NOLAN JARA J. FUNCIÓN

(1)

[FIEE-UNMSM] Página 34 FUNCIÓN

Se llama función a una relación en la cual a cada elemento del conjunto de partida (A) le corresponde sólo un elemento del conjunto de llegada (B).

Definición Se llama función a una relación en la cual a cada elemento x del dominio le corresponde sólo un elemento y del codominio.

Esto se expresa: y = f (x) o x^fy Se observa que:

De cada elemento del conjunto de salida A sale a lo mas una flecha.

De cada elemento del dominio sale una y sólo una flecha.

(2)

[FIEE-UNMSM] Página 35

GRÁFICOS EN EL PLANO CARTESIANO En el plano cartesiano se pueden representar los gráficos de las relaciones y funciones

en forma muy clara y ayudan a sacar conclusiones respecto de las mismas.

El plano cartesiano Esta formados por un eje horizontal y un eje vertical. En el eje horizontal se ubican los elementos del conjunto de salida y en el vertical, los elementos del conjunto de llegada. Dentro del plano cartesiano se ubican los pares ordenados del producto cartesiano que pertenecen a la relación o función generándose así el grafico de la relación o función dada.

En este tipo de gráficos pueden representarse distintas variables en función del tiempo:

Cada punto del gráfico nos permite conocer la situación de la variable en un instante

determinado.

Las líneas nos permiten conocer a simple vista la evolución de la variable en el transcurso del tiempo.

Ejemplos 1. En los ejercicios a y b, determinar si el conjunto de pares ordenados es o no una función.( justifique su respuesta )

a)



⁽²^t^^{1, ) /}^t ^t^



b)



(3 ² 1, ) /t  t t



(3)

[FIEE-UNMSM] Página 36 Solución:

a)

b)

FUNCIONES ESPECIALES

FUNCION LINEAL

f: R  R /y = f(x)  a x + b ; a  0 ( ) :

( ) : Dom f x R Ran f y R



FUNCION CUADRATICA 2 1

x t

; 1 ( ) es función

2

yt t  y x  f x

3 2 1 ; x t y t t

 

 

2 1

3 1 no es función

3 x y   y  x

(4)

: / ( ) ² ; 0

( ) :

f R R y f x ax bx c a Dom f x R

     



i) si a > 0

 

⁴ ^²

( ) : , ;

4 Ran f y k k ac b

a

   

tiene un valor minimo cuando ; 2

f y k x h h b

a

  

ii) si a < 0

(5)

 

⁴ ^²

( ) : , ;

4 Ran f y k k ac b

a

   

tiene un valor Maximo cuando ; 2

f y k x h h b

a

  

FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA f: R  R / y = f(x)  x

Dom (f): x  0 ; Ran (f) : y  0

(6)

[FIEE-UNMSM] Página 39 Ejemplo: ( )g x   x ; y   x

 Dom g( ) :xR y/     ( x) R 0

0 



x x

 Ran g( )    y ( x) R x/  0

0 0 0 0

x x x y

          

(7)

[FIEE-UNMSM] Página 40 Ejemplos 1. En los ejercicios a y b, determinar si el conjunto de pares ordenados es o no una función.( justifique su respuesta )

a)



⁽²^t^^{1, ) /}^t ^t^



b)



(3 ² 1, ) /t  t t



Solución:

b)

2) Un termostato controlado electrónicamente está programado para hacer descender o ascender automáticamente la temperatura de una casa durante las 24 horas del día (ver la figura). Se da la temperatura T en grados centígrados en función del tiempo t (de 0 a 24 horas).Se pide:

a) Estimar T (5) y T (16).

b) El termostato está programado para obtener una temperatura H (t) = T (t-1).

2 1 x t

; 1 ( ) es función

2

y t t y x f x

    

3 2 1 ; x t y t t

 

 

2 1

3 1 no es función

3 x y   y  x

(8)

[FIEE-UNMSM] Página 41 16 ; 0 6

6 20 ; 6 7 ; 16 22 22 ; 7 20

6 142; 20 21 ; 16 22 16 ; 21 24

si t

t si t T

si t

t si t T

si t

 

    

 

     

 

( ) ( 1)

H t T t 

16 ; 1 7

6 26 ; 7 8 ; 16 22 22 ; 8 21

6 148; 21 22 ; 16 22 16 ; 22 25

si t

t si t H

si t

t si t H

si t

 

    

 

     

 

¿Cómo cambia la temperatura? Explicar la respuesta.

c) El termostato está programado para obtener una temperatura J(t) = T (t)-1.

¿Cómo cambia la temperatura? Explicar la respuesta.

T

t

Solución:

T(t)=

a) T(5) = 16º C; T(16) = 22º C

b)

Los cambios de temperatura ocurren una hora después.

3 9 12

10

6 15 18 21 24

22 16 28

(7,22)

.

(20,22)

.

(9)

[FIEE-UNMSM] Página 42 ( ) ( ) 1

J t T t 

15 ; 0 6

6 21 ; 6 7 ; 15 J<21 21 ; 7 20

6 141; 20 21 ; 15<J 21 15 ; 21 24

si t

t si t

si t

t si t

si t

 

   

 

    

  H

t

c)

Las temperaturas son un grado más bajas.

3 9 12…

10

6 15 18 21 24

22

16 28

(8,22) (21,22)

(1,16) (25,16)

(10)

[FIEE-UNMSM] Página 43 J

t

3) Sea:



















10 x

; 1 - x

0 x 3 -

; 3 x

-4 x

; 8 6

² )

(

x x x

f Hallar el rango y graficar la función f.

Solución:

( ) :

Ran f y  R

4) Un granjero dispone de 300 metros de valla para cercar dos terrenos de pasto adyacentes (ver figura).

3 9 12…

10

6 15 18 21 24

22 16 28

(7,21) (20,21)

(0,15) (24,15)

y

x f

₂

f

₃

f

₁

(-4, 0)

(-3, 0)

(0, 3)

(10,3)