MA 2112 2 Continuidad pdf

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(1)1 Universidad Simón Bolívar. Matemáticas V (MA-2112). Preparaduría nº 2. [email protected] ; @ChristianLaya Funciones continuas, derivables y diferenciables en un punto Función continua: una función La función f está definida en. es continua en un punto. , si:. .. Una función f es continua en un conjunto abierto. , si y sólo si es continua en todo punto interior a S.. Derivada parcial en un punto: La derivada parcial de f con respecto a “x” en el punto. , si el límite existe, se denota por:. Análogamente la derivada con respecto a “y” es:. Relación entre la derivabilidad y continuidad: una función real de dos variables reales puede ser continua en un punto y sin embargo no ser derivable en dicho punto; y a diferencia de las funciones reales de una variable real, puede ocurrir que una función tenga derivadas parciales en un punto , a pesar de que la función no sea continua en ese punto. Derivadas parciales de orden superior: una derivada parcial de orden superior se obtiene derivando varias veces una función con respecto a la misma variable o a otra(s) variable(s). Hay cuatro formas de hallar una derivada parcial de segundo orden: . Derivar la función dos veces con respecto a x:. . Derivar la función dos veces con respecto a y:. . Derivar la función primero con respecto a x y luego con respecto a y: Matemáticas V (MA-2112).

(2) 2. . Derivar la función primero con respecto a y luego con respecto a x:. En general, para denotar la derivada de la función f, respecto a , escribiremos:. veces respecto a la variable. y luego. veces. Cuando se deriva primero respecto a una variable y luego con respecto a la otra, las derivadas parciales se denominan cruzadas o mixtas (no tienen que ser iguales, en general, importa el orden de derivación). Teorema de Schwartz: si f es una función de “x” e “y” tal que, una región que contiene al punto. y todas ellas son continuas en. Función diferenciable en un punto: sea se satisface lo siguiente: . Existen las derivadas parciales:. . El siguiente límite vale cero. Esto es:. , están definidas en , entonces:. . Diremos que f es diferenciable en. si. La expresión:. Puede ser escrita en forma matricial:. Luego, nos va a quedar:. Matemáticas V (MA-2112).

(3) 3. Relación entre diferenciabilidad y continuidad: Sea f una función de , si f es diferenciable en , f es continua en . Sin embargo, el hecho de que f sea continua en , no implica que sea diferenciable en . 1. Dada la función definida, por:.  . ¿Es f diferenciable en el origen? ¿Es f continua en el origen?. Solución: Vemos que la función está definida en el origen, es decir. . Ahora bien:. Tomamos trayectorias genéricas que pasen por el (0,0):. Verificamos mediante la definición: Para todo. existe un. tal que:. Sin embargo:. Ahora, sabemos que:. Matemáticas V (MA-2112).

(4) 4 Ahora bien:. Adicionalmente:. Entonces:. Si tomamos. el límite existe, vale cero y la función es continua en el origen.. Diferenciabilidad en (0,0):. Verifiquemos que el siguiente límite es nulo:. Tomamos rectas genéricas que pasen por el punto:. El límite depende de la trayectoria y por ende no existe. La función no es diferenciable en el origen. Matemáticas V (MA-2112).

(5) 5 2. Sean los puntos A(1,2) y B(1,-1) y dada la función definida, por:.  . ¿Es f continua en A y B? ¿Es f diferenciable en A y B?. Solución: Graficamos la región:. En la región roja y sobre la gráfica de función .. se define la función. y en la región verde se define la. Notamos que el punto A está claramente definido en la región roja pero el punto B está definido sobre la región verde y sobre la función . Estudiemos ahora los distintos casos pedidos: . Continuidad en A:. Es un valor probable, debemos verificar que está acotado. Para todo. existe un. tal que:. Sin embargo:. Adicionalmente, sabemos que:. Matemáticas V (MA-2112).

(6) 6. Ahora bien:. Hemos hallado un . que depende de un. y con lo que se garantiza que el límite existe y vale 1.. Continuidad en B:. El punto B está definido sobre la función, por ende, debemos evaluar los límites laterales:. Probamos ambos límites: Primero:. Para todo. existe un. tal que:. Sin embargo:. Adicionalmente, sabemos que:. Ahora bien:. Hemos encontrado un delta que depende de un épsilon y, por ende, el límite existe y vale dos. Segundo: Matemáticas V (MA-2112).

(7) 7. Para todo. existe un. tal que:. Sin embargo:. Adicionalmente, sabemos que:. Ahora bien:. Hemos encontrado un delta que depende de un épsilon y por ende, el límite existe y vale dos. Concluimos que:. Y que la función es continua en B. . Diferenciabilidad en A:. Hallemos las derivadas parciales:. Ahora:. Matemáticas V (MA-2112).

(8) 8 Nos aproximamos al (1,2) mediante rectas del tipo. Probamos mediante la definición: Para todo. existe un. tal que:. Sin embargo:. Adicionalmente, sabemos que:. Ahora bien:. Hemos probado la existencia del límite y que éste valga cero. Así pues, la función es diferenciable en A. . Diferenciabilidad en B:. Vemos que en el punto B hay un cambio de definición de la función. Al observar la región vemos que si nos acercamos al punto B (a lo largo del eje x) por la izquierda, la función se define como , análogamente si nos acercamos por la derecha vemos que la función se define como . Es necesario tomar límites laterales:. Los límites laterales son distintos, por ende, la derivada parcial de f con respecto a x en B no existe y la función no es diferenciable en B.. Matemáticas V (MA-2112).

(9) 9 3. Sea. una función definida como sigue:. . ¿Es. continua en. . ¿Es. diferenciable en. ? ?. Solución: Hay varias formas de resolver el ejercicio: . Primera:. Definimos dos funciones nuevas:. Es lógico ver que . Si g y h son funciones continuas y diferenciables en el origen entonces f también lo será debido a que es una resta de dos funciones que lo son de por sí. Sabemos que h cumple con esta condición debido a que es una función constante, la cual, es continua y derivable en todos los números reales. Estudiemos la continuidad de g:. La función g es continua en (0,0) y la función h también lo es, por ende, f es continua en (0,0) por ser resta de dos funciones continuas en dicho punto. Veamos si la función g es diferenciable en el origen.. Determinemos el límite:. Matemáticas V (MA-2112).

(10) 10 Para que la función sea diferenciable se debe cumplir que dicho límite sea nulo. Supongamos que lo sea y tratemos de probarlo: Si encontramos un número delta que dependa de un número épsilon tal que ambos sean positivos y no importe cuán pequeños sean entonces la función es diferenciable. Para todo. existe un. tal que:. Sin embargo:. Ahora, sabemos que:. Cuando x e y se aproximan al cero (son valores muy pequeños), se cumple que:. Entonces:. Ahora bien:. Entonces:. Matemáticas V (MA-2112).

(11) 11 No podemos encontrar un delta que dependa de un épsilon, por ende, el límite no vale cero (bien puede ser distinto de cero o no existir) y la función no es diferenciable en (0,0). . Segunda:. Continuidad en (0,0): Vemos que la función está definida en el origen, es decir. .. Veamos ahora:. Es un valor probable, debemos verificar mediante la definición: Para todo. existe un. tal que:. Sin embargo:. Ahora, sabemos que:. Cuando x e y se aproximan al cero (son valores muy pequeños), se cumple que:. Seguidamente:. Entonces:. Si tomamos. garantizamos que el límite exista, valga cero y la función sea continua en el origen.. Matemáticas V (MA-2112).

(12) 12 Diferenciabilidad en (0,0): Hay dos formas de determinar si la función es diferenciable en (0,0): . Primer método: determinemos las derivadas parciales en el (0,0):. Determinamos el límite:. Tomamos laterales:. Resolvemos:. El límite depende del ángulo y, por ende, no existe. Como no existe uno de los laterales entonces el límite original no existe y por ende la función no es diferenciable en (0,0). . Segundo método: hallamos las derivadas parciales sin evaluar en el punto:. El dominio de continuidad de ambas derivadas parciales, es son continuas en (0,0) entonces f no es diferenciable en (0,0).. . Como las derivadas parciales no. Matemáticas V (MA-2112).

(13) 13 4. Sea la función definida, por:.  . ¿Es f continua en todo ? ¿Es f diferenciable en todo. ?. Solución: El ejercicio puede ser resuelto de dos maneras distintas.  Primera: definimos dos funciones nuevas:. Se ve fácilmente que:. Sabemos que la función continua en :. es derivable en todo. y que la función. también lo es puesto que es. Y, adicionalmente, el límite existe:. Como sabemos que la suma de dos funciones derivables es una función diferenciable, entonces, se garantiza que f es continua y diferenciable en todo .  Segunda: Nos piden determinar si la función es continua y diferenciable en todo , básicamente lo que debemos hacer es verificar si dichas condiciones se cumplen en los puntos que no pertenecen al dominio de la función. Vemos que f tiene problemas para todos los puntos de la forma ) (también se puede verificar si f es continua y diferenciable en un punto genérico de como lo sería )). Continuidad en. :. Vemos que la función está definida en el punto, es decir. .. Es un valor probable, verificamos mediante la definición: Matemáticas V (MA-2112).

(14) 14 Para todo. existe un. tal que:. Sin embargo:. Ahora, sabemos que:. Entonces:. Sin embargo:. Finalmente:. Encontramos un. que depende de un. Diferenciabilidad en. y por ende el límite existe y la función es continua en todo. .. :. Hallamos las parciales:. Sabemos que:. Entonces:. Matemáticas V (MA-2112).

(15) 15. Hallamos el límite:. Nos aproximamos al punto mediante rectas genéricas de la forma. :. Es un valor probable. Verificamos mediante la definición: Para todo. existe un. tal que:. Sin embargo:. Ahora, sabemos que:. Entonces:. Matemáticas V (MA-2112).

(16) 16. Encontramos un delta que depende de un épsilon y por ende el límite existe y vale cero. La función es diferenciable en todo . Ejercicios propuestos 5. Dada la función definida, por:.   . Diga si f es continua en (0,0). Halle las primeras derivadas parciales de f en (0,0). Diga si f es diferenciable en (0,0).. Solución: Continuidad en (0,0): La función está bien definida en el (0,0), es decir. .. Es un valor probable. Verificamos mediante la definición: Para todo. existe un. tal que:. Sin embargo:. Sabemos que la función real puede ser escrita como. está definida mediante. entonces, la expresión. .. Adicionalmente:. Matemáticas V (MA-2112).

(17) 17 Entonces:. Si tomamos. garantizamos que el límite exista, valga cero y que la función sea continua en el origen.. Primeras derivadas parciales:. Diferenciabilidad en (0,0):. Tomamos trayectorias genéricas que pasen por el punto:. El límite depende de la pendiente y, por ende, no existe. Así, la función no es diferenciable en (0,0).. Matemáticas V (MA-2112).

(18) 18 6. Dada la función definida, por:.  . ¿Es f continua en (0,0)? ¿Es f diferenciable en (0,0)?. Solución: Graficamos la región:. Continuidad en (0,0): Vemos que la función está definida en (0,0):. Es un valor probable. Verificamos mediante la definición: Para todo. existe un. tal que:. Sin embargo:. Ahora, sabemos que:. Matemáticas V (MA-2112).

(19) 19. Adicionalmente:. Entonces:. Así, si tomamos. garantizamos que el límite exista, valga cero y la función sea continua en el origen.. Diferenciabilidad en (0,0): Debemos hallar las derivadas parciales en (0,0):. Vemos que en el punto (0,0) la función tiene un cambio de definición. Si nos acercamos al origen por la derecha (h mayor que cero) la función se define como , análogamente, si nos acercamos por la izquierda (h menor que cero) la función se define como . Veamos los límites laterales:. Los límites laterales son distintos y, por ende, la función no es diferenciable en (0,0).. Se agradece la notificación de errores Christian Laya. Matemáticas V (MA-2112).

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