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SOLUCIONARIO Desigualdades e inecuaciones de primer grado

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Academic year: 2021

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(1)

SOLUCIONARIO

Desigualdades e inecuaciones

de primer grado

S G UI C E S 0 31 MT21 -A 16 V1

(2)

TABLA DE CORRECCIÓN

Desigualdades e Inecuaciones de primer grado Ítem Alternativa Habilidad

1 D ASE 2 D ASE 3 A ASE 4 C ASE 5 A Aplicación 6 C Aplicación 7 D Aplicación 8 E Aplicación 9 B Aplicación 10 A Aplicación 11 C Aplicación 12 E Aplicación 13 E ASE 14 D ASE 15 A Aplicación 16 D Aplicación 17 B ASE 18 D ASE 19 B Aplicación 20 D Aplicación 21 B ASE 22 A Aplicación 23 C Aplicación 24 B ASE 25 D ASE

(3)

1. La alternativa correcta es D.

Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia

Habilidad ASE Si n 1 < – 1, significa que n 1

es un número negativo, por lo tanto, n es negativo, implicando que (– n) es positivo. Entonces, al multiplicar por (– n) la desigualdad, ésta no cambia de sentido, obteniendo que – 1 < n < 0, o sea n  ]– 1, 0[.

I) Falsa, ya que si n 1

 ]– ∞ , – 1[ y n  ]– 1 , 0[, entonces siempre se cumple que n >

n 1

.

II) Verdadera, ya que 12

n es siempre un número positivo, y como n es negativo, entonces siempre se cumple que 12

n > n . III) Verdadera, ya que:

1 < n < 0 (Al multiplicar por – 1, la desigualdad se invierte) 1 > ( – n) > 0 (Sumando 1, la desigualdad se mantiene)

2 > (1 – n) > 1

Luego, (1 – n) es siempre un número positivo, y como n es un número negativo, entonces siempre se cumple que (1 – n) > n.

Por lo tanto, las expresiones siempre mayores que n son solo II y III.

2. La alternativa correcta es D.

Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia

Habilidad ASE

En la figura, se muestra que x pertenece al intervalo ] – 2, 3]. Luego

I) Falsa, ya que x puede tomar valores menores que – 1, por ejemplo – 1,5. II) Verdadera, ya que

– 2 < x ≤ 3 (Sumando – 1)

– 2 + ( – 1) < x + (– 1) ≤ 3 + (– 1) – 3 < x – 1 ≤ 2

(4)

– 2 < x ≤ 3 (Multiplicando por – 1) 2 > – x ≥ – 3

Por lo tanto, solo II y III son verdaderas.

3. La alternativa correcta es A.

Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia

Habilidad ASE

El conjunto de todos los números que están a 3 o más unidades de 7, corresponde al intervalo

Por otro lado, el conjunto de todos los números que están a 5 o menos unidades de 7 es

Luego, la intersección de los intervalos es

Por lo tanto, el conjunto de todos los números que están más de 3 unidades y a menos de 5 unidades de 7 es [2, 4]  [10, 12]. 2 12  7 5 5 4 10  7 3 3 4 10 2 12  7

(5)

4. La alternativa correcta es C.

Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia

Habilidad ASE

I) Verdadera, ya que x > 2  0 > 2 – x  2 – x < 0

II) Verdadera, ya que la cantidad subradical de una raíz con índice par, es siempre positiva, entonces al anteponer un signo negativo delante de ella, esta resulta siempre negativa.

III) Falsa, ya que x1 es siempre positivo y como x > 2, entonces x – 2 > 0. Luego, el cociente entre valores positivos, es también positivo.

Por lo tanto, solo las expresiones I y II son siempre negativas.

5. La alternativa correcta es A.

Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia Habilidad Aplicación 2 3 5 1 2    x x (Multiplicando cruzado) 2 (2x – 1) < 5 (x + 3) (Distribuyendo) 4x – 2 < 5x + 15 4x – 5x < 2 + 15 – x < 17 (Multiplicando por – 1) x > – 17

(6)

6. La alternativa correcta es C.

Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia

Habilidad Aplicación 3 (x – 2) ≥ x + 4 3x – 6 ≥ x + 4 3x – x ≥ 6 + 4 2x ≥ 10 2 10  x x ≥ 5

Por lo tanto, el conjunto solución es el intervalo [5, + ∞ [.

7. La alternativa correcta es D

Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia Habilidad Aplicación

– 4x > – 24 (Dividiendo por – 4, la desigualdad se invierte) 4 24    x x < 6 8. La alternativa correcta es E

Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia Habilidad Aplicación 3 1 2 3xx (Multiplicando cruzado) 3 (3 – x) ≤ 2x – 1 9 – 3x ≤ 2x – 1 – 2x – 3x ≤ – 9 – 1

(7)

5 10    x x ≥ 2

Por lo tanto, el conjunto solución es el intervalo [2, + ∞ [.

9. La alternativa correcta es B.

Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia Habilidad Aplicación

9x – 14 > 7 + 12x – 14 – 7 > 12x – 9x – 21 > 3x – 7 > x

Por lo tanto, el conjunto solución es el intervalo

,7

10. La alternativa correcta es A.

Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia Habilidad Aplicación x x     2 2 3 2 (Multiplicando por 2) 4 – x + 3 < 4 + 2x – 2x – x < 4 – 4 – 3

– 3x < – 3 (Dividiendo por – 3, la desigualdad se invierte) 3 3    x x > 1

Como además existe la condición x < 4, al intersectar ambas condiciones se obtiene:

(8)

] 1, +  [ ∩ ] – , 4 [ = ] 1, 4 [

Por lo tanto, la solución de la inecuación corresponde al intervalo ]1, 4[.

11. La alternativa correcta es C.

Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia Habilidad Aplicación

x1

2  x(x4)8 (Desarrollando paréntesis) 8 4 1 2 2 2     x x x x (Ordenando) 1 8 4 2 2 2     x x x x (Reduciendo) 7 2x (Despejando x) 2 7  x

Por lo tanto, la solución de la inecuación corresponde al intervalo . Luego: I) Verdadera.

II) Verdadera.

III) Falsa, ya que el gráfico que representa la desigualdad es

Por lo tanto, solo I y II representan la solución de la inecuación.

     2 7 , 2 7

(9)

12. La alternativa correcta es E

Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia Habilidad Aplicación

La desigualdad que representa el intervalo pedido es x > 1. Luego:

I) Verdadera, ya que:

x + 2 > 3 (Ordenando) x > 3 – 2

x > 1 II) Verdadera, ya que:

2 (x – 1) < 3x – 3 (Eliminando paréntesis) 2x – 2 < 3x – 3 (Ordenando)

2x – 3x < 2 – 3 (Reduciendo)

– x < – 1 (Multiplicando por – 1) x > 1

III) Verdadera, ya que:

2 1 1 2   x (Multiplicando por 2) – x + 2 < 1 (Ordenando) – x < 1 – 2 – x < – 1 (Multiplicando por – 1) x > 1

(10)

13. La alternativa correcta es E.

Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia

Habilidad ASE 5(– x + 5) < 35 (Eliminando paréntesis) – 5x + 25 < 35 (Ordenando) 25 – 35 < 5x – 10 < 5x (Despejando x) x  5 10 – 2 < x x > – 2 Luego:

I) Representa a la solución de la inecuación, ya que la expresión – 2 < x es equivalente a la expresión x > – 2

II) NO representa a la solución de la inecuación, ya que la expresión – 2 < x es equivalente con el intervalo solución ]– 2, +[

III) NO representa a la solución de la inecuación, ya que corresponde a una desigualdad distinta.

Por lo tanto, solo las expresiones II y III NO representan el conjunto solución de la inecuación.

14. La alternativa correcta es D.

Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia

Habilidad ASE

El intervalo ]2, +∞[ corresponde a todos los valores reales mayores que 2, es decir, x > 2. Luego:

I) NO tiene como intervalo solución ]2, +∞[, ya que: x + 2 > 2x (Ordenando)

x – 2x > – 2 (Reduciendo)

– x > – 2 (Multiplicando por – 1 cambia el sentido de la desigualdad) x < 2

(11)

II) Tiene como intervalo solución ]2, +∞[, ya que: 2(x – 1) > 2 (Dividiendo por 2)

x – 1 > 1 (Ordenando) x > 1 + 1

x > 2

III) Tiene como intervalo solución ]2, +∞[, ya que: 2 – x < x – 2 (Ordenando)

– x – x < – 2 – 2 (Reduciendo)

– 2x < – 4 (Dividiendo por – 2 cambia el sentido de la desigualdad) x > 2

Por lo tanto, solo II y III tienen como conjunto solución al intervalo ]2, +∞[.

15. La alternativa correcta es A.

Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia Habilidad Aplicación 3 2 1 2 2 3 x x    (Multiplicando por el mcm = 6) 3 2 6 6 2 ) 2 3 ( 6 xx     3·(3 – 2x) + 6 ≤ 4x 9 – 6x + 6 ≤ 4x 9 + 6 ≤ 4x + 6x 15 ≤ 10x 10 15 ≤ x 2 3 ≤ x x ≥ 2 3

Por lo tanto, el intervalo solución de la inecuación es  , 2 3

(12)

16. La alternativa correcta es D.

Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia Habilidad Aplicación

(x – 1)² ≤ (x + 2)(x + 1) (Desarrollando paréntesis) x² – 2x + 1 ≤ x² + 2x + x + 2

x² – 2x + 1 ≤ x² + 3x + 2 (Ordenando) x² – 2x – x² – 3x ≤ 2 – 1 (Reduciendo)

– 5x ≤ 1 (Dividiendo por – 5, cambia el sentido de la desigualdad) x ≥

5 1

Por lo tanto, el conjunto solución de la inecuación es  , 5

1

.

17. La alternativa correcta es B.

Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia

Habilidad ASE

Para que una raíz de índice par corresponda a un número real, la cantidad subradical debe ser mayor o igual que cero. Entonces:

0  x (Multiplicando por – 1) 0  x

Luego, el intervalo solución de la inecuación es

,0

18. La alternativa correcta es D.

Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia

Habilidad ASE

Para que una raíz de índice par corresponda a un número real, la cantidad subradical debe ser mayor o igual que cero, sin embargo, por encontrarse en el denominador, el valor cero debe ser excluido. Entonces:

0 2x (Despejando x) x  2

(13)

19. La alternativa correcta es B.

Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia Habilidad Aplicación

Sea x el número indicado, entonces planteando la inecuación, resulta: 5x – 3 < 27 (Ordenando) 5x < 27 + 3 5x < 30 (Despejando x) 5 30  x x < 6

Por lo tanto, el número debe ser menor que 6.

20. La alternativa correcta es D.

Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia Habilidad Aplicación

Cuando una cantidad NO es mayor o igual que otra, significa que debe ser menor que ella. Entonces, si el número indicado es x, planteando la inecuación resulta:

4x < 3x + 4 (Ordenando) 4x – 3x < 4

x < 4

Luego, los números naturales que cumplen la condición son 3, el 1, el 2 y el 3.

21. La alternativa correcta es B.

Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia

Habilidad ASE

La cantidad de dinero que dispone la persona para gastar, corresponde a la cantidad de dinero que originalmente tiene (p), menos la cantidad de dinero que gastó en locomoción (q), es decir, (p – q). Por otro lado, si compra x artículos con un valor de $ a cada uno, debe pagar $ (a ∙ x) en total.

(14)

Luego, para que la persona pueda pagar los artículos que lleva, esta cantidad debe ser menor o igual que la cantidad de la dispone. Es decir, a ∙ x ≤ p – q

22. La alternativa correcta es A.

Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia Habilidad Aplicación

Al plantear el enunciado resulta: x + 5 > 2x – 2 (Ordenando) x – 2x > – 2 – 5 (Reduciendo)

– x > – 7 (Multiplicando por – 1, cambia el sentido de la desigualdad) x < 7

Por lo tanto, el conjunto de todos los números que cumplen con dicha condición es x < 7.

23. La alternativa correcta es C.

Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia Habilidad Aplicación

Para que la expresión x4(x6) pertenezca a los reales se debe cumplir que la cantidad subradical debe ser mayor o igual que cero. Entonces:

x – 4(x – 6) ≥ 0 (Distribuyendo) x – 4x + 24 ≥ 0

– 3x ≥ – 24 (Dividiendo por – 3, cambia el sentido de la desigualdad) x ≤ 8

Por lo tanto, todos los valores de x para los cuales la expresión x4(x6) pertenece a los reales están en el intervalo ]– ∞, 8].

(15)

24. La alternativa correcta es B.

Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia

Habilidad ASE

(1) x > 0. Con esta información, no es posible determinar que (2 – x – y) es siempre mayor que 1, ya que no se tiene información sobre y.

(2) x + y < 1. Con esta información, sí es posible determinar que (2 – x – y) es siempre mayor que 1, ya que

x + y < 1 (Multiplicando por – 1) – x – y > – 1 (Sumando 2)

2 – x – y > 1

Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.

25. La alternativa correcta es D.

Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia

Habilidad ASE

(1) x

 

3,4 . Con esta información sí es posible determinar que a < 0, ya que si ax es negativo y x es positivo, entonces necesariamente a es negativo.

(2) x > 3. Con esta información sí es posible determinar que a < 0, ya que si ax es negativo y x es positivo, entonces necesariamente a es negativo.

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