Cálculo. Límites, Continuidad y Teoremas de continuidad 2

(1)

Departamento de Matemáticas

I.E.S. Virgen del Puerto - PLASENCIA

Curso 2016/17

J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites y continuidad Curso 2016/17 1 / 50

(2)

Índice

1 Introducción Introducción

Funciones convergentes

Ejemplo de cálculo con la definición Definición de límites laterales Definición de límite infinito Definición de límite en el infinito Límite infinitos en el infinito

2 Operaciones con límites Operaciones

3 Cálculo de límites

¿Y cómo calculamos límites?

Límites de funciones básicas Reglas básicas de cálculo Indeterminaciones k/0 Indeterminaciones ∞/∞

Indeterminaciones ∞ − ∞ Indeterminaciones 1^∞ Asíntotas

4 Continuidad Definición

Discontinuidad. Tipos

5 Teoremas de continuidad Teorema de Bolzano Ejemplo de aplicación

Teorema de Darboux y otras Proposiciones Teorema de Weierstrass

6 Problemas Propuestos

7 ¡No me cuentes historias!

Bolzano y Sonia Kovalevskaya

8 Complementos

Coordenadas paramétricas

(3)

Ir a Índice

1| Introdu ión

(4)

Introducción Introducción

Damos en este tema la definición precisa de límite y que se la debemos al gran matemático Agustin Louis Cauchy (1789-1857). Este concepto es la base sobre la que se asienta el Cálculo.

(5)

Repasaremos y veremos como se calculan límites, sus indeterminaciones y las asíntotas, y que ya estudiamos el curso anterior. Habrá que esperar al tema siguiente para poder resolver algunos límites mediante la llamada Regla de L’Hopital.

(6)

Introducción Introducción

Damos en este tema la definición precisa de límite y que se la debemos al gran matemático Agustin Louis Cauchy (1789-1857). Este concepto es la base sobre la que se asienta el Cálculo.

Repasaremos y veremos como se calculan límites, sus indeterminaciones y las asíntotas, y que ya estudiamos el curso anterior. Habrá que esperar al tema siguiente para poder resolver algunos límites mediante la llamada Regla de L’Hopital.

Igualmente repasaremos el concepto de continuidad. Aquí veremos unos teoremas relacionados con la continuidad y de importancia práctica. Especialmente importante para nosotros es el Teorema de Bolzano, que nos permite saber si una ecuación tiene o no solución.

(7)

Una función f (x) tiene por límite l cuando x tiende a c y escribimos lim

x→cf(x) = l

si para todo entorno E (l, ε) existe un entorno E (c, δ), de modo que para todo x que pertenezca al entorno reducido E^∗(c, δ) se cumpla que f (x) pertenece al entorno E (l, ε).

Las funciones que cumplen esta definición se llamanconvergentesen c.

(8)

Introducción Funciones convergentes

Límite de una función

x→cf(x) = l

ATENCIÓN: Si una función es convergente o tiene límite en un punto, este es único.

(9)

x→cf(x) = l

(10)

Introducción Funciones convergentes

Límite de una función

x→cf(x) = l

Definición equivalente

Una función f (x) tiene por límite l cuando xtiende a c y escribimos

x→climf(x) = l

(11)

Tenemos que probar que

xlim→1(x + 1) = 2

(12)

Introducción Ejemplo de cálculo con la definición

Demostrar, aplicando la definición de límite, que la función f (x) = x + 1 es convergente para x = 1, siendo su límite 2.

xlim→1(x + 1) = 2 Aplicando la definición de límite, probaremos que

∀ε > 0, ∃δ > 0 | 0 < |x − c| < δ ⇒ |f (c) − l| < ε

∀ε > 0, ∃δ > 0 | 0 < |x − 1| < δ ⇒ |(x + 1) − l| < ε

(13)

∀ε > 0, ∃δ > 0 | 0 < |x − c| < δ ⇒ |f (c) − l| < ε

∀ε > 0, ∃δ > 0 | 0 < |x − 1| < δ ⇒ |(x + 1) − l| < ε

Para ello fijemos un ε > 0, y como ha de ser 0 < |x − 1| < δ, podemos escribir x = 1 + h, con 1 ≫ h 6= 0. Con estas condiciones es

|(x + 1) − 2| = |x − 1| = |(1 + h) − 1| = |h|

(14)

∀ε > 0, ∃δ > 0 | 0 < |x − c| < δ ⇒ |f (c) − l| < ε

∀ε > 0, ∃δ > 0 | 0 < |x − 1| < δ ⇒ |(x + 1) − l| < ε

|(x + 1) − 2| = |x − 1| = |(1 + h) − 1| = |h|

Ahora bien, como ε es fijo, podemos escribir

|(x + 1) − 2| = |x − 1| = |(1 + h) − 1| = |h| < ε ⇒ |h| < ε

(15)

∀ε > 0, ∃δ > 0 | 0 < |x − c| < δ ⇒ |f (c) − l| < ε

∀ε > 0, ∃δ > 0 | 0 < |x − 1| < δ ⇒ |(x + 1) − l| < ε

|(x + 1) − 2| = |x − 1| = |(1 + h) − 1| = |h|

|(x + 1) − 2| = |x − 1| = |(1 + h) − 1| = |h| < ε ⇒ |h| < ε

Es decir, fijado ε siempre es posible encontrar un δ = ε que verifique la definición de límite, y por tanto

xlim→1(x + 1) = 2

(16)

∀ε > 0, ∃δ > 0 | 0 < |x − c| < δ ⇒ |f (c) − l| < ε

∀ε > 0, ∃δ > 0 | 0 < |x − 1| < δ ⇒ |(x + 1) − l| < ε

|(x + 1) − 2| = |x − 1| = |(1 + h) − 1| = |h|

|(x + 1) − 2| = |x − 1| = |(1 + h) − 1| = |h| < ε ⇒ |h| < ε

Es decir, fijado ε siempre es posible encontrar un δ = ε que verifique la definición de límite, y por

(17)

Una función tiene porlímitel cuando x tiende a cpor la izquierday escribimos lim

x→c⁻

f(x) = l

si para todo entorno E (l, ε) existe un entorno lateral a la izquierda E (c, δ) = (c − δ, c), de modo que para todo x que pertenezca a este entorno lateral se cumpla que f (x) pertenece al entorno E (l, ε).

(18)

Introducción Definición de límites laterales

Límites laterales

x→c⁻

f(x) = l

Una función tiene porlímitel cuando x tiende a cpor la derechay escribimos lim

x→c⁺f(x) = l

si para todo entorno E (l, ε) existe un entorno lateral a la derecha E (c, δ) = (c, c + δ), de modo que para todo x que pertenezca a este entorno lateral se cumpla que f (x) pertenece al entorno E (l, ε).

(19)

x→c⁻

f(x) = l

Una función tiene porlímitel cuando x tiende a cpor la derechay escribimos lim

x→c⁺f(x) = l

si para todo entorno E (l, ε) existe un entorno lateral a la derecha E (c, δ) = (c, c + δ), de modo que para todo x que pertenezca a este entorno lateral se cumpla que f (x) pertenece al entorno E (l, ε).

Si se cumple que lim

x→c⁻

f(x) = lim

x→c⁺

f(x) = l, entonces

x→climf(x) = l

(20)

Introducción Definición de límite infinito

Límite Infinito

Una función f (x) tiene por límite +∞ cuando x tiende a c y escribimos lim

x→cf(x) = +∞ si para todo número real K existe un entorno reducido E^∗(c, δ) de modo que para todo x de ese entorno se cumpla que f (x) es mayor que K .

(21)

Una función f (x) tiene por límite −∞ cuando x tiende a c y escribimos lim

x→cf(x) = −∞ si para todo número real M existe un entorno reducido E^∗(c, δ) de modo que para todo x de ese entorno se cumpla que f (x) es menor que M.

(22)

Límite Infinito

La gráfica de la izquierda nos aclara las definiciones.

(23)

Figure:f(x) = 1 x− c

Estos límites no son mas que la definición de asíntota vertical, que definimos el curso anterior. Decimos que la recta x = c es una asíntota vertical si existe alguno de los límites anteriores.

(24)

Límite Infinito

Estos límites no son mas que la definición de asíntota vertical, que definimos el curso anterior. Decimos que la recta x = c es una asíntota vertical si existe alguno de los límites anteriores.

NOTA I: De forma similar se definen los límites infinitos laterales.

(25)

Una función f (x) tiene por límite l cuando x tiende a +∞ y escribimos lim

x→+∞f(x) = l si para todo entorno E (l, ε) existe un número real K , de modo que para todo x mayor que K se cumpla que f (x) pertenece al entorno E (l, ε).

(26)

Introducción Definición de límite en el infinito

Límites en el infinito

x→+∞f(x) = l si para todo entorno E (l, ε) existe un número real M, de modo que para todo x menor que M se cumpla que f (x) pertenece al entorno E (l, ε).

(27)

La gráfica de la izquierda nos aclara las definiciones.

(28)

Introducción Definición de límite en el infinito

Límites en el infinito

La gráfica de la izquierda nos aclara las definiciones.

Cuando existe alguno de los límites anteriores decimos que y = l es una asíntota horizontal. Esta definición la vimos en el

(29)

Una función f (x) tiene por límite +∞ cuando x tiende a +∞ y escribimos

x→+∞lim f(x) = +∞ si para todo número real K existe un número real M, de modo que para todo x mayor que M se cumpla que f (x) es mayor que K .

(30)

Introducción Límite infinitos en el infinito

Límites infinitos en el infinito

Una función f (x) tiene por límite +∞ cuando x tiende a −∞ y escribimos lim

x→−∞f(x) = +∞ si para todo número real K existe un número real M, de modo que para todo x menor que M se cumpla que f (x) es mayor que K .

(31)

Una función f (x) tiene por límite +∞ cuando x tiende a −∞ y escribimos lim

x→−∞f(x) = +∞ si para todo número real K existe un número real M, de modo que para todo x menor que M se cumpla que f (x) es mayor que K .

De forma similar se definen

lim

x→+∞f(x) = −∞

y

x→−∞lim f(x) = −∞

(32)

Operaciones con límites

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2| Opera iones

on límites

(33)

x→climf(x) = l y lim

x→cg(x) = m Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

(34)

Operaciones con límites Operaciones

Sean f (x) y g (x) dos funciones convergentes en x = c; es decir

Límite de la suma o diferencia de funciones

x→clim[f (x) ± g(x)] = lim

x→cf(x) ± lim

x→cg(x) = l ± m

(35)

x→cf(x) ± lim

x→cg(x) = l ± m Límite del producto de funciones

xlim→c[f (x) · g(x)] =

h

x→climf(x)

i

·

h

x→climg(x)

i

= l · m

(36)

Operaciones con límites Operaciones

Sean f (x) y g (x) dos funciones convergentes en x = c; es decir

x→cf(x) ± lim

h

x→climf(x)

i

·

h

x→climg(x)

i

= l · m Límite del cociente de funciones

x→clim

h_f_(x)

g(x)

i

= lim

x→cf(x)

x→climg(x)= l

m, m6= 0

(37)

x→cf(x) ± lim

h

x→climf(x)

i

·

h

x→climg(x)

i

= l · m Límite del cociente de funciones

x→clim

h_f_(x)

g(x)

i

= lim

x→cf(x)

x→climg(x)= l

m, m6= 0 Límite de la potencia de funciones

x→clim[f (x)]^g(x)=

h

x→climf(x)

ilim

x→cg(x)

= l^m, l> 0

(38)

Cálculo de límites

Ir a Índice

3| Cál ulo de

límites

(39)

Veamos algunos ejemplos:

(40)

Cálculo de límites ¿Y cómo calculamos límites?

Para calcular límites debemos sustituir en la función el valor hacia el que tiende x y operar.

x→1lim(3x − 1) = lim

x→1(3 ·1− 1) = 2 lim

x→2

1 x− 1 = lim

x→2

1 2 − 1 = 1

(41)

x→1(3 ·1− 1) = 2 lim

x→2

1 x− 1 = lim

x→2

1 2− 1 = 1

x→−1lim 2^x= lim

x→−12⁻¹= 2⁻¹=1 2

(42)

x→1(3 ·1− 1) = 2 lim

x→2

1 x− 1 = lim

x→2

1 2− 1 = 1

x→−12⁻¹= 2⁻¹=1 2

(43)

x→1(3 ·1− 1) = 2 lim

x→2

1 x− 1 = lim

x→2

1 2− 1 = 1

x→−12⁻¹= 2⁻¹=1 2

Parece fácil, pero no lo es. A veces aparecen problemas. Por ejemplo, en el segundo límite que hemos calculado, si hacemos tender x hacia 1, tenemos

lim

x→1

1 x− 1= lim

x→1

1 1− 1 =1

0 =???

A estos problemas los denominamosindeterminaciones, y los veremos más adelante.

(44)

x→1(3 ·1− 1) = 2 lim

x→2

1 x− 1 = lim

x→2

1 2− 1 = 1

x→−12⁻¹= 2⁻¹=1 2

lim

x→1

1 x− 1= lim

x→1

1 1− 1 =1

0 =???

Hay otras expresiones "raras", que no son indeterminaciones y que tienen un valor definido, siendo conveniente recordarlas. Aquí tenemos algunas

(45)

x→1(3 ·1− 1) = 2 lim

x→2

1 x− 1 = lim

x→2

1 2− 1 = 1

x→−12⁻¹= 2⁻¹=1 2

lim

x→1

1 x− 1= lim

x→1

1 1− 1 =1

0 =???

Hay otras expresiones "raras", que no son indeterminaciones y que tienen un valor definido, siendo conveniente recordarlas. Aquí tenemos algunas

k

±∞= 0, k∈ IR ±∞

k = ±∞, k∈ IR 0

k = 0, k6= 0 k^+∞= +∞, k> 1 k^+∞= 0, 0 < k < 1

(46)

Cálculo de límites Límites de funciones básicas

Límites de algunas funciones elementales

Función Gráfica Límites

(47)

F. Constante f(x) = k

lim

x→ck= k lim

x→+∞k= k lim

x→−∞k= k

(48)

lim

x→ck= k lim

x→+∞k= k lim

x→−∞k= k

F. Identidad f(x) = x

x→climx= c lim

x→+∞x= +∞ lim

x→−∞x= −∞

(49)

lim

x→ck= k lim

x→+∞k= k lim

x→−∞k= k

F. Identidad f(x) = x

x→climx= c lim

x→+∞x= +∞ lim

x→−∞x= −∞

F. Potencial

f(x) = xⁿ

n≥ 2

lim

x→cxⁿ= cⁿ lim

x→+∞xⁿ= +∞ lim

x→−∞xⁿ= +∞

x→climxⁿ= cⁿ lim

x→+∞xⁿ= +∞ lim

x→−∞xⁿ= −∞

(50)

(51)

F.Proporc.

Inversa f(x) =_x¹n

n∈ IN

xlim→c c6=0

1 xⁿ = 1

cⁿ lim

x→±∞

1

xⁿ = 0 lim

x→0

1 xⁿ = +∞

xlim→c c6=0

1 xⁿ = 1

cⁿ lim

x→±∞

1

xⁿ = 0 lim

x→0⁻ x→0⁺

1 xⁿ = ∓∞

(52)

F.Proporc.

Inversa f(x) =_x¹n

n∈ IN

xlim→c c6=0

1 xⁿ = 1

cⁿ lim

x→±∞

1

xⁿ = 0 lim

x→0

1 xⁿ = +∞

xlim→c c6=0

1 xⁿ = 1

cⁿ lim

x→±∞

1

xⁿ = 0 lim

x→0⁻ x→0⁺

1 xⁿ = ∓∞

F. Exponencial

f(x) = a^x

lim

x→ca^x = a^c lim

x→+∞a^x = +∞ lim

x→−∞a^x= 0

(53)

(54)

Cálculo de límites Reglas básicas de cálculo

Reglas básicas de cálculo

Para el cálculo de límites tendremos en cuenta las siguientes reglas:

Regla I: Para calcular límites debemos sustituir en la función el valor hacia el que tiende x y operar. Si no sale al sustituir ninguna indeterminación (que las vemos más abajo), el problema está resuelto. En caso contrario debemos "deshacer" la indeterminación.

(55)

Regla II: Las funciones polinómicas, cuando x tiende a +∞ o −∞, se comportan como su término de mayor grado; es decir:

x→±∞lim anxⁿ· · · + a²x²+ a1x+ a0

= lim

x→±∞(anxⁿ)

(56)

x→±∞lim anxⁿ· · · + a²x²+ a1x+ a0

= lim

x→±∞(anxⁿ) Regla III: Si aparece algunaindeterminación, debemos "deshacerlas". Las indeterminacionesson:

k 0

∞

0

0 0 · ∞

∞ − ∞ 1^∞ 0⁰ ∞⁰

(57)

x→±∞lim anxⁿ· · · + a²x²+ a1x+ a0

= lim

k 0

∞

0

0 0 · ∞

∞ − ∞ 1^∞ 0⁰ ∞⁰

(58)

x→±∞lim anxⁿ· · · + a²x²+ a1x+ a0

= lim

k 0

∞

0

0 0 · ∞

∞ − ∞ 1^∞ 0⁰ ∞⁰

A continuación se explica como "deshacer" cada una de las indeterminaciones.

(59)

de soluciones: +∞, −∞ y ∄. Cuando aparezca, se deben estudiar los límites laterales. Veamos un ejemplo de cada tipo de solución:

(60)

Cálculo de límites Indeterminaciones k/0

Indeterminaciones del tipo k

Aparecen al calcular límites de cocientes de funciones. Estas indeterminaciones tienen tres tipos0 de soluciones: +∞, −∞ y ∄. Cuando aparezca, se deben estudiar los límites laterales. Veamos un ejemplo de cada tipo de solución:

x→1lim 3x

|x²− 1| =3 0 =











lim

x→1⁻

3x

|x²− 1| = +∞

lim

x→1⁺

3x

|x²− 1| = +∞











=⇒ lim

x→1

3x

|x²− 1|= +∞

(61)

de soluciones: +∞, −∞ y ∄. Cuando aparezca, se deben estudiar los límites laterales. Veamos un ejemplo de cada tipo de solución:

x→1lim 3x

|x²− 1| =3 0 =











lim

x→1⁻

3x

|x²− 1| = +∞

lim

x→1⁺

3x

|x²− 1| = +∞











=⇒ lim

x→1

3x

|x²− 1|= +∞

lim

x→2

3x x− 2 =6

0=







lim

x→2⁻

3x

x− 2 = −∞

lim

x→2⁺

3x

x− 2 = +∞







=⇒ No existe

(62)

Cálculo de límites Indeterminaciones k/0

Indeterminaciones del tipo k

Aparecen al calcular límites de cocientes de funciones. Estas indeterminaciones tienen tres tipos0 de soluciones: +∞, −∞ y ∄. Cuando aparezca, se deben estudiar los límites laterales. Veamos un ejemplo de cada tipo de solución:

x→1lim 3x

|x²− 1| =3 0 =











lim

x→1⁻

3x

|x²− 1| = +∞

lim

x→1⁺

3x

|x²− 1| = +∞











=⇒ lim

x→1

3x

|x²− 1|= +∞

lim

x→2

3x x− 2 =6

0=







lim

x→2⁻

3x

x− 2 = −∞

lim

x→2⁺

3x

x− 2 = +∞







=⇒ No existe

lim

x→−1

3x

|x²− 1| =−3 0 =









lim

x→−1⁻

3x

|x²− 1| = −∞

lim 3x

= −∞









=⇒ lim

x→−1

3x

|x²− 1| = −∞

(63)

Regla II. Así, tenemos:

(64)

Cálculo de límites Indeterminaciones ∞/∞

Indeterminaciones del tipo ∞

Aparecen al calcular límites de cocientes de funciones polinómicas. Se resuelven aplicando la∞ Regla II. Así, tenemos:

lim

x→±∞

anxⁿ+ · · · + a2x²+ a1x+ a0

bmx^m+ · · · + b2x²+ b1x+ b0

= lim

x→±∞

anxⁿ bmx^m = lim

x→±∞

_a

n

bn

x^n−m

(65)

lim

x→±∞

anxⁿ+ · · · + a2x²+ a1x+ a0

bmx^m+ · · · + b2x²+ b1x+ b0

= lim

x→±∞

anxⁿ bmx^m = lim

x→±∞

_a

n

bn

x^n−m Veamos unos ejemplos:

(66)

Cálculo de límites Indeterminaciones ∞/∞

Indeterminaciones del tipo ∞

Aparecen al calcular límites de cocientes de funciones polinómicas. Se resuelven aplicando la∞ Regla II. Así, tenemos:

lim

x→±∞

anxⁿ+ · · · + a2x²+ a1x+ a0

bmx^m+ · · · + b2x²+ b1x+ b0

= lim

x→±∞

anxⁿ bmx^m = lim

x→±∞

_a

n

bn

x→−∞lim

3x⁵− 7x²+ 2

−x²+ 4x + 1 = ∞

∞= lim

x→−∞

3x⁵

−x²= lim

x→−∞

₃

−1

x³= +∞

(67)

lim

x→±∞

anxⁿ+ · · · + a2x²+ a1x+ a0

bmx^m+ · · · + b2x²+ b1x+ b0

= lim

x→±∞

anxⁿ bmx^m = lim

x→±∞

_a

n

bn

x→−∞lim

3x⁵− 7x²+ 2

−x²+ 4x + 1 = ∞

∞= lim

x→−∞

3x⁵

−x²= lim

x→−∞

₃

−1

x³= +∞

x→−∞lim

x³− 7x²+ 2

−x⁴+ 4x + 1=∞

∞= lim

x→−∞

x³

−x⁴ = lim

x→−∞

₁

−1

x⁻¹= 0