Introducción a los productos de Blaschke. Andres Felipe Ortiz Rivera

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Introducci´ on a los productos de Blaschke

Andres Felipe Ortiz Rivera

Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Facultad de Ciencias y Educaci´on

Bogot´a, Colombia 2018

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Blaschke

Andres Felipe Ortiz Rivera

Monograf´ıa presentada como requisito parcial para optar al t´ıtulo de:

Matem´atico

Director(a):

Milton del Castillo Lesmes Acosta

Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Facultad de Ciencias y Educaci´on

Bogot´a, Colombia 2018

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Dedicado a

A mis padres y hermana.

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Agradecimientos

Primero que nada agradezco a Dios, agradezco a mis padres por el apoyo y confianza que han tenido en mi y en mis capacidades y por inculcarme los valores que hoy me hacen ser quien soy, a mi hermana pues fue un gran apoyo en el transcurso de mi carrera y a Lizeth pues durante la elaboraci´on de este trabajo fue un gran apoyo moral y emocional.

Agradezco a mi Director de tesis, el Doctor Milton del Castillo Lesmes Acosta, por la confianza depositada en mi y por el acompañamiento y la asesoria durante la elaboración de este trabajo. Por ultimo, quiero agradecer a todos los profesores que me han formado aca- demicamente durante la carrera, y tambien a mis compañeros.

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vii

Resumen

Es preciso aclarar que este trabajo va enfocado a presentar la definición de un producto de Blaschke, sus propiedades, su relación con los espacios de Hardy y un teorema que tiene que ver con funciones de Clase Nevanlinna y los mismos productos de Blaschke. Primero se comienza con algo de definiciones previas que seran de importancia en el transcurso del mismo como lo son las funciones anal´ıticas, cabe aclarar en esta parte que tambien se hablará sobre los polos y ceros de estas funciones. Además de estas funciones, tambien se presentan las funciones subarmonicas y propiedades de dichas funciones, para luego adentrarnos en series y sucesiones y algunos tipos de convergencia, esto se hace con el fin de entrar a definir los productos infinitos y la equivalencia entre la convergencia de estos productos y la convergencia de series con una forma particular, pues esto sera de ayuda para el punto principal del trabajo. Por ultimo se definen los espacios de Hardy, las funciones de Clase Nevanlinna y los productos de Blaschke, se mostrarán propiedades de estos por medio de proposiciones, y para finalizar se demuestra el teorema que se habia mencionado al comienzo de este parrafo.

Palabras Clave: Funcion anal´ıtica, Ceros de una funci´on, Producto infinito, Funci´on subarmonica, Producto de Blaschke.

Abstract

It is necessary to clarify that this work is focused on the definition of a Blaschke product, its properties, its relation with Hardy spaces and a theorem that has to do with functions of Nevanlinna Class and Blaschke products. First we start with something like the previous definitions that will be important in the course of the same as the analytical functions, it is clarified in this part that also talks about the poles and zeros of these functions. In addition to these functions, the subharmonic functions and properties of the functions are also presented, in order to later enter series and successions and types of convergence, this is done in order to access the infinite products and the equivalence between the convergence of these products and the convergence of series with a particular form, since this is the main objective of the work. Lastly, the Hardy spaces, the Nevanlinna Class functions and the Blaschke products are defined, the properties of these are shown by means of propositions, and finally the theorem that was mentioned at the beginning of this paragraph is shown.

Keywords: Analytical function, Zeros of a Function, Infinite Product, Subharmonic Fun- ctions, Product of Blaschke.

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Introducci´ on

El estudio de espacios de funciones anal´ıticas en el disco unidad representa uno de los aspectos mas importantes del Análisis Complejo, en especial los espacios de Hardy H^p. Una manera de introducir estos espacios es a través del estudio de los ceros de funciones anal´ıticas en el disco unidad. El presente trabajo pretende explicar lo que es un producto de Blaschke, y las funciones de clase Nevanlinna, sus propiedades y la relación que existe entre estos dos, junto con la relación de los espacios ya mencionados. Un producto de Blaschke es un producto infinito que consta de diversas factores, con infinitos ceros y polos, es además una función anal´ıtica en el disco unidad, y el limite radial existe en casi toda parte de z : |z| = 1. También se presenta una subclase, los productos finitos, que comparte muchas de las propiedades que posee un producto de Blaschke infinito. Una función f de Clase Nevanlinna es una función anal´ıtica y medible en el sentido de Lebesgue en el disco unidad, tal que kf kN < ∞, se introducen estas dos partes para ver que se puede dar origen a una función de clase Nevanlinna por medio del cociente de una función Nevanlinna y un producto de Blaschke ambos con los mismos ceros.

Este trabajo busca ampliar un poco la comprensi´on sobre los productos de Blaschke y las funciones de Clase Nevanlinna, sus propiedades mas basicas y algo de la relaci´on entre estos dos y los espacios de Hardy, pues a pesar de que el fin de este trabajo no sea profundizar en temas que tengan que ver directamente con ellos, pues se considera importante tratar cosas basicas pero de gran importancia.

Este trabajo consta de 4 capitulos organizados de la siguiente manera; en el Capitulo 1, se dan definiciones previas entre estas estan la definici´on de las funciones analit´ıcas, resaltando los ceros y polos de estas funciones, pues una de las propiedades de los productos de Blaschke es que posee ceros y polos; adem´as de las funciones analiticas, se definen las funciones armonicas y subarmonicas y se presentan resultados sobre este tipo de funciones.

En el Capitulo 2 se abordan las sucesiones complejas, se define las convergencia de estas sucesiones, dandole relevancia a las series de funciones complejas, los tipos de convergencia, además. se presentan resultados importantes como lo es el hecho de que si una sucesion de funciones anal´ıticas convergen uniformemente a una función limite, dicha función es también anal´ıtica. Además de esto, se presentan las series complejas, se define su convergencia y los diferentes tipos de convergencia.

En el Capitulo 3, comenzamos definiendo un producto infinito, su convergencia, y asi poder llegar a la sección 3.2 que trata la equivalencia entre la convergencia de productos infinitos y la de las series, tanto de números complejos como de funciones complejas, al final de este capitulo se presenta un teorema y una proposición, el teorema nos da la primera noción de producto de Blaschke, sin embargo, su definición se presenta en el capitulo 4, pero a pesar

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ix

de esto, este teorema es de gran importancia pues nos dice que el producto de Blaschke converge a una funcion anal´ıtica en el disco unitario; y la proposici´on nos da condiciones suficientes para que se de la convergencia uniforme y absolutamente del producto de Blaschke en subconjuntos compactos del disco unidad.

Por último, en el Capitulo 4, se definen los espacios de Hardy, presentando el concepto de l´ımite radial y su existencia para funciones en H^p(D) con 1 ≤ p ≤ ∞, luego, se definen las funciones de clase nevanlinna, se demuestra que para todo p (1 ≤ p ≤ ∞), H^p es un subconjunto de la clase de funciones Nevanlinna, una proposición acerca de estas funciones donde se afirma que los ceros satisfacen la condición de Blaschke. Y finalmente se define el factor de Blaschke como un automorfismo de D en D, se da la definición de un producto de Blaschke, infinito y finito, algunas de las propiedades de productos finitos e infinitos y se presenta un teorema que involucra tanto los productos de Blaschke como las funciones de Clase nevanlinna, en resumidas cuentas este teorema nos permite factorizar los ceros de una funcion f de Clase Nevanlinna con los ceros del producto de Blaschke B formado por los ceros de dicha función dando origen a una función h = f /B no nula y que pertenece a la funcion de Clase nevanlinna y mas aún, si f pertenece a un espacio de Hardy, entonces h tambi’én pertenece a ese mismo espacio.

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Agradecimientos V

Resumen VIII

1. Preliminares 2

1.1. Definiciones previas . . . 2

1.2. Funciones Analiticas . . . 3

1.2.1. Ceros y polos de una funci´on Analitica. . . 7

1.3. funciones Armonicas . . . 9

1.3.1. Funciones Subarmonicas . . . 11

1.3.2. Funciones armonicas en D. . . 12

2. Series y sucesiones complejas 15 2.1. Convergencia de sucesiones . . . 15

2.1.1. Sucesiones de funciones complejas . . . 17

2.2. Convergencia de series . . . 18

2.2.1. Convergencia Absoluta . . . 21

2.2.2. Convergencia Uniforme . . . 22

3. Productos infinitos 26 3.1. Productos infinitos de N´umeros Complejos . . . 26

3.2. Equivalencia en convergencia de productos y series. . . 28

3.2.1. Productos infinitos de Funciones Complejas . . . 31

4. Productos de Blaschke y Funciones de Clase Nevanlinna 36 4.1. Espacios de Hardy . . . 37

4.2. Funciones de clase Nevanlinna . . . 39

4.3. Productos de Blaschke . . . 42

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CONTENIDO 1

5. Conclusiones 54

Bibliograf´ıa 55

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PRELIMINARES

1.1. Definiciones previas

Para dar claridad al lector, durante este trabajo el disco unidad se notara por D = {z : |z| <

1} y su borde por T = {z : |z| = 1}.

Definici´on 1.1. Un espacio metrico (X, d) es conexo si los ´unicos subconjuntos de X que son abiertos y cerrados son ∅ y X. Si A ⊂ X entonces A es un subconjunto conexo de X si el espacio metrico (A, d) es conexo.

Una definici´on equivalente de conexo es decir que X no es conexo si existen dos conjuntos abiertos A y B disjuntos en X, distintos de ∅, tal que X = A ∪ B. En efecto, si esta condici´on se cumple entonces A = X − B sera cerrado.

Durante el transcurso del trabajo se hará uso de la función log w para w ∈ C, es entonces se quiere definir log w para que satsifaga w = e^z cuando z = log w. Ahora, ya que e^z 6= 0 para cualquier z, no se puede definir log 0. Por lo tanto, supongamos e^z = w y w 6= 0; Si z = x + iy entonces |w| = e^x y y = arg w + 2πk, para algún k, por lo tanto

{ln|w| + i(arg w + 2πk) : k es cualquier entero}

es el conjunto soluci´on para e^z = w. (Note que ln|w| es el usual logaritmo real.)

Definici´on 1.2. Si G es un conjunto abierto conexo en C y f : G → C es una funci´on continua tal que z = exp[f (z)] para todo z en G entonces f es una rama de el logaritmo.

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1.2 Funciones Analiticas 3

1.2. Funciones Analiticas

Definici´on 1.3. Si G es un conjunto abierto en C y f : G → C entonces f es diferenciable en un punto z₀ en G si

f⁰(z0) = l´ım

z→z0

f (z) − f (z₀) z − z₀

existe, el valor de este limite es denotado por f⁰(z₀) y es llamada la derivada de f en z₀. Nota: Si f es diferenciable en cada punto de G diremos que f es diferenciable en G. Notemos que si f es diferenciable en G entonces f⁰(a) define una funci´on f⁰ : G → C. Si f⁰ es continua entonces diremos que f es dos veces diferenciable y por ultimo, una funci´on diferenciable tal que cada derivada sucesiva es de nuevo diferenciable es llamada infinitamente diferenciable.

Proposici´on 1.1. Si f : G → C es diferenciable en un punto a en G entonces f es continua en a.

Demostraci´on. En efecto, l´ımz→a|f (z) − f (a)| =

z→al´ım

|f (z) − f (a)|

|z − a|

·h

z→al´ım|z − a|i

= f⁰(a) · 0 = 0

Definici´on 1.4. Sea G un subconjunto abierto, no vacio y conexo de C. Una funci´on diferenciable en todo punto de G se dice que es anal´ıtica en G.

El conjunto de funciones anal´ıticas en un conjunto abierto G ⊂ C se notar´a por H(G).

Las funciones que tienen derivadas solo en puntos aislados como f (z) = |z|² en ocasiones no son interesantes. Por convenci´on, cuando digamos que f es anal´ıtica en un punto z₀ significa que f es analitica en una vecindad del punto, es decir, es anal´ıtica en

B(z₀; r) = {z : |z − z₀| < r}.

Definici´on 1.5. Sea f : G → C. Si f⁰(z) existe para todos los puntos z ∈ G, entonces la funci´on f⁰ : G → C tal que z 7→ f⁰(z) queda definida. Se dice que f es anal´ıtica en z₀ si y solo si

1. f⁰(z) existe para todos los puntos z en alg´un B(z₀; r) que contiene a z₀ (en particular, f⁰(z0) existe).

2. f⁰ = f⁰(z) es una funci´on continua de z en alg´un B(z₀; r) que contiene a z₀.

Dada la anterior definici´on, tambien podemos decir que una funci´on f : G → C es analitica si f es continuamente diferenciable en G.

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Ejemplo 1.1. Un ejemplo de funci´on anal´ıtica es f (z) = ¹_z que es anal´ıtica en cada punto del plano complejo que sea distinto de cero.

Pero la función f (z) = |z|² no es anal´ıtica en ningún punto ya que su derivada existe solo en z = 0 y no en ningúna vecindad de z = 0.

Nota: Las funciones racionales: h(z) = ^{f (z)}_g(z), con dominio D = {z ∈ C/g(z) 6= 0} y donde f (z) y g(z) son polinomios. La derivada

h⁰(z) = g(z)f⁰(z) − f (z)g⁰(z) g²(z)

existe, y es continua en D.

El siguiente teorema, nos da las condiciones suficientes para que una funci´on sea diferenciable, y por tanto analitica.

Teorema 1.1. Sea la funci´on f (z) = u(x, y)+iv(x, y) se define a lo largo de alguna vecindad

de un punto z₀ = x₀+ iy₀, y supongamos que

las derivadas parciales de primer orden de las funciones u y v con respecto a x y y existen en todos lados de la vecindad;

y estas derivadas parciales son continuas en (x₀, y₀) y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann

u_x = v_y y u_y = −v_x en (x₀, y₀).

Entonces f⁰(z0) existe y su valor esta dado por f⁰(z0) = ux+ ivx

donde el lado derecho de la igualdad es evaluado en (x0, y0).

Demostraci´on. Ver [2], P´agina 66.

Ejemplo 1.2. Consideremos la funci´on f (z) = e^−ysen x − ie^−ycos x de donde u(x, y) = e^−ysen x y v(x, y) = −e^−ycos x

derivando se obtiene

∂u

∂x = e^−ycosx y ∂u

∂y = −e^−ysenx y

∂v

∂x = e^−ysenx y ∂v

∂y = e^−ycosx

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Claramente las derivadas parciales de primer orden de cada una de las funciones son continuas en todo el plano complejo, ahora veamos que f (z) satisface las ecuaciones de Cauchy- Riemman

∂u

∂x = e^−ycosx = ∂v

∂y

∂u

∂y = −e^−ysenx = −∂v

∂x

se satisfacen para todo z = x + iy ∈ C luego f es una funci´on analitica en todo el plano complejo.

Cuando una funcion f es anal´ıtica en todo punto del plano complejo se dice que es una funci´on entera.

Teorema 1.2 (Regla de la cadena). Sean f y g dos funciones analiticas en G y Ω respectivamente y supongamos que f (G) ⊂ Ω. Entonces g ◦ f es analitica en G y

(g ◦ f )⁰(z) = g⁰(f (z))f⁰(z) para todo z ∈ G.

Proposici´on 1.2. Sea G y Ω dos subconjuntos abiertos de C. Supongamos que f : G → C y g : Ω → C son funciones continuas tal que f (G) ⊂ Ω y g(f (z)) = z para todo z ∈ G. Si g es diferenciable y g⁰(z) 6= 0, f es diferenciable y

f⁰(z) = 1 g⁰(f (z)) Si g es anal´ıtica, f es anal´ıtica.

Demostraci´on. Fijando a ∈ G sea h ∈ C tal que h 6= 0 y a + h ∈ G. Por lo tanto a = g(f (a)) y a + h = g(f (a + h)) esto implica que f (a) 6= f (a + h). Adem´as

1 = g(f (a + h)) − g(f (a)) h

= g(f (a + h)) − g(f (a))

f (a + h) − f (a) · f (a + h) − f (a) h

Ahora el limite de el lado izquierdo cuando h → 0 es, por supuesto, 1; luego el limite de el lado derecho existe. Ya que l´ım

h→0[f (a + h) − f (a)] = 0,

h→0l´ım

g(f (a + h)) − g(f (a))

f (a + h) − f (a) = g⁰(f (a))

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Por lo tanto, obtenemos

l´ım

h→0

f (a + h) − f (a) h

existe ya que g⁰(f (a)) 6= 0 y 1 = g⁰(f (a))f⁰(a). As´ı, f⁰(z) = _g0(f (z))¹ . Si g es anal´ıtica entonces g⁰ es continua y por lo tanto f es anal´ıtica, pues es cociente de dos funciones continuas y g⁰(z) 6= 0.

Corolario 1.1. Una rama de la funci´on logaritmo es anal´tica y su derivada es z⁻¹

Sea z(t) la parametrizaci´on de una curva C, cuando solo los valores inicial y final de z(t) son el mismo, un contorno C se llamar´a contorno cerrado simple.

Teorema 1.3. (Formula integral de Cauchy)

Sea f una funci´on anal´ıtica en un dominio siplemente conexo Ω, y sea C un camino cerrado simple orientado positivamente contenido en el interior de Ω, entonces para cualquier z₀ en el interior de Ω y en C se tiene que

f (z₀) = 1 2πi

Z

γ

f (z) z − z₀dz Demostraci´on. Ver [8], p´agina 164.

Teorema 1.4. Sea f una funci´on anal´ıtica en una bola B(z₀; r). Entonces f (z) tiene una representaci´on en series de potencias

f (z) =

∞

X

n=0

an(z − z0)ⁿ (1-1)

donde a_n = ^f⁽ⁿ⁾_n!^(z⁰⁾.

Demostraci´on. Ver [2], Pagin´a 189.

La idea principal del teorema es que la serie en (1-1) converge a una funci´on f anal´ıtica, para todo z ∈ B(z₀; r)

Teorema 1.5. Sea f una funci´on anal´ıtica en un dominio r₁ < |z − z₀| < r₂, centrado en z₀ y denotemos por C un contorno cerrado simple orientado positivamente alrededor de z₀, sobre el dominio. Entonces, en cada punto del dominio, f (z) tiene representacion en series

f (z) =

∞

X

n=0

a_n(z − z₀)ⁿ+

∞

X

n=1

b_n

(z − z₀)ⁿ (r₁ < |z − z₀| < r₂). (1-2) donde

a_n= 1 2πi

Z

C

f (z)

(z − z₀)ⁿ⁺¹dz (n = 0, 1, 2, ...) y

b_n= 1 2πi

Z

C

f (z)

(z − z₀)¹⁻ⁿdz (n = 1, 2, ...)

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Si f (z) tiene una representaci´on en series de Laurent, se puede ver como sigue

f (z) =

∞

X

n=0

an(z − z0)ⁿ+ b1

z − z₀ + b1

(z − z₀)² + · · · + bn

(z − z₀)ⁿ + · · · La parte

b₁

z − z₀ + b₁

(z − z₀)² + · · · + b_n

(z − z₀)ⁿ + · · · (1-3) de la serie, involucra potencias negativas de (z − z₀), es llamada la parte principal de f en z₀. Ahora usaremos la parte principal para identificar la singularidad aislada z₀ como uno de tres tipos especiales, que veremos en la proxima subsecci´on.

1.2.1. Ceros y polos de una funci´ on Analitica.

Diremos que una funci´on f tiene un cero en z₀ si f (z₀) = 0. En este caso se analizan los ceros de una funci´on anal´ıtica, pues nos sera de utilidad mas adelante. Antes que nada, se presenta el siguiente teorema, pues nos da la existencia de los ceros para un polinomio P (z) y los productos de Blaschke finitos se pueden ver como polinomios.

Teorema 1.6. Teorema Fundamental del Algebra Cualquier polinomio P (z) no constante de grado n(n ≥ 1) tiene por lo menos un cero.

Definici´on 1.6. Sea f una funci´on anal´ıtica en un punto z₀. Si f (z₀) = 0 y si existe un entero positivo m tal que f^(m)(z₀) 6= 0 y cada derivada de orden menor que m en z₀ se anule, diremos que f tiene un cero de orden m en z₀.

Teorema 1.7. Sea f una funci´on analitica en un punto z0. f tiene un cero de orden m en z₀ si y solo si existe una funci´on g, la cual no se anula y es anal´ıtica en z₀, tal que

f (z) = (z − z₀)^mg(z).

Demostración. Sabemos que si una función es anal´ıtica en un punto z₀, entonces admite representación en series de Taylor en B(z0; δ).

(←) Supongamos que f (z) = (z − z₀)^mg(z) y g(z) es anal´ıtica en z₀, por lo tanto, g admite representacion en series de Taylor

g(z) = g(z₀) + g⁰(z₀)(z − z₀) + g⁰⁰(z₀)

2 (z − z₀)²+ · · ·

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en alguna B(z₀; δ), equivalentemente

f (z) = g(z₀)(z − z₀)^m+ g⁰(z₀)(z − z₀)^m+1+g⁰⁰(z₀)

2 (z − z₀)^m+2+ · · ·

De esta forma esto representa una serie de Taylor para f (z), entonces f^(m−1)(z₀) = 0 y f^(m)(z0) = m!g(z0) 6= 0 Por lo tanto z0 es un cero de f de orden m.

(→) Supongamos que f tiene un cero de orden m en z₀, la analiticidad en z₀ y ya que f^(m−1)(z₀) = 0 en B(z₀; δ), f tiene una representaci´on en series de Taylor

f (z) =

∞

X

n=m

f⁽ⁿ⁾(z₀)

n! (z − z₀)ⁿ

= (z − z₀)^m f^(m)(z₀)

m! + f^(m+1)(z₀)

(m + 1)! (z − z₀) + · · ·

Asi, f (z) = (z − z₀)^mg(z) donde g(z) esta dado en la anterior ecuaci´on.

La convergencia de esta ´ultima serie en B(z₀; δ) asegura que g es anal´ıtica en esa bola, en particular, en z₀. Y ya que f tiene un cero de orden m en z₀ entonces g(z₀) = f^(m)(z₀)/m! 6=

0.

Definici´on 1.7. Se dira que una funci´on f tiene una singularidad en z₀ si f no es anal´ıtica en z0, pero para toda B(z0, r), existen puntos zv ∈ B(z0; r) donde f es anal´ıtica.

Definición 1.8. Una función f tiene una singularidad aislada en z₀ si f no es anal´ıtica en z₀, y existe un número > 0 tal que f es anal´ıtica en B(z₀; ).

Ejemplo 1.3. La funci´on

f (z) = 1 sin(π/z)

tiene singularidades en los puntos z = 0 y z = ¹_n (n = ±1, ±2, ...) todos estos sobre el segmento de el eje real entre z = −1 y z = 1. Cada punto singular excepto z = 0 es aislado, pues para todo n ∈ N basta tomar = m´ın

¹_n− _n+1¹ ,

_n¹ − z

< , para que 1/n sea la unica singularidad en B(1/n; ).

El punto z = 0 no es aislado por que para un dado y m cualquier entero positivo tal que m > 1/, el hecho de que 0 < 1/m < significa que el punto z = 1/m se encuentra en B(0; ).

Existen tres tipos de singularidades aisladas las cuales son: las singularidades removibles, los polos y las singularidades esenciales, en este trabajo solo daremos definiciones y teoremas respecto a los polos, pues los productos de Blaschke que se veran en el capitulo 4, poseen polos. Veamos el siguiente teorema que nos caracteriza un polo de una funci´on y su orden.

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1.3 funciones Armonicas 9

Definición 1.9. Si la parte principal de f en z₀ dada por la ecuación (1-3) contiene al menos un término distinto de cero pero la cantidad de tales términos es solo finito, entonces existe un entero positivo m ≥ 1 tal que bm 6= 0 y bm+1 = bm+2 = · · · = 0. Esto es

f (z) =

∞

X

n=0

a_n(z − z₀)ⁿ+ b₁

z − z₀ + b₁

(z − z₀)² + · · · + b_m (z − z₀)^m

donde b_m 6= 0. En este caso, la singularidad aislada z₀ es llamada un polo de orden m . Un polo de orden m = 1 diremos que es un polo simple.

Teorema 1.8. Una singularidad aislada z₀ de una funci´on f es un polo de orden m si y solo si f (z) puede expresarse como sigue

f (z) = ϕ(z) (z − z₀)^m donde ϕ(z) es anal´ıtica y no nula en z₀. Y adem´as

Res_z=z₀f (z) = φ(z₀) si m = 1 y

Res_z=z₀f (z) = φ^(m−1)(z₀)

(m − 1)! si m ≥ 2.

Demostraci´on. ver [2], P´agina 244.

1.3. funciones Armonicas

Definición 1.10. Si G es un subconjunto abierto de C entonces la función u : G → R es armónica si u tiene segundas derivadas parciales continuas y

∂²u

∂x² +∂²u

∂y² = 0 Esta ecuaci´on es llamada LA ECUACION DE LAPLACE.

Definición 1.11. Si f : G → C es una función anal´ıtica entonces u = <f y v = =f son llamadas armónicas conjugadas

Teorema 1.9. Sean u y v dos funciones de valor real definidas en una regi´on G y supongamos que u y v tienen derivadas parciales continuas. Entonces f : G → C definida por f (z) = u(z) + iv(z) es anal´ıtica si y solo si satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

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De ahora en adelante, por simplicidad, cuando se mencione el termino “regi´on”, se estar´a hablando de un subconjunto no vacio, abierto y conexo del plano complejo.

Supongamos que G es una región en el plano y u : G → R es armónica. y si nos preguntamos si es posible que exista una función v : G → R tal que f = u + iv sea anal´ıtica en G?.

Teorema 1.10. Una función f en una región G es analitica si y solo si <f = u y =f = v son funciones armónicas que satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Diremos que v el arm´onico conjugado de u.

Teorema 1.11. Sea G todo el plano complejo C o algún disco abierto de C. Si u : G → R es una función armónica entonces u tiene un conjugado armónico en G.

Del ultimo teorema, podemos afirmar que para cada función en una región simplemente conexa tiene un armonico conjugado. Si u es una función armonica en G y D es un disco tal que D ⊂ G, entonces existe una función armonica v en D tal que u + iv es anal´ıtica en D.

Proposici´on 1.3. Si f : G → C es armonica entonces f es infinitamente diferenciable en G.

Demostraci´on. Fijando z₀ = x₀ + iy₀ en G y escojamos r tal que B(z₀; r) ⊂ G. Entonces f tiene una armonica conjugada g en B(z₀; r). Es decir, h = f + ig es anal´ıtica y por lo tanto infinitamente diferenciable en B(z₀; r), de esto se sigue que f es infinatemente diferenciable.

Nota: La anterior proposición nos proporciona un resultado que mas adelante será utilizado, es el hecho de que toda función armónica es una función diferenciable y por tanto anal´ıtica.

Ejemplo 1.4. Consideremos la funci´on f (z) = _zⁱ2 es anal´ıtica para z 6= 0 y ya que i

z² = i z²

¯ z²

¯

z² = i¯z²

(z ¯z)² = i¯z²

|z|⁴ = 2xy + i(x²− y²) (x²+ y²)² las dos funciones

u(x, y) = 2xy

(x²+ y²)² y v(x, y) = x²− y² (x²+ y²)²

son arm´onicas en cualquier regi´on del plano xy que no contenga el origen.

Ejemplo 1.5. Supongamos que u(x, y) = x² − y² y v(x, y) = 2xy Dado que estas son las componentes reales e imaginarias, respectivamente, de la función completa f (z) = z², sabemos que v es un conjugado armónico de u en todo el plano. Pero u no puede ser un conjugado armónico de v dado que la función 2xy + i(x² − y²) no es anal´ıtica en ninguna parte, ya que no satisface las ecuaciones de Cuachy-Riemman.

(21)

El siguiente teorema se presenta como una parte de un teorema mucho mas general, que se puede ver en [3], Pag.202.

Teorema 1.12. Una regioń G es simplemente conexa si y solo si para cada función armónica u en G existe una función armonica v en G tal que f = u + iv es analitica en G.

Demostraci´on. Ver [3], Pag.202.

Teorema 1.13. (Teorema del Valor medio)

Sea u : G → R una funci´on armonica y sea ¯B(a; r) un disco cerrado contenido en G. Si γ es el circulo |z − a| = r entonces

u(a) = 1 2π

Z 2π 0

u(a + re^iθ)dθ

Demostraci´on. Sea D un disco tal que ¯B(a; r) ⊂ D ⊂ G y sea f una funci´on analitica en D tal que u = <f . De la formula integral de Cauchy es facil ver que

f (a) = 1 2π

Z 2π 0

f (a + re^iθ)dθ

Tomando la parte real a cada lado de la ecuaci´on se completa la prueba.

1.3.1. Funciones Subarmonicas

Según el contexto, en el cual se esta trabajando, se dara la definición de una función semicontinua superiormente definida en C.

Definici´on 1.12. Sea f : Ω → R donde Ω ⊂ C es un conjunto abierto y sea V = {z ∈ Ω : f (z) < β} para todo β ∈ R. Diremos que f es una funcion semicontinua superiormente en el conjunto Ω si para cada z₀ ∈ V , existe δ > 0 tal que B(z₀, δ) ⊂ V .

Se puede mostrar que una funci´on f es semicontinua superiormente en Ω si y solo si para todo z ∈ Ω se tiene que

l´ım sup

z→z0

f (z) ≤ f (z₀) Sin embargo, eso se escapa del proposito de este trabajo.

Nota: Si recordamos la definición de una función continua en un subconjunto de Rⁿ, es facil ver que, toda función continua es superiormente continua, y asi como la continuidad es puntual tambien lo es la semicontiniudad superiormente.

Definición 1.13. Sea G un subconjunto abierto de C, una función ϕ : G → [−∞, ∞) es una función subarmonica si ϕ es semicontinua superiormente y para cada ¯B(a; r) ⊂ G, se tiene que

ϕ(a) ≤ 1 2π

Z 2π 0

ϕ(a + re^iθ)dθ

Y ϕ : G → R ∪ {+∞} es una funci´on superarmonica si −ϕ es subarmonica.

(22)

En algunos libros o textos, en la anterior definici´on, se pide la continuidad de f sin embargo, esa hipotesis es posible debilitarla, pidiendose que la funci´on f sea semicontinua superiormente.

Teorema 1.14. Si u es una funci´on subarmonica en G tal que −∞ ≤ a ≤ u(z) ≤ b < ∞ para todo z ∈ G y φ : [a, b] → [−∞, ∞) es una funci´on creciente y convexa, entonces φ ◦ u es subarmonica.

Teorema 1.15. Sea u una función continua y subarmonica en Ω, y sea K ⊂ Ω compacto, f es una función real continua en K la cual es armónica en el interior de K, y u(z) ≤ f (z) para todos los puntos limite de K. Entonces u(z) ≤ f (z) para todo z ∈ K.

Proposici´on 1.4. Si u es una funci´on subarmonica y continua en G entonces

M (r) = 1 2π

Z 2π 0

u(re^iθ)dθ

es una funci´on creciente dentro del intervalo [0, 1).

Demostraci´on. Sean r₁, r₂ tal que r₁ < r₂ y sea f una funci´on continua en B(0; r₂) ⊂ G la cual coincide con u en el borde de B(0; r₂) y es armonica en B(0; r₂). Luego, por el teorema 1.15, u(z) ≤ f (z) para todo z ∈ B(0; r2). Y por lo tanto

M (r₁) = 1 2π

Z 2π 0

u(r₁e^iθ)dθ ≤ 1 2π

Z 2π 0

f (r₁e^iθ)dθ = f (0) = 1 2π

Z 2π 0

f (r₂e^iθ)dθ = M (r₂) Es decir que M (r) es una funci´on creciente dentro del intervalo [0, 1).

1.3.2. Funciones armonicas en D.

Definici´on 1.14. la funci´on

Pr(θ) =

∞

X

n=−∞

r^|n|e^inθ

para 0 ≤ r < 1 y −∞ < θ < ∞, es llamada el kernel de Poisson.

Existe una forma mas sencilla de expresar el kernel de Poisson, veamos:

Sea z = re^iθ, 0 ≤ r < 1; entonces

(23)

1 + re^iθ

1 − re^iθ = (1 + z)(1 + z + z²+ ...)

= 1 + 2

∞

X

n=1

zⁿ

= 1 + 2

∞

X

n=1

rⁿe^inθ

Por lo tanto

< 1 + re^iθ 1 − re^iθ

= 1 + 2

∞

X

n=1

rⁿcos nθ

= 1 +

∞

X

n=1

rⁿ(e^inθ+ e^−inθ)

= P_r(θ) Adem´as

1 + re^iθ

1 − re^iθ = 1 + re^iθ − re^−iθ− r²

|1 − re^iθ|² Asi que

P_r(θ) = 1 − r²

1 − 2rcosθ + r² = < 1 + re^iθ 1 − re^iθ

(1-4) Proposici´on 1.5. El kernel de Poisson satisface las siguientes propiedades:

1. 1 2π

Z π

−π

Pr(θ)dθ = 1;

2. P_r(θ) > 0 para todo θ, P_r(−θ) = P_r(θ) y P_r es periodica en θ con periodo 2π;

3. P_r(θ) < P_r(δ) si 0 < δ < |θ| ≤ π;

4. Para cada δ > 0, l´ım

r→1−P_r(θ) = 0 uniformemente en θ para π ≥ |θ| ≥ δ Demostraci´on. Ver [3], P´agina 257.

Teorema 1.16. Supongamos que f : T → R es una funci´on continua. Entonces existe una funci´on continua u : D → R tal que

1. u(z) = f (z) para z ∈ T;

2. u es arm´onica en D.

(24)

Adem´as u es unico y esta definida por la formula u(re^iθ) = 1

2π Z π

−π

Pr(θ − t)f (e^it)dt (1-5)

Para 0 ≤ r <, 0 ≤ θ ≤ 2π

Corolario 1.2. Si u : D → R es una funci´on continua que es armonica en D entonces u(re^iθ) = 1

2π Z π

−π

P_r(θ − t)u(e^it)dt

Para 0 ≤ r < 1 y para todo θ. Adem´as, u es la parte real de la funci´on analitica f (z) = 1

2π Z π

−π

e^it+ z

e^it− zu(e^it)dt

Demostración. La primera parte del corolario es consecuencia directa de el teorema anterior y la segunda parte se sigue de el hecho que f es una función analitica y la ecuación (1-4)

(25)

CAP´ITULO 2

SERIES Y SUCESIONES COMPLEJAS

Antes que nada, necesitamos familiarizarnos con conceptos claves que se usar´an como las sucesiones y series complejas, y la convergencia de estas mismas.

2.1. Convergencia de sucesiones

Definición 2.1. Una sucesión infinita de numeros complejos z1, z2, ..., zn, ... tiene un l´ımite z, si para cada número positivo , existe un entero positivo n₀ tal que

|zn− z| < cuando n > n₀.

Nota: Geométricamente, esto significa que para valores suficientemente grandes de n, los puntos z_n se encuentran en cualquier vecindario de z dado. Ya que podemos elegir tan pequeño como se quiera. Se debe tener en cuenta que el valor de n0 que se necesita, en general, dependerá del valor de .

La sucesión puede tener como máximo un l´ımite. Es decir, un l´ımite z es único si existe.

Cuando ese l´ımite existe, se dice que la sucesi´on converge a z; y escribimos

n→∞l´ım z_n= z Si la sucesi´on no tiene l´ımite, entonces diverge.

Teorema 2.1. Supongamos que z_n= x_n+ y_n (n = 1, 2, ...) y z = x + iy. Entonces

n→∞l´ım z_n= z (2-1)

si y solo si

n→∞l´ım x_n = x y l´ım

n→∞y_n= y (2-2)

(26)

Demostraci´on. Primero, supongamos que (2-2) se satisface. De acuerdo con ello, para cada

> 0 existen enteros positivos n₁ y n₂ tal que

|x_n− x| <

2 cuando n > n₁ y

|y_n− y| <

2 cuando n > n₂ Por lo tanto, si n₀ es el mayor de los enteros n₁ y n₂,

|x_n− x| <

2 y |y_n− y| <

2 cuando n > n₀ ya que

|(xn+ iyn) − (x + iy)| = |(xn− x) + i(yn− y)| ≤ |xn− x| + |yn− y|

se tiene que

|zn− z| < 2 +

2 = cuando n > n0

asi, se cumple (2-1).

Ahora, suponiendo que (2-1) se satisface, se sabe que por cada > 0, existe un entero positivo n₀ tal que

|(x_n+ iy_n) − (x + iy)| < cuando n > n₀ Pero

|xn− x| ≤ |(xn− x) + i(yn− y)| = |(xn+ iyn− (x + iy)|

y

|yn− y| ≤ |(xn− x) + i(yn− y)| = |(xn+ iyn) − (x + iy)|

entonces

|xn− x| < y |yn− y| < cuando n > n0

y asi se satisface (2-2).

Este teorema nos permite escribir

n→∞l´ım(xn+ iyn) = l´ım

n→∞xn+ l´ım

n→∞yn

siempre que sepamos que existen ambos l´ımites a la derecha o que el de la izquierda existe.

Veamos un peque˜no ejemplo:

Ejemplo 2.1. Sea la siguiente sucesi´on z_n= 1

n³ + i n = 1, 2, ...

esta converge a i ya que

n→∞l´ım

1 n³ + i

= l´ım

n→∞

1

n³ + i l´ım

n→∞1 = 0 + i = i

(27)

2.1 Convergencia de sucesiones 17

La definición 1 también se utilizará para obtener este resultado. Más precisamente, para cada

> 0,

|z_n− i| = 1

n³ < cuando n > 1

√3

2.1.1. Sucesiones de funciones complejas

Una sucesión de funciones es una aplicación que a cada número natural n le hace corres- ponder una función. Sean f_n(z) para todo n ∈ N y f (z) funciones complejas definidas en un subconjunto G ⊂ C, sea z0 un punto cualquiera de G y {f_n(z)}_n∈N una sucesión de funciones complejas.

Veamos los diferentes tipos de convergencias para estas sucesiones

Definici´on 2.2. La sucesi´on {f_n(z)}_n∈N converge en el punto z₀ a f (z₀) si

n→∞l´ım f_n(z₀) = f (z₀) o tambi´en, si ∀ > 0, ∃N ∈ N tal que ∀n > N, se tiene que

|fn(z0) − f (z0)| < .

Definición 2.3 (Convergencia puntual). La sucesión {f_n(z)}_n∈N converge puntualmente a la función f (z) en G si para cada z₀ ∈ G y para cada > 0 existe N ∈ N tal que

|f_n(z₀) − f (z₀)| < .

Siempre cabe aclarar que en la convergencia puntual la existencia del N depende del punto z₀ y de .

Definición 2.4 (Convergencia uniforme). La sucesión {f_n(z)}_n∈N converge uniformemente a la función f (z) en G si para cada > 0 existe N ∈ N tal que para todo z ∈ G y todo n > N se tiene que

|fn(z) − f (z)| < .

Y en este tipo de convergencia, es preciso que para cada > 0 fijo exista un N , que es inde- pendiente del punto z que se tome. Y terminamos esta secci´on mostrando esta proposici´on y teorema que tiene que ver con las funciones analiticas de las que se hablo en el capitulo 1.

Proposición 2.1. Supongamos que f_n(z) es analitica en un subconjunto abierto G_n de C y que la sucesión {f_n(z)}_n∈N converge a una función limite f (z) en un subconjunto abierto G de C uniformemente en cada subconjunto compacto de G. Entonces f (z) es analitica en G.

(28)

Demostraci´on. La analiticidad de f (z) se sigue del teorema de Morera. Sea |z − a| ≤ r un disco cerrado contenido en G; los G_n forman un cubrimiento del disco |z − a| ≤ r y por el teorema de Heine-Borel, este disco es compacto y por lo tanto admite un subrecubrimiento finito, en este caso un G_n₀ fijo y esto implica que este disco se encuentra en G_n, para todo n mas grande que un n₀. Si γ es una curva cerrada contenida en |z − a| < r, por el teorema de cauchy, para n > n₀ se tiene que

Z

γ

f_n(z)dz = 0 debido a la convergencia uniforme

Z

γ

f (z)dz = l´ım

n→∞

Z

γ

f_n(z)dz = 0

y as´ı por el teorema de Morera, f (z) es anal´ıtica en el disco |z − a| < r y por lo tanto en todo G.

2.2. Convergencia de series

Definici´on 2.5. Una serie infinita

∞

X

n=1

z_n (2-3)

de n´umeros complejos converge a la suma S si la sucesi´on

S_N =

N

X

n=1

z_n= z₁+ z₂+ ... + z_N N = 1, 2, ... (2-4)

de sumas parciales converge a S, y se escribe S =

∞

X

n=1

zn

Tenga en cuenta que dado que una secuencia puede tener como m´aximo un l´ımite, una serie puede tener como m´aximo una suma. Cuando una serie no converge, decimos que diverge.

Teorema 2.2. Suponga que z_n= x_n+ y_n (n = 1, 2, ...) y S = X + iY . Entonces

S =

∞

X

n=1

z_n (2-5)

si y solo si

∞

X

n=1

x_n = X y

∞

X

n=1

y_n = Y (2-6)

(29)

2.2 Convergencia de series 19

Demostraci´on. Por la ecuaci´on (2-4) podemos escribir las sumas parciales como

SN = XN + iYN (2-7)

donde

X_N =

N

X

n=1

x_n y Y_N =

N

X

n=1

y_n Ahora, la ecuaci´on (2-5) es cierta si y solo si

N →∞l´ım SN = S (2-8)

y, en vista de la ecuaci´on (2-7) y el teorema 1, el l´ımite (2-8) se mantiene si y solo si

N →∞l´ım X^N = X y l´ım

N →∞Y^N = Y

Asi, estos limites implican la propoisici´on (2-5), y viceversa. Ya que X_N y Y_N son las sumas parciales de las series (2-6), y asi el teorema ha sido probado.

Este teorema puede ser útil para mostrar que algunas propiedades familiares de series en cálculo se transfieren a series de números complejos. Se incluyen aqu´ı dos de esas propiedades y las presentamos como corolarios.

Proposición 2.2. Si una serie de números complejos converge, el n-ésimo termino converge a cero cuando n tiende a infinito.

Demostraci´on. Asumiendo que la serie (2-3) converge, sabemos por el teorema anterior que si

z_n= x_n+ iy_n (n = 1, 2, ...) entonces cada una de las series

∞

X

n=1

x_n y

∞

X

n=1

y_n. (2-9)

convergen. Sabemos, además, del cálculo que el n-ésimo término de una serie de números reales convergente se acerca a cero cuando n → ∞ y por el teorema 2.1,

n→∞l´ım z_n = l´ım

n→∞x_n+ i l´ım

n→∞y_n = 0 + i · 0 = 0 y queda demostrado el corolario.

Este corolario nos proporciona una condici´on necesaria mas no suficente para la convergencia de una serie compleja.

De este corolario se desprende que los t´erminos de las series convergentes son acotados.

Es decir, cuando la serie (2-3) converge, existe una constante M > 0 tal que |z_n| ≤ M para cada entero positivo n.

(30)

Al establecer el hecho de que la suma de una serie es un número dado S, a menudo es conveniente para definir el resto ρ_N después de N términos, usando las sumas parciales (2-4):

ρ_N = S − S_N.

As´ı S = SN + ρN; y ya que |SN − S| = |ρN − 0| vemos que una serie converge a un n´umero S si y solo si la sucesi´on de residuos tiende a cero.

En las series, que involucran una variable z, denotaremos sumas, sumas parciales y residuos por S(z), S_N(z) y ρ_N(z), respectivamente.

Ejemplo 2.2. Con la ayuda de los residuos, es facil verificar la convergencia de la siguiente serie

∞

X

n=0

zⁿ = 1

1 − z cuando |z| < 1 (2-10)

utilizando la siguiente identidad

1 + z + z² + · · · + zⁿ= 1 − zⁿ⁺¹

1 − z (z 6= 1) para escribir las sumas parciales

S_N(z) =

N −1

X

n=0

zⁿ= 1 + z + z²+ · · · + z^{N −1} (z 6= 1)

luego

S_N(z) = 1 − z^N 1 − z Si

S(z) = 1 1 − z entonces,

ρN(z) = S(z) − SN(z) = z^N

1 − z (z 6= 1) Asi

|ρ_N(z)| = |z|^N

|1 − z|

De esto es claro que los residuos ρ_N(z) tienden ca cero cuando |z| < 1 pero no cuando

|z| ≥ 1. La form´ula (2-10) queda establecida.

(31)

Otra propiedad importante de una serie de n´umeros complejos que se desprende de una propiedad correspondiente en c´alculo, es que la serie (2-3) se dice que es absolutamente convergente si la serie

∞

X

n=1

|z_n| =

∞

X

n=1

px²_n+ y_n² (z_n= x_n+ iy_n)

converge.

2.2.1. Convergencia Absoluta

Definici´on 2.6. La serie

∞

X

n=1

z_n es absolutamente convergente si y solo si

∞

X

n=1

|z_n| es convergente.

Definici´on 2.7. Una serie convergente que no es absolutamente convergente se dira que es condicionalmente convergente.

Ejemplo 2.3. La serie

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹

n = 1 − 1 2 +1

3 −1 4 + · · · es condicionalmente convergente, ya que converge a log 2 pero

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ n

= 1 + 1 2 +1

3 +1 4 + · · · diverge. En cambio la serie

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹

n² = 1 − 1 4+ 1

9− 1

16+ · · · si es absolutamente convergente, ya que

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ n²

=

∞

X

n=1

1 n

2

= 1 + 1 4+ 1

9+ 1

16+ · · · = 2

Corolario 2.1. La convergencia absoluta de una serie de n´umeros complejos implica la convergencia de la serie.

(32)

Demostraci´on. Asumamos que la serie

∞

X

n=1

z_n converge absolutamente. Ya que

|x_n| ≤p

x²_n+ y_n² y |y_n| ≤p

x²_n+ y_n² Sabemos por la prueba de comparaci´on en calculo que las dos series

∞

X

n=1

|xn| y

∞

X

n=1

|yn|

deben converger. Por otra parte, desde la convergencia absoluta de una serie de n´umeros reales implica la convergencia de la serie misma, se deduce que las series en (2-9) convergen.

En vista del teorema 2.2, entonces, la serie (2-3) converge. Esto termina la prueba.

2.2.2. Convergencia Uniforme

Cuando empezamos a hablar de convergencia uniforme de Serie complejas, trabajamos sobre las sucesiones de funciones complejas, veamos primero como es la convergencia de una serie de funciones complejas.

Definici´on 2.8. Se dira que la serie

∞

X

n=1

f_n(z) converge en el punto z₀ ∈ G si para cada

> 0 existe N ∈ N tal que ∀n > N se tiene que

∞

X

i=n

f_i(z₀)

<

Definici´on 2.9. Una serie de funciones es una serie cuyos t´erminos son funciones f_n(z), definidas en un mismo dominio (donde se encuentran bien definidas) E, y esta dada como sigue

∞

X

n=1

f_n(z) = f₁(z) + f₂(z) + · · · + f_n(z) + · · · (2-11) Si la serie obtenida para cada valor de z ∈ E es convergente, la serie define una funci´on S(z) que es su suma en E,

S(z) =

∞

X

n=1

f_n(z) ∀z ∈ E. (2-12)

A la convergencia en cada punto se le denomina Convergencia puntual de la serie de funciones.

Y basandonos en la definici´on 2.8 se dira que la serie

∞

X

n=1

f_n(z) converge puntualmente si esta converge para todo z0 ∈ G.

(33)

Definici´on 2.10. Sea

∞

X

n=1

f_n(z) = S(z) una serie de funciones convergente en E. La serie se dice que es uniformemente convergente si y solo si ∀ > 0 ∃ν() tal que ∀n > ν y

∀z ∈ E, |S_n(z) − S(z)| < .

Nota: La diferencia con la convergencia puntual es que en ´esta ν(, z₀) puede depender del punto z₀ y en la convergencia uniforme ν() tiene que ser com´un para todos los puntos de E. La convergencia uniforme implica convergencia puntual.

Otra forma de definir la convergencia uniforme de una serie de funciones es:

Definici´on 2.11. La serie

∞

X

k=1

f_n converge uniformemente en G si ∀ > 0, ∃N ∈ N tal que para todo z ∈ G y ∀n > N se tiene que

∞

X

n=N +1

fn(z)

< .

Proposici´on 2.3. (Criterio de Weierstrass) Una condici´on suficiente para que la serie

∞

X

n=1

f_n(x) sea uniformemente convergente sobre K es que exista m ∈ N tal que

∞

X

n≥m

kf_nk_K < +∞

Demostraci´on. Para cada x ∈ K la seri´e

∞

X

n=1

f_n(x) es absolutamente convergente por que

|f_n(x)| ≤ kf_nk_K. Si f : K → C es su suma y Sn =

n

X

k=1

f_k, para todo n ≥ m y todo x ∈ K se cumple

|f (x) − S_n(x)| =

X

k>n

f_k(x)

≤X

k>n

|f_k(x)| ≤X

k>n

kf_kk_K

luego kf − S_kk_K ≤ _n donde _n: = X

k>n

kf_kk_K es una sucesi´on que tiende hacia 0. Esto significa que Sn converge hacia f uniformemente sobre K.

Al aplicar el criterio de Weierstrass. Basta encontrar una serie num´erica

∞

X

n=1

M_n convergente tal que, para todo m ≤ n en adelante, se cumpla |fn(x)| ≤ Mn para todo x ∈ K.

(34)

Ejemplo 2.4. Veamos que la serie

∞

X

n=0

1/2 n

zⁿ

converge uniformemente sobre {z : |z| < 1}.

tomando a_n = ^1/2_n se tiene que

n→∞l´ım

a_n a_n+1

= l´ım

n→∞

1/2 n

1/2 n+1

= l´ım

n→∞

(n + 1)(1/2 − (n + 1))!

(1/2 − n)!

= 1

luego el radio de convergencia de la serie es 1. y seg´un el criterio de Weierstrass, basta con ver que P∞

n=1|an| converge. Veamos

Ya que (1/2 − n)! = ±1 dependiendo de n, se cumple que a_n = (−1)ⁿ⁺¹|a_n|, asi pues, para 0 < r < 1,

∞

X

n=1

|a_n|rⁿ= 1 −

∞

X

n=1

a_n(−r)ⁿ= 1 − (√

1 − r − 1) = 2 −√ 1 − r

y ya que 2 −√

1 − r ≤ 2 entonces P∞

n=1|a_n|rⁿ ≤ 2. Y por lo tanto la serie original converge.

Corolario 2.2. Si

∞

X

n=1

f_n(z) es uniformemente convergente en E tambi´en lo es en todo subconjunto de E.

Demostraci´on. Por definici´on, se tiene que ∀ > 0, ∃ν() y ∀z ∈ E |S_n(z) − S(z)| < en particular se tendra para todo z perteneciente a un subconjunto de E.

Teorema 2.3. Si

∞

X

n=1

f_n(z) converge uniformemente en un conjunto E y para todo n, f_n(z) es una función continua en E, entonces su suma S(z) es también una función continua en E.

Demostraci´on. Por ser

∞

X

n=1

fn(z) uniformemente convergente, para cualquier > 0 hay un ν() tal que

|S(z₀) − S_n(z₀)| < y |S(z) − S_n(z)| < , ∀n > ν (2-13) siendo z, z₀ ∈ E cualesquiera. Adem´as, por ser S_n(z) continua en E, existe un δ(, n, z₀) > 0 tal que

|Sn(z) − Sn(z0)| < siempre que |z − z0| < δ

Por la desigualdad triangular se deduce que |S(z) − S(z₀)| < 3 siempre que |z − z₀| < δ y en consecuencia S(z) es continua en z0.

(35)

Teorema 2.4. Si

∞

X

n=0

a_nes absolutamente convergente, y |f_n(z)| ≤ |a_n| para todo n y ∀z ∈ E, entonces

∞

X

n=1

f_n(z) es uniforme y absolutamente convergente en E.

Demostración. La convergencia absoluta es evidente ya que la serie de funciones está acotada término a término por una serie absolutamente convergente. Por otro lado, la convergencia absoluta de

∞

X

n=0

a_n implica que ∀ > 0 ∃ν() tal que

∞

X

n>ν

|a_n| < . Entonces

|S(z) − S_ν(z)| =

∞

X

n>ν

f_n(z)

≤

∞

X

n>ν

|f_n(z)| ≤

∞

X

n>ν

|a_n| < puesto que ν() es com´un a todos los puntos de E la convergencia es uniforme.

(36)

PRODUCTOS INFINITOS

3.1. Productos infinitos de N´ umeros Complejos

Definici´on 3.1. Si {a_n}^∞_n=1 es una suces´ıon de n´umeros complejos no nulos, diremos que el producto

∞

Y

n=1

a_n converge a P , si la sucesi´on de productos parciales P_N = a₁a₂· · · a_N converge a un limite no nulo P .

Nota: Si los productos infinitos (parciales) convergen a cero o a infinito entonces se dir´a que el producto diverge, si se preguntan el por que no puede converger a cero, es por que si consideraramos el valor P = 0 cualquier producto con un factor cero seria convergente y la convergencia no dependeria de los demas factores, por lo que la siguiente definici´on es necesaria.

Definici´on 3.2. En general, aceptamos decir que un producto infinito

∞

Y

n=1

a_n existe si 1. como m´aximo, un n´umero finito de factores es cero; y

2. El producto de los t´erminos que no desaparecen existe en el sentido anterior.

Por lo tanto, un producto infinito (convergente) tiene el valor 0 si y solo si uno o un n´umero finito de sus factores es 0.

Intuitivamente, para que se tenga la convergencia del producto

∞

Y

n=1

a_nse necesita que a_n → 1, y asi, log a_n→ 0, veamos:

Supongamos que

∞

Y

n=1

anconverge, sea Xn =

n

Y

k=1

akpara n ≥ 1, como

∞

Y

n=1

anconverge, diremos