SOLUCIONARIO
Desigualdades e inecuaciones
de primer grado
S G UI C E S 0 31 MT21 -A 16 V1TABLA DE CORRECCIÓN
Desigualdades e Inecuaciones de primer grado Ítem Alternativa Habilidad
1 D ASE 2 D ASE 3 A ASE 4 C ASE 5 A Aplicación 6 C Aplicación 7 D Aplicación 8 E Aplicación 9 B Aplicación 10 A Aplicación 11 C Aplicación 12 E Aplicación 13 E ASE 14 D ASE 15 A Aplicación 16 D Aplicación 17 B ASE 18 D ASE 19 B Aplicación 20 D Aplicación 21 B ASE 22 A Aplicación 23 C Aplicación 24 B ASE 25 D ASE
1. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia
Habilidad ASE Si n 1 < – 1, significa que n 1
es un número negativo, por lo tanto, n es negativo, implicando que (– n) es positivo. Entonces, al multiplicar por (– n) la desigualdad, ésta no cambia de sentido, obteniendo que – 1 < n < 0, o sea n ]– 1, 0[.
I) Falsa, ya que si n 1
]– ∞ , – 1[ y n ]– 1 , 0[, entonces siempre se cumple que n >
n 1
.
II) Verdadera, ya que 12
n es siempre un número positivo, y como n es negativo, entonces siempre se cumple que 12
n > n . III) Verdadera, ya que:
1 < n < 0 (Al multiplicar por – 1, la desigualdad se invierte) 1 > ( – n) > 0 (Sumando 1, la desigualdad se mantiene)
2 > (1 – n) > 1
Luego, (1 – n) es siempre un número positivo, y como n es un número negativo, entonces siempre se cumple que (1 – n) > n.
Por lo tanto, las expresiones siempre mayores que n son solo II y III.
2. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia
Habilidad ASE
En la figura, se muestra que x pertenece al intervalo ] – 2, 3]. Luego
I) Falsa, ya que x puede tomar valores menores que – 1, por ejemplo – 1,5. II) Verdadera, ya que
– 2 < x ≤ 3 (Sumando – 1)
– 2 + ( – 1) < x + (– 1) ≤ 3 + (– 1) – 3 < x – 1 ≤ 2
– 2 < x ≤ 3 (Multiplicando por – 1) 2 > – x ≥ – 3
Por lo tanto, solo II y III son verdaderas.
3. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia
Habilidad ASE
El conjunto de todos los números que están a 3 o más unidades de 7, corresponde al intervalo
Por otro lado, el conjunto de todos los números que están a 5 o menos unidades de 7 es
Luego, la intersección de los intervalos es
Por lo tanto, el conjunto de todos los números que están más de 3 unidades y a menos de 5 unidades de 7 es [2, 4] [10, 12]. 2 12 7 5 5 4 10 7 3 3 4 10 2 12 7
4. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia
Habilidad ASE
I) Verdadera, ya que x > 2 0 > 2 – x 2 – x < 0
II) Verdadera, ya que la cantidad subradical de una raíz con índice par, es siempre positiva, entonces al anteponer un signo negativo delante de ella, esta resulta siempre negativa.
III) Falsa, ya que x1 es siempre positivo y como x > 2, entonces x – 2 > 0. Luego, el cociente entre valores positivos, es también positivo.
Por lo tanto, solo las expresiones I y II son siempre negativas.
5. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia Habilidad Aplicación 2 3 5 1 2 x x (Multiplicando cruzado) 2 (2x – 1) < 5 (x + 3) (Distribuyendo) 4x – 2 < 5x + 15 4x – 5x < 2 + 15 – x < 17 (Multiplicando por – 1) x > – 17
6. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia
Habilidad Aplicación 3 (x – 2) ≥ x + 4 3x – 6 ≥ x + 4 3x – x ≥ 6 + 4 2x ≥ 10 2 10 x x ≥ 5
Por lo tanto, el conjunto solución es el intervalo [5, + ∞ [.
7. La alternativa correcta es D
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia Habilidad Aplicación
– 4x > – 24 (Dividiendo por – 4, la desigualdad se invierte) 4 24 x x < 6 8. La alternativa correcta es E
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia Habilidad Aplicación 3 1 2 3x x (Multiplicando cruzado) 3 (3 – x) ≤ 2x – 1 9 – 3x ≤ 2x – 1 – 2x – 3x ≤ – 9 – 1
5 10 x x ≥ 2
Por lo tanto, el conjunto solución es el intervalo [2, + ∞ [.
9. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia Habilidad Aplicación
9x – 14 > 7 + 12x – 14 – 7 > 12x – 9x – 21 > 3x – 7 > x
Por lo tanto, el conjunto solución es el intervalo
,7
10. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia Habilidad Aplicación x x 2 2 3 2 (Multiplicando por 2) 4 – x + 3 < 4 + 2x – 2x – x < 4 – 4 – 3
– 3x < – 3 (Dividiendo por – 3, la desigualdad se invierte) 3 3 x x > 1
Como además existe la condición x < 4, al intersectar ambas condiciones se obtiene:
] 1, + [ ∩ ] – , 4 [ = ] 1, 4 [
Por lo tanto, la solución de la inecuación corresponde al intervalo ]1, 4[.
11. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia Habilidad Aplicación
x1
2 x(x4)8 (Desarrollando paréntesis) 8 4 1 2 2 2 x x x x (Ordenando) 1 8 4 2 2 2 x x x x (Reduciendo) 7 2x (Despejando x) 2 7 xPor lo tanto, la solución de la inecuación corresponde al intervalo . Luego: I) Verdadera.
II) Verdadera.
III) Falsa, ya que el gráfico que representa la desigualdad es
Por lo tanto, solo I y II representan la solución de la inecuación.
2 7 , 2 7
12. La alternativa correcta es E
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia Habilidad Aplicación
La desigualdad que representa el intervalo pedido es x > 1. Luego:
I) Verdadera, ya que:
x + 2 > 3 (Ordenando) x > 3 – 2
x > 1 II) Verdadera, ya que:
2 (x – 1) < 3x – 3 (Eliminando paréntesis) 2x – 2 < 3x – 3 (Ordenando)
2x – 3x < 2 – 3 (Reduciendo)
– x < – 1 (Multiplicando por – 1) x > 1
III) Verdadera, ya que:
2 1 1 2 x (Multiplicando por 2) – x + 2 < 1 (Ordenando) – x < 1 – 2 – x < – 1 (Multiplicando por – 1) x > 1
13. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia
Habilidad ASE 5(– x + 5) < 35 (Eliminando paréntesis) – 5x + 25 < 35 (Ordenando) 25 – 35 < 5x – 10 < 5x (Despejando x) x 5 10 – 2 < x x > – 2 Luego:
I) Representa a la solución de la inecuación, ya que la expresión – 2 < x es equivalente a la expresión x > – 2
II) NO representa a la solución de la inecuación, ya que la expresión – 2 < x es equivalente con el intervalo solución ]– 2, +[
III) NO representa a la solución de la inecuación, ya que corresponde a una desigualdad distinta.
Por lo tanto, solo las expresiones II y III NO representan el conjunto solución de la inecuación.
14. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia
Habilidad ASE
El intervalo ]2, +∞[ corresponde a todos los valores reales mayores que 2, es decir, x > 2. Luego:
I) NO tiene como intervalo solución ]2, +∞[, ya que: x + 2 > 2x (Ordenando)
x – 2x > – 2 (Reduciendo)
– x > – 2 (Multiplicando por – 1 cambia el sentido de la desigualdad) x < 2
II) Tiene como intervalo solución ]2, +∞[, ya que: 2(x – 1) > 2 (Dividiendo por 2)
x – 1 > 1 (Ordenando) x > 1 + 1
x > 2
III) Tiene como intervalo solución ]2, +∞[, ya que: 2 – x < x – 2 (Ordenando)
– x – x < – 2 – 2 (Reduciendo)
– 2x < – 4 (Dividiendo por – 2 cambia el sentido de la desigualdad) x > 2
Por lo tanto, solo II y III tienen como conjunto solución al intervalo ]2, +∞[.
15. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia Habilidad Aplicación 3 2 1 2 2 3 x x (Multiplicando por el mcm = 6) 3 2 6 6 2 ) 2 3 ( 6 x x 3·(3 – 2x) + 6 ≤ 4x 9 – 6x + 6 ≤ 4x 9 + 6 ≤ 4x + 6x 15 ≤ 10x 10 15 ≤ x 2 3 ≤ x x ≥ 2 3
Por lo tanto, el intervalo solución de la inecuación es , 2 3
16. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia Habilidad Aplicación
(x – 1)² ≤ (x + 2)(x + 1) (Desarrollando paréntesis) x² – 2x + 1 ≤ x² + 2x + x + 2
x² – 2x + 1 ≤ x² + 3x + 2 (Ordenando) x² – 2x – x² – 3x ≤ 2 – 1 (Reduciendo)
– 5x ≤ 1 (Dividiendo por – 5, cambia el sentido de la desigualdad) x ≥
5 1
Por lo tanto, el conjunto solución de la inecuación es , 5
1
.
17. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia
Habilidad ASE
Para que una raíz de índice par corresponda a un número real, la cantidad subradical debe ser mayor o igual que cero. Entonces:
0 x (Multiplicando por – 1) 0 x
Luego, el intervalo solución de la inecuación es
,0
18. La alternativa correcta es D.Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia
Habilidad ASE
Para que una raíz de índice par corresponda a un número real, la cantidad subradical debe ser mayor o igual que cero, sin embargo, por encontrarse en el denominador, el valor cero debe ser excluido. Entonces:
0 2x (Despejando x) x 2
19. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia Habilidad Aplicación
Sea x el número indicado, entonces planteando la inecuación, resulta: 5x – 3 < 27 (Ordenando) 5x < 27 + 3 5x < 30 (Despejando x) 5 30 x x < 6
Por lo tanto, el número debe ser menor que 6.
20. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia Habilidad Aplicación
Cuando una cantidad NO es mayor o igual que otra, significa que debe ser menor que ella. Entonces, si el número indicado es x, planteando la inecuación resulta:
4x < 3x + 4 (Ordenando) 4x – 3x < 4
x < 4
Luego, los números naturales que cumplen la condición son 3, el 1, el 2 y el 3.
21. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia
Habilidad ASE
La cantidad de dinero que dispone la persona para gastar, corresponde a la cantidad de dinero que originalmente tiene (p), menos la cantidad de dinero que gastó en locomoción (q), es decir, (p – q). Por otro lado, si compra x artículos con un valor de $ a cada uno, debe pagar $ (a ∙ x) en total.
Luego, para que la persona pueda pagar los artículos que lleva, esta cantidad debe ser menor o igual que la cantidad de la dispone. Es decir, a ∙ x ≤ p – q
22. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia Habilidad Aplicación
Al plantear el enunciado resulta: x + 5 > 2x – 2 (Ordenando) x – 2x > – 2 – 5 (Reduciendo)
– x > – 7 (Multiplicando por – 1, cambia el sentido de la desigualdad) x < 7
Por lo tanto, el conjunto de todos los números que cumplen con dicha condición es x < 7.
23. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia Habilidad Aplicación
Para que la expresión x4(x6) pertenezca a los reales se debe cumplir que la cantidad subradical debe ser mayor o igual que cero. Entonces:
x – 4(x – 6) ≥ 0 (Distribuyendo) x – 4x + 24 ≥ 0
– 3x ≥ – 24 (Dividiendo por – 3, cambia el sentido de la desigualdad) x ≤ 8
Por lo tanto, todos los valores de x para los cuales la expresión x4(x6) pertenece a los reales están en el intervalo ]– ∞, 8].
24. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia
Habilidad ASE
(1) x > 0. Con esta información, no es posible determinar que (2 – x – y) es siempre mayor que 1, ya que no se tiene información sobre y.
(2) x + y < 1. Con esta información, sí es posible determinar que (2 – x – y) es siempre mayor que 1, ya que
x + y < 1 (Multiplicando por – 1) – x – y > – 1 (Sumando 2)
2 – x – y > 1
Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.
25. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia
Habilidad ASE
(1) x
3,4 . Con esta información sí es posible determinar que a < 0, ya que si ax es negativo y x es positivo, entonces necesariamente a es negativo.
(2) x > 3. Con esta información sí es posible determinar que a < 0, ya que si ax es negativo y x es positivo, entonces necesariamente a es negativo.