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INECUACIONES DE PRIMER GRADO
DESIGUALDADES
En el campo de los números reales tenemos una propiedad de orden que se acostumbra a designar con el símbolo (<). Estudiantes para 2 elementos cualesquiera a; b R y sólo una de las siguientes es válida.
a < b; a = b; a > b
Esta afirmación se llama ley de tricotomía.
Las desigualdades son quizá tan importantes en las aplicaciones de las matemáticas como las ecuaciones. En efecto, en el grado en que nuestro conocimiento del mundo físico se obtiene midiendo (no meramente contando), ese conocimiento se describe por desigualdades.
Si decimos que el diámetro “d” del planeta Venus es de 7 700 millas, queremos decir:
7 650 < d < 7 750
Un momento de reflexión muestra que una medición absolutamente exacta de cualquier cantidad física tal como una distancia, un peso, una velocidad, etc., es completamente imposible;
precisión depende de los instrumentos de medida y tales instrumentos pueden hacer totalmente para medir dentro de ciertas tolerancias especificadas, nunca exactamente.
También veremos después que las desigualdades son esenciales para aclarar conceptos fundamentales como el límite, sobre el cual se construye todo el cálculo. Por estas razones es necesario un buen entendimiento básico de las desigualdades.
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INECUACIONES DE PRIMER GRADO Son aquellas que presentan la siguiente forma:
ax + b ≷ 0; (a 0)
Para obtener el intervalo al que pertenece la incógnita de tal manera que verifique la desigualdad propuesta será suficiente despejar la incógnita aplicando los teoremas de desigualdades.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Resolver: 3-1x + 2-1x + 6-1x > 5
Solución:
6 5 x 2 x 3
x
M.C.M.(3; 2; 6) = 6
6 5 x 5 6 6
x x 3 x
2
x > 5
x <5; +>
2. Resolver:
(3x + 2)(x - 5) – (12x - 76) > 3(x + 7)(x - 1) – 42
Solución:
3x2 – 13x – 10 – 12x + 76 > 3x2 + 18x – 21 – 42
3x2 – 25x + 66 > 3x2 + 18x – 21 – 42
-25x + 66 > 18x – 63
Transponiendo términos:
66 + 63 > 18x + 25x 129 < 43x 43x < 129
43 x 129
x < 3 Finalmente: x <-; 3>
3. Resolver:
3
x 5 3 5 x 3
Solución:
Efectuando la multiplicación indicada:
3x – 5 > 3x - 5 reduciendo términos se tiene:
0 > 0
lo cual es falso, en consecuencia la inecuación es incompatible:
x
4. Resolver: 3 5x
5 x 1
5
Solución:
Efectuando la multiplicación indicada:
-5x + 1 3 – 5x Reduciendo:
1 3
lo cual es verdadero, implica que la desigualdad no va a depender de “x” que siempre se llegará a esa conclusión entonces:
x R
B
BLLOOQQUUEE II
1. Para los pares de intervalos mostrados, graficar y dar el intervalo solución de:
A B; A B; A – B; B - A A = <3; 6>
B = <5; 12]
A = [1; 9]
B = [6; 12]
A = <-3; 20>
B = <-1; 0>
2. Resolver: 2(x - 3) + 3(x - 2) > 4(x - 1)
Indicando el menor valor entero que adopta
“x”.
a) 1 b) 8 c) 7
d) 10 e) 9
3. Resolver: 6
3 1 x 2
1
x
indicando el intervalo solución.
a) x [7; +> b) x [1; +> c) x [-1; 1]
d) x R e) x
4. Resolver: 5
7 3 x 5
6 x 3
2
x
indicando el intervalo no solución.
a) <4; +> b) <1; 4> c) <-1; 1>
d) <-; 4> e) N.A.
5. Resolver e indicar el intervalo solución de:
x 1
2 x 2 3
x
3
x 2
) 1 x ( 2
) 1 x
( 2 2
16
3 xx
(x + 2)2 – (x - 2)2 16
10(x + 5) > 9(x + 6)
-x 7
-4x 24
5(x + 1) > 7(x - 1)
-2x + 3 x - 12
6. Si: a < b; a, b R+ Resolver:
b a a x b a x b b
a
a) x 1 b) x > 1 c) x 1 d) x 2 e) x 2
7. Hallar el mínimo valor entero de “x” en cada una de las siguientes inecuaciones.
(x + 2)(x + 5) – (x + 4)(x + 2) 10
(x + 2)(x - 2) – (x + 1)2 13
2(x - 2) < 4(x - 3)
-3x + 5 < 2x – 15
8. Resolver: (x + 1)(x + b) > x2 + 2ab Si: a + b < 0
a) x > 1 b) x >
b a
ab
c) x <
b a
ab
d) x
b a
ab
e) N.A.
9. Resolver:
(x + 1)(x + 2)(x + 3) x3 + 6x2 + 10x + 12
a) x 10 b) x 4 c) x 6 d) x 6 e) x
10. Resolver:
5 4 x 4
3 x 3
2 x 2
1
x
Hallar el mayor valor que satisface la desigualdad.
a) 2 b) 1 c) 0
d) -1 e) -2
11. En una tienda, 4 panetones cuestan la quinta parte del triple de 40 soles; mientras que en otra tienda 9 panetones tienen un costo de los dos tercios del triple de 27 soles. ¿En qué tienda cuesta más un panetón?
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12. Un vendedor tiene 180 chocolates y 120 caramelos; en la mañana vende los 5/6 de chocolates y 3/4 de caramelos, de lo que queda, por la tarde vende la quinta parte de chocolates y la sexta parte de caramelos.
¿Qué vendió más, chocolates o caramelos?
13. Dos amas de casa reciben S/. 600 y S/. 500 de mensualidad para gastos. La primera debe gastar los 3/10 en alquiler de casa y los 3/5 del saldo en comida, mientras que la segunda debe gastar los 9/25 en alquiler y los 3/4 del saldo en comida. ¿Cuál de ellas gasta más en comida?
14. La cantidad de alumnos en un aula es tal que dicha cantidad disminuida en 2, dividida luego por 4, es mayor que 6, ¿cuál es la menor cantidad de alumnos que puede tener dicho salón?
15. El número de bolas de un arbolito de navidad, disminuido en 12, y luego esta diferencia dividida por 7 resulta mayor que 3. ¿Cuál es el menor número de bolas que puede haber en dicho arbolito?
16. La doceava parte del número de libros que hay en un estante más 7, es más que 13. ¿Puede haber 150 libros por lo menos en dicho estante?
17. La edad de mi abuelo es tal que sumada con 23, y dividida por 13, excede a 8. ¿Cuál es la menor edad que puede tener mi abuelo?
18. La quinta parte de diez, más el triple de la edad actual de mi profesor de matemática, excede a 29. Indicar la menor edad que puede tener mi profesor.
19. La edad de uno de mis hermanos es tal que su doble aumentado en 5 es menor que 19, y su triple aumentado en 7 es mayor que 25.
Calcular la edad de mi hermano.
BLBLOOQQUUEE IIII
1. Resolver: 5
2 3 x 4
5
x
a) <-; 7> b) <7; +> c) <-; -7>
d) <-7; +> e) <1; +>
2. Resolver:
5 1 x 3
2 x 4
2 x
3
a) <-; 10> b) <-; -10> c) <-10; +>
d) <10; +> e) <-; 13>
3. Resolver: 7a
5 x ) a 2 b 3 b ( 5 7
x ) b 2 a 3
(
(a < b)
a) <-; 7] b) <-; 5] c) [5; +>
d) [7; +> e) [5; 7]
BLBLOOQQUUEE IIIIII
1. Resolver: x(x + 1)(x + 5) > (x + 1)(x + 2)(x + 3) a) <-; -1> b) <-; 1> c) <-1; +>
d) <1; +> e) <-1; 1>
2. Resolver: (x2 - 1)(x + 2) x(x + 1)2
a) <-; -1] b) <-; 1] c) [-1; 1]
d) <-1; +] e) [1; +]
3. Resolver, si “n” N y dar el mínimo valor de “x”.
n ....
3 2 ) 1 1 n ( n .... x 12
x 6 x 2
x
a) 2
n 1 b) (n + 1)2 c) 2
) 1 n ( 2
d) 2
n2 e)
2 ) 1 n ( 2
4. Sean “m”, “n”, “p” R+ que verifican:
(m + n + p)(m-1 + n-1 + p-1) a
Hallar el mayor valor de “a” e indique como respuesta:
3 a
1 a
a) 1 b) 2 c) 3
d) 6 e) 9
5. Indique el máximo valor de “A” que satisface la siguiente desigualdad:
x A w w x y z z y y x x
y
x; y; z; w R+
a) 6 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
6. Sea:
2003 .... 1
4 1 3 1 2 1 1
T
entonces:
a) T <2 2004 - 2; +>
b) T <+; 2 2004 - 2>
c) T <-; +>
d) T <- 2004 ; 2004 >
e) T <-2; 2>
7. ¿Cuántos números enteros satisfacen el siguiente sistema de inecuaciones?
11 – 6x 1 – x < 7 – 2x
a) 1 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
8. Uno de los números pares que satisfacen el siguiente sistema de inecuaciones:
2 x 1 5 x 2
3
x
a) -2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
9. Hallar el conjunto solución correspondiente al siguiente sistema de inecuaciones:
2 x 1 3 2 1
1 x
2 5
x
a) ]-3; -2[ b) [
7
; 5 5
] 2 c) ;6[
2 ] 5
d) [
2
;7 5
]2 e) ;3[
3 ] 5
1. Para los pares de intervalos mostrados graficar y dar el intervalo solución de:
A B; A B; A – B; B - A
A = <-; 2>
B = <0; +>
A = [-20; 2 >
B = [ 3 ; +>
A = <-10; 5>
B = [-3; 6>
2. Resolver: 2 – [4 – (x - 1) + 2(x - 3)] x – [2 – 3x]
a) x 1 b) x 1 c) x 0 d) x 4 e) N.A.
3. Resolver e indicar el intervalo solución de los siguientes problemas para “x”.
21
5 x x2
8
5 x 3 x
x(x + 9) – 10 > (x + 2)2 + 1
1
3 2 x 4
x
4. Resolver: 3
9 4 x 6
1 x 3
2
x
a) x 1 b) x 2 c) x 3 d) x 5 e) N.A.
5. Resolver: 6
5 4 x 3
2
x
indicando su intervalo solución.
a) x [11; +> d) x R b) x [-11; 11] e) x c) x [2; 3]
6. Hallar los valores enteros máximos de cada una de las siguientes inecuaciones.
3x – 4 < 2x + 5
2(x + 5) 18
(x + 3)2 – x(x + 5) 9
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7. Hallar el mínimo valor entero de “x” en cada una de las siguientes inecuaciones.
3x – 7 > 2
4x + 5 > 3(x + 2)
5(x + 2) < 6(x - 1) + 4
(x + 2)(x + 6) – (x + 4)2 + x 2
8. Si: a > b; a, b R+ Resolver:
b a a x b a x b b
a
a) x > 1 b) x < 1 c) x d) x R e) x 1
9. Si: x [-2; 3]
a que intervalo pertenece:
A = 3x + 1, indicar el máximo valor de “A”.
a) 9 b) 8 c) 10
d) -8 e) -10
10. Si: (2x - 1) [-5; 4> entonces. ¿A qué intervalo pertenece (3 – 5x)?
a) b) <1, 4> c) <-19/2; 13]
d) <1, 2> e) <2, 8>
11. Resolver:
30 2 x 5
2 x 3 4
1 x
5
a) <-; -3] b) [-3; +> c) <-; 3]
d) [3; +> e) [37; +>
12. Resolver:
3 1 x 8 2 5 x 2
4 x
3
a) <-; 10] b) [10; +> c) <-; -10]
d) [-10; +> e) [-10; 10]
13. Resolver: (x - 1)(x - 3)2 (x - 1)2(x - 5) e indicar el mayor valor entero que lo verifica
a) 2 b) 1 c) -3
d) -1 e) -2
14. La cantidad de pelotas que hay en mi casa es tal que, uno más el triple de dicho número en menos de 46, y uno más su cuádruplo, es más que 53. Si se me extravía una, ¿cuántas pelotas me quedan?
15. Mi abuelo fue un gran profesor de matemática; cuando le pregunto su edad me dice: “el doble de mi edad aumentado en uno es menor que 161; mientras que el triple disminuido en 2 es más que 232”. ¿Cuál será la edad de mi abuelo dentro de dos años?
16. El quíntuplo del número de hermanos que tengo, disminuido en 1, es menor que el cuadrado de 7; y siete veces dicho número, aumentado en 8, excede al cuadrado de 8.
¿Cuántos hermanos somos en total?
17. La mitad de 2, más el triple de un cierto número, es menor que 19; mientras que la tercera parte de el cuádruple de dicho número, disminuido en 4 excede a 12. Calcular dicho número.
18. La quinta parte del doble de la edad de mi padre menos uno, es menos que 17; mientras que la quinta parte del triple de la edad de mi padre aumentado en 2, excede a 25. Indicar la edad de mi padre.
19. El número de libros que tengo es tal que, 1 más los tres medios de dicha cantidad, no excede a 21, y 2 más los cinco cuartos de la cantidad de libros es mayor que 18. Calcular la cantidad de libros que tendré.
20. Un número natural es tal, que la cuarta parte del número natural anterior, es menor que 10;
además, la cuarta parte del número natural siguiente es más que 10. ¿Cuál será la octava parte de dicho número?
