Parte II MODELOS DE AHORRO SIN INCERTIDUMBRE 21

Parte II

MODELOS DE AHORRO SIN INCERTIDUMBRE

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Capítulo 3

Racionalidad

Durante los siguiente capítulos vamos a dar los fundamentos de la elección ra- cional para poder utilizar el enfoque de equilibrio general a la hora de valorar activos …nancieros. Este capítulo explica con detalle la funadamentación y cons- trucción de la función de utilidad a partir de los conceptos más primitivos que son las preferencias y el conjunto de elección. También se describen en detalle las características principales de cada uno de ellos.

3.1 Conjunto de Elección

En todo proceso de elección racional por parte de los agentes económicos es ne- cesario de…nir el conjunto de alternativas posibles. Para ello se de…en a X como el conjunto de todas las alternativas posibles sobre las cuales los individuos pue- den de…nir sus preferencias. El conjunto X representa el conjunto de elementos o cosas, siendo un conjunto potencialmente muy amplio. El conjunto de alter- nativas puede incluir una gran cantidad de elementos ya sean tangibles (bienes, personas), intangibles (colores, sensaciones, etc...) o simplemente elementos bi- narios (por ejemplo: salud, ausencia de salud). Denotamos a x 2 X; como un elemento del conjunto de alternativas. Para añadir una cierta estructura en este conjunto suponemos que el conjunto de alternativas es un espacio de dimensión

…nita X µ R^L; donde L muestra el número de elementos que forman parte del conjunto de alternativas. Por lo tanto en este caso un elemento es un vector x de dimensión 1 £ L; que denota en cada entrada la cantidad de elementos de cada tipo que se incluye x :

x = (x1; : : : ; xL)

El conjunto de alternativas puede representarse grá…camente si los elementos de conjunto son dos o incluso tres. Para del analisis de realizará en el caso de dos alternativas.

3.2 Preferencias

Los individuos tienen de…nidas preferencias sobre el conjunto de elección. Las preferencias son consideradas como una exógenas, de forma que no analizamos

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cuál es la motivación detrás de las preferencias de cada individuo, sino que son tomadas como dadas.

De…nición (Preferencias): Las preferencias son una relación binaria de-

…nida sobre los elementos del conjunto de alternativas X:

Una relación binaria compara elementos a pares de la siguiente forma, si x; y 2 X entonces podemos decir que \x es al menos tan preferido que y", denotándolo con el siguiente signo%;

x% y:

A partir de la relación básica es posible de…nir dos conceptos más.

² Preferencia estricta: Suponga las siguientes preferencias % de…nidas sobre X; entonces se de…ne \ Â " como preferencia estricta si,

x y , x % y; pero :y  x;

es decir “x es al menos tan preferido que y” pero lo contrario no es cierto.

² Relación de indiferencia: Sean las siguientes preferencias % de…nidas sobre X; se de…ne \s " como una relación de indiferencia si,

xs y , x % y; e y % x:

Un individuo está indiferente frente a dos alternativas cuando, ambas son igualmente preferidas. La situación de indiferencia no debería confundirse con aquellas situaciones en las cuales un individuo es incapaz de elegir alguna alternativa debido a su indecisión. La indiferencia mani…esta que ambas alternativas son igualmente preferidas por parte del individuo.

3.3 Propiedades de las Preferencias

A continuación enunciamos algunas de las propiedades básicas que cumplen el tipo de preferencias que utilizaremos para analizar la elección racional del individuo.

1. Re‡exividad: Sea x 2 X; las preferencias son re‡exivas si x % x: Esta propiedad indica que cada elemento del conjunto de alternativas X es al menos tan preferido como sí mismo.

2. Completitud: Sean x; y 2 X; las preferencias son completas si x % y; y % xo ambas. Si las preferencias son completas el individuo tiene de…nidos sus gustos sobre las distintas alternativas. De forma que no está indeciso, una violación de la propiedad por ejemplo sería toda situación a la que se enfrenta un individuo en la cual no capaz de elegir, por ejemplo si está en un restaurante y le ofrecen el menú en chino. En caso de elegir siempre podríamos justi…car que su elección no se basa en criterios de preferencias, sino en criterios aleatorios pero en cualquier caso no es el tipo de problema que nos interesa desde el punto de vista económico.

3. Transitividad: Sean x; y; z 2 X; las preferencias son transitivas si x % y;

y % z; entonces x % z: La propiedad transitiva es una propiedad de consistencia en las preferencias de los individuos.

4. Monoticidad: Una relación de preferencia% de…nida en X es monótona si x 2 X y y À x implica que y  x: Las preferencias son estrictamente monótonas si y ¸ x; y 6= x y y  x: Las monoticidad indica que más estric- tamente de alguno de los elementos es preferido por parte del individuo.

Esto implica que para mejorar debemos movernos en dirección nord-este en el caso de que el conjunto de elección tenga tan sólo dos dimensiones.

5. Insaciabilidad local: Una relación de preferencia % de…nida en X es localmente no saciable si para cada x 2 X y cada ² > 0; existe un y 2 X tal que ky ¡ xk ²y y  x: La insaciabilidad local implica que el indivi- duo nunca alcanza un punto de máxima saciedad. La saciabilidad es un concepto menos estricto que la monoticidad, pues implica que simpre hay alguna dirección en la cuál es posible encontrar elementos estrictamente más preferidos.

6. Convexidad: Una relación de preferencia % de…nida en X es convexa si para cada x 2 X; el contorno superior es convexo, es decir, y % x y z% x; entonces ® ¢ y + (1 ¡ ®) ¢ z % x para 8® 2 [0; 1]: La interpretación económica de la convexidad es que los individuos pre…eren combinaciones de cestas de bienes, antes que cestas extremas, que contengan mucho de un elemento y poco del otro.

De…nición (Racionalidad): Una relación de preferencias % de…nida sobre X es racional, si es completa y transitiva.

La utilización de la palabra racional no implica ningún juicio de valor sobre las preferencias en sí mismas, ni tampoco sobre la capacidad de los individuos a la hora de elegir. El concepto de racionalidad económica se basa en el capacidad de los individuos para elegir de forma consistente de acuerdo con sus preferencias elementos del conjunto de elección.

3.4 Función de Utilidad

Los economistas utilizamos funciones para representar las preferencias de los individuos, pero eso es una simpli…cación que podemos hacer bajo unos determi- nados supuestos. Debreu (1959) demostró cuales eran las condiciones su…cientes para representar formalmente las preferencias mediante funciones de utilidad.

Teorema (Debreu): Si las preferencias % de…nidas en X µ R^L son ra- cionales (completas y transitivas) y continuas, entonces existe una función de utilidad u : X ! R continua que las representa.

De…nición (Función de utilidad): Sea u : X ! R una función de utilidad que representa la relación de % de…nida sobre x; y 2 X; de forma que si ,

x% y , u(x) ¸ u(y):

La utilización de funciones de utilidad permite simpli…car el análisis de la elec- ción racional de los individuos, utilizando la teoría de la optimización matemáti- ca.

3.5 Propiedades de la Función de Utilidad

Las funciones de utilidad tienen las siguientes propiedades.

1. Completitud: Una función de utilidad es completa si para 8x; y 2 X entonces se cumple,

x % y , u(x) ¸ u(y);

x  y , u(x) > u(y);

x v y , u(x) = u(y):

2. Transitividad: Sean x; y; z 2 X elementos del conjunto de elección, de- cimos que una función de utilidad u(¢) cumple la propiedad transitiva si,

u(x) ¸ u(y);

u(z) ¸ u(z):

por lo tanto esto implica que,

u(x)¸ u(z):

3. Ordinalidad: Las funciones de utilidad tienen la propiedad ordinal, de forma que la representación de las preferencias se mantiene invariante ante transformaciones monótonas. Es decir si u : X ! R representa la relación de% de…nida sobre x; y 2 X; tal que x % y; entonces si v : R ! R es una transformación monótona de u(¢), también representa las preferencias de…nidas sobre X:

x% y , u(x) ¸ u(y) , v (u(x)) ¸ v (u(y)) ;

por lo tanto si la función de utilidad tiene la propiedad ordinal existen in…nitas funciones de utilidad u(¢) que representan las preferencias %; pues existen in…nitas transformaciones monótonas crecientes.

3.6 Problemas

1. De…nir el concepto de racionalidad, y poner 3 ejemplos en los cuales las preferencias de los individuos no sean racionales.

2. Demostrar formalmente y grá…camente que las curvas de indiferencia no pueden cortarse.

3. ¿Cuáles son las propiedades básicas que deben satisfacer las preferencias de los individuos para ser representadas mediante una función de utilidad?

4. ¿Qué es una función de utilidad?, ¿qué propiedades tiene?

5. La función de utilidad es una representación ordinal de la preferencias,

%; explique por qué existen in…nitas funciones de utilidad que pueden representarlas.

Capítulo 4

Modelos de elección intertemporal

4.1 Introducción

El propósito de este capítulo es introducir el modelo básico de ahorro desde la perspectiva del comportamiento racional del individuo. El capítulo utiliza un marco de equilibrio parcial donde los precios relativos están dados, ello permite formular las decisiones de los individuos como función de los precios, permitiendo analizar como varían las decisiones de los individuos ante cambios en los mismos.

El capítulo se estructura de la siguiente forma, la sección 2 analiza la elección intertemporal básica en un marco de mercados perfectos de capitales. La sección 3 reformula el modelo básico con una estructura de mercados Arrow-Debreu, que es equivalente a una estructura secuencial de mercados. La sección 4 formula decisiones de cartera, cuando los individuos tienen a su disposición más de un activo para invertir sus recursos, ello permite enunciar el teorema de no- arbitraje en los mercados de activos perfectos. La sección 5 presenta un sencillo modelo con restricciones de liquidez exógenas y la sección 6 concluye con una introducción a las restricciones de participación en el mercado.

4.2 Elección Intertemporal

En este capítulo introducimos los fundamentos de la elección intertemporal del consumidor en un entorno sin incertidumbre. Es decir, se trata de analizar el fundamento microeconómico de las decisiones consumo/ahorro de los individuos.

A lo largo de este capítulo utilizaremos un sencillo modelo de dos periodos para analizar la asignación intertemporal de recursos. Para ello es necesario de…nir los elementos básicos del mismo, que están formados por las preferencias de los individuos y la restricción de recursos a la que se enfrentan en cada periodo.

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4.2.1 Preferencias

Supondremos que las preferencias de los individuos pueden representarse me- diante una función de utilidad del tipo:

U (ct; ct+1) = u(ct) + ¯u(ct+1): (4.1) Esta función de utilidad cumple los siguientes supuestos:

1. Es una función continua, diferenciable, creciente y estrictamente cóncava (u⁰> 0 y u⁰⁰< 0).

2. Aditivamente separable en el tiempo. Esto implica que la utilidad de hoy no afecta a la utilidad de mañana aunque si que afecta a la utilidad total del individuo.

3. El consumo futuro está descontado por un factor de descuento, ¯ 2 (0; 1): Signi…ca que los individuos valoran más el consumo presente que el consumo futuro, es decir son impacientes. Un factor de descuento cercano a cero implica que el individuo es muy impaciente, valorando muy poco el consumo futuro; en cambio, un factor de descuento cercano a la unidad implica que el individuo es muy paciente, valorando el consumo futuro igual que el consumo presente. Nótese que la tasa a la cuál el individuo descuenta el futuro viene dada por R = 1=¯ ¡ 1, que es la tasa subjetiva de descuento. De esta forma podríamos describirla función de utilidad de la siguiente forma:

U (ct; ct+1) = u(ct) + 1

1 + Ru(ct+1):

Grá…camente podemos dibujar las preferencias sobre el consumo presente y el consumo futuro mediante la utilización de curvas de indiferencia:

Figura 1: Conjunto elección consumo presente y futuro

0 1 2

0.5 2 3.5

Ct Ct+1

4.2.2 Restricción de Recursos

A contínuación se analizan las restricciones a las que se enfrentan los individuos en la elección intertemporal de recursos. Los individuos en cada momento del tiempo disponen de una determinada cantidad de recursos que pueden dedicar a consumir o a ahorrar. La cantidad ahorrada por los individuos en el primer periodo formará parte de la renta de los individuos en el siguiente periodo, pero capitalizada a la tasa de interés de mercado. Los individuos tienen un comportamiento precio-aceptante con respecto a los precios, de forma que los toman como dados:

ct+ at+1= wt; (4.2)

ct+1= (1 + rt+1)at+1+ wt+1; (4.3)

siendo ct; ct+1el consumo en el periodo t y t + 1, respectivamente; wty wt+1la dotación de bienes de que los individuos disponen en cada momento del tiempo.

Por tanto at+1 constituye el ahorro en el periodo t y son activos …nancieros que el individuo acumula para el periodo siguiente, t + 1, y que obtienen un rendimiento rt+1, que es la rentabilidad de ese ahorro/inversión. Nótese que no imponemos ninguna restricción en el signo del ahorro, de forma que los individuos pueden endeudarse (en el caso en que at+1 < 0), interpretándose entonces rt+1; como el coste …nanciero del préstamo del primer periodo, que debe devolverse en el periodo siguiente. A estas dos restricciones se las conoce como restricciones secuenciales, pues son las que se enfrenta el individuo en cada momento del tiempo. Es posible sustituir una restricción en la otra a través del ahorro, despejando at+1de la ecuación (4.3) y sustituyendo este valor en la ecuación (4.2), obteniendo larestricción intertemporal de recursos:

ct+ ct+1

1 + rt+1

= wt+ wt+1

1 + rt+1

: (4.4)

Esta restricción nos dice que el valor presente del consumo a lo largo de los dos periodos debe ser igual al valor presente de la dotación del individuo a lo largo de los dos periodos. Obsérvese que el ahorro constituye la forma en la cual un individuo puede transformar consumo presente en consumo futuro y viceversa. El factor 1=1 + rt+1 mide el coste de oportunidad de una unidad adicional de consumo mañana a precios de hoy (el precio del consumo futuro en términos de consumo presente), que depende de los tipos de interés de mercado, rt+1. En valor futuro podríamos reescribir la ecuación de la siguiente forma:

(1 + rt+1)ct+ ct+1= (1 + rt+1)wt+ wt+1: (4.5)

Grá…camente podemos dibujar el conjunto de elección de la siguiente forma,

Figura 2: Conjunto elección intertemporal

0 1 2

0 1.5 3 Ct+1

Ct - (1+r )

Suponemos que el consumo del individuo en cada momento del tiempo es estrictamente no negativo, es decir, ct; ct+1¸ 0: La pendiente de la restricción presupuestaria es ¡(1 + r^t+1): La motivación de los individuos para ahorrar o pedir prestado es sincronizar el ‡ujo de ingresos con el ‡ujo de consumo deseado. Si el patrón intertemporal de la dotación de recursos coincidiera con el de consumo los individuos no tendrían ningún incentivo a ahorrar ni pedir prestado.

Nota

El supuesto implícito en este análisis es la existencia de un mercado perfecto de capitales. Si los mercados de capitales no son perfectos existen restricciones en el intercambio intertemporal, éstas pueden venir dadas por restricciones de liquidez y/o restricciones de préstamo. Estos temas serán tratados más adelante.

4.2.3 Estática Comparada

Cambios en el nivel de ingresos en cada uno de los periodos o en los tipos de interés modi…can el conjunto de elección de los individuos.

1) Variaciones de Renta.

Los aumentos en la dotación de bienes, con independencia del periodo en que tengan lugar, desplazan el conjunto de elección paralelamente al original sin modi…car la pendiente, pues los tipos de interés en la economía no han cambiado.

De forma que variaciones en la renta incrementan o dismunyen la capacidad de consumo/ahorro con independencia del periodo en el cual se produzcan dado que no existen restricciones a la hora de transferir recursos intertemporalmente:

Figura 3: Variaciones de renta

0 1 2

0 1.5 3 Ct+1

Ct - (1+r )

Dis. Renta

2)Variaciones en los Tipos de Interés.

La variaciones en el tipo de interés afectan a las decisiones de prestar o pedir prestado en el mercado …nanciero. Un incremento de precios de los préstamos aumenta la rentabilidad del ahorro y disminuye la capacidad de endeudamiento de los individuos, mientras que una disminución de la rentabilidad incrementa la capacidad para endeudarse y disminuye la rentabilidad futura de este ahorro.

Figura 4: Variaciones tipo de interés

0 1 2

0 1.5 3 Ct+1

Ct - (1+r )

- (1+r' )

4.2.4 Elección Óptima

Solución grá…ca

Si suponemos una solución interior, la solución del problema de elección se encuentra en el punto de tangencia entre la restricción intertemporal de recursos y las curvas de indiferencia que representan las preferencias del individuo.

Figura 5: Elección intertemporal óptima

0 1 2

0.5 2 3.5

Ct Ct+1

RMS=UC(t)/UC(t+1) = !+r

Wt Wt+1

C*t C*t+1

En un óptimo interior se cumple, RMS = (1 + rt+1), es decir, la elección óptima implica en primer lugar igualar la relación marginal de sustitución entre el consumo presente y el consumo futuro al tipo de interés de mercado. Pero esta condición es sólo necesaria pues existen in…nitos puntos donde esta relación es cierta, por lo tanto la solución del problema debe pertencer a la frontera del conjunto presupuestario, es decir que la restricción presupuestaria deb cumplirse con igualdad. Eso simpre será cierto si las preferencias son mótonas y no existen soluciones de esquina en el problema de elección. De todas formas desde el punto de vista de la teoría del ahorro no nos preocuparemos mucho de las soluciones de esquina ni de las preferencias que exhiben saciedad local. En cambio, como veremos más adelante, las soluciones de esquina si que serán importantes en las decisiones de cartera.

En este caso dadas las preferencias del individuo y la dotación inicial de recursos observamos que la elección óptima implica ahorrar recursos en el mo- mento t; y así poder consumir más en el segundo periodo. Al tipo de interés vigente el individuo tiene una renta relativa superior en el primer periodo en relación con el segundo periodo. A pesar de ello es importante tener en cuenta que la elección óptima es una combinación de las preferencias de los individuos y los precios de mercado, que delimintan lo económicamente factible de lo no factible.

Solución formal

El problema formal consiste en solucionar el siguiente problema de optimización con restricciones.

fct;cmaxt+1;at+1gu(ct) + ¯u(ct+1);

s:a: ct+ at+1= wt; ct+1= (1 + rt+1)at+1+ wt+1;

ct; ct+1¸ 0:

En este caso la función objetivo es estrictamente cóncava y el conjunto de elección es un conjunto compacto (cerrado y acotado) y convexo. Por lo tanto

según elTeorema de Weierstrass, este problema tiene solución. La estricta convexidad de las preferencias garantiza que la solución sea única.

Para poder solucionar formalmente el problema y obtener las funciones de consumo y ahorro vamos a plantear distintas estrategias que como veremos son equivalentes.

1) OPTIMIZACIÓN UNIDIMENSIONAL

La forma más sencilla de solucionar el problema es sustituir las restricciones dentro de la función objetivo, esto sólo lo podremos hacer cuando las soluciones sean interiores. Por ahora supondremos que la solución es interior. Al sustituir las restricciones en la función objetivo el nuevo problema de optimización es el siguiente:

famaxt+1gu(wt¡ a^t+1) + ¯u(wt+1+ (1 + rt+1)at+1):

Como puede observarse el consumo de cada periodo no aparece de forma explic- ta, por lo tanto la única variable de elección es el ahorro o el nivel de activos.

Por lo tanto se ha reducido un problema de optimización en multidimensional en un sencillo problema unidimensional. Para encontrar el óptimo basta con derivar respecto el nivel de activos, at+1:

u⁰(wt¡ a^t+1)(¡1) + ¯u⁰(wt+1+ (1 + rt+1)at+1)(1 + rt+1) = 0:

Arreglando términos obtenemos:

u⁰(wt¡ a^t+1) = ¯u⁰(wt+1+ (1 + rt+1)at+1)(1 + rt+1):

La siguiente expresión depende del nivel de activos y puede interpretarse de la siguiente forma. Si el nivel de activos es positivo at+1> 0 entonces el individuo iguala el coste marginal de ahorrar una unidad adicional al bene…cio marginal de obtener una unidad adicional mañana. Si at+1 < 0 entonces en individuo iguala el bene…cio marginal de consumir una unidad adicional en el presente, endeudándose, al coste marginal de consumir dicha unidad, es decir el tipo de interés de mercado. Si at+1= 0 entonces el individuo no desea transferir riqueza en el tiempo por lo tanto, la estrategia óptima es consumir en cada momento t;

la dotación de recursos del periodo.

Para ver si la condición necesaria de primer orden es su…ciente para carac- terizar un máximo debemos comprobar el signo de la segunda derivada de la función objetivo:

u⁰⁰(wt¡ a^t+1) + ¯u⁰⁰(wt+1+ (1 + rt+1)at+1)(1 + rt+1)² < 0:

Las segundas derivadas de la función de utilidad son negativas, u⁰⁰< 0; ya que hemos supuesto que la utilidad marginal es decreciente. Si el tipo de interés es positivo (1 + rt+1)²> 0 entonces la expresión resultante será siempre negativa.

De esta forma las condiciones necesarias son su…cientes para caracterizar una solución del problema.

2) MÉTODO DE LAGRANGE

Otra opción es transformar el problema original en uno nuevo utilizando el método de Lagrange. El nuevo problema de elección es:

fct;ct+1;amaxt+1;¸t;¸t+1g$ = u(ct)+¯u(ct+1)+¸t(wt¡c^t¡a^t+1)+¸t+1(wt+1+(1+rt+1)at+1);

donde ¸ty ¸t+1son los multiplicadores de Lagrange asociados a cada restricción.

Las condiciones necesarias de primer orden son:

[ct] u⁰(ct)¡ ¸^t 0 (= 0 si ct> 0) [ct+1] ¯u⁰(ct+1)¡ ¸^t+1 0 (= 0 si ct+1> 0) [at+1] ¡¸^t+ ¸t+1(1 + rt+1) 0 (= 0 si at+16= 0)

[¸t] wt¡ c^t¡ a^t+1= 0

[¸t+1] (1 + rt+1)at+1+ wt+1¡ c^t+1= 0

En una solución interior las condiciones de primer orden se cumplen con igualdad (ct; ct+1 > 0 y at+1 6= 0): Combinando las dos primeras ecuaciones obtenemos:

u⁰(ct)

¯u⁰(ct+1) = ¸t

¸t+1

:

Esta ecuación iguala la relación marginal de sustitución (entre el consumo presente, ct y el consumo futuro, ct+1) al ratio de precios sombra que están representados por los multiplicadores de Lagrange. Esta expresión muestra la valoración subjetiva de consumo en cada periodo realizada por el individuo.

La relación entre los precios sombra de cada periodo se re‡eja en la siguiente expresión que se obtiene derivando respecto el nivel de activos:

¸t= ¸t+1(1 + rt+1):

Al igual que en el caso anterior esta ecuación depende del signo del nivel de activos. Mide el efecto de sacri…car una unidad de consumo presente, que en el futuro valdrá (1 + rt+1); o alternativamente mide cuántas unidades de consumo de mañana serían necesarias para obtener una de hoy, es decir mide el coste de oportunidad del consumo de cada periodo a precios de mercado. Sustituyendo esta expresión en la anterior obtenemos laEcuación de Euler:

u⁰(ct) = ¯u⁰(ct+1)(1 + rt+1):

La Ecuación de Euler iguala la utilidad marginal de una unidad consumida hoy a la utilidad marginal de una unidad ahorrada. Una unidad ahorrada hoy genera 1 + rt+1 unidades de consumo mañana, y éstas generan una utilidad marginal al individuo de ¯u⁰(ct+1). Si el nivel de activos óptimo fuese cero, es decir, at+1 = 0; entonces la Ecuación de Euler no se cumple, debido a que al actual tipo de interés los individuos consumen en cada momento su dotación de recursos, c^¤_t = wty c^¤_t+1= wt+1:

La condición de primer orden (Ecuación de Euler) conjuntamente con la restricción presupuestaria, forma un sistema matemático de ecuaciones e in- cognitas, que permite obtener el consumo óptimo de cada periodo y el nivel de activos. Las funciones de consumo y de ahorro de cada periodo dependen exclusivamente de variables exógenas (renta de cada periodo y tipo de interés),

c^¤_t = c(wt; wt+1; rt+1) c^¤_t+1 = c(wt; wt+1; rt+1) a^¤_t+1 = a(wt; wt+1; rt+1)

Interpretación de la Ecuación de Euler

A partir de la ecuación de Euler, es posible determinar cual será el consumo re- lativo que se realizara entre cada periodo, en función de cual sea la relación entre el factor de descuento subjetivo del individuo y el tipo de interés de mercado.

u⁰(ct)=¯u⁰(ct+1)

| {z }= (1 + rt+1)

| {z } Relación Marginal de sustitución Precios relativos

A partir de la ecuación de Euler, es posible determinar cual será el con- sumo relativo que se realizara entre cada periodo, en función de cual sea la relación entre el factor de descuento subjetivo del individuo y el tipo de interés de mercado.

u⁰(ct)

u⁰(c_t+1)= ¯(1 + rt+1)

² Si ¯(1 + r^t+1) = 1; entonces u⁰(ct) = u⁰(ct+1) la utilidad marginal en cada periodo es igual, por lo tanto el consumo en los dos periodos se iguala, es decir, ct= ct+1:

Con independencia de la forma funcional es posible derivar el ahorro aso- ciado a asignaciones simétricas de consumo, donde ct= ct+1:Sustituyendo las restricciones secuenciales en la ecuación de Euler:

u⁰(wt¡ at+1) = u⁰(wt+1+ (1 + rt+1)at+1)

dado que la utilidad marginal de los dos periodos se iguala, entonces esto implica que:

wt¡ a^t+1= wt+1+ (1 + rt+1)at+1

aislando el ahorro obtenemos:

a^¤_t+1= (wt¡ w^t+1) 2 + rt+1

para obtener el consumo respectivo de cada periodo basta con sustituir el ahorro en la restricción presupuestaria:

c^¤_t = wt¡

µwt¡ w^t+1 2 + rt+1

¶

c^¤_t+1 = wt+1+ (1 + rt+1)

µwt¡ wt+1

2 + rt+1

¶

² Si ¯(1 + r^t+1) > 1; entonces u⁰(ct) > u⁰(ct+1) la utilidad marginal del consumo hoy es mayor que la utilidad marginal del consumo mañana, por lo tanto debido a la relación inversa entre consumo y utilidad marginal, el consumo en t es menor que el consumo en t + 1, ct< ct+1:De esta forma cuando la tasa de descuento del individuo es menor que la del mercado entonces el consumo es creciente.

² Si ¯(1 + r^t+1) < 1; entonces u⁰(ct) < u⁰(ct+1) la utilidad marginal del consumo en t es menor que en t + 1; por lo tanto ct> ct+1:En este caso la tasa de descuento individual es menor que la del mercado, por lo tanto la respuesta óptima implica un patrón de consumo decreciente.

Ejemplo: Veamos un ejemplo particular, con una función de utilidad es isoelástica:

u(ct) = c¹_t^¡¾ 1¡ ¾

donde ¾ 2 (0; 1) denota la inversa de la elasticidad intertemporal de sustitución entre el consumo presente y el consumo futuro. La ecuación de Euler para esta forma funcional en concreto puede escribirse de la siguiente forma:

µ ct

ct+1

¶¡¾

= ¯(1 + rt+1) arreglando términos obtenemos:

ct+1

ct

= (¯(1 + rt+1))^¾1

Si ¯(1 + rt+1) = 1; entonces ct= ct+1con independencia de cual sea el valor de

¾:Esto es debido a que coincide la valoración subjetiva de los individuos y el tipo de interés de mercado. Si ¯(1 + rt+1)6= 1; cuanto mayor es ¾ más cóncava es la función de utilidad y por lo tanto peor están los individuos ante variaciones en el consumo entre ambos periodos con independencia de la relación ¯(1 + rt+1):

En el límite, lim

¾!1(¯(1 + rt+1))^1¾ = 1: Esto signi…ca que cuando mayor sea ¾;

para el individuo da igual que ¯(1 + rt+1)6= 1; pues el individuo está dispuesto a ahorrar o a endeudarse a cualquier precio con tal de alisar consumo entre periodos.

4.3 Formulación Arrow-Debreu

Es importante resaltar como el tratamiento de este tipo de problema no di…ere conceptualmente del problema de elección óptima del consumidor entre bienes distintos. La formulación Arrow-Debreu implica que dos bienes del mismo tipo consumidos en diferentes momentos del tiempo son considerados como bienes distintos con precios asociados diferentes. Para ello es necesario rede…nir el concepto de precio utilizado, indiciando los bienes no solo por el tipo sino por el momento en que se consumen. De esta manera, podemos reescribir el modelo de elección intertemporal como un modelo de elección estático, donde todas las elecciones se realizan en el momento inicial t = 0: En esta nueva reinterpretación, al igual que que en el caso anterior, los individuos son precio-aceptantes respecto a los precios y al ‡ujo intertemporal de ingresos (presente y futuro), y eligen una cesta de bienes de consumo fc^t; ct+1g: Para ello …rma con el resto de agentes contratos intertemporales de consumo.

De…nición (Contrato intertemporal): Un contrato es una promesa de pago en un momento determinado del tiempo de una cierta cantidad de consumo medida en unidades físicas.

Para analizar la formulación Arrow-Debreu tan sólo debemos reescribir la restricción de recursos, pues las preferencias permanecen inalteradas. Partiendo de la restricción intertemporal del recursos,

1¢ c^t+ 1

1+rt+1¢ c^t+1= 1¢ w^t+ 1

1+rt+1¢ w^t+1

Rede…niendo los precios, pt= 1 y pt+1= _1+r¹

t+1;el problema que solucionan los individuos en el periodo inicial t es el siguiente:

fcmaxt;c_t+1gu(ct) + ¯u(ct+1)

s:a: ptct+ pt+1ct+1= ptwt+ pt+1wt+1

ct; ct+1¸ 0

Nótese que ahora este problema no di…ere en absoluto del problema estándar de un consumidor que debe elegir entre dos bienes distintos en un momento del tiempo. El individuo elige dos bienes, consumo hoy y consumo mañana fc^t; ct+1g, dada su renta (que es el valor monetario de la dotación que posee de ambos bienes) y los precios de ambos bienes fp^t; pt+1g.

En cuanto a las unidades en que están medidas dichas cantidades, es impor- tante que quede claro que los bienes están medidos en unidades físicas, de forma que pt¢ w^tsigni…ca renta (valor monetario de la dotación de bienes), siendo wt, la renta real del periodo medida en unidades físicas.

La ecuación de Euler asociada al problema en formulación Arrow-Debreu está dada por la siguiente expresión:

u⁰(ct)

u⁰(ct+1) = ¯ pt

pt+1

Nótese que el ratio de precios Arrow-Debreu equivale al tipo de interés, p_t=pt+1= (1 + rt+1): Es posible realizar un análisis análogo al anterior analizando la rela- ción entre pt=pt+1y ¯: Si (pt=pt+1)¯ = 1; entonces ct= ct+1:Para asignaciones simétricas es posible hallar los precios relativos facilmente, pues la ecuación de Euler se convierte en la siguiente expresión:

1 = ¯ pt

pt+1

;

dado que u⁰(ct) = u⁰(ct+1): Si normalizamos pt = 1 entonces pt+1 = ¯; de forma que el precio del bien de consumo valorado en t es menor que el precio del consumo en t: Esto es debido a que los individuos descuentan el futuro y pre…eren una unidad de consumo presente que futura. La determinación de los precios de equilibrio será analizada con más detalle en el próximo capítulo

4.4 Modelo de Selección de Cartera

Hasta ahora el análisis realizado se basa en el supuesto que los individuos sólo ahorran en un tipo de activo …nanciero que da un rendimiento positivo sin incertidumbre. En esta sección expandimos el conjunto de activos de uno a I activos, de forma que ahora los individuos tienen más opciones a la hora de ahorrar.

De…nición (Activo Financiero): Un activo …nanciero es un bien que genera un ‡ujo de servicios a lo largo de tiempo. El activo es un derecho emitido por las agentes que necesitan …nanciación, constituyendo un medio de riqueza para los agentes que las poseen.

Las características básicas de un activos …nanciero son: liquidez, riesgo y rentabilidad. En este modelo de dos periodos, el ‡ujo de servicios es sólo un

periodo. Si el individuo realiza un ahorro positivo de recursos, percibe en el siguiente periodo el ‡ujo de servicios; mientras que si realiza un ahorro negativo, recibe el ‡ujo de servicios en este periodo y lo paga al siguiente. Al igual que en la sección anterior, suponemos que no existe incertidumbre con respecto a la corriente futura de los servicios que generarán los activos …nancieros. La nueva restricción presupuestaria secuencial re‡eja la expansión en el número de opciones de inversión …nanciera:

ct+ at+1+ q¹_tb¹_t+1+ ::: + q_t^Ib^I_t+1= wt

ct+1= wt+1+ (1 + rt+1)at+1+ q¹_t+1b¹_t+1+ ::: + q^I_t+1b^I_t+1:

Sea I el número de activos …nancieros que existen en la economía, q_tⁱ es el precio del activo i en el momento t; y bⁱ_tes la cantidad de activos de tipo i que posee un individuo. No se impone ninguna restricción en el signo de bⁱ_t;de forma que el individuo puede comprar o vender en corto. En notación compacta es posible rescribir la restricción secuencial de la siguiente forma:

ct+ at+1+ XI i=1

q_tⁱbⁱ_t+1= wt

ct+1= (1 + rt+1)at+1+ XI i=1

qⁱ_t+1bⁱ_t+1+ wt+1:

La rentabilidad que obtiene un individuo al invertir en este tipo de activos se calcula como el ratio entre el precio de compra y el precio de venta. Más adelante vermos como es posible convertir estas restricciones en una intertemporal como la de la sección anterior. El problema de selección de cartera de un individuo es el siguiente:

fct;c_t+1;amax_t+1;fbⁱ_t+1g^I_i=1gu(ct) + ¯u(ct+1)

s:a: ct+ at+1+ XI i=1

q_tⁱbⁱ_t+1 wt

ct+1 (1 + rt+1)at+1+ XI i=1

qⁱ_t+1bⁱ_t+1+ wt+1

ct; ct+1¸ 0

Formalmente podemos dividir este problema en dos. Un problema dinámico de asignación de recursos donde el individuo decide cuanto consumir hoy y mañana, y otro problema de selección de cartera entre los diversos activos que están disponibles.

Las condiciones necesarias del problema de optimización son las siguientes, [ct] u⁰(ct)¡ ¸^t 0 (= 0 si ct> 0)

[ct+1] ¯u⁰(ct+1)¡ ¸^t+1 0 (= 0 si ct+1> 0) [at+1] ¡¸^t+ ¸t+1(1 + rt+1) 0 (= 0 si at+16= 0) [bⁱ_t+1] ¡qtⁱ¸t+ ¸t+1q_t+1ⁱ 0 (= 0 si bⁱ_t+16= 0) [b^j_t+1] ¡qt^j¸_t+ ¸_t+1q_t+1^j 0 (= 0 si b^j_t+16= 0)

En una solución interior respecto al nivel de activos de cada tipo debe cum- plirse la Ecuación de Euler estandar de todo modelo dinámico.

u⁰(ct) = ¯u⁰(ct+1)(1 + rt+1)

de las condiciones adicionales derivamos la denominada condición de no- arbitraje, que nos dice que la rentabilidad neta de cada uno de estos activos debe igualarse.

¸t = ¸t+1(1 + rt+1) q_tⁱ¸t = ¸t+1q_t+1ⁱ q^j_t¸t = ¸t+1q_t+1^j obteniendo,

q_t+1^j

q_t^j =qⁱ_t+1 q_tⁱ ;

para 8t, i 6= j: Alternativamente podemos obtener las siguientes expresiones si relacionamos estas condiciones de primer orden con las del ahorro,

qⁱ_t= qⁱ_t+1 1 + rt+1

; 8i:

El precio de un bien hoy tiene que ser igual al valor actual del bien de mañana. Cualquier desviación del precio es una oportunidad para ganar dinero.

1 + rt+1= q_t+1ⁱ qⁱ_t

si el individuo decide endeudarse, entonces puede ,o bien determinar at+1< 0;

o bien vender en corto activos de qⁱ_t:De la condición de arbitraje se deriva que si un individuo se endeuda, no puede ahorrar en ningún otro tipo de activos, es decir, el modelo mide el nivel relativo de endeudamiento de forma que si en el momento t compra un determinado tipo de activos y vende de otros, lo único que nos interesa es su posición neta …nal, deudora o acreedora.

¿Qué ocurre si la condición de arbitraje no se satisface para alguno de los activos?

Si la condición de arbitraje no se satisface eso implica que hay algún tipo de activos que permite obtener una rentabilidad neta superior a los otros,

1 + rt+1> q_t+1ⁱ qⁱ_t

Existe un coste de oportunidad para realizar arbitraje, puesto que desde el punto de vista individual lo óptimo es vender activos del tipo \i"; y comprar activos que ofrecen una mayor rentabilidad. Si el mercado de activos es com- petitivo, la existencia de oportunidades para arbitraje provocará un cambio en los precios relativos, puesto que las decisiones de los agentes a estos precios la oferta y la demanda no coinciden. De forma que las cantidades que se desean intercambiar en este mercado no son iguales por lo tanto estos precios no son de equilibrio.

En el mercado 1 del activo (at+1); existe un exceso de oferta de liquidez, si la demanda de liquidez permaneciera …ja este exceso de oferta se vería re‡ejado en un aumento de la oferta que disminuiría el precio 1 + rt+1; cayendo la ren- tabilidad de este tipo de activos. Mientras en el mercado 2 ocurre exactamente lo contrario, a una menor rentabilidad cae la oferta de liquidez, desplazandose hacia la izquierda la curva de oferta, incrementándose el precio qⁱ_t+1=q_tⁱ:Estos ajustes se provocarán hasta que los individuos no tengan ningún incentivo a modi…car sus decisiones.

Para analizar con más detalle la existencia de oportunidades de arbitraje es necesario utilizar modelos de equilibrio general, este será el objeto del próximo capítulo.

Es relativamente sencillo comprobar que a pesar de incluir más activos la restricción presupuestaria intertemporal es la misma. Para verlo basta con sus- tituir el nivel de activos at+1 de la restricción en el primer periodo:

at+1= wt¡ XI

i=1

q_tⁱbⁱ_t+1¡ c^t; en la restricción en t + 1 :

ct+1= (1 + rt+1)

"

wt¡ XI i=1

q_tⁱbⁱ_t+1¡ ct

# +

XI i=1

q_t+1ⁱ bⁱ_t+1+ wt+1: Despejando obtenemos la siguiente expresión:

ct+ ct+1

1 + rt+1 ¡ w^t¡ wt+1

1 + rt+1

= XI i=1

bⁱ_t+1(qⁱ_t+1¡ qⁱ_t+1 1 + rt+1

):

Podemos encontrarnos en dos situaciones:

1. Si la condición de no-arbitraje se cumple entonces el rendimiento de todos los activos debe ser igual, por lo tanto la siguiente ecuación debe cumplirse:

q_t+1ⁱ ¡ qⁱ_t+1 1 + rt+1

= 0:

2. Si la condición de no-arbitraje no se cumple entonces, pueden ocurrir dos cosas:

(a)

qⁱ_t+1> qⁱ_t+1 1 + rt+1

;

Dado que el precio es superior al de no-arbitraje la estrategia óptima de inversión es no comprar este activo bⁱ_t+1= 0: Todo ello para cada idonde esto sea verdad.

(b)

qⁱ_t+1< qⁱ_t+1 1 + rt+1

Si el precio es inferior al ‡ujo descontado de pagos los individuos van a aprovechar esta oportunidad y realizarán arbitraje, por el cual obtendrán un bene…cio adicional que denotaremos por ¼ = _1+r^qit+1

t+1 ¡ qⁱ_t+1: De esta forma la restricción intertemporal de recursos vendrá dada por:

c_t+ ct+1

1 + rt+1

= w_t+¼ + wt+1

1 + rt+1

4.5 Restricciones de Liquidez

El modelo que analizamos a continuación es una variante del modelo de elec- ción intertemporal analizado anteriormente. En el modelo estandar la única restricción a la que se enfrentan los individuos para transferir recursos inter- temporalmente es la restricción presupuestaria. Ésta delimita la capacidad de ahorrar o endeudarse al ‡ujo presente de ingresos futuros. A continuación su- pondremos que existen restricciones addicionales al intercambio en el mercado por parte de los agentes. Supongamos que por alguna razón no explicitada los individuos encuentran restricciones a su capacidad para transferir consumo intertemporalmente.

En ese sentido decimos que hay mercados incompletos pues los indivi- duos no pueden realizar todas las transaciones que desearían. Por ejemplo, una restricción adicional sería suponer que el nivel de activos debe ser no negativo.

Sería el caso de la siguiente restricción de liquidez, at+1¸ 0. Su interpretación en términos de contratos implica que los individuos pueden vender bienes de consumo en t + 1; pero en el momento t no pueden consumir más que su dota- ción de recursos. A pesar que el intercambio de bienes en el mercado de consumo en t pueda ser bene…cioso para todos los individuos, eliminamos esa posibilidad.

En términos de la formulación Arrow-Debreu, esto implica la imposibilidad por parte de los agentes de …rmar cierto tipo de contratos.

Este tipo de restricciones puede modi…ca el conjunto elección del individuo, pues restringe el consumo del primer periodo a no ser superior a un cierto nivel de su renta.

Figura 6: Conjunto de elección ante restricciones de liquidez

0 2

0 2

- ( 1+ r )

Ct Ct+1

at+1>=A

Formalmente, veamos como solucionar el problema de elección intertemporal cuando se añaden restricciones de liquidez. Para el caso general supondremos que el nivel de activos ha de cumplir la siguiente condición, a_t+1¸ ¡A donde Aes una constante que no es lo su…ciente grande como para no ser efectiva. Es posible obtener este valor a partir de la restricción presupuestaria del consumidor A < _1+r^wt+1

t+1:

fct;cmax_t+1;a_t+1gu(ct) + ¯u(ct+1)

s:a: ct+ at+1= wt

ct+1= (1 + rt+1)¢ a^t+1+ wt+1

at+1¸ ¡A

ct; ct+1¸ 0

La solución a este problema depende de si la restricción de liquidez es ope- rativa o no.

Caso 1(Restricción operativa): at+1=¡A

La restricción de liquidez es operativa, de forma que el individuo a pesar de que le gustaría pedir prestado recursos para consumir más que su nivel de renta en el primer periodo, se encuentra restringido a consumir la renta del primer periodo. De forma que la elección óptima de este individuo es:

c^¤_t = wt+ A

c^¤_t+1= wt+1¡ A(1 + r^t+1)

Si A = 0; la mejor opción que tiene el individuo es el consumo de autarquía (consumir en cada momento su dotación de bienes, no habría intercambio con otros agentes en la economía). Si la restricción de liquidez es operativa, la Ecuación de Euler no se cumple debido a la existencia de la restricción de liquidez, por lo tanto la solución del problema del consumidor no implica igualar la relación marginal de sustitución al tipo de interés de mercado.

u⁰(ct)

¯u⁰(ct+1)> 1 + rt+1

Esto implica que la relación marginal de sustitución entre el consumo presen- te y el consumo futuro es superior al tipo de interés. El bienestar del individuo cuando no existe dicha restricción, pues puede alcanzar curvas de indiferencia superiores.

Figura 7: Solución grá…ca con restricción de liquidez operativa

0 12

Ct Ct+1

UC(t)/UC(t+1) > B (1 + r )

Caso 2 (Restricción no operativa): at+1> 0

Estamos en el caso anteriormente analizado, el individuo tiene incentivos a mantener una posición de activos superior a la marcada por la restricción. La solución del problema sin la restricción de liquidez es equivalente a la solución del problema con una restricción adicional que en equilibrio no es operativa.

Estamos en el caso de las secciones anteriores.

Figura 7: Solución grá…ca con restricción de liquidez no operativa

0 2

0.5

Ct Ct+1

RMS=UC(t)/UC(t+1) = !+r

Wt Wt+1

C*t C*t+1

4.6 Restricciones de Participación

Otra de las incompletitudes que serán analizadas con más detalle en el capítulo dedicado a mercados incompletos en la capacidad de decisión que tienen los individuos para participar o no en el mercado. Por lo tanto bajo ciertas circuns- tancias los individuos pueden tener incentivos de salir del mercado de crédito y no pagar sus deudas. Esto tendrá efectos en el mercado de crédito, pues los prestamistas a la hora de dar crédito tendrán en cuenta esta posibilidad por lo

tanto, para evitar que los deudores declaren la fallida en los préstamos, éstos les van a prestar menos recursos de los que realmente desearían pedir prestado.

En un problema de dos periodos, un individuo tiene incentivos a permanecer en el mercado cuando se cumple la siguiente restricción:

U (wt¡ a^t+1) + ¯U (wt+1+ (1 + rt+1)at+1)

| {z }¸ U (wt¡ a^t+1) + ¯U (wt+1)

| {z }

Utilidad participar en el mercado Utilidad de salir del mercado En la parte izquierda está en nivel de utilidad asociado a permancer en el mercado, mientras que en el lado izquierdo …gura el nivel de utilidad asociado a salir del mercado y no pagar las deudas contraidas. Por lo tanto un individuo saldrá del mercado y no pagará sus deudad si:

U(wt+1+ (1 + rt+1)at+1) < U (wt+1)

suponemos que cuando la restricción se cumple con igualdad el individuo perma- nece en el mercado. Esto signi…ca que en un modelo con dos periodos siempre que at+1 < 0; los individuos declararán bancarrota. Dado que no hay proble- mas de información el prestamista será consciente de que el prestatario no le devolverá el crédito, por lo tanto este intercambio no se realizará, de esta for- ma aparecen de forma endógena incompletitudes de mercado. El problema del consumidor cuando existe opciones de salir del mercado puede escribirse de la siguiente:

fct;cmax_t+1;a_t+1gu(ct) + ¯fu(c^t+1); u(wt+1)g s:a: ct+ at+1= wt

ct+1= (1 + rt+1)¢ a^t+1+ wt+1

ct; ct+1¸ 0

La ausencia de problemas de información añadirá una restricción adicional al problema, de forma que la solución de este problema deberá satisfacer también la siguiente restricción:

U (c_t+1)¸ U(wt+1)

Por lo tanto no habrá bancarrota en equilibrio. El equilibrio en este tipo de economías se analizará con mayor detalle en el capítulo de mercados incompletos.

4.7 Problemas

1. (Elección intertemporal). Demostrar que las condiciones de primer orden asociadas a solucionar con la restricción secuencial es equivalente a la restricción intertemporal (téngase en cuenta que ahora sólo hay un multiplicador de Lagrange asociado).

2. (Elección intertemporal). Suponga que la función de utilidad es la siguiente, u(ct) = ln ct:

(a) Demostrar que la función de utilidad propuesta satisface las hipótesis básicas.

(b) Derivar la Ecuación de Euler asociada a esta función de utilidad.

(c) Hallar las funciones de consumo en cada periodo y la función de ahorro.

(d) Compruebe que las demandas óptimas (c^¤t; c^¤_t+1) agotan toda la renta.

(e) Demostrar bajo qué condiciones el nivel de activos es negativo.

3. (Elección intertemporal) Si la función de utilidad es, u(ct) = (c^1¡¾_t ¡ 1)=(1¡ ¾):

(a) Demuestre que ¾ es la inversa de la elasticidad de sustitución entre el consumo presente y futuro.

(b) Solucionar los apartados del ejercicio anterior para esta nueva función de utilidad.

(c) ¿Qué resultados se obtienen cuando ¾ = 1?

4. (Elección intertemporal+Impuestos). Con las mismas preferencias que en el problema anterior suponga que el individuo se enfrenta a un impuesto sobre el consumo de cada periodo, ¿_c; de forma que la nueva restricción intertemporal tiene la siguiente forma:

(1 + ¿c) µ

ct+ ct+1

1 + rt+1

¶

= wt+ wt+1

1 + rt+1

(a) ¿Qué efectos tiene el impuesto sobre la elección intertemporal?. ¿Crea alguna distorsión en las decisiones de ahorro?

(b) ¿Qué ocurriría si el impuesto de consumo sólo existiera en el primer periodo?, ¿cambiarían las condiciones de primer orden?

5. (Formulación Arrow-Debreu 1). Si la función de utilidad es u(¢) = ln ct:

(a) Dibujar la restricción Arrow-Debreu y solucionar el modelo gra…ca- mente.

(b) Solucionar el problema de elección en t y derivar las cantidades con- sumidas en cada momento del tiempo.

(c) Explicar el concepto de contrato intertemporal en relación al concepto de ahorro utilizado en la sección anterior. Nótese que en este caso no existe ningún mecanismo adicional a los contratos para transferir recursos entre dos periodos.

(d) Reinterprete la ecuación de Euler.

(e) ¿Cuál es la relación de precios existente entre dos periodos?

6. (Formulación Arrow-Debreu 2) Considere el problema de un indivi- duo que debe decidir la asignación intertemporal de consumo entre dos periodos. Suponga que las preferencias son representables mediante la siguiente función de utilidad U(ct; ct+1) = ct+ ln ct+1; y la restricción presupuestaria es de tipo Arrow-Debreu,

ptct+ pt+1ct+1= ptwt+ pt+1wt+1; Con esta información responda a las siguientes cuestiones:

(a) Solucionar grá…camente el problema de elección.

(b) Hallar las funciones de consumo.

(c) Si ¯ = 0:6; rt+1= 20% y las dotaciones de recursos de cada periodo son w_t= 10; w_t+1= 20. Hallar numéricamente los consumo óptimos.

(d) Explicar el concepto de contrato intertemporal en relación al concepto de ahorro.

7. (Restricciones de liquidez). Considere el problema de un individuo que debe decidir la asignación intertemporal de consumo entre dos perio- dos. Suponga que las preferencia son representables mediante la siguiente función de utilidad U(ct; ct+1) = ctc^¯_t+1;y la restricción presupuestaria es de tipo secuencial. Con esta información responda a las siguientes cues- tiones.

(a) Solucionar grá…ca y formalmente el problema de elección si ¯ = 0:5;

rt+1 = 11% y las dotaciones de recursos de cada periodo son wt = wt+1= 10:

(b) Suponga que existe la siguiente restricción de liquidez, a_t+1 ¸ ¡1:

Afectará dicha restricción a la solución obtenida en el apartado an- terior?. ¿Cuál será el nuevo patrón intertemporal de consumo de equilibrio?

(c) ¿Qué signi…cado económico tendría at+1¸ 1?

8. (Restricciones de liquidez). Analizar el caso de restricciones de liqui- dez del siguiente tipo, at+1¸ ¡A, donde A > 0.

(a) Soluciónelo grá…ca y formalmente.

(b) ¿Qué ocurre cuando A ! 1; es decir se hace arbitrariamente grande?

(c) ¿Qué signi…cado económico tiene A < 0?, ¿dé una interpretación y solucione el problema?

Capítulo 5

Introducción al Sistema Financiero

5.1 Introducción

En este capítulo se introduce la noción de sistema …nanciero y se analiza la determinación de precios de los distintos activos en cada mercado. Para ello es necesario analizar, además de la decisión óptima individual, y la interacción en el mercado de tanto oferentes como demandantes.

De…nición (Sistema Financiero): El sistema …nanciero es un conjunto de instituciones que tienen por …nalidad canalizar el ahorro de los agentes que tienen capacidad de …nanciar hacia aquellos que tienen necesidades …nancieras.

La existencia de un sistema …nanciero en la economía va a permitir mejorar el bienestar de los individuos respecto a una situación en la que no existiera este tipo de institución. Para modelizar el sistema …nanciero en su conjunto y analizar los determinantes de los precios de los activos en un mundo sin incer- tidumbre es necesario utilizar modelos de equilibrio general dinámico, basados en economías de intercambio puro. Los precios de equilibrio son aquellos re- sultantes de hacer compatibles las decisiones de compra y venta de todos los individuos en el mercado.

El capítulo se estructura de la siguiente forma, la sección 2 introduce la es- tructura básica que aparece en todo modelo de equilibrio general. La sección 3 analiza la determinación de los precios en mercados con estructura secuencial, mientras que la sección 4 el mismo tipo de economías con estrutura de mercado de tipo Arrow-Debreu. La sección 5 analiza los efectos de restricciones de liqui- dez en la determinación de precios de equilibrio en los mercados y por último la sección 6 analiza la determinación de precios en un modelo con multiples activos.

5.2 Preferencias y Dotaciones

La características básicas de la economía son similares a las del capítulo anterior.

Suponemos una economía de dos periodos, en la cual hay existe un número de individuos I; donde i¡ denota al individuo i-esimo. En cada momento del

47

tiempo existe un bien de consumo, denotado por cⁱ_t y cⁱ_t+1. La preferencias de los individuos están representadas mediante la siguiente función de utilidad,

U (cⁱ_t; cⁱ_t+1) = u(cⁱ_t) + ¯ⁱu(cⁱ_t+1);

donde ¯ⁱ 2 (0; 1) es el factor de descuento subjetivo de cada individuo. Las preferencias cumplen las siguientes propiedades: u⁰> 0 y u⁰⁰< 0:

En cada momento del tiempo cada individuo dispone de una dotación de recursos que está dada por, !ⁱ = (!ⁱ_t; !ⁱ_t+1): De esta forma los individuos ten- drán incentivos a intercambiar recursos en la medida que su dotación inicial no coincide con el elemento más preferido en el conjunto de elección determinado por la restricción presupuestaria.

5.3 Mercados Secuenciales

A continuación describimos el modelo básico de equilibrio general con una es- tructura secuencial de mercados que abre y cierra en cada periodo. En el mo- mento t existe un mercado para intercambiar bienes de consumo en t, es decir cⁱ_t:Una vez cierra este mercado, abre otro en el siguiente periodo donde sólo se puede intercambiar el bien de consumo en t + 1; es decir cⁱt+1: En t + 1; existe un mercado para intercambiar cⁱ_t+1; pero el mercado del bien del consumo del periodo anterior ya ha sido cerrado. Existe un mercado adicional que permite a los individuos transferir riqueza en el tiempo, aⁱ_t+1; de forma permite com- prar en los mercados de bienes una cantidad superior a la dotación de recursos dispible en cada periodo.

La estructura de mercado queda plasmada en la siguiente noción de equili- brio:

De…nición (Equilibrio Secuencial): Un equilibrio secuencial es una asig- nación de recursos para cada individuo i, fcⁱt; cⁱ_t+1; aⁱ_t+1g^Ii=1 y un precio frtg tal que:

1. El individuo i elige fcⁱt; cⁱ_t+1; aⁱ_t+1g al solucionar:

max

fcⁱ_t;cⁱ_t+1;aⁱ_t+1gu(cⁱ_t) + ¯ⁱu(cⁱ_t+1) s:a: cⁱ_t+ aⁱ_t+1= !ⁱ_t cⁱ_t+1= (1 + rt+1)aⁱ_t+1+ !ⁱ_t+1

cⁱ_t; cⁱ_t+1¸ 0 2. Los mercados se vacían (demanda-oferta 0)

X

i

cⁱ_t X

i

!ⁱ_t 8i;

X

i

cⁱ_t+1 X

i

!ⁱ_t+1 8i;

X

i

aⁱ_t+1= 0 8i;