Espacios vectoriales en Definición

Espacios vectoriales en

Definición. Un espacio vectorial sobre un campo F consiste de un conjunto en el que están definidas dos operaciones (llamadas adición y multiplicación por escalares, respectivamente) tal que para cualquier par de elementos exista un elemento único en , y para cada elemento a en F y cada elemento en exista un elemento único en V, de manera que se cumplan las siguientes condiciones

1. (cerradura bajo la suma)

2. Para toda (conmutatividad de la adición).

3. Para toda (asociatividad de la adición).

4. Existe un elemento en , llamado tal que para toda en V (elemento neutro de la adición de vectores).

5. Para cada elemento existe un elemento tal que (elemento inverso de la adición de vectores).

6. Para cada elemento ,

7. Para cada par de elementos y cada elemento 8. Para cada elemento y cada par de elementos 9. Para cada par de elementos y cada elemento ,

 A se le denomina “la suma del vector más el vector ”.

 es denominado, “el producto del escalar a por el vector ”.

Teorema. (Ley de cancelación para la suma de vectores).

Si son elementos de un espacio vectorial V tal que entonces Corolario 1. El vector es único.

Corolario 2. El vector es único.

Teorema. En cualquier espacio vectorial , son verdaderos los siguientes enunciados:

a. Para toda ,

b. Para toda y para toda c. Para toda

El espacio vectorial

El espacio vectorial consta de las parejas ordenadas de números reales cuyas operaciones de suma y producto por un escalar son definidas como sigue: Sea a un elemento del campo de los reales, entonces

Representación gráfica de un vector de .

Un vector en se representa como una flecha que parte desde un punto arbitrario P0 y se dirige hacia un punto final P1 ubicado unidades hacia la derecha (o izquierda) de P0 y unidades hacia arriba (o hacia abajo) de P0. Como el punto desde donde parte el vector es cualquier punto arbitrario P0, un vector puede representarse de manera equivalente en cualquier punto del plano, siempre y cuando preserve su dirección La figura 1a nos muestra un vector individual que parte de P0 y llega a P1 y la figura 1b nos muestra un conjunto equivalente de vectores en la misma dirección

Figura 1a. Representación gráfica de un vector v que me lleva desde P0 hasta P1.

Figura 1b. Representación gráfica de un conjunto de vectores equivalentes a v, de hecho, todos los vectores son el mismo vector v.

Representación gráfica de la suma de vectores y la multiplicación de un escalar por un vector en .

Suma de vectores. En el plano, la suma de dos vectores se representa como la operación equivalente de realizar dos traslaciones sucesivas por medio de los vectores

Método del polígono. Primero se parte de un punto inicial P0, y se traslada hacia un punto P1 según la acción de posteriormente se parte del punto P1 y se traslada hacia un punto P2 según la acción de El vector es aquel que parte de P0 y llega hasta P2. Este método puede ser extendido a cualquier número de vectores que se sumen.

Método del paralelogramo. Una forma equivalente de construir el vector suma, se obtiene al graficar en el mismo origen P0 los dos vectores componentes y a partir de ellos formar un paralelogramo, trazando vectores paralelos a El vector suma es aquel que parte de P0 y llega hasta el vértice opuesto del paralelogramo.

Figura 2. Métodos gráficos de suma de vectores. 2a Método del polígono. 2b Método del paralelogramo.

Multiplicación de un escalar por un vector.

Cuando un escalar se multiplica por un vector v, se tiene la siguiente representación gráfica:

P0

P1

x

x

 

 v

0

v1 v1

v2 v2

v1 + v2

v1 + v2

2a 2b

x

0

1a 1b

a. Cuando el vector es un vector en la misma dirección que el vector original y de mayor longitud.

b. Cuando el vector es un vector en la misma dirección que el vector original y de menor longitud.

c. Cuando el vector es un vector en la dirección opuesta del vector original (forma un ángulo de 180º con él) y de mayor longitud.

d. Cuando el vector es un vector en la dirección opuesta del vector original (forma un ángulo de 180º con él) y de menor longitud.

e. En el caso de que se obtiene el vector inverso aditivo de v.

Figura 3. Multiplicación de un vector por un escalar para tres diferentes valores de

 .

Diferencia de vectores.

Sean dos vectores. La diferencia se define como

La figura 4 muestra la representación gráfica de la diferencia entre dos vectores.

Figura 4. Diferencia de vectores.

v

v

v

v

v

v

 1

0  1

  1

u - v

u - v

u v

-v

x y

Magnitud y dirección de un vector en el plano.

Dado un vector se define su magnitud o norma, como la longitud de dicho vector. Es siempre una cantidad positiva. La magnitud de un vector se determina de la siguiente forma:

La dirección de un vector se define como el ángulo que forma dicho vector con la parte positiva del eje x.

El ángulo  se obtiene como

Un vector se puede reconstruir a partir de su dirección y magnitud. Sea la magnitud de un vector y sea su dirección. Las componentes x y y del vector se obtienen a partir de r y , de la siguiente manera (ver figura 5)

Figura 5. Magnitud y dirección de un vector en el plano.

cos x r 

cos y r 

x y

 r

2 2

tan

r x y

y

 x

  

 v

El producto escalar de vectores en el plano.

Dados dos vectores se define el producto escalar de como

Observación. El producto escalar asocia a cada pareja de vectores, un número real (escalar).

Propiedades del producto escalar. Sean tres vectores y sea t un escalar.

1.

2.

3.

4.

Teorema. Si es el ángulo entre los vectores entonces

Figura 6. Imagen auxiliar para la demostración del teorema.

Demostración. Considere la figura 6. El cuadrado de la magnitud del vector está dado por:

Por otra parte, y de acuerdo con la ley de cosenos, se tiene que

Si igualamos ambas expresiones, podemos cancelar términos para obtener

Finalmente

Corolario. Si u v y son dos vectores perpendiculares, entonces

Vectores unitarios en el plano.

u

v

u - v



x y

Definición. Un vector es unitario si su magnitud es 1, esto es

Una forma de obtener un vector unitario a partir de un vector cualquiera es multiplicar a este vector por el escalar En efecto:

Un vector cualquiera en el plano, se puede descomponer en términos de los vectores unitarios

En efecto,

Observación. Los vectores y son ortogonales y se dice que forman una base ortonormal (de vectores mutuamente perpendiculares y de norma o magnitud unitaria).

Vectores en el espacio.

Los vectores en el espacio se definen de manera análoga a como se definieron en el plano: por medio de ternas ordenadas de números, es decir, un vector v en el espacio se representa por

Representación geométrica de un vector en el espacio.

Figura 7. Representación de un vector en el espacio.

Suma de vectores y producto de un vector por un escalar.

Las operaciones de suma y multiplicación por un escalar se definen también de manera análoga a como fueron definidas en el plano. Sea a un elemento del campo de los reales, entonces

Las operaciones de suma y producto por un escalar tienen los mismos significados geométricos que los que se dieron en el caso de vectores en el plano.

Magnitud de un vector en el espacio.

La magnitud de un vector en R³ también se define de forma semejante. Dado un vector su magnitud se determina de la siguiente forma:

Vectores unitarios en

De manera semejante a la forma en la que fueron definidos en el plano, en el espacio se define la base ortonormal de vectores unitarios como:

Así, cualquier vector se puede expresar en términos de los vectores unitarios x

y z

y x

z

Vectores unitarios en el espacio

Producto escalar de vectores en el espacio.

El producto escalar de vectores en R³ se define de manera análoga a como se definió en el plano y tiene las mismas propiedades.

Dados dos vectores y el producto escalar de y se define como

Dirección de un vector en el espacio. Cosenos directores.

Un vector v de coordenadas tiene una orientación en el espacio definida por los tres ángulos que forma con la parte positiva de los ejes x, y, z. Estos ángulos se denominan ángulos directores del vector v, y tienen la siguiente propiedad

La figura 8 muestra los ángulos directores de un vector v.

Figura 8. Ángulos directores de un vector en el espacio.

Producto vectorial.

x

y z

x y

z







cos

cos

cos x y z











 v v v

Existe una operación que se define sólo en y que es llamada producto vectorial. Esta operación asocia a cada pareja de vectores u y v, un vector llamado el producto vectorial de u y v.

La forma en la que se define, es la siguiente. Sean entonces

Las propiedades del producto vectorial son las siguientes:

Sean u, v y w tres vectores, y sea r un escalar, entonces i.

ii. (Anticonmutatividad)

iii.

iv.

v. (Triple producto escalar)

vi. (Triple producto vectorial)

Propiedades geométricas del producto vectorial.

Teorema. El vector es perpendicular a los vectores u y v.

Teorema. Sea  el ángulo entre los vectores, u y v distintos de 0 entonces .

Corolario. Dos vectores no nulos u y v, son paralelos o antiparalelos si y sólo si

De acuerdo con las propiedades del producto vectorial, los vectores unitarios cumplen

Ecuación de la recta en el plano.

Considere en el plano, un punto arbitrario y la acción de un vector que parte del punto y nos lleva a un punto . Ahora considere la acción de los vectores sobre el mismo punto Obtendremos una sucesión de puntos que se encuentran alineados sobre la misma recta que unió a con .

Para obtener la recta que pasa por y tiene la dirección de v, se debe multiplicar a este vector por un escalar t que barra todos los números reales. Vea la figura 9.

Figura 9. Recta que pasa por el punto y está dirigida por el vector v.

Si es un punto que pertenece a la recta que pasa por y tiene la dirección entonces satisface la ecuación vectorial

o explícitamente,

Se puede descomponer esta ecuación en sus componentes x y y, para expresarla en dos ecuaciones paramétricas (cuyo único parámetro es t):

Si despejamos el parámetro t en ambas ecuaciones y lo eliminamos, obtenemos la ecuación de la recta en su forma simétrica:

Las ecuaciones anteriores se pueden reescribir en la forma pendiente – ordenada al origen o en la forma general

Ecuación de la recta en el espacio.

De forma análoga a como se construyó la ecuación de la recta en el plano, se obtiene la ecuación vectorial de la recta en el espacio. Cualquier punto que pertenece a la recta que pasa por y está dirigida por el vector satisface la ecuación

o

P0

v P P t 0 v t v

x

y0

x0 y

P

Se puede descomponer esta ecuación en sus componentes x, y, z, para expresarla en tres ecuaciones paramétricas (cuyo único parámetro es t):

Si despejamos el parámetro t en ambas ecuaciones y lo eliminamos, obtenemos la ecuación simétrica de la recta en el espacio:

Figura 10. Recta en el espacio que pasa por y está dirigida por el vector

Ecuación del plano que pasa por tres puntos de .

Un resultado de la geometría Euclidiana es que un plano está determinado por tres puntos no colineales. Considere tres puntos no colineales en el espacio: y Se pueden construir dos vectores u y v como los siguientes segmentos dirigidos:

Obviamente, los vectores u y v descansan en el mismo plano. Consideremos ahora al punto , y sobre él, la acción de distintas combinaciones lineales de los vectores u y v, por ejemplo, o o o o…

z

z0

x0

y0

x

y

v t v

s P P  utv z

Figura 11. Plano definido por los puntos y

Partiendo del punto cualquier combinación lineal que se elija, siempre generará un punto P que se encuentre en el mismo plano definido por y Así, todo punto que pertenece al plano definido por satisface la ecuación vectorial:

donde

P0

P2

P1

u

v

t v

x

y

Si los vectores u y v se definen como entones la forma explícita de la ecuación vectorial es la siguiente:

Si se expresa componente a componente, se obtiene la ecuación paramétrica que depende de s y t:

Ecuación cartesiana del plano que pasa por tres puntos.

Considere tres puntos no colineales y que definen al mismo plano; con ellos se obtienen los vectores u y v. Si se recuerda que el vector es un vector perpendicular a ambos, entonces es normal al plano. Definamos Cualquier vector que descanse en el plano será perpendicular a n. Si es un punto cualquiera del plano, se puede formar el segmento dirigido que también descansa en el plano

Con esta condición de perpendicularidad entre y la ecuación que satisfacen los puntos que pertenecen al plano es:

O explícitamente,

Esta ecuación se puede transformar en la ecuación cartesiana del plano en su forma general

Figura 12. Condición geométrica para obtener la ecuación del plano.

P0

P n

P P 0

→

x y

z

Funciones vectoriales en el plano

Una función es una regla de correspondencia que a cada elemento t de su dominio, asocia una pareja de números es decir

En forma paramétrica, esta función se expresa como

Gráfica de una función

Una primera idea que se tiene para graficar funciones vectoriales en el plano es tabular diferentes valores de t, con sus correspondientes imágenes, y después marcar la sucesión de puntos que progresivamente va generándose.

t x(t) y(t)

t1 x1 y1

t2 x2 y2

t3 x3 y3

t4 x4 y4

t5 x5 y5

Figura 1. Gráfica de una función vectorial, obtenida punto por punto.

Existen técnicas que nos permiten obtener la gráfica de la función sin necesidad de graficar punto por punto. Comúnmente, se despeja el parámetro t de cada una de las funciones componentes y se elimina dicho parámetro. También se pueden usar identidades que eliminen el parámetro. Así se obtiene una relación entre las variables x y y.

Funciones vectoriales en el espacio

. . .

. .

 

0 0, 0

t x y

 

5 5, 5

t x y

0 x

y

Una función es una regla de correspondencia que a cada elemento t de su dominio, asocia una terna de números es decir:

En forma paramétrica:

Gráfica de una función

Las gráficas de funciones vectoriales en el espacio se pueden obtener de manera análoga a como se obtienen en el plano. En este caso, se puede eliminar el parámetro t de alguna pareja de variables, por ejemplo de x y y. Esto genera una curva que se proyectará en el plano de dicha pareja de variables. La tercer variable, z, tendrá su propia evolución de acuerdo a su dependencia del parámetro t. La combinación de estos comportamientos, nos dará la gráfica de la función en el espacio.

El tipo de gráfica que se obtendrá será como la que se observa a continuación:

Figura 2. Grafica de una función x

y z

 

r

2. Funciones vectoriales de variable real.

Definición. Una función vectorial de variable real es una función cuyo dominio es un conjunto de números reales y cuyo rango es un conjunto de vectores de Es decir, para cada t en el dominio de la función existe una n-ada de valores asociados en

donde es, cada una, una función real de variable real.

La notación que se emplea para una función es

El dominio de la función, se forma con la intersección de los dominios de las funciones individuales, esto es

Definición. Si f y g son dos funciones vectoriales con dominios y en y rangos en , respectivamente, entonces son funciones con dominio y reglas de correspondencia:

La última operación, está definida sólo en .

Si f es una función vectorial y es una función real de variable real, entonces la función está definida como sigue:

Límite de una función vectorial de variable real.

Definición. Se dice que el vector b es el límite de la función f en a, es decir,

si para cada número existe un número tal que siempre que t está en el dominio de f y que entonces

Teorema. Sea una función y sea a un punto en el dominio de la función. Entonces

sí y sólo sí

Teorema. Si f y g son dos funciones vectoriales de variable real, con dominios y respectivamente, tales que

(El último límite sólo tiene sentido en ).

Teorema. Si f es una función vectorial y es una función escalar tales que

Entonces

Continuidad de una función vectorial de variable real.

Definición. Una función es continua en si

 existe





Teorema. Si

entonces f es continua en si y sólo si es continua en para toda Teorema. Si las funciones y son continuas en entonces

son también continuas en

Teorema. Si f y son funciones continuas en entonces es también continua en

Derivación de funciones vectoriales.

Definición. La derivada de una función vectorial es la función vectorial cuya regla de correspondencia es

y cuyo dominio es el conjunto de todos los números reales t para los que el anterior límite existe.

Teorema. Si entonces

donde el dominio de es la intersección de los dominios individuales de las derivadas de

 

f

L

Figura 3. Construcción del vector tangente a una curva definida por una función vectorial.

Definición. Si es una curva descrita por y si existe y es distinta de cero, entonces se llama vector tangente a la curva en el punto y la recta

se llama recta tangente a la curva en

Teorema. Si la función es diferenciable sobre un intervalo I, entonces es continua sobre I.

Teorema. Si , y son diferenciables sobre un intervalo , entonces son diferenciables sobre y se cumple que:

 

f



  

f f





f C

Integración de funciones vectoriales de variable real.

Definición. Si es una función vectorial definida sobre un intervalo entonces

La integral

existe siempre que cada una de las integrales individuales

exista, para toda

Teorema. Si es una función continua sobre un intervalo , y entonces

Teorema. Si tiene una derivada continua sobre un intervalo, entonces para toda

Derivación e integración de funciones vectoriales: posición, velocidad y aceleración.

Uno de las aplicaciones de las funciones vectoriales de variable real, es descripción de la posición de un objeto puntual (en el plano o en el espacio), como función del tiempo:

Si es una función vectorial que describe la posición instantánea de un objeto como función del tiempo, entonces su velocidad instantánea se describirá como

y su aceleración instantánea estará dada como

Tangente a una curva definida por una función paramétrica en el plano.

Algunas curvas definidas de forma paramétrica como también pueden expresarse por eliminación del parámetro en la forma Si sustituimos en la ecuación se obtiene:

Si son funciones diferenciables, la regla de la cadena establece que

Si podemos despejar

Como la pendiente de la tangente a la curva en el punto es la ecuación anterior permite determinar las tangentes a curvas paramétricas sin tener que eliminar el parámetro t. En la notación de Leibniz:

Observación. Con esta ecuación se puede observar fácilmente cuando una curva paramétrica tiene pendientes horizontales:

 En el caso de que (siempre y cuando ).

También se puede saber cuándo una curva tiene pendientes verticales:

 Cuando (siempre y que ).

Para calcular la segunda derivada de y respecto de x, se tiene que:

Área debajo de una curva descrita por medio de funciones paramétricas en el plano.

Considere una curva continua C, descrita por las funciones paramétricas:

Supongamos que las ecuaciones anteriores definen una función en el intervalo El área bajo el trapecio curvilíneo correspondiente puede ser calculada según

Figura 4. Área bajo la curva de una función dada en forma paramétrica.

Longitud de arco de una curva.

Suponga que la curva diferenciable

es tal que describe la trayectoria de una función definida sobre el eje x en un intervalo Suponga que

La longitud de arco de la curva, S, en el intervalo está dada por

La construcción de las sumas integrales para el cálculo de la longitud de arco de una curva considera lo siguiente:

La longitud de arco S se puede aproximar por la suma de las longitudes de arco de n segmentos (ver figura 5).

xi

yi

2 2

i i i

s x y

s1 si

sn

s2

s3

y

x

y

0 a b 0 x

y f x

Figura 5. Construcción de las sumas integrales para el cálculo de la longitud de arco de una curva.

Empleando el Teorema de Pitágoras, la longitud del i-ésimo segmento se puede calcular como:

Si multiplicamos y dividimos entre tenemos

Así, la longitud de arco total es aproximada por la suma de n segmentos rectilíneos

La aproximación de esta suma a la longitud de arco real mejorará con una partición del intervalo tal que los segmentos que es equivalente a que Esto es:

Como entonces

En el espacio, la longitud de arco de una curva diferenciable está dada por

Función longitud de arco.

Supongamos que una curva suave C, está descrita por la función vectorial derivable

La función longitud de arco se define por

Figura 5. Longitud de arco de la curva C entre el punto fijo a y un punto variable t.

Observación. Si derivamos de ambos lados la igualdad

y empleamos el Teorema Fundamental del Cálculo, obtenemos que

Vector tangente unitario, normal principal y binormal.

Si es una curva suave definida por la función vectorial y el vector tangente unitario se define como un vector tangente a y de magnitud unitaria:

De todos los vectores perpendiculares al tangente unitario, se define un segundo vector ortogonal a y también de magnitud unitaria, llamado el vector normal principal,

x

y z

a

t s(t)

(Se le pide al lector demostrar que si c es una constante y si entonces ).

Un tercer vector ortogonal a ambos, y de magnitud unitaria es vector binormal

A lo largo de la trayectoria de la curva , y para todo tiempo t, los tres vectores definidos, son mutuamente perpendiculares y forman una base ortonormal.

El plano osculador.

En todo momento, el plano definido por los vectores se va deslizándose de forma tangencial sobre la curva C. A este plano, que tiene como vector normal al vector se le designa como plano osculador: para todo instante t, el plano va besando a la trayectoria. Es fácil ver que para un tiempo dado, la ecuación cartesiana que satisface cualquier punto P que pertenezca a dicho plano es:

Figura 6. Representación de los vectores unitarios , y y el plano osculador en una curva C.

z

x y

T N B

Curvatura.

Definición. La curvatura de una trayectoria C, descrita en forma paramétrica, se define como:

donde es el vector tangente unitario de la curva C.

Para expresar la curvatura como función del parámetro t, se usa la regla de la cadena para escribir:

Entonces

Pero como se demostró anteriormente para la función longitud de arco: entonces

Teorema. La curvatura de una trayectoria dada por la función vectorial es

Demostración. Partamos de las siguientes ecuaciones para el vector tangente unitario y la longitud de arco de una curva:

entonces o bien, si despejamos tenemos

Si ahora calculamos obtenemos

Si se obtiene el producto cruz de y

Pero el producto entonces

Al obtener la norma de ambos vectores, y emplear una propiedad geométrica del producto cruz:

Pero como son ortogonales, entonces y por lo que se tiene:

como entonces

Ahora, nuevamente recordamos que esto implica que

Finalmente, como entonces

o bien