FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL EN OBRAS CIVILES
ANÁLISIS DE LOSAS DE HORMIGÓN ARMADO, UTILIZANDO EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS
KENNETH ROBINSON GUEVARA
SEBASTIAN MIRANDA CAMUS
TESIS PARA OPTAR AL TITULO DE INGENIERO CIVIL EN OBRAS CIVILES Santiago - Chile
Agosto, 2013
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL EN OBRAS CIVILES
ANÁLISIS DE LOSAS DE HORMIGÓN ARMADO, UTILIZANDO EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS
KENNETH ROBINSON GUEVARA
SEBASTIAN MIRANDA CAMUS NELSON VALDIVIA ROJAS FELIPE LEYTON FLORES
TESIS PARA OPTAR AL TITULO DE INGENIERO CIVIL EN OBRAS CIVILES Santiago - Chile
Agosto, 2013
ii
A mi madre que me hizo la persona que soy.
DEDICATORIA...ii
INDICE DE TABLAS...v
INDICE DE FIGURAS...vi
RESUMEN...vii
I. INTRODUCCIÓN ... 1
1.1 Problemática general ... 1
1.2 Objetivo General ... 2
1.3 Objetivos específicos ... 2
1.4 Metodología de trabajo ... 2
II. MARCO TEÓRICO ... 4
2.1 Definición de losa de hormigón armado ... 4
2.2 Clasificación de losas de hormigón armado ... 4
2.2.1 Clasificación según su geometría. ... 5
2.2.2 Clasificación según condiciones de apoyo ... 6
2.3 Análisis Estructural Lineal ... 7
2.3.1Descripción del análisis estructural asociada a esta memoria ... 7
2.3.2Soluciones ... 9
2.4 Determinación de las resistencias de elementos de hormigón armado, según el el código ACI 318-10 ... 10
2.5 Método de los elementos finitos ... 20
2.5.1Etapas y funcionamiento ... 22
2.5.1.1 Pre proceso ... 22
2.5.1.2 Caracterización del elemento... 23
2.5.1.3 Geometría ... 24
2.5.1.5 Discretización. ... 25
2.5.2 Solución ... 26
2.5.3 Post Proceso ... 26
III. DISEÑO SEGÚN LO ESTABLECIDO POR ACI ... 27
3.1 Casos a analizar ... 27
IV. ANÁLISIS UTILIZANDO MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS, CON RELACIONES TENSIÓN DEFORMACIÓN NO LINEAL ... 32
V. RESULTADOS DEL ANALISIS ESTRUCTURAL NO LINEAL ... 45
5.1 Análisis de resultados ... 45
VI. CONCLUSIONES ... 55
BIBLIOGRAFÍA...57
A N E X O S...59
ANEXO A :Gráficos...60
ANEXO B :Tablas...78
v
Pág.
Tabla 3-1: Descripción geométrica de losas escogidas ... 27
Tabla 3-2: Relación de momentos obtenidos con cargas de diseño ... 28
Tabla 3-3: Relación de áreas y cuantías de acero. ... 30
Tabla 3-4: Cuantías de acero por losa, sentido y ubicación. ... 31
Tabla 4-1: Deformación unitaria en compresión & tensión ... 36
Tabla 4-2: Deformación unitaria en tracción & tensión ... 38
Tabla 4-3: Keypoints que modelan las losas bidireccionales y unidireccionales ... 40
Tabla 4-4: Distintos layers por losa con su grosor y material ... 41
Tabla 4-5: Ubicación geométrica de cada layer ... 42
Tabla 4-6: Pasos & cargas ... 44
Tabla 5-1: Deformación en nodo central con respecto a la armadura de cada losa para carga de 1500 kgf/m2 ... 46
Tabla 5-2: Carga sobre losas & fluencia del acero en layer 4. ... 46
Tabla 5-3: Carga sobre losa & primera falla del hormigón en layer 1 ... 47
Tabla 5-4: Fisuración del concreto respecto peso propio y carga de diseño ... 49
Tabla 5-5: Ocurrencia de estados límites en la losas bidireccionales con su ubicación ... 51
Tabla 5-6: Pendiente a punto anterior en losa bidireccional en armadura por flexión ... 53
vi
Pág.
vii
El presente trabajo pretende, realizar una comparación entre las fórmulas presentes en el código norteamericano de ACI 318 y el diseño que se obtienen de este código con el método de elementos finitos para el diseño de losas de hormigón armado, variando condiciones armadura destinada a flexión y geometría.
Esta comparación se fundamenta en 2 grandes incoherencias, primero que las formulas del código ACI para el diseño de elementos sometidos a flexión presumen una aproximación en base a experimentación pero se desconoce su proximidad con la realidad y en segundo término la comparación que se realiza entre el momento nominal y el momento ultimo, que en caso del momento ultimo se obtiene por un cálculo donde el modulo de elasticidad es constante, entiéndase lineal, en cambio el momento nominal varia su modulo de elasticidad según sea el porcentaje de deformación que posea el hormigón.
Para el diseño de la losa se ocupara el código ACI 318, específicamente en el área de elementos sometidos a flexión.
Para modelación de la losa con el método de los elementos finitos se utilizará el programa ANSYS.
Se modelan en el programa ANSYS, 4 losas con diferentes características, con el objeto de compararlas entre ellas.
Los resultados obtenidos comprueban que la fluencia del acero ocurre a una menor carga que la de diseño y a su vez la primera falla por compresión en el hormigón se produce prácticamente en la carga de diseño. por lo que las 2 grandes incoherencias no influyen de forma significativa y que a su vez estas diferencias se fueron cuantificada para justificar esta afirmación.
I. INTRODUCCIÓN
1.1 Problemática general
Las losas son elementos estructurales bidimensionales ideados principalmente para soportar cargas gravitacionales. Se caracterizan geométricamente porque una de sus dimensiones es pequeña comparada con las otras dos dimensiones básicas. Como las cargas que actúan sobre las losas son esencialmente perpendiculares al plano principal de las mismas, su comportamiento está dominado por la flexión[1]. 1.
Las primeras metodologías históricas de diseño se basaban en el análisis estructural lineal y tensiones admisibles en los materiales, sin considerar las características no lineales de los materiales que las componen[2].
Desde que el código ACI 318 adoptó la metodología de diseño último (Load and Resistance Factor Design) en la década de 1970, se utiliza una formulación intermedia para el diseño de los elementos en flexión. Las resistencias nominales de las secciones son estimadas a través de expresiones que consideran relaciones constitutivas no lineales en los materiales, en conjunto con simplificaciones basadas en observaciones experimentales. A pesar de lo anterior las solicitaciones son calculadas usando análisis estructural lineal y factores de mayoración de carga.
En la actualidad se dispone de herramientas computacionales que permiten realizar análisis estructural no lineal, considerando al momento del cálculo de las solicitaciones en los elementos las correspondientes constitutivas no lineales que los caracterizan.
[1] ROMO, Marcelo. Temas de Hormigón Armado. Quito, Ecuador: Escuela Politécnica del Ejercito, 2008.
[2] MARTINEZ, Wilmer y GUTIERREZ, Javier. Comportamiento lineal y no lineal de las deflexiones en vigas de concreto reforzado. Revista Facultad De Ingeniería - UPTC. Agosto 2010, n°29.
1.2 Objetivo General
Estudiar el comportamiento en flexión de una serie de losas de hormigón armado diseñadas a través de lo establecido por el código ACI 318-10, mediante la realización de una simulación computacional del comportamiento del elemento para cargas incrementales hasta la rotura, utilizando una herramienta de elementos finitos capaz de considerar leyes constitutivas no lineales en los materiales.
1.3 Objetivos específicos
a) Realizar el diseño según lo establecido por el código ACI318 de losas de distintas características geométricas, para un nivel de sobrecarga de uso establecido.
b) Modelar y realizar análisis estructural considerando constitutivas no lineales en el hormigón y el acero de refuerzo, utilizando el software de elementos finitos multifísica ANSYS.
c) Establecer relaciones entre los resultados del análisis no lineal anteriormente descrito y el comportamiento esperado según la metodología de diseño del código ACI318
1.4 Metodología de trabajo
Parte la metodología de trabajo estudiando el método de elementos finitos a partir de la información recopilada, poniendo énfasis en su matemática y teoría, con el fin de aumentar la comprensión de la herramienta y sus posibles aplicaciones a las losas de hormigón armado.
Posteriormente, se realiza un trabajo de aprendizaje en el funcionamiento, manejo de las herramientas, procedimientos y capacidades que dispone el programa ANSYS para la modelación y análisis estructural de losas y elementos de hormigón armado en general
utilizando el método de los elementos finitos. Los procedimientos de discretización y análisis de la estructura son estudiados a fondo para la elección adecuada de un modelo apropiado de trabajo.
Luego, se modelan dos losas de hormigón armado: la primera con comportamiento de flexión en una dirección y la segunda con flexión en las dos direcciones.
Se calcula sobre las losas las armaduras requeridas para soportar el efecto de flexión, por medio del método propuesto por el código ACI para una sobrecarga de uso fija. Este procedimiento se realiza a través de análisis lineal elástico.
Además se agregan a estas losas dos mas con armaduras mínimas de acero sometido a retracción por temperatura.
Por lo que se evalúan cuatro tipos de losas: de comportamiento de una dirección con armadura con para soportar el efecto de flexión y otra con armadura para soportar el efecto de retracción por temperatura y una segunda losa con comportamiento de 2 direcciones y las mismas 2 armaduras que de la losa de una dirección.
Sobre las mismas losas se realiza análisis estructural no lineal, considerando leyes constitutivas no lineales para el hormigón y el acero para una serie de cargas monotónicamente crecientes hasta producir el colapso de la estructura.
II. MARCO TEÓRICO
2.1 Definición de losa de hormigón armado
Las losas de hormigón armado son estructuras con dos dimensiones predominantes con respecto a una tercera, el espesor. Su función dentro de las estructuras es transmitir las cargas verticales gravitacionales que se aplican en la tercera dimensión[1].
Estas dimensiones están marcadas por el alto, el largo y el espesor, denominados para esta memoria como: Lx, Ly y Lz.(figura 2.1)
Figura 2-1: Dimensiones de una losa.
Fuente: Manual de losas de Concreto Armado.(2006) (Intervenido).
2.2 Clasificación de losas de hormigón armado
Existen múltiples categorizaciones sobre losas de hormigón, pero para los efectos de la presente memoria, se describe la siguiente clasificación dada su importancia para el uso de los métodos designados en el diseño de estos elementos [2].2
[1] [2]
PALMA, Jaime y PINO, Francisco. Estudio de Metodologías para Modelación de Losas de Hormigón armado.
Memoria para optar al título de Ingeniero Civil en Obras Civiles. Profesor Guía: Sebastián Miranda Santiago, Chile:
Universidad Diego Portales, Facultad de Ingeniería Civil, 2010.
2.2.1 Clasificación según su geometría[3].3
Se caracteriza por las dimensiones de sus lados y existen dos tipos, los que se describen a continuación:
- Unidireccional: La división entre su lado largo y su lado corto es mayor o igual a 2, (figura 2.2.). Estas losas funcionan como vigas anchas para el análisis de su funcionamiento[4].
-
Figura 2-2:Vista de planta de losa unidireccional.
Fuente: Manual de losas de Concreto Armado.(2006) (Intervenido).
- Bidireccional: La división entre su lado largo y lado corto es menor a 2. Tienen a ser de geometría asimétrica entre sus lados[5].
[3][4][5][6]
ROMO, Marcelo. Temas de Hormigón Armado. Quito, Ecuador: Escuela Politécnica del Ejercito, 2008.
2.2.2 Clasificación según condiciones de apoyo
Cabe mencionar que las losas se clasifican también por factores como los apoyos en los cuales está descansando, puesto que bajo ciertos criterios se pueden asociar estos comportamientos a las situaciones descritas anteriormente[6].
A continuación se describen los tipos de apoyo de losas:
- Losa sin vigas: Losas apoyadas solamente en columnas, también nombradas losas planas (figura 2.3.). No son recomendadas para países sísmicos debido a su falta de capacidad para actuar en el rango inelástico, lo que les resta ductilidad[7].4
-
Figura 2-3:Esquema de losa plana Fuente: . Park y Gamble (2000).
- Losa sobre vigas perimetrales: Estas losas (figura 2.4) están apoyadas o empotradas en vigas en sus costados o muros, lo que les entrega un mejor comportamiento ante esfuerzos[8].
[7][8]
ROMO, Marcelo. Temas de Hormigón Armado. Quito, Ecuador: Escuela Politécnica del Ejercito, 2008.
Figura 2-4:Esquema de losa con vigas.
Fuente. Park y Gamble (2000).
La diferencia más sustancial en esta clasificación se da el en descanso que da la viga o muro sobre la losa, puesto que de ésta forma ya no se encuentra descargando directamente las cargas sobre las columnas, evitando el fenómeno de falla local, conocido como punzonamiento[9].5
2.3 Análisis Estructural Lineal
2.3.1 Descripción del análisis estructural asociada a esta memoria
El análisis estructural lineal es adecuado para calcular los esfuerzos y deformaciones que se presentan en una estructura[10].
El análisis estructural busca conocer las solicitación que afectan a una estructura y por ende es fundamental comprender la forma en que opera para poder tener un diseño en base a estas solicitaciones que sea coherente con lo que se busca[11].
[9] REGALADO, Florentino. Una guía formulación practica y segura del punzonamiento suficientemente ajustada a su comportamiento real. Hormigón y Acero. 1°Semestre 2003, N°227.
[10] [11]
RIDDELL, Rafael y HIDALGO, Pedro. Diseño Estructural: Aspectos básicos del diseño estructural, Cuarta Edición: Universidad Católica de Chile, 2005.
En el caso de las solicitaciones asociadas a deformaciones las ecuaciones constitutivas de Hooke (1676) (Ec 2.1) sirven para el estado elástico de los materiales.
(2.1)
Dónde:
σ = Solicitación.(kg/cm2)
E = Modulo de Elasticidad .(kg/cm2) ε = Deformación Unitaria. (Sin Unidades)
Esta ecuación se complejiza al tratarla de aplicarla a estructuras con un número de grados alto de grados de libertad donde se crea una matriz de rigidez que cuenta con el módulo de elasticidad como uno de sus variables.
De esta forma podemos plantear la ecuación 2.2. como:
...(2.2)
Dónde:
{P} = Matriz de solicitaciones.
{K} = Matriz de rigidez.
{D} = Matriz de desplazamientos.
De esta forma en el rango elástico la ecuación (Ec.2.2) posee una matriz de rigidez con valores constantes puesto que el módulo de elasticidad no varía y se genera una curva donde la pendiente es constante independiente de la solicitación a la cual se está sometiendo a la estructura[12].6
[12] [13] [14]
RIDDELL, Rafael y HIDALGO, Pedro. Diseño Estructural, Cuarta Edición: Universidad Católica de Chile, 2005.
2.3.2 Soluciones
El análisis estructural lineal tiene el problema que los resultados obtenidos no se aplica en la totalidad del comportamiento de los materiales, porque sólo analiza el comportamiento lineal y no se puede extrapolar a situaciones donde ha ocurrido un cambio en el módulo de elasticidad ya sea por falla del hormigón, fluencia del acero o por la falla del hormigón en compresión puesto que ocurrido este hecho el comportamiento del material ya no es lineal[13].
Posterior a la ocurrencia de la fluencia en el acero o la falla por compresión en el hormigón la matriz de rigidez deja de ser constante ya que cambian las propiedades de los materiales[14].
El enfoque lineal se realiza puesto que se simplifica el cálculo y se puede asumir este grado de error por medio de un factor de corrección.
Para la obtención del momento último se ocupara en esta memoria la fórmula (Ec.2.3) que está planteada con respecto LRFD[15].7
(2.3)
Donde:
Mu = Momento ultimo.
Md = Momento muerto.
Ml = Momento vivo.
[15] McCORMAC, Jack. Structual Steel Desing, Cuarta Edición: Prentice Hall, 2008.
Existen alternativas al análisis estructural mencionado anteriormente como por ejemplo el método de Henry Marcus explicado por Palma y Pino (2011) donde plantean tablas con diferentes condiciones de apoyo asociado a factores que dan las cargas últimas buscadas.
2.4 Determinación de las resistencias de elementos de hormigón armado, según el código ACI 318-10
La determinación de las resistencias de los elementos de hormigón armado según el código ACI 318-10 se estima en relación a la ocurrencia de eventos dentro de la estructura que cambian su comportamiento como es la fluencia dentro del acero.
En consecuencia a lo anterior la metodología propuesta por código ACI 318-10 basa se basa en las siguientes curvas tención & deformación que grafican cambios en el comportamiento del hormigón y el acero (Figura 2.5 y Figura 2.6).
Figura 2-5: Grafico tensión & deformación unitaria del hormigón (Intervenido) Fuente: Hidalgo y Riddell (2005)
En la figura 2.5. se puede ver el gráfico de tensión & deformación del hormigón en compresión donde el punto A representa el primer punto de cambio de signo en la
curvatura con una deformación unitaria de ε = 2/1000. Además se puede ver el punto B que muestra el punto de rotura final del hormigón[16].8
Figura 2-6: Grafico esfuerzo & deformación unitaria del acero (Intervenido) Fuente: Arresis. (2011)
En la figura 2.6 se grafica la curva de esfuerzo & deformación del acero a tracción constando de 5 puntos relevantes[17]:9
a) Límite de proporcionalidad: Existe una relación lineal entre el esfuerzo y la deformación.
b) Límite elástico: A partir de este punto el acero no recupera sus características iniciales por lo que no tiene condiciones elásticas.
c) Limite de Fluencia: A partir de este punto se produce un incremento en la deformación proporcionalmente mayor a cualquier punto anterior por lo que marca el
[16] RIDDELL, Rafael y HIDALGO, Pedro. Diseño Estructural, Cuarta Edición: Universidad Católica de Chile, 2005.
[17] DAZA, Gonzalo. Apuntes de curso de resistencia de materiales, Concepción, Chile: Universidad Técnica Federico Santa María, 2008.
[18]
RIDDELL, Rafael y HIDALGO, Pedro. Diseño Estructural, Cuarta Edición: Universidad Católica de Chile, 2005.
fenómeno de la fluencia del material.
d) Punto de máxima tensión o carga: Es el punto donde se grafica la máxima tensión que es capaz de soportar el material.
e) Tensión de rotura: En este punto se produce la rotura final del material puesto que ya no es capaz de soportar mayor carga.
El código ACI 318 plantea que cuando ocurre la falla por compresión en el concreto, que se puede especificar por la deformación unitaria de 3/1000, el acero debe tener una deformación que garantice la ocurrencia de la fluencia de la armadura destinada a la flexión.
El no considerar la parte inelástica de los materiales lleva por tanto a un sobredimensionamiento de los materiales, porque no se logra una adecuada distribución de momentos en la losa[18].
Figura 2-7: Distribución de deformaciones y tensiones para σcmax
< f´c Fuente: Hidalgo y Riddell (2005)
El momento nominal de un elemento de hormigón armado sometido a flexión se puede calcular a partir de las siguientes suposiciones:
a) Se puede realizar un análisis en el punto donde el concreto llega a una deformación unitaria de 3/1000, asociado a desplazamientos tensiones y fuerzas (figura 2.7.) para lograr una mejor comprensión del comportamiento asociado a este análisis .
b) Considerando que se cuenta con 2 incógnitas, que son el área bajo la curva en compresión y la ubicación del eje neutro se establecen 2 ecuaciones para la solución.
En la figura 2.7 se muestran las deformaciones unitarias ε y las tensiones a las cuales están sometidos los distintos componentes del elemento, en el instante en que el hormigón en compresión presenta una deformación unitaria de 0.003 El método de diseño asume que en tal condición el refuerzo de acero en tracción debe presentar una deformación mayor a la deformación de fluencia, para así garantizar la falla dúctil del elemento.
Conocido el esquema de deformaciones unitarias de compresión en el hormigón, se indica su diagrama de tensiones asociado (Ver figura 2.7). Se observa que corresponde a una distribución parabólica de tensiones (ver figura 2.5).
Además en la figura 2.8 se muestra las distancias d y c que son la distancia entre la parte superior de la losa y la armadura inferior y la distancia entre la parte superior de la viga y el eje neutro, respectivamente.
Por último se muestra como estas fuerzas y desplazamientos están relacionados con el momento nominal de la viga en cuestión.
Para plantear las ecuaciones de equilibrio del sistema, se requiere calcular las fuerzas asociadas a estas distribuciones de tensiones. La línea de acción de la fuerza de compresión C, queda determinada por el parámetro Bc (Ver Figura 2.8).
Figura 2-8: Distribución de fuerzas y tensiones (Intervenido) Fuente: Hidalgo y Riddell (2005)
En el caso de la tracción se designa como T a la fuerza desarrollada en el área de acero.
Cabe destacar que este análisis no se puede hacer sin antes presumir que las caras planas de la losa permanecen planas siempre sin importar la solicitación que esté recibiendo[20).10
Se establece un equilibrio de sumatoria de fuerzas entre la tracción y la compresión:
(2.4)
Dónde:
T = Fuerza de tracción.
C = Fuerza de compresión.
A su vez la compresión se obtiene mediante la integración del área bajo la curva y su posición está dada por el centroide (Ec. 2.5) del área integrada llamado βc.
[20] RIDDELL, Rafael y HIDALGO, Pedro. Diseño Estructural: Elementos sometidos a flexión, Cuarta Edición:
Universidad Católica de Chile, 2005.
(2.5)
Dónde:
C = Fuerza de Compresión
c = Distancia del eje neutro a la parte superior de la estructura.
σ= Tensión a integrar
da = Diferencial con respecto al área
Con respecto a la fuerza de tracción ésta se encuentra definida atreves del acero por la tensión a la que se encuentra sometida multiplicada por el área de la sección (Ec.2.6).
(2.6)
Dónde:
T = Fuerza de tracción
σy = Tensión sometida al acero.
As = Área de Acero.
Uniendo las 2 ecuaciones anteriores se obtiene la ecuación 2.7. de la sumatoria de fuerzas:
(2.7)
Donde:
σy = Tensión sometida al acero.
As = Área de Acero.
da = Diferencial de área.
c = Distancia del eje neutro a la parte superior de la estructura.
La segunda ecuación que se desarrolla es la sumatoria de momentos, siendo en este caso el punto elegido para realizar el equilibro el eje neutro (Ec.2.8).
(2.8)
Dónde:
Mn = Momento Nominal.
T = Fuerza de Tracción.
d = Distancia del eje neutro a la armadura.
βc = Distancia del centroide del área bajo la curva al eje superior.
La obtención del parámetro Mn mediante la metodología anteriormente propuesta requiere la resolución de la ecuación 2.7 para obtener el valor de c y el cálculo de la integral de la ecuación 2.9, para determinar la línea de acción de la fuerza de compresión.
β
(2.9)
Donde:
σy = Tensión sometida al acero.
βc = Distancia del centroide del área bajo la curva al eje superior..
da = Diferencial de área.
c = Distancia del eje neutro a la parte superior de la estructura.
De esta forma y uniendo las dos ecuaciones 2.7 y 2.8 se obtiene el valor del momento nominal.
El "American Concrete Instute" plantea una solución en base a experimentos la cual logró establecer una constante, asignada como α (Ec.2.10), que elimina los valores asociados a la geometría de la curva a integrar.
(2.10)
Donde:
f'c = Resistencia a la compresión del hormigón a los 28 días.
b = Distancia interna dentro del hormigón.
c = Distancia desde el eje neutro a la parte superior de la figura.
α = Valor de aproximación experimental planteado por el código ACI 318.
Donde los valores de alfa son:
Con este parámetro α establecido se puede realizar, en el caso de los hormigones con valores de f´c < 280 kg/cm2, una conjetura en base al parámetro donde se crea un rectángulo de lados "0.85 c" y "0.85 f´c" por lo que el centroide del área bajo la curva se simplifica. Esto se debe al simple hecho de que 0.852 = 0.7225 valor muy cercano al sugerido por la ACI 318. .
Figura 2-9 :Distribución de tenciones reales & tensiones aproximadas por α = 0.72.
Fuente: Hidalgo y Riddell (2005)
En la figura 2.9 donde c representa la distancia al eje neutro, "f'c" la resistencia del hormigón, "a" el punto donde se encuentra el eje neutro y "σy" la tensión del momento en el acero.
Este parámetro se encuentre validado por la experimentación pero se desconoce la distancia real con respecto a factores importantes dentro del las resistencias de los elementos de hormigón armado como es el instante de la fluencia del acero y las diferencias porcentuales con respecto a la carga de diseño, por ejemplo.
De esta forma se establece la fórmula (Ec. 2.11), para valores de f´c < 280 kg/cm2:
(2.11)
Dónde:
As : Área de acero.
f´c : Resistencia del hormigón a los 28 días.
b : Dimensión del la losa a lo ancho (usualmente 1 metro).
d : Alto de la losa sin recubrimiento.
Mn : Momento nominal.
Al final queda la ecuación 2.12. que despeja el área de acero:
(2.12)
Donde:
fy = Fluencia del Acero.
Φ = Factor de seguridad.
El diseño en estado límite considera que la resistencia es primordial y que los elementos fallan en el rango inelástico no lineal. Esto se logra a través de cargas aumentadas según sea el tipo de carga a considerar, siendo por ejemplo, una carga viva o muerta, pero el cálculo de estas cargas se realiza mediante fórmulas que consideran un comportamiento lineal de la estructura.
En este caso se utiliza la combinación asociada a un valor de carga viva y otra muerta pero estos valores son obtenidos en base a suposiciones asociados a la teoría lineal. En el caso de la carga viva se toma un valor constante pero en el caso de la carga muerta se obtuvo un peso de la estructura asociado a la densidad de los materiales pero se conoce que las deformaciones cambian las propiedades de los materiales por lo que aunque este dato obtenido de forma lineal no puede aplicarse a la totalidad de la curva.
El código ACI 318-10 plantea la ecuación 2.11. que anteriormente mezcla un cálculo bajo la presunción del comportamiento inelástico de los materiales en la obtención del valor del momento nominal pero en la obtención del valor del momento último se desarrolla un cálculo lineal por lo que se compara valores obtenidos de formas distintas resultando en una inconsecuencia como se realiza en la ecuación 2.13.
(2.13)
Dónde:
Mn = Momento nominal.
Mu = Momento último.
Φ = Factor de seguridad.
2.5 Método de los elementos finitos
El método de los elementos finitos es una herramienta que entrega una solución numérica aproximada; aplicada a un cuerpo, estructura o elemento; está definida por ecuaciones diferenciales que caracterizan el comportamiento físico de la estructura en cuestión.
Para el desarrollo de esta memoria se ocupa el programa ANSYS que está creado para resolver distintos tipos de modelaciones respecto a los elementos finitos. ANSYS es un software multifísica , entiéndase con múltiples variedades de modelación de condiciones físicas como puede ser un fluido, un mecanismo, electromagnetismo, acústica, etc.
Para esta memoria se ocupa sus elementos se mejor que asemejan a propiedades asociadas a estructuras sólidas como lo son las losas de hormigón armado entre los que se puede mencionar elementos planos y elementos sólidos.
Para esta memoria se debe destacar que los elementos planos, caracterizados por 2 dimensiones se llaman Shell y los elementos caracterizados por 3 dimensiones se llaman Solid.
Figura 2-10: Elemento Solid65 con sus discretizaciones prismática y tradicional.
Fuente: ANSYS, Inc. theory reference (2009).
En la figura 2.10. se puede ver las opciones que posee ANSYS para la discretización del elemento Solid 65 que posee 2 opciones de discretización y la posibilidad de colocar refuerzo.
Se lleva a cabo dividiendo el cuerpo en un número a elección de particiones que son llamadas elementos. Esta acción sobre el modelo también es denominada discretización.
Cada elemento se forma a través de una serie de puntos llamados nodos, los cuales están en una malla de elementos que gobierna el comportamiento de la estructura en a la cual pertenecen. La creación de la malla es muy compleja por lo que usualmente se implementa con programas especializados, en una etapa previa denominada pre-proceso.
En consecuencia de la situación particular de cada nodo, se les asigna un conjunto de variables denominadas grados de libertad. Esta asignación es llevada a cabo por la condición de movimiento a la cual está sometido el nodo, sea por conexión con otro de sus pares o por un establecimiento inicial del problema.
Las relaciones entre cada una de estas variables y los nodos a los cuales representan, arrojan una serie de ecuaciones que resultan ser lineales por lo que se simplifica un modelo que con anterioridad presentaba un nivel de solución más compleja. Estas ecuaciones son representadas por una matriz de rigidez. Es importante mencionar que entre más nodos se presenten, más ecuaciones existirán y harán cada vez más complejo el sistema.
El método de los elementos finitos se resuelve computacionalmente para obtener desplazamientos, relaciones cinemáticas, deformaciones, tensiones y otros múltiples resultados.
Los elementos finitos son una gran herramienta por su generalidad y por su capacidad de amoldar los problemas desde diferentes dimensiones y a distintas disciplinas de la ingeniería, adaptando sus reglas.
2.5.1 Etapas y funcionamiento
Existen 3 etapas generales en el funcionamiento del método de los elementos finitos, las cuales son interdependientes entre sí, los cuales se describen a continuación
2.5.1.1 Pre proceso
Este paso define los principales parámetros fijos que van a regir el sistema analizado como es la geometría (figura 2.11), el tipo de material o la discretización que se va a realizar en una losa con su armadura modelada como cilindros.
Luego de esta etapa se deben realizar los siguientes pasos para la elaboración correcta de un modelo, definir uno o varios tipos de elementos, geometría, cargas y grados de libertad y discretización.
Figura 2-11: Diseño de una losa en pre proceso Fuente: Elaboración propia.
2.5.1.2 Caracterización del elemento.
En este paso se le da las características principales al elemento en cuestión que tendrán influencia en el resultado y el modo de operar del programa.
Se escoge un tipo de elemento dentro de los disponibles en el programa adecuado para modelar elementos tipo losa, esto da características fijas tanto si se trata de un fluido, de un
elemento sólido, de un elemento lineal o uno que puede ser categorizado en forma de una placa. Es así como en el caso de la losa de hormigón armado se escoge un modelo de placa, llamado Shell, que tiene características asociadas a 2 dimensiones mientras la 3 es muy pequeña.
Dentro de las opciones que se definen en el tipo de elementos, se encuentra el módulo de elasticidad o la fluencia de un material según sea lo que se desea modelar. También se puede dar una curva de comportamiento, pero a su vez cada tipo de elemento tiene sus limitaciones.
Los tipos de elementos también deben coincidir con la geometría que se modelará en el futuro, por ejemplo, no es posible asignar un área a un elemento sólido.
2.5.1.3 Geometría
La geometría del elemento es crucial para llegar al resultado, puesto que sin una figura específica no es posible realizar una discretización.
Este elemento es importante para el correcto uso del programa ANSYS, ya que es necesario especificar todo lo que se va definir. Es así como cuando se define un volumen con líneas o áreas, el programa no asigna este cuerpo como volumen por lo que hay que definirlo como tal.
En ANSYS se pueden crear puntos, líneas, áreas y volúmenes en un eje en 3 dimensiones.
Para el caso de la losa de hormigón armado se requiere no sólo modelar la geometría general sino también darle parámetros geométricos a la armadura que se encuentra en el interior de la losa.
Figura 2-12: Distribución de 5 layers en ANSYS Fuente: Elaboración Propia.
El software puede crear unos elementos llamados layers, láminas o capas que simulan estar una sobre otra, los cuales son de utilidad en los elementos con 2 o una dimensión para crear la tercera.
Por ejemplo, si se desea crear una losa de hormigón armado con armadura específica en su interior, como es el caso de este trabajo, se recurre a los layers para crear una simulación de los distintos materiales, a diferentes alturas de la losa en cuestión (figura 2.12).
En la figura 2.12 se observa como dos materiales, material 2 y material 3, conforman esta estructura, siendo el material 2 el acero y el material 3 el hormigón, consolidando 5 layers en total. Además se puede ver como existe un ángulo θ que maneja ANSYS donde se puede rotar el layer específico.
2.5.1.4 Cargas y desplazamientos.
En este acápite se asignan cargas y se restringen grados de libertad a áreas o puntos, de modo que la estructura analizada sea estable cuando se analice el modelo. Es importante mencionar que esta definición permite múltiples tipos de cargas, aplicaciones en el tiempo o analizar diferentes casos en un solo gráfico según sea la variable a estudiar.
Se pueden asignar cargas puntuales o presiones y también se pueden colocar desplazamientos específicos en un nodo en cuestión.
2.5.1.5 Discretización.
Este es el procedimiento vital para analizar el problema por medio de elementos finitos, dado que es el paso donde se crean las subdivisiones que a futuro van a ser calculadas por los nodos.
Existen muchos tipos de discretización a utilizar según sea el tipo de elemento que se está modelando pero usualmente ANSYS aconseja uno específico que elige a través de los parámetros anteriormente propuestos.
2.5.2 Solución
En este paso se resuelve matemáticamente el modelo.
Durante el proceso ANSYS presenta un gráfico que muestra la convergencia del modelo y que, en situaciones puede no converger por un mal planteo del problema.
La no convergencia se puede dar por múltiples factores por ejemplo un mal discretizado por tener una gran cantidad de nodos puede llevar a un mal modelo puesto que puede usar mucha memoria con respecto a la capacidad del ordenador con que se cuenta.
El software no informa sobre el porqué no ocurrió una convergencia del modelo cuando esto ocurre, sólo en situaciones particulares aconseja una posible solución a la no convergencia.
2.5.3 Post Proceso
En este paso se evalúan los resultados obtenidos por el programa en durante el proceso de solución.
Existen muchos tipos de análisis que se pueden hacer para estudiar diferentes tipos de efectos. En la figura 2.13, se presenta una estructura deformada con la forma de su estado original en línea punteada.
Figura 2-13: Gráfico de un bloque en su forma original y deformada.
Fuente: Elaboración Propia.
Además es posible obtener gráficos aplicados a una serie de cargas en distintos modelos que arrojan diferentes curvas de comportamiento, por ejemplo, como el acero se va traccionando dentro del hormigón armado en relación a aumentos de cargas.
De esa forma, se puede sintetizar el procedimiento que realiza ANSYS y los programas similares para el análisis de elementos finitos y como soluciona el problema que se le plantea.
III. DISEÑO SEGÚN LO ESTABLECIDO POR ACI
El diseño de la losa se realiza según basado en el código de diseño ACI 318 específicamente en el ámbito de la armadura destinada a resistir la armadura a flexión.
3.1 Casos a analizar
Se eligen 4 losas que varían en la armadura que poseen y en las dimensiones geométricas que poseen. Para esta memoria las condiciones de apoyo no varían entre las distintas losas y esta será un empotrado por los 4 lados.
Se aplican 2 tipos de armaduras con el objetivo de comparar la variación en esta condición y se escoge la armadura destinada a flexión puesto que el efecto que predomina en el caso de las losas y la armadura mínima por retracción por temperatura que es la menor cuantía posible a poner en una losa sometida a flexión.
Para la cuantía obtenida del efecto de flexión se ocupan las fórmulas asociadas al código ACI que a su vez se asocia a la determinación de las resistencias de los elementos de hormigón armado.
En cuanto a la armadura designada por el efecto de retracción por temperatura no se calcula se establece en el código como un valor constante.
En el caso de la geometría se establece 2 tipos de condiciones: una losa unidireccional de 600 cm por 1200 cm y otra bidireccional de 600 cm por 600 cm. El espesor se establece constante y es de 15 cm, ver tabla 3.1.
Tabla 3-1: Descripción geométrica de losas escogidas Losa e (cm) Lx (cm) Ly (cm) ε = Ly/Lx
1 15 600 600 1
2 15 1200 600 2
Fuente: Elaboración propia.
Las condiciones de apoyo no varían con respecto a las losas por lo que se estable como constante un empotramiento en sus cuatro lados.
Por lo tanto las losas son:
a) Losa con armadura mínima por retracción por temperatura de 600 cm por 600 cm.
b) Losa con armadura mínima por retracción por temperatura de 600 cm por 1200 cm.
c) Losa con armadura calculada por efecto de flexión de 600 cm por 600 cm.
d) Losa con armadura calculada por efecto de flexión de 600 cm por 1200 cm.
Este análisis se realizara con la finalidad de observar las diferencias en relación a proporciones diferentes y observar los resultados asociados a ese factor.
En el caso de la armadura destinada a resistir el efecto de flexión el momento último es obtenido a través de una carga muerta asociada al peso propio de la losa y una carga viva definida en función del uso que se le pretende dar la estructura, ambas mayoradas por los correspondientes factores indicados en el código.
Las cargas de diseño son 500 kgf/m2 como carga viva, la cual fue elegida como número constante por sobrecarga de uso y la carga muerta es calculada mediante la multiplicación del peso específico del hormigón, 2509 kgf/m3, por su altura de 15 cm y da como resultado 360 kgf/cm2.
Estas solicitaciones son ingresadas a un modelo de losa de ANSYS con condiciones geométricas idénticas a los casos a analizar donde el módulo de elasticidad del hormigón permanece constante por lo que se obtiene momentos asociados a las cargas en un análisis lineal.
Con esto resuelto se genera un momento último por medio de la ecuación 2.3. planteada anteriormente que compara con el momento nominal con el momento último.
Es importante mencionar que se designa como carga de diseño, asociada al método LRFD, a las cargas de peso muerto y carga viva mayoradas por la ecuación 3.1.
(3.1)
Dónde:
qu = Carga última.
qd = Carga muerta.
ql = Carga viva.
De esta ecuación (Ec. 3.1) se obtiene como resultado una carga de diseño de 1232 kgf/m2
Utilizando el programa ANSYS se carga la losa con ql = 500 kg/cm2, con lo que se obtiene el mayor momento asociados a esta carga y el menor momento obtenido por esa carga en cada sentido lo que determina el momento último que se usa.
Tabla 3-2: Relación de momentos obtenidos con cargas de diseño Losa Sentido Ml (kgf*cm) Md (kgf*cm)
Bidireccional
X 44468 32016 -9661 -6956 Y 44468 32016
-9661 -6956
Unidireccional
X 47394 34124 -4870 -3436 Y 74039 53308
-18507 -13134 Fuente: Elaboración propia.
De la misma forma se carga la losa con qd = 360 kg/cm2 con lo que se obtiene los mismos momentos asociados a la carga viva pero esta vez a la carga muerta, ver la tabla 3.2 con un resumen.
Con estos valores se menciona el diseño de LRFD y se obtiene, por medio de la determinación de las resistencias de los elementos de hormigón armado y la corrección postulada en el código ACI se obtiene un área de acero, por metro lineal para cada una de las condiciones solicitantes, ver tabla 3.3.
Tabla 3-3: Relación de áreas y cuantías de acero.
Losa Sentido Mu (kgf*cm) Ás (cm2/m) Cuantía
Bidireccional
X 109567 3.90 3.90E-03
-23804 0.95 9.50E-04
Y 109568 3.90 3.90E-03
-23804 0.95 9.50E-04
Unidireccional
X 116780 4.78 4.78E-03
-11915 0.47 4.70E-04
Y 182432 7.62 7.62E-03
-45372 1.82 1.82E-03
Fuente: Elaboración propia.
Las losas se diseñan respecto a la armadura más grande, ya sea en el sentido X o en el sentido Y, colocándola de forma idéntica en la parte inferior y superior según corresponda, y en los dos sentidos correspondientes, por lo tanto, las armaduras superior en X, superior en Y, inferior en X e inferior en Y son iguales. Esto es porque de ese modo son armadas las losas en terreno, creando una malla simétrica, ver tabla 3.4.
Tabla 3-4: Cuantías de acero por losa, sentido y ubicación.
Losa Sentido Ubicación Área de Acero (cm2/m) Cuantía
Bidireccional X
Superior 3.90 3.90E-03
Inferior 3.90 3.90E-03
Y
Superior 3.90 3.90E-03
Inferior 3.90 3.90E-03
Unidireccional
X Superior 7.62 7.62E-03
Inferior 7.62 7.62E-03
Y Superior 7.62 7.62E-03
Inferior 7.62 7.62E-03
Fuente: Elaboración propia.
Al tener los datos es necesario ingresarlos a ANSYS y modelar el sistema por completo en el software para ocupar la herramienta de elementos finitos.
IV. ANÁLISIS UTILIZANDO MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS, CON RELACIONES TENSIÓN DEFORMACIÓN NO LINEAL
La modelación tiene como objetivo llevar a las losas diseñadas a las condiciones más cercanas a la realidad para obtener resultados que, a través de la experimentación, no se consiguen como puede la tensión interna de algún material.
Los elementos finitos y el ordenador que soporta el programa proporciona una ventaja puesto que se puede incluir el comportamiento plásticos, cambio en el módulo de elasticidad y analizar estos datos incluyendo su complejidad.
Esto permite comparar el la metodología de diseño de la ACI 318 que aproxima el área bajo la curva en la integral de la compresión del hormigón con el de elementos finitos (figura 2.9) con los resultados obtenidos al realizar un análisis estructural que considere la no linealidad de los elementos.
Para la modelación se establecen los siguientes parámetros que buscan acercar lo más posible a la realidad el comportamiento de la losa.
En el caso de ANSYS el factor más relevante es la elección de tipo de elemento que describe una geometría general de la figura y a su vez posee un subíndice numérico que establece características más específicas.
En el caso de las losas analizadas en esta memoria se escoge un tipo de elemento, Shell que consiste en un modelo de placas planas y una subtipo 181 que da una serie de características, entre las cuales se encuentra la capacidad de modelar layers en el interior de la estructura.
Este modelo es recomendado para analizar losas, ya que son estructuras delgadas que constan de dos dimensiones muy grandes con respecto a la otra. Presenta las opciones con
ocho nodos y otra con cuatro nodos por elemento, y también posee la opción de modelar layers en él.
Se utiliza Shell 181 (la figura 4.1.) de cuatro nodos con seis grados de libertad en cada nodo: movimientos en los ejes Y, Z y X. y las rotaciones sobre los ejes X, Y, Z, aunque se presenta la opción para que sólo un eje rote.
Figura 4-1: Elemento Shell 181.
Fuente: ANSYS, Inc. theory reference (2009).
En cuanto a los materiales modelados son el acero A44-28H y concreto de fc’ 250 kgf/cm2 a los 28 días.
En el caso del acero se modela un elemento isotrópico lineal, en primera instancia, con un módulo de elasticidad de 2.1*106 kgf/cm2, con un módulo de Poisson de 0.36. Esto se suma a una modelación del material post fluencia de Fy = 2800 kgf/cm2, y una pendiente en relación a la curva carga v/s deformación de 0.01. Estas propiedades se observan en el gráfico de ANSYS, mostrado en la figura 4.2.
En el concreto el primer dato a considerar es que el hormigón es un material frágil de baja capacidad de deformación, que no tiene punto de fluencia ni rango de deformación plástica, y además posee diferentes propiedades a la tracción y a la compresión.
El modelado se logra a través de un tipo de un material de ANSYS llamado "Iron Cast"
que modela este tipo de comportamiento y tiene cuatro entradas de datos principales.
El primer dato de entrada es la parte lineal isotrópica del material modelado, donde se ingresa el módulo de elasticidad y el módulo de Poisson.
Para el módulo de Poisson, se escogió el valor de 0.18, valor experimental que se fija de acuerdo a la ensayos de compresión y que generalmente fluctúa entre 0.15 a 0.2.
Figura 4-2: Modelamiento del comportamiento del Acero.
Fuente: Elaboración propia.
Dónde:
SIG: Tensión (kgf/cm2) EPS: Deformación Unitaria.
En el caso del módulo de elasticidad, el hormigón no cuenta con una linealidad en su comportamiento, pero a su vez para el ingreso de los materiales es obligatorio ingresar ese dato, por lo que se escoge como pendiente lineal el primer punto modelado en el programa.
Los puntos modelados están dados por la ecuación 4.1 planteada por Hognestad (1951), la cual grafica la deformación unitaria del hormigón con respecto a la tensión interna. Para los efectos de ε0 plantea que debe ser obtenido por la ecuación 3.5., pero es usual utilizar los valores ε0 = 0.002.
(4.1) Donde:
σ: Tensión (kgf/cm2).
f´c: Capacidad de resistencia en (kgf/cm2) a los 28 días.
ε: Deformación unitaria.
ε0: Deformación unitaria donde se produce el primer agrietamiento.
(4.2)
Donde:
ε0: Deformación unitaria donde se produce el primer agrietamiento.
f´c: Capacidad de resistencia en (kgf/cm2) a los 28 días.
Ec: Módulo de elasticidad del hormigón (kgf/cm2).
Por medio de la ecuaciones 4.1 y 4.2,. ya planteadas, se crea una familia de puntos que dan como resultado la modelación expresada en la tabla 4.1.
De esa forma, el primer punto modelado es el 0.0001 con una tensión de 24,375 kgf/cm2 por lo que su pendiente es 2.4375*105.
Es importante mencionar que "Iron Cast" no permite una variación de pendiente menor negativa, a menos que se ingresen valores en tracción, por lo que los datos ingresados desde el 0.002 al 0.003 no son ingresados.
En cuanto al programa ANSYS, el comportamiento en compresión es negativo, por lo que la curva se ve de la forma representada en la figura 4.3.
El segundo dato de ingreso es la curva carga v/s deformación, en comportamiento de tracción, ver tabla 4.1.
Tabla 4-1: Deformación unitaria en compresión & tensión ε (Def. Uni) σ (kgf/cm2) ε (Def. Uni) σ (kgf/cm2)
0,0001 24 0,0016 240
0,0002 48 0,0017 244
0,0003 69 0,0018 248
0,0004 90 0,0019 249
0,0005 1095 0,002 250
0,0006 128 0,0021 249
0,0007 144 0,0022 247
0,0008 160 0,0023 244
0,0009 174 0,0024 240
0,001 188 0,0025 234
0,0011 199 0,0026 228
0,0012 210 0,0027 219
0,0013 219 0,0028 210
0,0014 228 0,0029 199
0,0015 234 0,003 188
Fuente: Elaboración propia
Figura 4-3: Modelamiento del comportamiento del hormigón a compresión Fuente: Elaboración propia.
Dónde:
SIG: Tensión (kgf/cm2) EPS: Deformación Unitaria
Aunque el diseño del código ACI 318 plantea el comportamiento donde el hormigón no aporta a la resistencia en tracción (Ec.2.5) el objetivo del moldeamiento es acercar el diseño a la realidad por lo que se ha decidido dar al hormigón una resistencia a la tracción en el modelo de elementos finitos, considerando que, aunque tenga un pequeño valor en relación a su comportamiento a la compresión, se desea modelar un elemento lo más cercano a la realidad. Esto se logra por la Ecuación 4.3 y 4.4.
(4.3)
Dónde:
fr: Modulo de ruptura (kgf/cm2)
f´c: Resistencia del concreto a los 28 días. (kgf/cm2)
La ecuación 2.4 combinada con los datos experimentales del ensayo a flexión, entrega una resistencia del hormigón a la tracción, entre los parámetros expresados en la ecuación 2.5.
(4.4)
Dónde:
ft: Resistencia final del hormigón a la tracción f´c: Resistencia del hormigón a los 28 días.
Las ecuaciones 4.3 y 4.4 son planteadas por Riddell y Hidalgo (2005), sustentadas a través de ensayos de flexión sobre vigas (Ver Tabla 4.2).
Tabla 4-2: Deformación unitaria en tracción & tensión ε (Def. Uni) σ (kgf/cm2)
0.000123 30
Fuente: Elaboración propia.
Cabe mencionar que el programa ANSYS crea siempre un punto más en su curva de comportamiento, para ayudar a converger los sistemas que se le presentan. Siempre el punto es de tensión igual al último punto y a su vez de deformación, dada por ANSYS para su mejor análisis.
El comportamiento en tracción también debe ser modelado según las ecuaciones 4.3. y 4.4., que rigen ese comportamiento y son expuestas por Riddell e Hidalgo (2005) en
función de ensayos de flexión. En tracción, es posible obtener el módulo de ruptura para un f´c=250 de 31.62 kgf/cm2. Además, se plantea también que la falla por tracción se produce entre un 10% a un 15% de f'c por lo que se establece que la ruptura se produce entre 25 kgf/cm2 a 37.5 kgf/cm 2. Para este análisis el número final considerado es de 30 kgf/cm2.
Luego, se crea una curva de esfuerzo deformación con los 30 kgf/cm2 para efectos de creación de un gráfico en tracción, y a su vez, se saca un desplazamiento asociado a este punto a través de la pendiente creada para compresión que es 2.4375*105, dado que esos valores deben coincidir por exigencias del programa. Finalmente, la deformación unitaria obtenida para 30 kgf/cm2 a tracción es de 0.000123. Ello se observa en el gráfico mostrado en la figura 4.4.
Figura 4-4: Modelamiento del comportamiento del hormigón a tracción.
Fuente: Elaboración propia.
El cuarto conjunto de valores que se debe ingresar corresponden al módulo de Poisson para estado plástico llamado en el programa ANSYS como NULP. Ese valor se establece como 0.18, al igual que el módulo de Poisson original puesto que el hormigón no tiene rango de deformación plástica.
La modelación es como se crea la geometría física de la losa en ANSYS. Primeramente se crean cuatro Keypoints que establecen la geometría de distancias en los ejes X e Y, ver tabla 4.3.
Tabla 4-3: Keypoints que modelan las losas bidireccionales y unidireccionales LOSA KEYPOINTS X (cm) Y (cm) Z (cm) THXY THYZ THZX
Bidireccional
1 0 0 0 0 0 0
2 0 600 0 0 0 0
3 600 600 0 0 0 0
4 600 0 0 0 0 0
LOSA KEYPOINTS X Y Z THXY THYZ THZX
Unidireccional
1 0 0 0 0 0 0
2 0 1200 0 0 0 0
3 600 1200 0 0 0 0
4 600 0 0 0 0 0
Fuente: Elaboración propia.
Con esos puntos ya creados se trazan líneas, áreas y si fuera necesario volúmenes para el modelado que se está construyendo.
En este caso, se construyen cuatro puntos, cuatro líneas y un área que crea un plano simulando la losa bidireccional o unidireccional, según sean las medidas de los keypoints.
Es importante mencionar que no se crea un grosor puesto que Shell 181 trabaja con caras planas sin volumen, pero también tiene un acápite donde ingresar valores en la dirección Z, sin alterar la geometría general de la cara plana.
Los grosores de cada layer están dados por el tipo de losa que se está modelando, es así como cada capa de acero que se modela, específicamente el refuerzo, difiere entre cada losa. La tabla 4.4 muestra las capas específicas de cada losa que se crea.
Tabla 4-4: Distintos layers por losa con su grosor y material Losa Armadura Layer grosor (cm) Material
Unidireccional
Armadura por retracción
1 2,50 Concreto
2 0,02 Acero
3 9,96 Concreto
4 0,02 Acero
5 2,50 Concreto
Armadura por flexión
1 2,50 Concreto
2 0,03 Acero
3 9,92 Concreto
4 0,03 Acero
5 2,50 Concreto
Bidireccional
Armadura por retracción
1 2,50 Concreto
2 0,02 Acero
3 9,96 Concreto
4 0,02 Acero
5 2,50 Concreto
Armadura Por flexión
1 2,50 Concreto
2 0,08 Acero
3 9,83 Concreto
4 0,08 Acero
5 2,50 Concreto
Fuente: Elaboración propia.
Cabe destacar que la sumatoria de cada layer, entiéndase de 1 a 5 en cada tipo de armadura es de 15 cm valor de la altura de la losas bajo análisis.
Se observa en la tabla anterior que se establece un recubrimiento de 2.5 cm para todas las losas variando el espesor de hormigón del centro, según aumente o disminuya el área de acero.
Los layers creados en el programa tienen un orden, dado que la lámina superior que corresponde al recubrimiento de hormigón tiene una distribución de tensiones diferente al recubrimiento inferior, por lo que se define que el orden de las láminas para el programa ANSYS y para el posterior análisis será el que se expresa en la tabla 4.5. para todas las losas modeladas.
Tabla 4-5: Ubicación geométrica de cada layer Layer Material
5 Concreto 4 Acero 3 Concreto 2 Acero 1 Concreto Fuente: Elaboración propia.
Ello resulta fundamental al analizar que la cara número 5 de la tabla 4.5 es la que recibe directamente la carga por lo que, por ejemplo, tiene compresión en el centro y tracción en sus bordes externos según sea el sentido de la tensión que se quiera analizar.
Se establecen nueve puntos de integración para cada losa, ya que como se detalla en el manual del programa ANSYS, específicamente el capítulo de Shell 181, es el recomendado para obtener mejores resultados.
Además ANSYS permite darle orientación a estas capas pero siempre teniendo en cuenta que se trata de una capa en 2D, por lo que para el caso sólo sirve la orientación en los ejes X e Y, que está dada por el ángulo 0°.
El programa ANSYS tiene en su facultad primordial para el desarrollo de los elementos finitos la capacidad de discretizar la línea, área o sólido que se requiera en múltiples elementos constituidos por nodos.
En el caso, el área es discretizada por el programa ANSYS según Shell181, entiéndase de cuatro nodos. El largo de cada uno de estos elementos fue definido en 5 cm, puesto que es el mayor número de elementos que se permite, ya que mayores números no necesariamente implican un resultado de mayor relevancia y si un proceso de cálculo más largo y dificultoso para el ordenador que lo está realizando.
De esa forma se crean 29161 nodos con 28880 elementos en el caso de la losa de 600 cm x 1200 cm y 14621 nodos con 14400 elementos en el caso de la losa de 600 cm x 600 cm.
Existe en el programa ANSYS un capítulo especial para las cargas y la multiplicidad de opciones que éstas tienen, ya que por ejemplo, pueden ser cíclicas o simplemente desplazamientos. Es en él donde se ingresan las restricciones de grados de libertad que terminan siendo los distintos apoyos que se intentan incorporar.
En las dos losas modeladas, existen cuatro empotramientos en las cuatro líneas externas del área, de esa forma, se simula una losa completamente sujetada por sus cuatro lados sin posibilidad de deformación ni de rotación en esos puntos.
Además se carga la losa con 30 cargas diferentes que van desde 50 kgf/m2 hasta 0.15 kgf/cm2, aumentando con un paso de 50 kgf/m2. Estos pasos antes mencionados son tomados por el programa ANSYS con el nombre de tiempos y son independientes entre si.
Por lo tanto considerando que la carga de diseño es de 12320 kgf/m2 está entre los tiempos 24 y 25
El objetivo del procedimiento anterior es analizar el comportamiento de la losa con distintas solicitaciones lo que conlleva a obtener respuestas de la losa en rangos inelásticos y elásticos
Estas pasos se encuentran numerados y cuantificados en la tabla 4.6.
Tabla 4-6: Pasos & cargas
Pasos Cargas (kgf/m2) Pasos Cargas (kgf/m2)
1 50 16 800
2 100 17 850
3 150 18 900
4 200 19 950
5 250 20 1000
6 300 21 1050
7 350 22 1100
8 400 23 1150
9 450 24 1200
10 500 25 1250
11 550 26 1300
12 600 27 1350
13 650 28 1400
14 700 29 1450
15 750 30 1500
Fuente: Elaboración propia.
V. RESULTADOS DEL ANALISIS ESTRUCTURAL NO LINEAL
5.1 Análisis de resultados
Tal como se indica en el capítulo anterior se realiza en el programa de análisis para distintos valores de cargas entre 0 kg/cm2 y 1500 kg/cm2 como carga mayor. Esto se desarrolla en intervalos de 50 kg/cm2 por lo que da una total de 30 distintos intervalos.
Para cada uno de estos puntos el programa entrega tensiones, deformaciones unitarias, desplazamientos globales de la estructura.
El análisis es realizado a partir de los resultados obtenidos, con respecto a las tensiones internas en cada una de las capas, y a su vez, en cada una de las losas. Además se considera el nodo central y su desplazamiento en forma vertical en la losa.
Es importante mencionar que para el análisis de los datos y la presentación de estos la armadura mínima por retracción de temperatura será llamada "armadura mínima" y para el caso de la armadura obtenida por la resistencia a la flexión se llamara "armadura calculada".
Las losas presentan un comportamiento de deformación en el nodo central, el cual es el punto con mayor deformación vertical, a observar en la tabla 5.1. El análisis es importante, ya que es el comportamiento de la losa como un conjunto, y no así la deformación unitaria de un nodo que se encuentra en el plano, ya que él no es atribuible a un material específico.
Cabe precisar que, en el caso de la armadura mínima por retracción por temperatura, la deformación alcanza un rango plástico considerable a una menor solicitación que la de diseño por lo que su capacidad de absorber carga sin deformarse es pequeña; lo cual es observable a través de la tensión interna presentada en cada material.
Se presenta en la tabla 5.2., los carga donde se produce la fluencia en el acero porcentualmente con respecto a la carga de diseño, con el objetivo de ver cuando se llega a ese límite, específicamente en la armadura superior, que es la que está sometida a más tensión interna, entiéndase en el layer número 4.
Tabla 5-1: Deformación en nodo central con respecto a la armadura de cada losa para carga de 1500 kgf/m2
Losa Armadura Solicitaciones
(kgf/m2) Deformación Nodo Central (cm)
Unidireccional
Armadura por retracción
1500 -1,41546
Armadura Por flexión
1500 -1,30231
Bidireccional
Armadura por retracción
1500 -2,04152
Armadura Por flexión
1500 -1,52119
Fuente: Elaboración propia.
Después del punto de fluencia del acero superior en el empotramiento se continua aumentando el valor de la carga, hasta lograr la rotura del hormigón por compresión.
En la siguiente tabla se indica la carga asociada a la primera falla por compresión en el hormigón, que evidentemente ocurre en el borde de la sección (Layer 1)
Tabla 5-2: Carga sobre losas & fluencia del acero en layer 4.
Losa Armadura Solicitaciones
(kgf/m2)
Carga de dseilo
(kgf/m2) Porcentaje
Bidireccional
Armadura por retracción
1000 1236 81%
Armadura por flexión
1150 1236 93%
Unidireccional
Armadura por retracción
950 1236 77%
Armadura Por flexión
1150 1236 93%
Fuente: Elaboración propia.
Tabla 5-3: Carga sobre losa & primera falla del hormigón en layer 1
Losa Armadura
Solicitación (kgf/cm2)
Carga de Diseño
(kgf/cm2) Porcentaje
Bidireccional
Armadura por retracción
1150 1236 93%
Armadura por flexión
1250 1236 101%
Unidireccional
Armadura por retracción
1050 1236 85%
Armadura Por flexión
1250 1236 101%
