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Autora: Leticia González Pascual Revisor: Álvaro Valdés Menéndez
las Ciencias Sociales II.
2º Bachillerato.
Capítulo 6: Derivadas
1. CONCEPTO DE DERIVADA
1.1. TASA DE VARIACIÓN
1.2. CONCEPTO DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
1.3. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA. RECTA TANGENTE 1.4. FUNCIÓN DERIVADA. PROPIEDADES
2. CÁLCULO DE DERIVADAS
3. APLICACIONES DE LA DERIVADA
3.1. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO 3.2. MÁXIMOS Y MÍNIMOS
3.3. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD. PUNTOS DE INFLEXIÓN 3.4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
3.5. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
Cuando la Ciencia ha avanzado suficientemente en un determinado camino, en ocasiones ocurre que al mismo tiempo, pero en dos lugares alejados, fructifica una misma idea. Eso es lo que ocurrió en el siglo XVII, cuando prácticamente al mismo tiempo, Newton en Inglaterra y Leibniz en Alemania llegaron al concepto de derivada, y con él al de Cálculo Diferencial. Esto motivó graves disputas y enfrentamientos sobre quién era el padre de la idea. Ahora se considera que lo fueron ambos.
El curso pasado ya has estudiado el concepto de derivada y un buen número de derivadas de distintas funciones. También se utilizó la derivada para estudiar la tendencia de una función, si crecía o decrecía, y para calcular sus máximos y mínimos.
Ahora, que ya tienes los conceptos adquiridos, es el momento de profundizar en ellos y formalizarlos con mayor precisión.
Programa oficial
1.‐ Tasa de variación. Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica. Recta tangente a una curva en un punto. Función derivada.
FALTA— Problemas de aplicación de la derivada en las ciencias sociales y en la economía: Tasa de variación de la población, ritmo de crecimiento, coste marginal, etcétera.
2.‐ Cálculo de derivadas de funciones elementales sencillas, que sean sumas, productos, cocientes y composición de funciones polinómicas, exponenciales y logarítmicas.
3.‐ Aplicación de las derivadas al estudio de las propiedades locales y globales de las funciones elementales y a la resolución de problemas de optimización relacionados con las ciencias sociales y la economía.
3.4.‐ Estudio y representación gráfica de una función polinómica, racional, raíz, exponencial o logarítmica sencilla, a partir de sus propiedades locales y globales obtenidas del estudio de f y de f´.
1. CONCEPTO DE DERIVADA
1.1. Tasa de variación
Del curso pasado ya conoces la definición de derivada. Vamos a recordarla.
Recuerda que:
Se define la tasa de variación de una función f entre los valores a y b como:
TV(a, b) = f(b) f(a)
Tasa de variación media
Se define la tasa de variación media de una función f entre los valores a y b como:
TVM(a, b) =
a b
a f b f
( ) )
(
La tasa de variación media determina la pendiente o coeficiente angular de la recta secante que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).
Actividades resueltas
La pendiente o coeficiente angular de la recta secante de y = x² 2x en el intervalo [1, 3] es:
2 2 4 2
) 2 1 ( ) 6 9 ( 1
3 ) 1 ( ) 3
(
f
f .
En efecto, la recta que pasa por los puntos (1, –1) y (3, 3) tiene de ecuación: y = 2x – 3, y su coeficiente angular es 2.
La pendiente o coeficiente angular de la recta secante de y = x² + 3x en el intervalo [–2, 0] es:
2 1 ) 2 ( 2
)) 2 ( 3 ) 2 ((
) 0 ( ) 2 ( 0
) 2 ( ) 0
( 2
f
f .
En efecto, la recta que pasa por los puntos (–2, –2) y (0, 0) tiene de ecuación: y = x, y su coeficiente angular es 1.
La tasa de variación media de una función f en el intervalo (a, b) coincide con la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).
Ganancias de una empresa Las ganancias de una empresa han sido:
Años 2009 2010 2011 2012 2013 2014
Ganancias (miles de euros) 632 605 696 792 681 747
¿En qué año fueron máximas las ganancias? ¿Cuál ha sido la ganancia media desde 2009 hasta 2014? ¿Y desde 2011 hasta 2014?
Las ganancias fueron máximas en el año 2012.
La ganancia media entre 2009 y 2014 ha sido:
a b
a f b f
( ) )
( = 19
5 95 5
632 747 2009
2014
) 2009 ( ) 2014
(
f
f euros
La ganancia media entre 2011 y 2014 ha sido:
a b
a f b f
( ) )
( = 17
3 51 3
696 747 2011
2014
) 2011 ( ) 2014
(
f
f euros
C(x) = x2 + 5x es la función de costes donde C(x) indica el coste de fabricación de x unidades.
Calcula la tasa de variación media entre 0 y 500 unidades, y la tasa de variación media entre 200 y 500 unidades.
500 505 252500 500
) 0 ( ) 2500 250000
( 0
500 ) 0 ( ) 500 ) (
500 , 0
(
C C
TVM
66 ' 300 1701
42000 252500
300
) 2000 40000
( ) 2500 250000
( 200
500
) 100 ( ) 500 ) (
500 , 200
(
C C
TVM .
Actividades propuestas
1. Halla la tasa de variación media en los intervalos [–5, 5], [2, 7] y [0, 9] de las funciones siguientes:
a) y = 4x – 2 b) y = –6x – 1 c) y = 0’4x + 3 d) y = x – 8
A la vista de lo que has obtenido, ¿crees que la tasa de variación media de las funciones polinómicas de primer grado es siempre constante e igual a la pendiente de la recta que la representa?
2. Halla la tasa de variación media de la función y = 2x2
+ 5 en los intervalos [–4, 4], [0, 3] y [1, 7]. ¿Es ahora constante?
3. Halla la tasa de variación media de la función y = x3 + 2 en los intervalos [–2, 2], [1, 3] y [2, 5].
Habrás comprobado que en los dos últimos ejercicios la tasa de variación media no es constante.
4. Se estudia la posición de un coche respecto de la salida de un túnel y se obtienen los datos siguientes:
Tiempo (segundos) 0 5 10 15 20 25 30 40 50
Distancia (metros) 0 80 150 250 300 400 500 600 720
a) Calcula la velocidad media del coche en el intervalo [0, 40].
b) Calcula la velocidad media en los intervalos [10, 30] y [20, 40]. ¿Es contante?
c) Si la velocidad máxima permitida es de 120 km/h, ¿consideras que ha podido sobrepasarla en algún momento? ¿Y si la velocidad máxima fuese de 80 km/h?
5. La función de beneficios de una cierta empresa viene dada por: B(x) = x2 + 8x + x , donde B(x) indica el beneficio que obtiene la empresa cuando fabrica x unidades. Calcula la tasa de variación media de los beneficios entre 0 y 81 unidades, y la tasa de variación media de los beneficios entre 25 y 64 unidades.
6. Una empresa determina que los costes de producción por trabajador contratado son C(x) = x + 2 x
y que los ingresos por ventas también por trabajador contratado vienen dados por I(x) = 3x + x2. Por tanto los beneficios B(x) por trabajador contratado son ingresos menos costes. (Observa que estas funciones no son continuas, no se pueden contratar 3’7 trabajadores, es una función escalonada, pero vamos a trabajar con ellas como si fueran continuas). Determina la tasa de variación media si se contratan entre 100 y 900 trabajadores.
1.2. Concepto de derivada de una función en un punto
La derivada de una función en un punto responde al estudio de dos problemas aparentemente distintos:
El primero es el estudio del ritmo de variación de la función en dicho punto. El segundo es de índole geométrica: la derivada de una función en un punto indica el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto.
El estudio de la tasa de variación media nos resultaba insuficiente para resolver determinados problemas.
Por ejemplo: Si un avión (o un coche) sufre un accidente, y los expertos quieren determinar las causas, no les interesa la velocidad media del avión, (o del coche) sino la velocidad instantánea en el momento del accidente.
Otro ejemplo más: Los bomberos utilizan lonas para recoger a las personas que deben saltar de un incendio.
Para fabricar la lona y que resista deben conocer la velocidad en el momento del impacto, no la velocidad media de caída.
Definición:
Si X es un intervalo abierto, f: X una función continua en a X, se dice que f es derivable en a si existe el límite:
a x
a f x
lím f
a
x
) ( )
(
y es un número real (es decir, no es infinito).
El valor del límite lo denominamos derivada de f en x = a, y lo representamos por f’(a), Df(a) o por )
dx(a
df .
x a
a f x a f
dx a df DF a
f lím
a
x
) ( ) ) (
( ) ( ) (
' =
h a f h a
lím f
h
) ( ) (
0
Actividades resueltas
Utiliza la definición de derivada para estudiar la derivabilidad de la función f(x)cos x en x = 0.
Observa que la función no está definida para valores negativos de la variable. Si x > 0
x x x sen
f'( ) 2
,
expresión que no está definida para x = 0. Para estudiar la derivabilidad de la función en x = 0, utilizamos la definición de derivada:
h f h f lím f
h
) 0 ( ) 0 ) (
0 (
' 0
2
1 1 2 lim 1
2 lim 1 1
2 1 1 lim
limcos
0 0 0
0
h
h h sen
h sen h
h
h h h
h .
Luego la función es derivable en {x x 0}.
Derivación y continuidad
Si f es derivable en un punto entonces la función es continua en dicho punto.
Actividades resueltas
Las funciones cuyas gráficas aparecen a continuación son continuas en todos los puntos, y derivables en todos los puntos excepto en x = 0. Observa el comportamiento de la gráfica en dicho punto.
Los límites laterales existen, pero no coinciden, valen 1 y 1 respectivamente.
Los límites laterales existen, pero no coinciden, valen 0 y 1 respectivamente.
La función y = x2/3 es continua pero no es
derivable en x = 0.
La función y = x1/3 es continua pero no es derivable en x = 0.
Actividades propuestas
7. Utilizando la definición de derivada comprueba que las derivadas de las siguientes funciones en los puntos indicados es el valor dado:
a) f(x) = x3 en x = 2 f’(2) = 12.
b) g(x) = x + 2 en x = a g’(a) = 1.
c) h(x) = x2cosx en x = 0 h’(0) = 0.
d) 2 1
4 ) 3
(
x x x
r en x = 1 r’(1) = –11.
8. Haciendo uso de la definición de derivada comprueba que la derivada de
senx x
f 1
)
( en x = a es igual a
a a x
f 1
1 cos )
(
' 2
si a es distinto de 0.
9. Estudia la derivabilidad en x = 0 de f(x) = x3 (Selectividad Junio 1995)
1.3. Interpretación geométrica de la derivada. Recta tangente
Recuerda que:
La pendiente de la recta tangente a la gráfica de y = f(x) en el punto (a, f(a)) es igual a f’(a). Por tanto la ecuación de la recta tangente es:
y = f(a) + f ’(a)·(x a).
Ejemplo:
Para encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función y = 2x³ + x en x = 1 buscamos la recta de pendiente f’(1) que pase por el punto (1, f(1)):
f(1) = 21³ + 1 = 3; f’(x) = 6x² + 1; f’(1) = 6·1² + 1 = 7;
Ecuación de una recta de pendiente 7 que pasa por el punto (1, 3):
y = 3 + 7(x 1) = 7x – 4.
Actividades resueltas
Se consideran las funciones f(x) = x2 2x + 3, g(x) = ax2 + b
a) Calcula a y b para que las gráficas de f y g sean tangentes en el punto de abscisa x = 2.
b) Para los valores de a y b calculados en el apartado anterior, dibuja las gráficas de ambas funciones y halla la ecuación de la recta tangente común. (Selectividad: Septiembre 01. Opción A)
a) Calculamos las derivadas en x = 2 f’(x) = 2x 2, g’(x) = 2ax f’(2) = 2, g’(2) = 4a 2 = 4a a = ½.
Para x = 2 f(2) = 3 = g(2) = (1/2)4 + b = 2 + b b = 1.
b) Recta tangente en (2, 3) de pendiente 2: y = 3 + 2(x 2) = 2x – 1.
Las funciones son parábolas de vértices (1, 2) y (0, 1) respectivamente, que pasan por el punto (2, 3).
Actividades propuestas
10. Dada la función f(x) = ln 1
2
x
x , donde ln significa logaritmo neperiano, definida para x > 1 halla un punto (a, f(a)) tal que la recta tangente a la gráfica de f(x) en ese punto sea paralela al eje OX.
Selectividad. Septiembre 05. Opción B
11. Dada la función f(x) = 6x2 – x3. Halla un valor a > 0 tal que la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f(a)) sea paralela a la recta y = –15x. Selectividad. Curso 06/07. Modelo. Opción B 12. Se considera la función f(x) = x2 + m, donde m > 0 es una constante.
a) Para cada valor de m halla el valor a > 0 tal que la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f(a)) pase por el origen de coordenadas.
b) Halla el valor de m para que la recta y = x sea tangente a la gráfica de f(x). Selectividad. Junio 07. Opción A
1.3. Función derivada. Propiedades
Recuerda que:
Si f es derivable en X se llama función derivada de f a la función que asocia a cada número real de X el valor de la derivada de f en dicho punto. A esta nueva función la designamos por f’, Df o
dx df .
Por ejemplo,
En el caso: f(x) = x³ entonces f’(a) = 3·a². Por lo tanto, si f(x) = x³ entonces f ’(x) = 3·x².
Pero a la función derivada podemos volverla a derivar, y obtener así la derivada segunda: f ’’(x) = 6·x.
Y volver a derivar, obteniendo la derivada tercera: f ’’’(x) = 6. Y la cuarta: f IV)(x) = 0. ¿Cuánto vale la derivada 28 de esa función? ¿Sabes hacerla? ¡Claro que sabes! A partir de la derivada tercera todas las derivadas valen cero.
Las derivadas sucesivas se pueden nombrar: f ’, f ’’, f ’’’, f IV), …, f n), o también Df, D2f, D3f, …, Dn)f.
Actividad resuelta
Calcula la derivada n‐ésima de f(x) = ln(x):
n n n
x x n
x f x
x f x x f
x
f ( 1) ( 1)!
) ) (
2 )(
1 ) ( ( '' 1 '
) ( 1 ''
) ( '
) 1 3
2
Notación diferencial
La tasa de variación media de una función y = f(x) en el intervalo (a, a + h) es:
h a f h a
f( ) ( )
siendo el numerador el incremento de la función y el denominador el incremento de la variable.
Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó la notación:
dx
dy para denotar la derivada de la función y respecto de la variable x, donde dy y dx no son numerador y denominador, sino un todo inseparable. Se lee, derivada de y respecto de x.
Esta notación es útil, sobre todo, si hay distintas variables.
Ejemplo:
Si S = 4πr² entonces r dr
dS 8 .
Si V = πr²h entonces dr
dV = 2πr·h y
dV = πr².dh
2. CÁLCULO DE DERIVADAS
Suma, producto cociente de derivas de funciones polinómicas, logaritmo y exponencial
La función derivada es lineal
Recuerda que:
La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada una. Es decir:
(f + g)’(x) = f’(x) + g’(x)
La derivada de una función multiplicada por una constante es igual a la constante por la derivada de la función:
Si f(x) = c·g(x) entonces f’(x) = c·g’(x).
Estas dos propiedades, que ya conoces del curso pasado, nos indican que el operador derivada, D, es lineal y permiten escribir: D(f + g) = Df + Dg D(cf) = cDf
Operaciones con derivadas
Recuerda que:
Pero también conoces el comportamiento de la derivada con otras operaciones, el producto, cociente, composición….
La derivada del producto de dos funciones es igual al producto de la derivada de la primera función por la segunda función sin derivar más el producto de la primera función sin derivar por la derivada de la segunda función: (f · g)’(x) = f ’ (x) · g(x) + f(x) · g’(x)
La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, divididos por el cuadrado del denominador:
)( )2( ) '( )( ) ( ) '
( g x
x g x f x g x x f
g
f l
La regla de la cadena expresa la derivada de la composición de funciones fg(x) en términos de las derivadas de f y g: h(x)
f g
(x) f
g(x)
h'(x)(f g)'(x) f'
g(x)
g'(x)o escrito en notación de Leibniz:
dx dg dg df dx
df
Actividades resueltas
Calcula la derivada de y = (x7 + 2)5.
Para aplicar bien la regla de la cadena es muy importante que comprendas bien la composición de funciones. En la derivada propuesta tenemos la función potencial “elevar a 5”, cuya derivada conoces bien 5x4, y la función x7 + 2 cuya derivada es 7x6.
Aplicamos la regla de la cadena, primero la derivada de la función potencial en el punto x7 + 2, y luego multiplicamos por la derivada de esta función: y’ = 5(x7 + 2)4 · 7x6.
Calcula las derivadas de las funciones siguientes y comprueba el resultado:
a) y = sen2(x) y’ = 2sen(x) · cos(x) b) y = sen(x²) y’ = cos(x²) · 2x
c) x x x
f
2 ) 2
(
4 2
) 2 ( ) 2 ( '
x x
x
f d)
2 2
1 1 ) 2
(
x x x x
f
3 2 2
2
) 1 (
4 ) 1
( '
x x
x x
f
e) f(x)(3x) 3x
x x x
f
3 2
) 1 ( ) 3 (
' f) f(x) x29
) 9 (
' 2
x x x
f
Actividades propuestas
13. Si f y g son dos funciones derivables en todo punto, y se sabe que f(1) = 2, f(2) = 5, g(1) = 1, g(2) = 6, f ’(1) = 3, f’(2) = 6, f’(6) = 4, g’(1) = 1, g’(2) = 3, g’(5) = 1. Determina el valor de: a) (f g)'(2); b)
) 1 ( )'
(g f ; c) (g f)'(2); d) (f f)'(1).
14. Sean u(x) y v(x) dos funciones derivables en un punto x. Pruébese que su producto u(x)v(x) es derivable obteniendo la expresión de su derivada: Du(x)v(x) = u’(x)v(x) + u(x)v’(x)
(Selectividad Septiembre 1995)
Derivada de la función potencial: La derivada de la función f(x) = xk, para cualquier valor numérico de k, es f ’(x) = kxk1.
Derivada de la función logaritmo: Si f(x) = loga(x) entonces f ’(x) = x 1logae.
Derivada de la función exponencial: Si y = ax entonces y’ = ax ln(a).
Derivada de la función seno: Si f(x) = sen(x) entonces f ’(x) = cos(x).
Derivada de la función coseno: Si f(x) = cos(x) entonces f ’(x) = sen(x).
Actividades resueltas
Observa cómo se han obtenido las derivadas siguientes:
Función f(x) = x6 f(x) = x = x1/2 f(x) = n x = x1/n f(x) = 1/x = x1 f(x) = 1/x² = x2
Derivada f’(x) = 6x5
f’(x) = 2 x
1 f’(x) = (1/n)x(1/n)1 = (1/n)x(n-1)/n =
n n
x
n 1
1
f’(x) = (1)x⁻² = 21 x
f’(x) = 2x⁻³ = 32 x
Calcula las siguientes derivadas y comprueba el resultado:
a) f x 1x )
(
x x x
f 2
) 1 (
' b)
9 ) 4
( x3x2 x
f
9 2 ) 3
(
' x2 x
x
f
c) f(x)3 x f ’(x) 3 3 2
1 x
d) f(x) = ln(x5 7x8) f'(x) = (5 56 )
7
1 4 7
8
5 x x
x
x
e) f x x x 5x
4 )
( 3 3 2
2
5 3
1 ) 1
(
' x x x x
f f)
3
)3
1 ) (
(
x x x
f
x x
x x x
f 2
2
2
) 1 ( ) 1 ( ) 3 (
'
g) f(x)(2x1)(x26x3)f'(x)6x226x12 h)
3 ) 4 ) (
( 2
x x x
f 2
) 3 (
) 4 )(
2 ) (
(
'
x
x x x
f
Calcula las siguientes derivadas y comprueba los resultados:
a) 1 cos( ) ) ) (
( x
x x sen
f
) cos(
1 ) 1 (
' x x
f b) f(x)cos(sen25x)f ('x)10sen5xcos5xsen(sen25x) c) f(x)tg(5x7)
) 7 5 ( cos ) 5 (
' 2
x x
f d) f(x)cos(sen5x) f'(x)5cos5xsen(sen5x) e) f(x)2 cos3x
x x x sen
f cos3
3 ) 6
(
' f)
) ( 1
) ( ln 1
)
( sen x
x x sen
f
) cos(
) 1 (
' x x
f
g) f(x)ln(sen2(x))
) ( ) 2 (
' x tg x
f h) f(x) sen(cos(x)) f'(x)sen(x)cos(cos( x)) i) f(x)ln(sen(x)) f’(x) = cotg(x) j) f (x) = ln(cos(x)) f ’(x) = tg(x)
Actividades propuestas
15. Calcula las derivadas de las siguientes funciones:
a) y65x11; b)
7 3
3
3
4 2
x
x
y x ; c) 3
5 4
7 ) 4 3 (
x x
y x ; d)
5 2
3 7
x
y x .
16. Calcula las derivadas de las siguientes funciones:
a) 35 9
3 7 5 5
36 4
7
2 x x
x x
y x
b)
x x
x x x y x
5 2
) 6 4 )(
5 (
4 3 3
c)
4 5 2
2 4
6 4
5 3
x x
x
y x d) 3 55
5
5 x x
y
17. Calcula las derivadas de las siguientes funciones:
a) x
x
e tg e x
f 3
3
1 ) 1
(
b) f(x)(23x)sh(23x)
c) x
tg senx x
f 3 2cos
9 ) 4
(
d)
xsenx x
x x x senx
f
cos ) cos
(
3. APLICACIONES DE LA DERIVADA
3.1. Crecimiento y decrecimiento
Recuerda que:
Si f’(a) > 0 entonces la función y = f(x) es creciente en x = a. Si f’(a) < 0 entonces la función y = f(x) es decreciente en x = a. Ejemplo:
Determina si y = 0’2x² + 150x – 180 es creciente o decreciente en x = 5.
Calculamos la derivada: y’= 0’4x + 150; en x = 5: y’(5) = 0’4(5) + 150 = 152 > 0. La función es creciente.
Actividades propuestas
18. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función: y = x³ 3x. ¿Cómo es en x = 0? ¿Y en x = 2? ¿Y en x = 2?
3.2. Máximos y mínimos
Recuerda que:
Una función alcanza en (a, f(a)) un máximo global o absoluto si f(a) es el mayor valor que alcanza la función.
Una función alcanza en (a, f(a)) un mínimo global o absoluto si f(a) es el menor valor que alcanza la función.
Una función alcanza en (a, f(a)) un máximo local o relativo si existe un intervalo que contiene a a en el que f(a) es el mayor valor de la función en ese intervalo.
Una función alcanza en (a, f(a)) un mínimo local o relativo si existe un intervalo que contiene a a en el que f(a) es el menor valor de la función en ese intervalo.
Ejemplo:
La función y = x2(x – 2) + 4 de la gráfica del margen no alcanza ni máximos ni mínimos absolutos, pero alcanza un máximo relativo en punto A (0, 4) y un mínimo relativo en el punto B.
Ejemplo:
La función de la gráfica del margen no tiene máximos absolutos, pero alcanza máximos relativos en x = 1’25 y en x = 0’5.
Tiene tres mínimos que son a la vez absolutos y relativos en x = 2, x = 0 y en x = 1.
Si una función tiene un máximo o un mínimo en (a, f(a)) y existe f’(a), entonces f’(a) = 0.
Se denomina punto singular o punto crítico de y = f(x) a los puntos en los que se anula la derivada.
Para saber si un punto crítico es un máximo, o un mínimo, o un punto de inflexión podemos utilizar alguno de los tres criterios siguientes:
Criterio 1:
Si f’(a) = 0, estudiamos los valores de x próximos a a, tanto a la derecha como a la izquierda.
Criterio 2:
Estudiar el signo de la derivada en puntos x próximos a a, con lo que sabremos si la función crece o decrece en esos puntos.
Criterio 3:
Si f’(a) = 0 y f ’’(a) > 0 entonces (a, f(a)) es un mínimo.
Si f’(a) = 0 y f’’(a) < 0 entonces (a, f(a)) es un máximo.
Actividades resueltas
Calcula los máximos y mínimos de la función: y = 7x² + 5x. Calculamos la derivada y la igualamos a 0: y’ = 14x + 5 = 0 x = 5/14.
Para saber si es máximo o mínimo calculamos la derivada segunda: y’’ = 14 > 0. Es un mínimo.
La función es una parábola de vértice (5/14, 7(5/14)2 + 5(5/14)) (0’38, 0’89).
Para x < 5/14 la función es decreciente, y para x > 5/14, es creciente.
Dos observaciones importantes
1) Pueden existir máximos o mínimos en puntos donde no exista la derivada.
Por ejemplo:
La función valor absoluto de x tiene un mínimo en (0, 0).
0 0 x si x
x si
x x
Pero la derivada no se anula en (0, 0). No existe. La derivada a la derecha de 0 vale 1, y la derivada a la izquierda vale 1. Son distintas, luego la función no es derivable en (0, 0).
2) Pueden existir puntos donde la derivada valga 0 y sin embargo no sean ni máximos ni mínimos.
Por ejemplo:
La función y = x³ de derivada y’ = 3x², que se anula en (0, 0) no tiene en dicho punto ni un máximo, ni un mínimo. La función es siempre creciente. Va a tener en (0, 0) un
punto de inflexión de tangente horizontal.
Para estar seguros de no perder ninguna posible solución conviene, para determinar todos los máximos y mínimos absolutos y relativos de una función, buscar:
1) Los puntos donde se anula la derivada: f’(x) = 0.
2) Los puntos donde la función no sea derivable.
3) Los valores de f(x) en los extremos del dominio de definición de la función.
Determinar el valor de la función en todos estos puntos y comparamos estos valores.
Actividades resueltas
Determina los máximos y mínimos, absolutos y relativos, de la función f(x) = x3 9x2 + 24x, en el intervalo [1, 3] y en el intervalo [1, 5].
La función es derivable en todos los puntos. f’(x) = 3x2 18x + 24, que se anula en 2 y 4. En el intervalo [1, 5] ambas valores pertenecen al intervalo, por lo que los valores a valorar son: 1, 2, 4 y 5. En el intervalo [1, 3] el punto 4 no pertenece, luego tenemos que valorar 1, 2 y 3.
f(1) = 16; f(2) = 20; f(3) = 18; f(4) = 16; f(5) = 20.
Calculamos la derivada segunda: f’’(x) = 6x 18, en los puntos donde se anula la derivada:
f ’’(2) = 6 < 0; f’’(4) = 6. En (2, 20) se alcanza un máximo relativo y en (4, 16) un mínimo relativo.
Intervalo [1, 3]: Máximo absoluto y relativo es (2, 20) y mínimo absoluto es (1, 16).
Intervalo [1, 5]: Máximos absolutos es (5, 20) y (2, 20), mínimos absolutos son (1, 16) y (4, 16).
Determina los máximos y mínimos, absolutos y relativos, de la función f(x) = x en el intervalo [6, 2].
La función no es derivable en (0, 0). La derivada vale 1 si x es positivo y 1 si x es negativo, por lo que la derivada no se anula en ningún punto. Estudiamos los extremos del intervalo, 6 y 2:
f(6) = 6 = 6; f(2) = 2 = 2.
El mínimo absoluto de la función se alcanza en (0, 0) y el máximo absoluto en (6, 6). Hay un máximo relativo en (2, 2).
Actividades propuestas
19. Calcula los máximos y mínimos de las funciones siguientes:
a) y = x⁴ 1; b) y = 3x³ + 9; c) y = 4x⁴ – 2x² + 5; d) y = 9x³ – 3x2.
20. La velocidad de propagación de una onda de longitud x en aguas profundas viene dadas por la fórmula
x a a
v x en la que a es una constante conocida. Comprueba que la longitud que corresponde a un mínimo de velocidades x = a.
21. Demuestra que la suma de dos sumandos positivos, cuyo producto es constante, es mínima cuando estos son iguales.
22. Calcula los máximos y mínimos relativos y absolutos de la función: f(x) = 2x3 3x2 + 72x, en el intervalo [5, 5] y en el intervalo [1, 4].
23. Determina los máximos y mínimos de las funciones siguientes:
a) y = Ix – 9I;
b) y = Ix + 2I + Ix 3I.
24. Determina los máximos y mínimos, absolutos y relativos, de la función f(x) = x + 2 en el intervalo [4, 4].
25. Se considera la función:
0 x si
0 x si ) 1
( 2
x x x e f
x
Contesta, razonadamente, a las siguientes preguntas:
a) ¿Es continua en el punto x = 0?
b) ¿Es derivable en el punto x = 0?
c) ¿Alcanza algún extremo? (Prueba previa Selectividad 1999)
26. Se considera la función real de variable real definida por ) 1
( 2
x x x
f . Determinar sus máximos y
mínimos relativos. Septiembre 02. Opción A. Selectividad
3.3. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión
Sea f: [a, b] una función. f es convexa [a, b] si para toda terna x0, x, x1 del intervalo con x0 < x < x1 se verifica que:
0 1
0 1
0
0) ( ) ( )
( ) (
x x
x f x f x
x x f x f
.
f es cóncava [a, b] si, en las mismas condiciones, se verifica que:
0 1
0 1
0
0) ( ) ( )
( ) (
x x
x f x f x
x x f x f
.
Convexa
Cóncava
Observa que para esta definición no se ha impuesto ser derivable a la función. Si la función es derivable dos veces en el intervalo de estudio se tiene:
f es convexa [a, b] f’ es estrictamente creciente
0 ''
0 '' f
f
f es cóncava [a, b] f’ es estrictamente decreciente
0 ''
0 '' f
f
Observa también que si la función es convexa, la gráfica queda por encima de la recta tangente, y si es cóncava, por debajo.
Del mismo modo que en los puntos de la gráfica de una función en los que se anula la derivada primera se produce un cambio, pasa de creciente a decreciente, o viceversa, en los puntos en los que se anula la derivada segunda también se produce una modificación en la gráfica, pasa de cóncava a convexa, o viceversa.
Vamos a analizar ese cambio estudiando algunos casos:
En cuatro gráficas de arriba hemos señalado un punto y la recta tangente en ese punto. La derivada segunda se anula en los puntos señalados de las cuatro gráficas. Analiza lo que ocurre. Observa que la recta tangente deja a la gráfica unas veces por arriba y otras por abajo. Diríamos que atraviesa la gráfica.
Hay un cambio en la concavidad.
Esos puntos se llaman puntos de inflexión.
Si la función y =f(x) tiene un punto de inflexión en x = a, y existe la segunda derivada, entonces f’’(a)=0 Si además, como en la primera gráfica y en la cuarta, se anula la derivada primera se dice que tiene un punto de inflexión de tangente horizontal.
Observa las gráficas siguientes. Hay máximos, mínimos y puntos de inflexión en el origen (0, 0).
y = x4
y’(0) = y’’(0) = y’’’(0) = 0; yiv)(0) > 0 Mínimo
y = x5
y’(0) = y’’(0) = y’’’(0) = yiv)(0) = 0;
yv)(0) 0
Punto de inflexión de tangente horizontal
y = x6
y’(0) = y’’(0) = y’’’(0) = yiv)(0) = yv)(0) = 0; yvi)(0) < 0.
Máximo
y = x7
y’(0) = y’’(0) = y’’’(0) = yiv)(0) = yv)(0) = yvi)(0)= 0; yvii)(0) 0 Punto de inflexión de tangente
horizontal
Las propiedades estudiadas se pueden generalizar con el siguiente teorema:
Sea f: [a, b] una función k + 1 veces derivable en [a, b] y sea c un punto de (a, b). Entonces:
1) Si f’(c) = f’’(c) = … = f k)(c) = 0, f k+1) (c) 0 y k es impar:
Si f k+1) (c) < 0 entonces f alcanza un máximo relativo en c. Si f k+1) (c) > 0 entonces f alcanza un mínimo relativo en c.
2) Si f’’(c) = … = f k)(c) = 0, f k+1) (c) 0 y k es par, entonces f tiene un punto de inflexión en c. Si además f’(c) = 0 la tangente del punto de inflexión es horizontal.
Actividades resueltas
Determina los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad y convexidad de la función f(x) = x5 + 2x.
Calculamos la derivada segunda f’(x) = 5x4 + 2; f ’’(x) = 20x3. Se anula en x
= 0. Calculamos las derivadas sucesivas:
f ’’’(x) = 60x2; f IV)(x) = 120x; f V)(x) = 120; f ’’’(0) = f IV)(0) = 0y f V)(x) 0.
La primera derivada que no se anula en x = 0 es la quinta, es impar, luego en (0, 2) hay un punto de inflexión, y como no se anula la derivada primera no es un punto de inflexión de tangente horizontal.
La derivada segunda f ’’(x) = 20x3 es positiva si x > 0 y negativa si x < 0, por tanto la función es convexa si x > 0 y cóncava si x < 0.
Actividades propuestas
27. Sabiendo que una función f(x) tiene como derivada f ’(x) = (x 4)2(x2 8x + 7), a) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f
b) Halla los máximos y mínimos relativos de f
c) ¿Es el punto x = 4 un punto de inflexión de f? Justifica razonadamente la respuesta.
Septiembre 04. Opción A
28. Determina los máximos, mínimos y puntos de inflexión de las funciones siguientes:
a) y = x³ 3x² + 6x + 11; b) y = x³ – 7x + 8;
c) y = x5 + 2;
d) y = x4 – 3.
3.4. Representación gráfica de una función
Una de las aplicaciones de la derivada es la representación gráfica de funciones. Vamos a seguir un orden para hacerlo:
1) Puntos de intersección con los ejes coordenados.
2) Asíntotas. Dominio de definición. Comportamiento en el infinito.
3) Derivada primera: crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.
4) Derivada segunda: concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.
Actividades resueltas
Haz un esbozo de la gráfica de la función: f(x) =
) 2 )(
1 (
) 3 )(
1 (
x x
x
x
1) Puntos de intersección con los ejes coordenados: En ocasiones es difícil encontrarlos. En otras es sencillo como en este caso. Para x = 0 y = 3/2, A(0, 3/2). La ordenada vale 0 para x = 1 y para x =
3, B(0, 1), C(0, 3).
2) Asíntotas. Dominio de definición. Comportamiento en el infinito: La función está definida en toda la recta real excepto en los valores que anulan al denominador, donde tenemos dos asíntotas verticales: x = 1 y para x = 2. Cuando x tiende a infinito la y tiende a 1, luego tenemos una asíntota horizontal: y = 1.
En muchas ocasiones con esta información ya somos capaces de hacer un primer esbozo de la gráfica:
Haz un esbozo de la gráfica de la función: f(x) =
1 0
2 2
0
2
x x si
x x
x x si
ex
1. Puntos de intersección con los ejes coordenados.
La rama I no corta al eje de abscisas. La rama II tampoco. Si x = 0 en la rama II tenemos que f(0) = 2, el punto B (0, 2) de la gráfica.
2. Asíntotas. Dominio de definición. Comportamiento en el infinito.
La función f(x) es continua en todos los puntos salvo en {0, 1}
Comportamiento en x = 0:
x lím e
x
x 0 . A la izquierda de 0 toma el valor 2.
En x = 1 tiene una asíntota vertical.
Comportamiento en x tiende a :
x
lím e
x
x ;
1
2
2 2 x
x lím x
x .
3. Derivada primera: crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.’
f'(x) =
1 0
4 2
) 0 1 (
2 2
2
x si x
x x
x x si
x ex
En x = 0 no es derivable pues no es continua.
Observando el signo de la derivada tenemos que la función es creciente en el intervalo (,1 5), decreciente en (1 5 ,1), decreciente en (1, 0), y es decreciente en (0, 1) y creciente en (1, +)
En x = 1 hay un mínimo: A (1, e).
En x = 1 5 hay un máximo, en el punto C de la gráfica.
4. Derivada segunda: concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.
f’’(x) =
1 0 10
) 0 2 2 (
3 3 2
x si x
x x si
x x ex
La derivada segunda no se anula en la rama I ni en la rama II. No hay puntos de inflexión. Es cóncava de (, 1 ) y convexa de (1, 0) y de (0, +).
Actividades propuestas
29. Se considera la función f(x) = 2 4
1
x
a) Indicar el dominio de definición de la función f y sus asíntotas
b) Hallar los extremos relativos de la función f y sus intervalos de concavidad y convexidad.
c) Dibujar la gráfica de f y hallar su máximo y su mínimo absoluto en el intervalo [1, 1].
Selectividad. Curso 00/01. Modelo opción A
30. Sea la función
x x senx
f( ) 2 cos
definida en el intervalo cerrado y acotado [2, 2]. Se pide:
a) Calcular los puntos del intervalo dado donde f alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos.
b) Dibujar la gráfica de la función f en el intervalo dado. Selectividad. Septiembre 03. Opción A 31. Sea la función f(x) = 2x4 x
a) Estudia su continuidad y derivabilidad
b) Dibuja su gráfica. Selectividad. Septiembre 03. Opción B
32. Se considera la función
1 4
) 1 2 ) (
( 2
2
x x x
f
Calcula las asíntotas, el máximo y el mínimo absolutos de la función f(x). Selectividad Junio 04. Opción A
3.5. Problemas de optimización
A los problemas de máximos y mínimos se les suele denominar problemas de optimización.
Actividades resueltas
Cortando un mismo cuadrado de las cuatro esquinas de una hoja rectangular de dimensiones a y b se puede construir una caja abierta por la parte superior. Calcula el lado del cuadrado que hay que cortar para que la caja tenga máxima capacidad.
El volumen de la caja es el producto de los tres lados. Si cortamos las esquinas el rectángulo de longitud b tendrá ahora una longitud b – 2x. Lo mismo el de longitud a. La altura es x.
V = (b – 2x)(a – 2x)x = 4x3 – 2bx2 – 2ax2 + abx.
Para hacer el volumen máximo, derivamos e igualamos a cero.
V’ = 12x2 – 4(b + a) + ab = 0
6
2
2 a ab
b a
x b
Por consideraciones geométricas, el valor obtenido es un máximo, pues si el lado del cuadrado vale 0, o si vale la mitad del lado, el volumen de la caja es mínimo, vale 0, pues no se forma caja.
Entre todos los cilindros de volumen V dado determina el radio y la altura del de mayor superficie.
El volumen de un cilindro es igual a: V = πr2h, y su superficie total es igual a S = 2πrh + 2πr2.
La superficie depende de dos variables, el radio y la altura. Como nos dicen que el volumen es dado, despejamos de su expresión por ejemplo la altura, y la sustituimos en la superficie:
r2
h V
2 2 2 2 2
2
2 r
r r V r
r V
S
Derivamos la superficie respecto a r, e igualamos a cero la derivada:
0 2 4
' 2 r r
S V 22
4 r
r V
2
3 V
r
Para saber si ese valor del radio conduce a un máximo o a un mínimo. Hallamos el signo de la derivada segunda:
4 12
2 4 4 '' 43
V V r
S V > 0
La solución obtenida nos da una superficie mínima.
3 3
2
4
2
V
V
h V ; 3
2V
r
Actividades propuestas
33. Se desea fabricar envases con forma de ortoedro de base cuadrada de forma que el volumen sea de dos litros y la superficie empleada sea mínima.
34. Determina las dimensiones de un cono de volumen mínimo inscrito en una esfera de radio R = 5 cm.
(Ayuda: La altura del cono es igual a R + x, y el radio de la base r2 = R2 – x2).
35. Calcula la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 y área máxima.
(Junio 04. Opción A Selectividad)
