2X → [0, +∞] mediante las siguientes reglas:
ϕ(∅) = 0.
ϕ(A) = 1, si A es un subconjunto unipuntual de X.
ϕ(A) =√
3, si A ⊆ X y A tiene por lo menos dos elementos diferentes.
Demostrar que ϕ es una medida exterior sobre X.
36. Sea X = {1, 2}. Construir una medida exterior ϕ : 2X → [0, +∞] que no sea medida.
37. Demostrar que toda medida exterior es finitamente subaditiva.
38. Criterio de medida exterior. Muestre que dos condiciones en la definici´on de medida exterior se pueden sustituir por una sola condici´on.
39. Teorema de la medida exterior generada por una premedida. Sean A un anillo de conjuntos sobre X y µ :A → [0, +∞] una premedida.
Escriba la definici´on de la medida exterior µ∗: 2X → [0, +∞] generada por µ.
Demuestre que efectivamente µ∗ es una medida exterior.
Demuestre que µ∗(A) = µ(A) para todo A ∈A.
Construcci´ on de Carath´ eodory:
σ-´ algebra y medida asociadas a una medida exterior
En los siguientes problemas se supone que ϕ : 2X → [0, +∞] es una medida exterior.
40. Escriba la definici´on de conjunto ϕ-medible (o Carath´eodory ϕ-medible).
Vamos a denotar el conjunto de los conjuntos ϕ-medibles por Cϕ. 41. Escriba la definici´on de medida completa.
42. Teorema de la σ-´algebra y medida asociadas a una medida exterior. Enuncie el teorema sobre Cϕ y la restricci´on de ϕ aCϕ.
43. Demuestre queCϕ es una ´algebra de conjuntos sobre X.
44. Sean A, B ∈Cϕ disjuntos y P ⊆ X. Demuestre que
ϕ(P ∩ (A ∪ B)) = ϕ(P ∩ A) + ϕ(P ∩ B).
45. Sean m ∈ {1, 2, 3, . . .}, A1, . . . , Am ∈Cϕ mutualmente disjuntos y P ⊆ X. Demuestre que
ϕ P ∩
m
[
j=1
Aj
!!
=
m
X
j=1
ϕ(P ∩ Aj).
46. Sea (An)n∈N una sucesi´on disjunta en Cϕ y sea B = [
n∈N
An.
Demuestre que B ∈Cϕ y
ϕ(B) =X
n∈N
ϕ(An).
47. Sean X un conjunto y A una ´algebra de conjuntos sobre X cerrada bajo uniones numerables disjuntas. Demuestre que A es una σ-´algebra sobre X.
De los lemas anteriores sigue que Cϕ es una σ-´algebra y la restricci´on ν de ϕ a Cϕ es una medida.
48. Demuestre que {A ⊆ X : ϕ(A) = 0 ⊂ Cϕ y que ν es completa.
49. Teorema de Carath´eodory de extensi´on de una premedida definida en un anillo a la σ-´algebra generada por este anillo. Enuncie y demuestre el teorema.
Medida de Lebesgue en R y sus propiedades
En esta secci´on denotamos por τ a la topolog´ıa en R. Sea S el semianillo de intervalos semiabiertos, definido en el Problema 5, y sea λ : S → [0, +∞] la premedida en S definida como la longitud de intervalos. Denotamos por λ∗ la medida exterior inducida por λ.
Definimos la σ-´algebra de Lebesgue F como la colecci´on de Carath´eodory Cλ∗ asociada a λ∗. Definimos la medida de Lebesgue µ como la restricci´on λ∗|F.
50. Explicar de manera m´as detallada c´omo se define la medida de Lebesgue en R usando la construcci´on de Carath´eodory.
51. Demostrar que si A ∈ τR y A 6= ∅, entonces µ(A) > 0.
52. Regularidad por arriba de la medida de Lebesgue. Sea Y ∈F. Demostrar que para cada ε > 0 existe un conjunto A ∈ τ tal que Y ⊆ A y
µ(A) < µ(Y ) + ε.
Como consecuencia,
µ(Y ) = infµ(A) : A ∈ τ, Y ⊆ A .
53. Es una versi´on m´as precisa del Problema 52. Sea Y ∈ F. Demostrar que para cada ε > 0 existe un conjunto A ∈ τ tal que Y ⊆ A y
µ(A \ Y ) < ε.
54. Regularidad por abajo de la medida de Lebesgue. Sea Y ∈F tal que µ(Y ) <
+∞. Demostrar que para cada ε > 0 existe un conjunto compacto C ⊆ Y tal que µ(Y \ C) < ε.
55. Invarianza bajo traslaciones de la medida de Lebesgue. Demuestre que para cualquier conjunto Lebesgue-medible Y ⊆ Rn y cualquier n´umero b ∈ Rn
µ(Y + b) = µ(A).
Existencia de un conjunto no Lebesgue-medible
56. Una variaci´on del ejemplo de Vitali. Explicar brevemente la definici´on del con- junto R/Q. Usando el axioma de elecci´on, elegimos un conjunto W ⊆ R tal que para cada C ∈ R/Q la intersecci´on W ∩ C es un conjunto unipuntual.
I. Demostrar que W es no numerable.
II. Demostrar que la colecci´on W + Q, esto es, {W + q : q ∈ Q} es una partici´on del conjunto R.
III. Demostrar que si W ∈F, entonces µ(W ) = +∞. Aqu´ı F es la σ-´algebra de Lebesgue y µ es la medida de Lebesgue. Se puede usar el hecho que µ es invariante bajo traslaciones.
Observaci´on. En realidad, W /∈ F, pero es dif´ıcil demostrarlo, y en este problema no se propone hacerlo. En la soluci´on del problema no est´a permitido usar las propiedades del conjunto de Vitali; la idea es trabajar directamente con el conjunto W de manera similar.
57. Ejemplo de Vitali. Estudiar el ejemplo de Vitali de conjunto no Lebesgue-medible.
Aproximaci´ on de funciones medibles por funciones continuas (tareas adicionales, no se incluyen en el examen)
58. Teorema de Luzin. Denotemos por F a la σ-´algebra de Lebesgue en el intervalo [α, β], donde α < β, y por µ a la medida de Lebesgue restringida a este intervalo. Sea f ∈M([α, β], F, µ, C) y sea η > 0. Demuestre que existe un conjunto cerrado K ⊂ [α, β]
tal que f |Y es continua y µ([α, β] \ K) < η.
59. Denotemos por F a la σ-´algebra de Lebesgue en el intervalo [α, β], donde α < β, y por µ a la medida de Lebesgue restringida a este intervalo. Sea f ∈ M([α, β], F, µ, C) y sea η > 0. Demuestre que existe una funci´on continua g ∈ C([α, β], C) tal que
sup
x∈[α,β]
|g(x)| ≤ kf k∞ y µ({x ∈ X : f (x) 6= g(x)}) < η.
Otras tareas adicionales
60. Encontrar un ejemplo de conjunto Lebesgue-medible, pero no Borel-medible. En otras palabras, hay que encontrar Y ⊆ R tal que Y ∈ F, pero Y /∈BR.
