Diseño discreto de controladores digitales.

5 5

CAPITULO

Diseño discreto de controladores digitales.

Si quieres aprender, enseña.

Cicerón

Contenido:

Tema 5.1: Controlador prototipo mínimo.

Tema 5.2: Controlador prototipo mínimo con factor suavizante.

Tema 5.3: Corrector de respuesta finita pero no mínima.

Tema 5.4: Controlador para perturbaciones.

Tema 5.5: Observadores de estado digitales.

Tema 5.1 Controlador Prototipo mínimo.

Un controlador prototipo mínimo se diseña cuando se desea una respuesta rápida y un error nulo en estado estacionario.

El primer requisito se puede satisfacer si se tiene un tiempo de respuesta finito y mínimo.

Se dice que un sistema tiene tiempo de respuesta finito si la salida alcanza su valor, en régimen permanente, en un número finito de períodos de muestreo, considerando esta salida sólo en estos instantes. Esto se logra a partir de una asignación de polos del sistema global (Fig. 5.1) en el origen del plano z.

Y(z)

- +

E(z) U(z)

R(s) D(z) R

o

(s) G(s) Y(s)

Fig. 5.1 Esquema de control digital directo.

Por otra parte, el requerimiento de tener un error nulo en estado estacionario a un cierto tipo de entrada, se logra con la introducción de un número adecuado de integradores en el controlador.

La afirmación de que un sistema con tiempo de respuesta finito tiene todos sus polos en el origen se puede demostrar de la manera siguiente:

Sea m el grado del polinomio r(t), que es la entrada de un sistema. Entonces:

( ) ∑

⁺

=

=

¹

1 m

i i

i

s s a

R

y

( )

_{1 1}

) 1 (

) (

+

−

−

=

_m

z z z A

R

(5.1)

A(z) es un polinomio en z^-1 de grado menor o igual a m, sin raíces en z = 1.

Sea (Fig. 5.1):

) ) (

( )

( F z

z R

z

Y =

y

( ) )

( )

( W z

z R

z

E =

(5.2)

Como

) ( ) ( 1

) ( ) ) (

( D z RoG z

z RoG z z D

F = +

y

) ( ) ( 1 ) 1

( z D z RoG z

= +

W

,

entonces:

) ( 1 )

( z F z

W = −

(5.3) De (5.1) a (6.3) :

[ ^{1 ( )} ] ^{( )} ( ¹

¹

)

^{( 1}

)

( z = − F z A z − z

^{− −m+}

E

⁾

Hágase ahora

(5.4)

) ( )

1 ( ) (

1 − F z = − z

^{−1 k+m+1}

B z

donde B(z) es un polinomio en z^-1 de grado e y

k ≥ 0

Entonces

(5.5)

) ( ) ( ) 1 ( )

1 )(

( ) ( )

1 ( )

( z z

^{1 1}

B z A z z

^{1 ( 1)}

z

¹

A z B z E = −

^{− k+m+}

−

^{− −m+}

= −

^{− k}

A y B son polinomios finitos en z^-1, por lo que E también es un polinomio finito.

Entonces el error es nulo después de un cierto número de instantes de muestreo, dado por

[ ^{A ( z )} ] ^grado [ ^{B ( z )} ]

.

grado k

n = + +

Por otra parte, de (5.4), si

j = k + m + 1

:

) ...

( ) 1 ( 1 ) ( ) 1 ( 1 )

( z = − − z

⁻¹

B z = − − z

⁻¹

b

₀

+ b

₁

z

⁻¹

+ + b l z

^−l

F

^{j j}

o sea:

l l l

+

+

+

+ + −

= −

^j _j ^j

z

b z

z b F

1

0

) ... ( 1 )

1 ) ( (

de donde se observa que todos los polos de F(z) se encuentran localizados en el origen.

Síntesis de un Sistema Mínimo

Se dice que un sistema es mínimo cuando el grado del polinomio E(z) [Ec. (5.5)] es mínimo.

Sistema Mínimo Absoluto

Anteriormente se había obtenido [Ec. (5.5)]:

) ( ) ( ) 1 ( )

( z z

¹

kA z B z E = −

⁻

El régimen transitorio es mínimo si k=0 y B(z)=1. En este caso:

(5.6) )

( ) (z A z E =

De (5.1), (5.2) y (5.6) la función de transferencia entre el error y la entrada será:

1 1 1

1

( 1 )

) 1 /(

) (

) ) (

(

_{− +}

= −

^{− +}

= −

_m

z

^m

z z

A

z z A

W

(5.7)

y la función de transferencia global es [de (5.4)]:

(5.8)

1 1

) 1 ( 1 )

( z = − − z

^{− m+}

F

En el caso general en que A(z) sea un polinomio en z^-1 de grado i, e*(t) se anula en i+1 períodos de muestreo.

Si se tiene un sistema como el de la Fig. 5.1, la síntesis de D(z) se realiza como sigue:

La función de transferencia global es:

) ( ) ( 1

) ( ) ( )

( ) ) (

( D z H z

z H z D z

R z z Y

F = = +

donde

H ( z ) = RoG ( z )

. Por lo tanto, despejamos D(z):

)]

( 1 )[

( ) ) (

( H z F z

z z F

D = −

Sea K(z) la función de transferencia global que corresponde a un sistema mínimo absoluto para una cierta entrada [Ec. (5.8)]. Entonces:

(5.9)

)]

( 1 )[

( ) ) (

( H z K z

z z K

D = −

Además puesto que

1 ( )

) (

) ) (

( F z

z R

z z = E = −

W

[Ec. (5.3)]:

(5.10) )

( ) (

) ) (

( H zW z

z z K

D

ma

=

donde

W

_ma

( z ) = 1 − K ( z )

Resumiendo, el cálculo del corrector para un sistema mínimo puede realizarse de acuerdo al siguiente procedimiento:

a) Obtener

H ( z ) = RoG ( z )

b) A partir de la entrada r(t) para la cual se diseñará el controlador, calcular

_{1 1}

) 1 (

) ) (

(

_{− +}

= −

_m

z z z A

R

e identificar A(z) y m.

c) Calcular

K ( z ) = 1 − ( 1 − z

⁻¹

)

^m+1 [Ec. (5.8)]

d) Calcular

)]

( 1 )[

( ) ) (

( H z K z

z z K

= −

D

[Ec.(5.9)]

Ejemplo:

Considérese un sistema cuya función de transferencia

H ( z ) = RoG ( z )

es:

(

¹

)(

¹

)

1 1

368 . 0 1 1

) 718 . 0 1 368 (

. 0 )

(

_{− −}

−

−

−

−

= +

z z

z k z

z H

Corrector para entrada tipo escalón

Si

r ( t ) = 1

, entonces ₁

1 ) 1

(

₋

= − z z

R

. De donde

A ( z ) = m 1 , = 0

De (5.8),

K ( z ) = 1 − ( 1 − z

⁻¹

) = z

⁻¹

Y de (5.9):

1 1

718 . 0 1

72 . 2 ) 1

(

₋

−

+

= −

z z z k

D

Corrector para entrada tipo rampa:

Si

r ( t = ) t

, entonces _{1 2}

1

) 1 ) (

(

₋

−

= − z z TZ

R

, de donde

)

1

( z = TZ

⁻

A

y

m = 1

De (5.8):

K ( z ) = 1 − ( 1 − z

⁻¹

)

²

= 2 z

⁻¹

− z

⁻²

y de (5.9):

2 1

2 1

718 . 0 282 . 0 1

72 . 4 44 . 5 ) 1

(

_{− −}

−

−

−

−

+

= −

z z

z z z k

D

En la Fig. 5.2 se muestra la salida de este sistema, cuando se aplica un corrector par las entradas mencionadas.

Y(k)

k x

x x

0

x x

3 4 1 2

1

2T 3T 4T

k x

x x

x x

T

0 1 2 3 4 5 6

Fig. 5.2 Respuesta de un prototipo mínimo diseñado para: a) una entrada escalón; b) una entrada rampa

Comportamiento a otras entradas

Como puede observarse del desarrollo anterior, el prototipo mínimo se diseña para una entrada particular. Se estudiará ahora su comportamiento cuando se aplica al sistema una entradas diferente a aquella para la que fue diseñado.

Considérese un corrector diseñado para una entrada tipo rampa. En este caso:

2 ) ) 1

( , ) (

1 1

−

−

= −

=

z z TZ R

t t r

de donde

= 1

m

y

K ( z ) = 1 − ( 1 − z

⁻¹

)

^m+1

= 2 z

⁻¹

− z

⁻²

Si se aplica una entrada tipo escalón, la salida estará dada por:

1 2

1

1 ) 1 2

( ) ( ) ( )

(

^{− −} ₋

− −

=

= K z R z z z z

z Y

o sea:

Y ( z ) = 2 z

⁻¹

+ z

⁻²

+ z

⁻³

+ ...

y(k) se muestra en la Fig. 5.3

k x

x x x x

2

1

0 1 2 3 4 5

Fig. 5.3 Respuesta a una entrada escalón de un prototipo mínimo diseñado Para una entrada rampa.

Como se observa en la Fig. 5.3, el sistema no responde en tiempo mínimo sino hasta el segundo período de muestreo. Además, el sobrepaso es muy grande (100%).

Si se excita ahora al sistema con una entrada de aceleración,

r ( t ) = t

²

/ 2

,

3 1

1 1

2

) 1 ( 2

) 1 ) (

(

₋

−

−

−

= −

z z z

z T

R

. La salida será

( ^{2 7 14 ...} )

2 )

1 ( 2

) 1 ) (

2 ( )

(

^{1 2}

2 2 3

1 1 1

2 2

1

= + + +

−

− −

=

^{− − −} ₋ ⁻

T z

⁻

z

⁻

z

⁻

z z z

z T z z Y

Un análisis del error en estado estacionario daría lo siguiente:

[ ]

) 1 ( 2

) 1 ) (

1 ) ( 1 ( 2

) 1 ) (

(

) ( 1 ) ( ) ( ) (

1 1 1

2 2 1 3

1 1 1

2

−

−

− −

−

−

−

−

= +

− −

= +

−

=

−

=

z z z

z T z

z z

z T E

z K z

Y z R z E

y ^{1 2}

1

( 1 ) ( )

)

( t lím z E z T e

lím

t

=

z

−

⁻

=

→

∞

→

En conclusión puede decirse que el controlador prototipo mínimo se diseña para una entrada particular. Sin embargo, si bien el error es nulo para entradas de orden menor, su comportamiento transitorio no es satisfactorio. Por otra parte, el error a entradas de orden superior no es nulo en estado estacionario. De aquí la necesidad de diseñar, en ocasiones, controladores que respondan a un tiempo finito aún cuando no sea mínimo.

Sistema Mínimo no Absoluto.

En ocasiones no es posible o no resulta conveniente, realizar un sistema mínimo absoluto. Esta situación se presenta cuando se tienen polos o ceros del sistema

[ ^{RoG (z )} ]

situados fuera del círculo unitario.

A partir de la expresión para el controlador D(z), Ec. (5.9), puede verse que éste contiene la función de transferencia del sistema inverso, H^-1(z). Por tanto, si H(z) contiene polos y ceros fuera del círculo unitario, al diseñar D(z) por medio de esta expresión equivaldría a intentar cancelar dichos polos y ceros. Esto no resulta deseable pues si H(z) tiene ceros con magnitud mayor a uno, D(z) sería un bloque inestable. Por otra parte, si H(z) tiene polos fuera del círculo unitario, desde el punto de vista práctico la cancelación de estos polos por medio de D(z) no sería posible y el sistema global no funcionaría adecuadamente.

1) Si H(z) contiene ceros fuera del círculo unitario, se propone:

) ( ) ( )

( z N z Q z

K =

_H

donde

N

_H

(z )

es un polinomio en z^-1 del numerador H(z) que contiene los ceros de H(z) fuera del círculo unitario; Q(z) es un polinomio en z^-1 de grado mínimo.

2) Si H(z) contiene polos fuera del círculo unitario, se propone:

) ( ) ( )

1 ( ) (

1 − K z = − z

^{−1 m+1}

D

_H

z P z

) (z

D

_H es el polinomio en z^-1que contiene los polos de H(z) fuera del círculo unitario; P(z) es un polinomio en z^-1 de grado mínimo.

En este caso, D(z) se calcula como sistema mínimo absoluto.

Ejemplo:

Considérese un sistema cuya función de transferencia es:

) 3 (

1 2 1 )

3 ( ) 2

(

₁ ¹

1 2

2

H z

z z z

z z z z

H

₋

− −

+

= + +

= +

donde

H

¹

( z )

no contiene ni ceros ni polos fuera del círculo unitario.

H(z) contiene 3 ceros fuera del círculo uno finito, z=-2 y dos ceros infinitos. Contiene, además, un polo en z=-3.

Entonces:

) ( ) 3 1 ( ) 1 ( ) (

) ( ) 2 1 ( ) (

1 1

1 1 2

z P z z

z K z y

z Q z z

z K

m+ −

−

−

−

+ +

=

−

+

=

de donde el corrector tiene la forma siguiente:

( ) ( )

[ ^{1 1 3 ( )} ]

) 3 (

1

) 2 1 (

) ( ) 2 1 ) (

(

1 1 1 1

1 1 2

1 2

z P z z

z z H

z z

z Q z z z

D

m+ −

−

−

−

−

−

−

+

 −



 



 +

+

= +

) ( ) 1 )(

(

) ) (

(

_{1 1 1}

z P z

z H

z z Q

D

_{− m+}

= −

Tema 5.2 Controlador prototipo mínimo con factor suavizante.

Como se vio anteriormente, el prototipo mínimo es muy sensible al tipo de entrada, no respondiendo adecuadamente para entradas diferentes a aquella para la cual fue diseñado.

El comportamiento de un prototipo mínimo a otras entradas puede mejorarse introduciendo, en la función de transferencia global, un factor de la forma _N

a cz

) 1

( −

^{−1 , lo}

cual da como resultado, para K(z):

N m

cz z z aK

K ( 1 )

) ) (

(

₋₁

= −

donde es la función de transferencia global de un sistema mínimo absoluto. N es un entero positivo y c, el factor suavizante, es una constante de valor comprendido entre –1 y +1: - 1<c<1.

) (z K

_m

La experiencia muestra que con N = 1 se puede obtener buenos resultados, si bien es posible utilizar un número mayor o introducir un factor suavizante de la forma

) 1

( 1

1 −1

=

−

Π c z

a

i N i

Considérese el sistema mínimo para entrada escalón. En este caso:

) (

) ( ) 1

(

₁

1

z R

z Y cz z az

K =

= −

⁻₋

Para una entrada escalón Y(z) es:

1 1

1

´ 1

1 ) 1

(

_{− −}

−

• −

= −

z cz

z az Y

de donde:

c z a

Y z lím t y

lím

z

t

= −

⁻

= −

→

∞

→

( ) ( 1

¹

) ( ) 1

1

por lo tanto,

a = 1 − c

para que

y ( ∞ ) = 1

. Entonces:

1 1

1 ) 1 ) (

(

₋

−

−

= − cz

z z c

K

La respuesta al escalón para diferentes valores de c,se puede simular, de donde se puede concluir el efecto que tiene este factor sobre la dinámica del sistema global.

Si se aplica al sistema una entrada tipo rampa, el error en estado estacionario no es cero:

(

¹

)(

¹

)

1 2

1 1 1

1 2

1 1 1

1

1 1

) 1 ( 1

1 ) 1 ( 1

) 1 1 ( )

(

_{− −}

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

= −

−

−

= −

 −



 





−

− −

= cz z

Tz z

Tz cz

z z

Tz cz

z z c

E

y

( )

c z T

E z lím

e ∞ =

z

−

⁻

= −

→

1 ( ) 1

)

(

¹

1

Este error es menor a medida que c tiende a -1. Sin embargo, en esta medida la respuesta a la entrada escalón se vuelve más oscilatoria. Es necesario entonces establecer un compromiso entre el grado de oscilación y el error de velocidad deseado para elegir el valor más adecuado de c.

Tema 5.3 Corrector de respuesta finita pero no mínima.

Si bien el controlador con factor suavizante responde mejor a entradas diferentes a aquellas para la que fue diseñado un prototipo mínimo, este corrector no responde en tiempo finito.

Si se desea una respuesta en tiempo finito, además de un mejor comportamiento a entradas, puede diseñarse un controlador como se verá a continuación.

Consideremos un controlador diseñado para una entrada tipo rampa. En este caso:

2 1

2 1

2 ) (

) 1 ( ) ( 1

−

−

−

−

=

−

=

−

z z z K y

z z

K

La expresión del error es:

[ ]

 



=

=

= −

−

=

⁻₋

1 ) (

) ( ) 1

( ) ( 1 )

(

₁

1

t r

t t r si z

si z Tz

R z K z

E

) 1

( ) 1 ( ) (

1 − K z = − z

^{−1 2}

+ b

₁

z

⁻¹

En este caso, el sistema ya no responde en tiempo mínimo pero aún lo hace en tiempo finito. El error será:

 



=

−

−

−

=

⁻

+

₋ ⁻ ₋

1 ) ( )

1 ( 1

) ) (

(

₂

1 1 1

2 1 1

t r si z b z b

t r si z

Tb z Tz

E

de donde:

2 1 2 0

2 2

1

e ( kT ) T T b

E

k

∑

^∞

=

+

=

=

(entrada rampa)

2 1 1 2

0

2 1 2 1 2

2

2 2 2

) 1 ( 1 ) (

b b E

b b kT

e E

k

+

−

=

+

− +

=

= ∑

^∞

= (entrada escalón)

b1 puede seleccionarse entonces con un valor tal que E2 sea mínimo:

0 4

2

₁

1

2

= − + b =

db dE

de donde

5 . 1 5

.

0

₂

1

= y E =

b

En la Fig. 5.4 se muestra la respuesta a una entrada escalón para el sistema mínimo absoluto y el sistema con tiempo de respuesta finito, pero no mínimo, con . Se observa que el sobrepaso es menor con este último, si bien responde en un número mayor de períodos de muestreo que el primero.

5 .

1

= 0 b

k x x

x x x

x Y(k) 2.0

1.5

1.0

0.5

0 1 2 3 4 5

Fig. 5.4 Respuesta a entrada escalón para un sistema mínimo absoluto (x) y Un sistema con tiempo de respuesta finito, pero no mínimo.

Con este sistema, el criterio de error mostrado para una entrada rampa ( ) es mayor que el criterio de error del sistema mínimo absoluto. En este caso, mientras que en el primero, . Esto es normal pues el error del sistema mínimo absoluto es mínimo para la entrada a la cual fue diseñado.

E

1 2

1

T

E =

2 1

1 . 25 T

E =

Tema 5.4 Controlador para perturbaciones.

En la mayoría de las aplicaciones la influencia del medio ambiente sobre el proceso que se desea controlar es tal que su efecto se deja sentir sobre la salida. Se dice entonces que el sistema está sometido a perturbaciones, es decir, a señales de excitación diferentes a las entras de control del sistema. Estas perturbaciones producen generalmente efectos indeseables: desde una desviación temporal de la salida con respecto a la consigna hasta una desviación grande y permanente, que es necesario corregir.

El controlador prototipo mínimo puede ser diseñado también para anular el efecto que, sobre la salida, tienen estas perturbaciones. En este caso, la hipótesis más importante a considerar es que la forma de la perturbación puede ser aproximada a un polinomio (escalón, rampa, parábola, etc.)

Considérese el esquema de control mostrado en la Fig. 5.5. En éste, se supone que la perturbación actúa sobre la entrada del sistema que se desea controlar, lo cual es cierto en un gran número de aplicaciones.

P(s) + E

R

(s) + -

+ D(z) R

o

(s) G(s) Y(s)

R(s)

Fig. 5.5 Sistema de control con perturbación sobre la entrada de la planta

El controlador, en este caso, se diseñará con respecto a la perturbación presente, por lo que se supondrá que la referencia es cero: R(s)=0. Entonces, la salida estará dada por la expresión siguiente:

[ ( ) ( ) ]

) ( )

( s G s P s E s

Y = +

_R

además,

) (

* ) (

* ) ( )

(

) (

* ) (

* ) ( ) (

0 0

s Y s D s R s E

s E s D s R s E

R R

−

=

=

Transformando a z, la salida queda como sigue:

) ( ) ( ) ( ) ( )

( z GP z D z RoG z Y z

Y = −

o sea:

) ( ) ( 1

) ) (

( D z RoG z

z z GP

Y = +

Se observa que no puede obtenerse una función de transferencia entre la salida y la perturbación. Si se diseña entonces el corrector para un tipo particular de perturbación y se define una pseudo-función de transferencia:

( 1 ( ) ( ) )

1 )

( ) ( )

( ) ) (

( P z D z RoG z

z PG z

P z z Y

k

_p

= +

=

que tiene forma diferente para cada tipo de perturbación.

Considérese ahora la función de transferencia de la salida con respecto a la consigna:

) ( ) ( 1

) ( ) ( )

( ) ) (

( D z RoG z

z RoG z D z

R z z Y

K = = +

y relacionando

k

_p

(z )

y

k (z )

:

[ 1 ( ) ]

) (

) ) (

( K z

z P

z z PG

k

_p

= −

La condición que debe cumplir el controlador es que el error en estado estacionario, debido a la perturbación, sea nulo.

[ ^{1 ( )} ]

) ( )

( ) ( )

( )

( z Y z K z P z PG z K z

E = − = −

_p

= − −

y

{ ^{( 1 ) ( )[ 1 ( )]} }

) ( ) 1 ( )

(

¹

1 1

1

z E z lím z PG z K z

lím

e ∞ =

z

− = −

z

−

⁻

−

→

−

→

Se diseña entonces el controlador de manera que este error sea nulo.

Se propone entonces el siguiente procedimiento de síntesis de un corrector para perturbaciones:

i) Se diseña el corrector prototipo mínimo para la planta considerada y la entrada específica;

ii) Se calcula la pseudo-función de transferencia

[ 1 ( ) ]

) (

) ) (

( K z

z P

z z PG

K

_p

= −

iii)

K

_p

(z )

debe ser de la forma:

K

_p

( z ) = ( 1 − z

⁻¹

)

^r

F ( z )

con r≥1 y donde F(z) no tiene polos en z=1.

iv) Si

K

_p

(z )

no tiene la forma anterior, proponer:

1 − K

_m

( z ) = ( 1 − z

⁻¹

)

^r

donde r debe ser suficientemente grande para que

K

_p

(z )

tenga la forma pedida.

v) Se calcula:

[ 1 ( ) ]

) (

) ) (

( RoG z K z

z z K

m m

= − D

que debe ser físicamente realizable. Si no es así, no es posible diseñar un corrector adecuado por este método.

Ejemplo:

Supóngase que el corrector D(z) fue diseñado para una consigna escalón y considérese el sistema siguiente:

. 1

) 1 (

) 1 ( ) 1 (

seg T

s s e

R

s s s G

Ts o

=

= −

= +

−

Si la perturbación es un escalón,

s s

P 1

) ( =

Entonces

) 1 ( ) 1

(

₂

= + s s s

PG

Y

1 1

1 2

1

1 1

) ( 1 ,

) 1 (

) 368 . 0 1 ( ) 1 (

) 718 . 0 1 368 (

. 0 ) (

−

−

−

−

−

−

− =

=

−

−

= +

z z z K

z P

z z

z z z

PG

Entonces:

[ ]

( ) ₁

368 . 0 1

718 . 0 1 368 . ) 0

(

368 . 0 1

718 . 0 368 1

. 0 ) ( ) 1

( ) ) (

(

1 1 1

1

1 1 1

−

 =

 

 



−

− +

=

∞

−

= +

−

=

−

−

−

→

−

− −

z z lím z

e y

z z z

z z K

P z z PG

K

z p

El error en estado estacionario, debido a la perturbación escalón, no fue anulado.

Una forma de resolver este problema es introduciendo, en el término

1

, un factor adicional de la forma

1

.De esta manera:

) (z

− K

−1

− z

[ 1 ( ) ] ( 1 ) )

(

1 − K

_m

z = − K z − z

⁻¹

donde

K

_m

(z )

es la función de transferencia modificada entre la salida y la referencia.

Para el ejemplo mostrado:

2 1 2

1

) 1 2

1 ( ) (

1 − K

_m

z = − z

⁻

= − z

⁻

+ z

⁻

de donde:

2

2

1

)

( z = z

⁻

− z

⁻

K

_m

Con esta modificación el error tenderá a cero:

( ) [ ]

{ ^{1 ( ) 1 ( )} } ⁰

)

(

¹

1

− − =

−

=

∞

⁻

→

z PG z K z

lím

e

_m

z

Obsérvese que, en este caso:

- El error en estado estacionario a una debido a la perturbación escalón es nulo;

- El error en estado estacionario a una consigna escalón es nulo;

- El error en estado estacionario debido a una consigna tipo rampa también es nulo;

- El sistema, originalmente diseñado para responder a una consigna escalón, ya no responde en tiempo mínimo a esta referencia.

Tema 5.5 Observadores de estado digitales.

Resulta poco real asumir que todos los estados de un sistema se pueden medir, particularmente si los disturbios son parte del estado. Es sin embargo nuestro interes determinar los estados del sistema a partir de las mediciones disponibles y de un modelo.

Asumiendo que el sistema esta descrito por el siguiente modelo:

) ( ) (

) ( ) ( ) 1 (

k cx k y

k u k x k

x

=

Γ + Φ

= +

El problema consiste en calcula o reconstruir el estado x(k) a partir de la entrada y de la secuencia de salida y(k), y(k-1), ... ,u(k), u(k-1), ... .

Calculo directo de las variables de estado.

En el capitulo 3 se resolvió el problema, para el caso especial cuando no existían entradas, en este capitulo extendemos la solución y mostraremos que el estado puede calcularse directamente de las entradas y salidas pasadas.

Por simplicidad asumiremos que existe una sola entrada. La salida y(k) = C x(k) se obtiene al muestrear en el instante k dado por una ecuación lineal para determinar la variable de estado.

Usando información a partir de n instantes de muestreo diferentes k, k-1, ... , k-n+1 se tinene las siguientes ecuaciones lineales:

) 1 ( ...

) 1 (

) 1 (

) ( . . .

) 1 (

) 1 (

) 2 (

) 1 (

) 1 (

2

1

− + + Φ Γ − + + + Γ −

Φ

=

+

− Γ + +

− Φ

= +

−

+

−

= +

−

−

−

x k n C u k n C u k

C k y

n k u C n

k x C n

k y

n k Cx n

k y

n n

Introduciendo los vectores Uk-1 y Yk :

 

 

 

 





 

 

 

 





+

− +

−

=

) (

. . .

) 2 (

) 1 (

k y

n k y

n k y

Y

_k

U

 

 

 

 





 

 

 

 





− +

− +

−

−

=

) 1 (

. . .

) 2 (

) 1 (

1

k u

n k u

n k u

k

Cuyos componentes son las entradas y salidas pasadas, la ecuación anterior puede escribirse como:

)

1

1

( − + +

₋

=

_{o u k}

k

W x k n W U

Y

Donde las matrices Wo y Wu son:

 

 

 

 







 

 

 

 







Φ Φ

Φ

=

−1 2

. . .

n o

C C

C C

W W

 

 

 

 







 

 

 

 







Γ Γ

Φ Γ Φ

Γ ΦΓ

Γ

=

−

−

C C

C

C C

C

n n

u

...

. . . .

. . . .

. . . .

0 ...

0 ...

0

0 ...

0 0

3 2

La matriz Wo es invertible si el sistema es observable, resolviendo para x(k-n+1) obtenemos:

1 1 1

)

0

1

( k − n + = W

⁻

Y

_k

− W

_o⁻

W

_u

U

_k−

x

El estado se tiene entonces en términos de las salidas futuras y de las mediciones, utilizando la primera ecuación tenemos:

) 1 ( ...

) 1 (

) 1 (

)

( k = Φ

⁻¹

x k − n + + Φ

⁻²

Γ u k − n + + + Γ u k −

x

^{n n}

y encontramos que:

k u y

y

Y B U

A k

x ( ) = +

donde

1

1 −

Φ

−

=

ⁿ _o

y

W

A

( )

o u

n n

n

u

W W

B = Φ

⁻¹

Γ Φ

⁻²

Γ ... Γ − Φ

^{−1 −1}

Entonces el vector de estado es una combinación lineal de y(k), y(k-1), ..., y(k-n+1) y de u(k-1), u(k-2), ..., u(k-n+1).

Ejemplo: Consideremos el doble integrador.

Para el doble integrador tenemos:

 

 



= 

Φ 0 1

1 h





 



= 

Γ h

h 2

²

/ C = ( 1 0 )

De aquí

( ) ( 1 )

) 2 ( ) ( )

1 (

) 1 2 (

) 1 ( ) 1 ( ) (

) ( ) (

2 2

2 2

1 1

− +

− +

−

=

− +

− +

−

=

=

k h u k hu k x h k

y

k h u k

hx h

x k y

k x k y

Resolviendo estas ecuaciones con respecto a x1 y a x2 obtenemos:

) 1 2 (

) 1 ( ) ) (

(

) ( ) (

2 1

−

− +

= −

=

k h u h

k y k k y

x

k y k x

El primer componente x1 es igual al valor medido y el segundo componente x2 se obtiene tomando la diferencia de la salida y sumando una fracción de la señal de control.

Reconstrucción usando un sistema dinámico.

Sea n el orden del sistema. El calculo directo realizado anteriormente nos da el estado después de n mediciones de pares de entrada y salida. La desventaja de este método es que puede ser muy sensible a los disturbios, las operaciones hechas con los datos son típicamente en forma de diferencias; sin embargo existen otras alternativas que son menos sensibles al ruido.

Consideremos el mismo sistema y asumamos que el estado x esta aproximado por el estado del modelo:

xˆ

) ( ) ˆ ( ) 1

ˆ ( k x k u k

x = + = Φ + Γ

que tiene la misma entrada que el sistema anterior. Si el modelo es perfecto en el sentido que los elementos de las matrices

Φ

y son idénticas a las del sistema anterior y las condiciones

Γ

iniciales, entonces el estado debe ser idéntico al estado x. Si las condiciones iniciales son diferentes, entonces deberá converger a x si y solo si el sistema es asintóticamente estable.

xˆ

Φ

=

| k

KC xˆ

(k

) =

C

T

T

W

o

ˆx (

| 1

Esto se puede realizar introduciendo una retroalimentación de la diferencia entre las salidas medidas y estimadas,

y − C x ˆ

, de aquí:

( ( ) ˆ ^{( | 1 )} )

) ( ) 1

| ˆ ( )

|

ˆ + 1 k x k k − + Γ u k + K y k − C x k k − x

Donde K es la matriz de ganancia. La notación es utilizada para indicar que es una estimado de x(k+1), basado en las medidas disponibles en el tiempo k, es decir es un predictor de un paso. Cabe notar que el término de retroalimentación no da contribución si la salida pronosticada por el modelo concuerda con las mediciones. Para determinar la matriz K introducimos la reconstrucción de error:

)

| 1 ˆ ( k k x +

[ y ( k ) − C x ˆ ( k | k − 1 ) ]

K

x x x ˆ = − ˆ

restando las dos ecuaciones anteriores tenemos:

) 1

| ˆ ( ) (

)) 1

| ˆ ( ) ( ( ) 1 ˆ (

| 1

ˆ ( k + k Φ x k − − K y k − C x k k − = Φ − KC x k k − x

Si K se selecciona de tal manera que el sistema es asintoticamente estable, el error siempre converge a cero. Considerando la retroalimentación de las mediciones en la reconstrucción es posible llevar a cero el error aunque el sistema sea inestable.

xˆ

Ahora nos falta encontrar el camino adecuado para seleccionar la matriz K de tal manera que el sistema sea estable. Dadas las matrices y C el problema es encontrar la matriz K de tal manera que la matriz tenga los eigenvalores prescritos. Debido a que la matiz y su transpuesta tienen los mismos eigenvalores el problema es el mismo que encontrar una matriz K

− Φ Φ K

T

T tal que tenga los eigenvalores prescritos; podemos entonces resolver el problema si la matriz:

T

− Φ

( ^C

^T

^Φ

^T

^C

^T

^... ( ) ^Φ

^{n−1 T}

^C

^T

)

=

tiene rango completo cabe notar que la matriz Wo es la matriz de observabilidad del sistema.

El resultado se puede expresar mediante el siguiente teorema:

Consideremos un sistema expresado en tiempo discreto expresado mediante:

) ( ) (

) ( ) ( ) 1 (

k cx k y

k u k x k

x

=

Γ + Φ

= +

Sea P(z) un polinomio de grado n, donde n es el orden del sistema, asumiendo que el sistema es completamente observable, entonces existe una matriz K tal que la matriz

Φ

del

observador tiene el polinomio

característico P(z).

− KC

) ( ( ) ˆ ( | 1 ) )

( ) 1

| )

ˆ ( k + k = Φ k k − + Γ u k + K y k − C x k k −

x

Cálculo de la ganancia del observador.

La determinación de la matriz K en el observador, es el mismo problema matemático que determinar la matriz L de retroalimentación en el problema del lugar de los polos. La selección de los polos del observador es un compromiso entre la sensibilidad del error de las mediciones y la rápida recuperación de los errores iniciales. Un observador rápido debe converger rápidamente, pero también deberá ser sensible los errores de medición.

Este problema se resuelve con la formula de Ackermann.

Utilizando las siguientes relaciones:

K

T

L → W

_c

→ W

_o^T

Φ → Φ

^T

de la ecuación

L ( p 1 − a 1 p 2 − a 2 ... pn − an )

para K tenemos que:

( ) ( ) (

o^{T T}

T

W P

K = 0 ... 0 1

⁻¹

Φ )

o

( ) ( W

_o

)

^T

P

K = Φ

⁻¹

0 ... 0 1

El polinomio característico de es entonces P(z), este valor es simple de detrminar si el sistema esta en su forma observable.

− KC Φ

Computacionalmente la formula de Ackermann es pobre, El procedimiento place de Matlab esta basado en mejores métodos numéricos. Este procedimiento también se utiliza para calcular la ganancia del observador para sistemas con múltiples mediciones.

Referencias Bibliográficas:

[1] Computer controlled system.

Theory and Design Karl J. Astrom.

Bjorn Wittenmak.

ISA

[2] Design of feedback control systems Gene H. Hostetter

Clement J, Savant, JR.

Raymond T. Stefany HRW Saunders [3] Control Digital

Álvarez Gallegos Joaquín Álvarez Gallegos Jaime CINVESTAV

[4] Applied Optimal Control & Estimation Digital Design & Implementation Frank L. Lewis

Prentice Hall