DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. MATEMÁTICAS I. 1º DE BACHILLERATO. UNIDAD 6. DERIVADAS. 1. Tasa de variación media de una función en un intervalo.

(1)

Germán Leal Gallo. Departamento de Matemáticas. IES La Bahía. San Fernando (Cádiz).

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS.

MATEMÁTICAS I. 1º DE BACHILLERATO.

UNIDAD 6. DERIVADAS.

1. Tasa de variación media de una función en un intervalo.

Dados una función y = f(x) y un valor c ∈ Dom(f), si se incrementa en una cantidad h al número real c y se consideran los puntos de coordenadas (c, f(c)) y (c+h, f(c+h)), se puede definir la tasa de variación media de f en el intervalo [c, c+h] como el cociente

[

^c^,^c ^h

]

_Variación^Variación_de^de_x^y _x^y ^f⁽^c ^h_h⁾ ^f⁽^c⁾

TVM = + −

∆

= ∆

=

+

La tasa de variación media de f en el intervalo [c, c+h] es una medida del cambio por término medio experimentado por la función f en el intervalo [c, c+h].

En el caso particular en el que la variable x sea el tiempo, la TVM indica cómo cambia la función durante un determinado intervalo de tiempo.

Ejemplo: la tasa de variación media de la función f(x)=x² en el intervalo [2, 5] es

[ ]

²^,⁵ ^f⁽⁵₅⁾ ₂^f⁽²⁾ ²⁵₅ ₂⁴ ²¹₃ ⁷

TVM = =

−

= −

−

= −

Esto significa que, en el intervalo [2, 5], la variable Y ha aumentado siete unidades por cada unidad de X.

2. Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica.

Dados una función y = f(x) y un valor c ∈ Dom(f), la derivada de f en x = c se define como el límite de las tasas de variación media TVM [c, c+h] cuando h tiende a cero:

h ) c ( f ) h c ( lím f ) c ( f

0 h

−

= +

′ →

Obsérvese que al tomar límite cuando h tiende a cero, la derivada es una tasa de variación instantánea, es decir, una TVM en un intervalo cuyos extremos son dos valores muy próximos, infinitamente próximos.

La derivada de una función en x = c es una medida del cambio o variación instantánea que experimenta la función y = f(x) justamente cuando la variable x toma el valor c.

En el caso particular en el que la variable x sea el tiempo, f′(c) indica cómo cambia la función justamente en el instante x = c.

Nota: (c)

dx ) df c ( Df ) c (

f′ = =

(2)

Ejemplo 1: para hallar la derivada de la función f(x)=x²+1 en x = 3 se hace lo siguiente:

h 6 h 6 lím h

h

10 h 6 h lím10 h

) 1 3 ( 1 ) h 3 lím ( h

) 3 ( f ) h 3 ( lím f ) 3 ( f

2

0 h 2

2

0 h 0

h + − = + + − + = + + − = + =

′ =

→

Ejemplo 2: para hallar la derivada de la función

x ) 1 x (

f = en x = 4 se hace lo siguiente:

16 1 ) h 4 ( 4 lím 1 h ) h 4 ( 4 lím h h

) h 4 ( 4

h 4 4 h lím

4 1 h 4

1 h lím

) 4 ( f ) h 4 ( lím f ) 4 ( f

0 h 0

h 0

h

= − +

⋅

= −

⋅ +

⋅

= − +

⋅

−

− =

= +

−

= +

′ → → → → →

Interpretación geométrica

Geométricamente, la derivada de una función f en un punto de abscisa x = c es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en dicho punto. En otras palabras, si la recta tangente a la gráfica de f en x = c tiene por ecuación y=mx+n, entonces m=f′(c) Demostración:

Dados una función y = f(x) y un punto P(c, f(c)) de su gráfica.

Paso 1. Incrementando en una cantidad h al número c, se obtiene otro punto de la gráfica ))

h c ( f , h c (

P_h + + .

Paso 2. Trazando la recta que pasa por los puntos P y P se obtiene una recta secante _h r a la _h gráfica y cuya pendiente es

h ) c ( f ) h c (

m_h = f + −

Paso 3. Cuando la cantidad h tiende a cero, se obtiene una sucesión de rectas r secantes a la _h gráfica, las cuales “tienden a” la recta tangente a la gráfica en el punto P.

Paso 4. Si se define la pendiente m de la recta tangente a la gráfica en el punto P como el límite cuando h tiende a cero, de las pendientes m se obtiene que: _h

) c ( h f

) c ( f ) h c ( lím f m

lím m

0 h h 0

h = + − = ′

= → →

Consecuencias:

1. Cuanto mayor (con signo positivo) sea f′(c), mayor inclinación creciente tiene la recta tangente en x = c, luego mayor es el crecimiento de la gráfica en x = c.

Ejemplo: si la recta tangente a la gráfica de una función f en el punto de abscisa x = 5, tiene por ecuación y=2x−1, entonces se deduce que f′(5)=2 y que f es creciente en x = 5.

2. Cuanto menor (con signo negativo) sea f′(c), mayor inclinación decreciente tiene la recta tangente en x = c, luego mayor es el decrecimiento de la gráfica en x = c.

Ejemplo: si la recta tangente a la gráfica de una función f en el punto de abscisa x = 1, tiene por ecuación y=−3x+1, entonces se deduce que f′(1)=−3 y que f es decreciente en x = 1.

(3)

3. Derivabilidad de una función en un punto. Derivadas laterales.

Se dice que una función f es derivable por la derecha en un punto de abscisa x = c de su dominio si

h ) c ( f ) h c ( lím f ) c ( f

0 h

−

= +

′ → +

+ es un número real.

A este límite se le llama derivada lateral por la derecha de f en x = c.

Se dice que una función f es derivable por la izquierda en un punto de abscisa x = c de su dominio si

h ) c ( f ) h c ( lím f ) c ( f

0 h

−

= +

′ → −

− es un número real.

A este límite se le llama derivada lateral por la izquierda de f en x = c.

Una función f es derivable en un punto de abscisa x = c si y solo si sus derivadas laterales son números reales iguales.





= ′

′

⇔ =







= ′

′

−

− + +

− +

) c ( f ) c ( f ) c ( f

c x en derivable es

f )

c ( f ) c ( f

real número un

es ) c ( f

real número un

es ) c ( f

Geometricamente, si una función es derivable en un punto de abscisa x = c, entonces su gráfica tiene “un trazado suave, sin cambios bruscos” en dicho punto.

Razones por las que una función no es derivable en un punto 1. Porque alguna de las derivadas laterales sea +∞ ó –∞.

Una función puede no ser derivable ni siquiera lateralmente en un punto porque una de las derivadas laterales sea +∞ ó –∞. En estos casos, la recta tangente a la gráfica en dicho punto es una recta vertical y se dice que el punto es un punto de tangencia vertical de la función.

Por ejemplo, el punto (0, 0) es un punto de tangencia vertical de la función f(x)= x ya que su derivada lateral por la derecha en x = 0 es +∞.

+∞

=

− =

= +

′ → + → + → + → +

+ h

lím 1 h

0 lím h

h ) 0 ( f ) h ( lím f h

) 0 ( f ) h 0 ( lím f ) 0 ( f

0 h 0

h 0

h

[ f₋′(0)=−∞ ]

2. Porque las derivadas laterales sean números reales distintos.

Una función puede ser derivable lateralmente tanto por la izquierda como por la derecha en un punto, y sin embargo no ser derivable en dicho punto porque las derivadas laterales no sean iguales. En estos casos, la pendiente de la recta tangente a la gráfica en dicho punto “sufre un cambio brusco” y se dice que el punto es un punto anguloso de la función.

Por ejemplo, el punto (0, 0) es un punto anguloso de la función





>

≤

= −

= x si x 0

0 x si x x

) x ( f ya que sus derivadas laterales en x = 0 son números reales distintos.

h 1 lím h h

0 lím h h

) 0 ( f ) h ( lím f h

) 0 ( f ) h 0 ( lím f ) 0 ( f

0 h 0

h 0

h

=

− =

= +

′ → + → + → + → +

+

h 1 lím h h

0 lím h

h ) 0 ( f ) h ( lím f h

) 0 ( f ) h 0 ( lím f ) 0 ( f

0 h 0

h 0

h + − = − = − − = − =−

′ =

−

− → → →

− →

(4)

3. Porque no sea continua en dicho punto.

Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en dicho punto. De lo cual se deduce que si una función no es continua en un punto, entonces no es

derivable en dicho punto.

Demostración: para demostrar que f es continua en x = c, hay que demostrar que )

c ( f ) h c ( f lím

0

h + =

→ o lo que es igual, que lím[f(c h) f(c)] 0

0

h + − =

→

En efecto, límh f (c) 0 0

h ) c ( f ) h c ( límf h h

) c ( f ) h c ( límf )]

c ( f ) h c ( f [ lím

0 h 0

h 0

h + − = + − ⋅ = + − ⋅ = ′ ⋅ =

→

Nota: el recíproco de este resultado no es cierto. Si una función es continua en un punto, no tiene por qué ser derivable en dicho punto.

Por ejemplo, la función f(x)= x es continua en x = 0 pero no es derivable en dicho punto

4. Función derivada.

Dada una función f, se llama función derivada de f a la que asocia a cada valor de x el correspondiente valor f′(x). Se representa por f′(x).

h ) x ( f ) h x ( lím f ) x ( f

0 h

−

= +

′ →

El dominio de la función derivada f′(x) es el conjunto de valores donde f es derivable.

Nota:

dx dy dx

) x ( ) df x ( Df ) x (

f′ = = =

Ejemplo 1: para hallar la función derivada de f(x)=x² se hace lo siguiente:

x h 2

xh 2 lím h

h

x xh 2 h lím x

h x ) h x lím ( h

) x ( f ) h x ( lím f ) x ( f

2

0 h 2 2

2

0 h 2 2

0 h 0

h + − = + − = + + − = + =

=

′ → → → →

Ejemplo 2: para hallar la función derivada de

x ) 1 x (

f = se hace lo siguiente:

0 2 h 0

h 0

h x

1 h

x ) h x (

h h lím

x ) h x (

h x x h lím

x 1 h x

1 h lím

) x ( f ) h x ( lím f ) x (

f + ⋅ = −

−

⋅ = +

−

− =

= +

−

= +

′ → → → →

Ejemplo 3: para hallar la función derivada de f(x)= x se hace lo siguiente:

x 2

1 x h x lím 1 ) x h x ( h

x h lím x

h x h lím x

h ) x ( f ) h x ( lím f ) x ( f

0 h 0

h 0

h =

+

= + + +

⋅

−

= +

−

= +

−

= +

′ → → → →

(5)

El cálculo de la función derivada se puede aplicar al estudio de la derivabilidad de una función en un punto mediante el siguiente resultado:







= ′

′

⇒ =







′

=

−

− − →

→ f (c) lím f (x)

c x en izquierda la

por derivable es

f real

número un

es ) x ( f lím

c x en continua es

f

c x c

x







= ′

′

⇒ =







′

=

+

+ + →

→ f (c) lím f (x)

c x en derecha la

por derivable es

f real

número un

es ) x ( f lím

c x en continua es

f

c x c

x

Ejemplo 1: para analizar la derivabilidad de la función





≥ +

<

= −

3 x si x 10 x

3 x si x 5 x ) 2 x (

f 2

3

en x = 3, primero se estudia si es continua en dicho punto.

En efecto, es continua en x = 3 porque lím f(x) lím f(x) 39 f(3)

3 x 3

x = = =

+

− →

→

Ahora en lugar de calcular las derivadas laterales mediante la definición, se hace lo siguiente:

49 ) 3 ( f 49

5 x 6 lím ) x ( f lím 5

x 6 ) x ( f x 5 x 2 ) x ( f 3 x

Si ²

3 x 3

x 2

3− ⇒ ′ = − ⇒ ′ = − = ⇒ ′ =

=

< ⇒ ₋

→

→ ⁻ ⁻

16 ) 3 ( f 16

10 x 2 lím ) x ( f lím 10

x 2 ) x ( f x 10 x ) x ( f 3 x Si

3 x 3

x

2+ ⇒ ′ = + ⇒ ′ = + = ⇒ ′ =

=

> ⇒ ₊

→

→ ⁺ ⁺

La función es derivable lateralmente en x = 3 tanto por la izquierda como por la derecha pero no es derivable en x = 3 ya que sus derivadas laterales son distintas.

Ejemplo 2: para analizar la derivabilidad de la función





≥ +

<

= +

1 x si 5 x 6

1 x si 8 x ) 3 x ( f

2

en x = 1, primero se estudia si es continua en dicho punto.

En efecto, es continua en x = 1 porque lím f(x) lím f(x) 11 f(1)

1 x 1

x = = =

+

− →

→

Ahora en lugar de calcular las derivadas laterales mediante la definición, se hace lo siguiente:

6 ) 1 ( f 6

x 6 lím ) x ( f lím x

6 ) x ( f 8 x 3 ) x ( f 1 x

Si ²

1 x 1

x 2

2+ ⇒ ′ = ⇒ ′ = = ⇒ ′ =

=

< ⇒ ₋

→

→ ⁻ ⁻

6 ) 1 ( f 6

6 lím ) x ( f lím 6

) x ( f 5 x 6 ) x ( f 1 x Si

1 x 1

x ′ = = ⇒ ′ =

= ⇒

′ + ⇒

=

> ⇒ ₊

→

→ ⁺ ⁺

La función es derivable en x = 3 ya que es derivable lateralmente tanto por la izquierda como por la derecha y sus derivadas laterales son iguales.

(6)

5. Reglas de derivación. Cálculo de funciones derivadas.

Las siguientes reglas se cumplen para cada valor de x donde dos funciones f y g sean derivables al mismo tiempo.

R1. Suma y resta de funciones (f ±g)′(x)=f′(x)±g′(x) R2. Producto de una función por k ∈ R (k⋅f)′(x)=k⋅f′(x)

R3. Producto de funciones (f⋅g)′(x)=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)

R4. Cociente de funciones sig(x) 0 ))

x ( g (

) x ( g ) x ( f ) x ( g ) x ( ) f x g ( f

2 ⋅ ′ ≠

−

′ ⋅

′ =



 





R5. Composición de funciones (g f)′(x)=g′(f(x))⋅f′(x) [ Regla de la cadena ]

TABLA DE FUNCIONES DERIVADAS

La letra u representa a una función que depende de x, es decir, u=u(x)

ELEMENTALES COMPUESTAS

k

=

y k ∈ R y′=0 xn

=

y n ∈ Z y′=n⋅xⁿ⁻¹ y=(u)ⁿ n ∈ Z y′=n⋅(u)ⁿ⁻¹⋅u′ x

y=

x 2

y′= 1 y= u u

u 2 y′= 1 ⋅ ′

nx

=

y n ∈ N _n

1

xn

n y 1

⋅ −

′= y=ⁿu n ∈ N u

u n y 1

n n 1 ⋅ ′

= ⋅

′ −

ex

=

y y′=e^x y=e^u y′=e^u⋅u′

ax

=

y a > 0 y′=a^x⋅lna y=a^u a > 0 y′=a^u⋅lna⋅u′ x

ln

=

y x

=1

y′ y=lnu u

u

=1 y′ ⋅ ′ x

log

=

y _a a > 0

x ) a (ln

= 1

y′ ⋅ y=log_au a > 0 u

u ) a (ln

= 1

y ⋅ ′

′ ⋅ x

sen

=

y y′=cosx y=senu y′=cosu⋅u′

x cos

=

y y′=−senx y=cosu y′=−senu⋅u′

x tg

=

y cos x

= 1

y′ ₂

x tg 1

=

y′ + ²

u tg

=

y u

u cos

= 1

y′ ₂ ⋅ ′ u ) u tg 1 (

=

y′ + ² ⋅ ′ x

cotg

=

y sen x

= 1 y′ − ₂

) x g cot 1 (

=

y′ − + ²

u cotg

=

y u

u sen

= 1

y′ −₂ ⋅ ′ u ) u g cot 1 (

=

y′ − + ² ⋅ ′ x

sen arc

=

y 1 x2

y 1

= −

′ y=arcsenu u

u 1 y 1

2 ⋅ ′

= −

′ x

arccos

=

y 1 x2

y 1

−

= −

′ y=arccosu u

u 1 y 1

2 ⋅ ′

−

= −

′ x

tg arc

=

y 1 x2

y 1

= +

′ y=arctg u u

u 1 y 1

2 ⋅ ′

= +

′

(7)

Ejemplo 1: para hallar la función derivada de las siguientes funciones hay que utilizar alguna de las cuatro primeras reglas y la tabla de derivadas elementales.

5

y= y=e³+ln2 y=x+x²−x³+x⁴ ² ³ 10x⁴

7 x x 5 x 3

y=− + − +

x 5

y= 9x 28

7

y= x + ⁵− y=³x −⁴x 2 x 2x 12

6

y x ⁷

5 + − +

= 3

x x 4 2

x y ln

3 + 6

−

= y=x³⋅lnx y= x⋅lnx y=⁵x⋅3lnx

3 2

2 1) x

x (

y= + ⋅ y= x⋅2e^x

3 x e y

3⋅ x

= 2

x e ln y= ^x ⋅

x y= 5

1 x y x

2

= +

x 1

y=x− _x

e x ln y= 5

x ln 3 y= x

x x y 4

= 8 y=8log₂x

2 x y= log

7 x

y= log³ y=log₄x⋅4lnx ₂² x

x log y=9

x x x y= log −

x x x

e 9 5

y=4 − ⋅ ^x 7^x ³x

x

y= 6 + ⋅ ^x _x

2 x 9 ln x

y= ⋅ + lnx x 3^x

x

y= 5 −π + ⋅

x cos 2 3

y=senx − y=senx⋅cosx

x cos y= tgx

x gx 1 cot 3

y= +

x sen arc x

=

y ⋅ y= x⋅arccosx

x arctgx

y= y=lnx⋅5arcsenx

Ejemplo 2: para hallar la función derivada de las siguientes funciones, hay que utilizar, además, la tabla de derivadas compuestas.

x 4 x 8 y= ²−

x

= 3

y x 1

y x

= − y=⁴8x²−7x y=⁵x²+x x)

3 (x ln

=

y ²− y=ln(senx) 









−1 x ln x

= y

2

) log (3x

=

y ₂ ² 



 



 +

− 5 x 4

1 x log 3

=

y ₃

x) cos ( log

=

y y=3e^x²⁻²^x y=x⁴⋅e⁻³^x y=7⋅4^x³⁻⁴^x² y=x²⋅5⁻³^x )

x x 3 ( cos

=

y ²+ 



 



 +x 1 tg x

=

y x

sen 1 arc

=

y 



 



 



 



 x arccos 2

= y

5 ) x 2 ( tg

=arc y ))

x 5 ( arctg ( ln

=

y 



 



 ex

ln senx

=

y y=e³^x²⁻^x⋅cosx y=arcsenx⋅e^cos^x y=arctg(e³^x) 3senx

y= y=3^arctg⁽^x²⁾ y= e^cos^x y=lnx²⋅e^senx y=arccos x³

8 3

4 5x )

x (

=

y −

3 2 2

1 x

3

= x

y 







 +

−

3 ) x 3 x

=( y

2

4− y=sen³x y=3tg⁴x

x ln

=

y ² y=cos²(x³) y=sen³(2x²) y=³cos²x y=⁵sen⁴x

(8)

6. Derivadas sucesivas.

Se llama función derivada segunda de f a la función derivada de f′.

Se representa por f ′′(x). El dominio de f ′′(x) es el conjunto de valores donde f′ es derivable.

Se llama función derivada tercera de f a la función derivada de f′′.

Se representa por f′′′(x). El dominio de f′′′(x) es el conjunto de valores donde f′′ es derivable.

………

En general, se llama función derivada enésima de f a la función derivada de f⁽ⁿ⁻¹, ∀n≥1 Se representa por f⁽ⁿ(x). El dominio de f⁽ⁿ(x) es el conjunto de valores donde f⁽ⁿ⁻¹ es

derivable.

Ejemplo 1: las derivadas primera, segunda y tercera de f(x)=x⁵−2x⁴+5x²−7x+3 son:

7 x 10 x 8 x 5 ) x (

f′ = ⁴ − ³+ − f′′(x)=20x³−24x²+10 f ′′′(x)=60x²−48x

Ejemplo 2: las derivadas primera, segunda y tercera de

3 x ) 5 x (

f = − son:

)2

3 x ( ) 5 x (

f −

= −

′

)3

3 x ( ) 10 x (

f′′ = −

)4

3 x ( ) 30 x (

f ′′′ = −

7. Recta tangente y recta normal a la gráfica de una función en un punto.

La ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = f(x) en x = c es:

) c x ( ) c ( f ) c ( f

y− = ′ ⋅ −

Ejemplo: la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x)=x³ en x = 2 es y = 12x – 16 f(2) = 8 f′(x)=3x² f′(2)=12 y−8=12⋅(x−2) ⇒ y=12x−16

La ecuación de la recta normal a la gráfica de y = f(x) en x = c es:

) c x ) ( c ( f ) 1 c ( f

y ⋅ −

′

= −

−

La recta normal a la gráfica en un punto es la recta perpendicular a la recta tangente a la gráfica en dicho punto.

Ejemplo: la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x)=x³ en x = 2 es y = 12x – 16 f(2) = 8 f′(x)=3x²

12 1 ) 2 ( f

1 = −

′

−

6 x 49 12 y 1 )

2 x 12 ( 8 1

y− = − ⋅ − ⇒ = − +