CIENCIAS BASICAS CALCULO I

CALCULO I

ING. ÁNGE L NÚÑE Z.

CIENCIAS BASICAS

Tabla de contenido

• Objetivos

• 1. Introducción al Calculo.

• 2. Limites y continuidad.

• 3. Derivación.

• 4. Aplicación de la derivada

• Bibliografía

Objetivo General

• Aplicar los conceptos y técnicas del Cálculo Diferencial

para la determinación de la solución de problemas de

ingeniería y economía.

Objetivos específicos

• Aumentar las destrezas y habilidades del estudiante en la interpretación de las derivadas, con la ayuda de herramientas de matemática.

• La asignatura Cálculo I estudia problemas de ingeniería y economía desde una visión epistemológica, para la transformación de fenómenos de la vida cotidiana en modelos matemáticos que permitan explicarlos, con el uso del concepto de la derivada y la aplicación de software matemáticos, fomentando valores como responsabilidad, compromiso y solidaridad.

UNIDAD 1.

INTRODUCCION AL CALCULO

CONTENIDO

1. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

2. EXPONENTES Y RADICALES . 3. ECUACIONES LINEALES

4. ECUACIONES CUADRATICAS 5. TALLER DE ECUACIONES

6. VALOR ABSOLUTO E INECUACIONES 7. FUNCIONES

8. FUNCIONES ELEMENTALES 9. RECTA Y PARABOLA

10. TALLER DE FUNCIONES

Números

• Ciertos conjuntos de números tienen nombres especiales. Los números 1, 2, 3, y así sucesivamente, forman el conjunto de los enteros positivos (o

números naturales): Conjunto de enteros positivos = {1,2,3,……..}

• Los enteros positivos junto con el cero, y los enteros negativos , forman el conjunto de los enteros: Conjunto de enteros = {….-3,-2,-1,0,1,2,3,……..}

• El conjunto de los números racionales consiste en números como ½ y 5/3 , que pueden escribirse como una razón (cociente) de dos enteros. Esto es, un número racional es aquél que puede escribirse como p/q, donde p y q son enteros y q≠0 (el símbolo se lee “no es igual a” o “diferente de”.) Por ejemplo, los números 19/20, -2/7 y -6/-2 son racionales. Observemos que 2/4, 1/2, 3/6, -4/-8 y 0.5 representan todos al mismo número racional. El entero 2 es racional ya que 2 = 2/1. De hecho, todo entero es racional.

Números

• Todos los números racionales pueden representarse por números

decimales que terminan, como ¾ = 0.75 y 3/2 = 1.5, o bien por decimales que se repiten sin fin, como 2/3 = 0.66.., -4/11 = -0.3636.. y 2/15 =

0.133….Los números que se representan por decimales no repetidos que no terminan se conocen como números irracionales.

• Juntos, los números racionales y los números irracionales forman el conjunto de los números reales. Los números reales pueden representarse por puntos en una recta.

Números

• Primero seleccionamos un punto en la recta para representar al cero.

Este punto es llamado origen. Después se elige una medida estándar de distancia, “unidad de distancia”, y se marca sucesivamente en ambas

direcciones a la derecha y a la izquierda del origen. Con cada punto sobre la recta asociamos una distancia dirigida, o número con signo, que

depende de la posición del punto con respecto al origen. Las posiciones a la derecha del origen se consideran positivas (+) y las de la izquierda

negativas (-).

ACTIVIDADES.

Ejercicios de actividad asincrónica

• Revisar ejercicios de Haeussler 12

ava. edición pagina 6, 7, 8, 9, 10.

Operaciones con expresiones algebraicas.

La expresión algebraica 5ax³ – 2bx +3 consiste de tres términos. Algunos de los factores del primer término, 5ax³, son 5, a, x, x², x³, 5ax y ax^2.

También, 5a es el coeficiente de x³ y 5 es el coeficiente numérico de ax³. Si en un análisis a y b representan números fijos, entonces a a y b se les denomina constantes.

Un polinomio en x es una expresión algebraica de la forma:

C_nxⁿ + c_n-1x^n-1+ …..c₁x + c₀

Donde n es entero no negativo y los coeficientes c₀, c_1, ……,c_n son constantes con c_n ≠ 0.

Operaciones con expresiones algebraicas.

Ejemplo: simplifique (3x²y - 2x + 1) + (4x²y + 6x - 3).

= 3x²y - 2x + 1 + 4x²y + 6x – 3

= 4x²y + 4x – 2

Ejemplo: simplifique 3{2x[2x + 3] + 5[4x2 - (3 - 4x)]}

= 3{2x[2x + 3] + 5[4x² - 3 + 4x]}

= 3{4x2 + 6x + 20x² - 15 + 20x}

= 3{24x² + 26x - 15}

= 72x² + 78x - 45.

Operaciones con expresiones algebraicas.

Productos especiales

1. x(y + z) = xy + xz (propiedad distributiva).

2. (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab.

3. (ax + c)(bx + d) = abx² + (ad + cb)x + cd.

4. (x + a)² = x² + 2ax + a² (cuadrado de un binomio).

5. (x - a)2 = x² - 2ax + a² (cuadrado de un binomio).

6. (x + a)(x - a) = x² - a² (producto de suma y diferencia).

7. (x + a)³ = x³ + 3ax² + 3a²x + a³ (cubo de un binomio).

8. (x - a)³ = x³ - 3ax² + 3a²x - a³ (cubo de un binomio).

Operaciones con expresiones algebraicas.

Encuentre el producto (2t - 3)(5t² + 3t - 1).

= (2t - 3)5t² + (2t - 3)3t - (2t - 3)1.

= 10t³ - 15t² + 6t² - 9t - 2t + 3.

= 10t³ - 9t² - 11t + 3.

Operaciones con expresiones algebraicas.

Simplifique: 4z3 - 8z2 + 3z - 6 2z =

4𝑧³ − 8𝑧² + 3𝑧 − 6 2𝑧

= 4𝑧³

2𝑧 − 8𝑧²

2𝑧 + 3𝑧

2𝑧 − 6 2𝑧

= 2𝑧² − 4𝑧 + 3

2 − 3 𝑧

ACTIVIDADES.

Ejercicios de actividad asincrónica

• Revisar ejercicios de Haeussler 12

ava. edición pagina 19, 20, 21, 22.

Exponentes y radicales.

El producto de x*x*x se abrevia x³. En general, para un entero positivo n, xⁿ es la abreviatura del producto de n factores, cada uno de los cuales es x. La letra n en xⁿ se denomina exponente y a x se le llama base.

Específicamente, si n es un entero positivo tenemos:

𝑥 ^𝑛 = 𝑥 ∗ 𝑥 ∗ 𝑥 … … ∗ 𝑥𝑛 𝑥 ^−𝑛 = 1

𝑥^𝑛 = 1

𝑥 ∗ 𝑥 ∗ 𝑥 … .∗ 𝑥𝑛 1

𝑥 ^{− 𝑛} = 𝑥 ^𝑛

𝑥 ⁰ = 1; 𝑥 ≠ 0; 00 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜

Exponentes y radicales.

La raíz n-ésima principal de x es la raíz n-ésima de x que sea positiva si x es positiva, y es la raíz n-ésima negativa si x es negativa y n es impar. Esta raíz la denotamos mediante ^𝑛 𝑥. Así,

𝑛 𝑥 = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑖𝑣𝑎

𝑛 𝑥 = 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑠𝑖 𝑥 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑦 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

Exponentes y radicales.

Por ejemplo, ² 9 = 3; ³ −8 = −2 ; y definimos ^𝑛 0 = 0

Aunque 2 y -2 son raíces cuadradas de 4, la raíz cuadrada principal de 4 es 2, no -2. Por lo que, ² 4 = 2

Si x es positiva, la expresión , en donde p y q son enteros y q es positiva, se define como . Por lo que,

4 𝑥³ = 𝑥^3/4

ACTIVIDADES.

Ejercicios de actividad asincrónica

• Revisar ejercicios de Haeussler 12

ava. edición pagina 11, 12, 13, 14,

15, 16, 17.

Ecuaciones.

Las ecuaciones son expresiones matemáticas que se utilizan para modelizar un fenómeno.

Una ecuación es una proposición que indica que dos expresiones son iguales.

Las dos expresiones que conforman una ecuación son llamadas sus lados o miembros, y están separadas por el signo de igualdad “=”.

x + 2 = 3.

x² + 3x + 2 = 0.

Ecuaciones.

No permitamos que en una ecuación haya una variable que tenga un valor para el cual esa ecuación no esté definida. Por tanto, en

𝑦

𝑦 − 4 = 6

Es importante asegurar que el valor de “y” no puede ser 4 debido a que se genera una división para 0, lo cual no es permisible.

En algunas ecuaciones los valores permisibles de una variable están restringidos por razones físicas. Por ejemplo, si la variable t representa el tiempo, los valores negativos de t pueden no tener sentido. Entonces debemos suponer que t≥0.

Ecuaciones.

Resolver una ecuación significa encontrar todos los valores de sus variables para los cuales la ecuación es verdadera. Estos valores se conocen como soluciones de la ecuación y se dice que satisfacen la ecuación.

Cuando sólo está implicada una variable, una solución también se conoce como raíz. Al conjunto de todas las soluciones se le llama conjunto

solución de la ecuación.

Una letra que representa una cantidad desconocida en una ecuación se le denomina incógnita.

Ecuaciones Lineales.

1. Sumar (o restar) el mismo polinomio2 a (de) ambos miembros de una ecuación, en donde el polinomio está en la misma variable que aparece en la ecuación.

Por ejemplo, si - 5x = 5 - 6x entonces sumar 6x a ambos miembros nos da la ecuación equivalente -5x + 6x = 5 - 6x + 6x, o x = 5.

2. Multiplicar (dividir) ambos miembros de una ecuación por la misma constante, excepto el cero.

Por ejemplo, si 10x = 5, entonces dividir ambos miembros entre 10 nos da la ecuación equivalente , ^10𝑥

10 = ⁵

10 𝑜 𝑥 = ¹

2

Ecuaciones lineales.

3. Reemplazar cualquiera de los miembros de una ecuación por una expresión igual (equivalente).

Por ejemplo, si x(x +2) = 3 entonces reemplazar el miembro izquierdo por la expresión equivalente x² + 2x = 3.

2(p + 4) = 7p + 2 2p + 8 = 7p + 2

2p + 8 – 7p - 8 = 7p + 2 -7p - 8 -5p = -6

-5p (-1) = -6(-1)

𝑝 = 6 5

ACTIVIDADES.

Ejercicios de actividad asincrónica

• Revisar ejercicios de Haeussler 12

ava. edición pagina 40, 41, 42, 43,

44, 45, 46, 47.

Ecuaciones Cuadraticas.

Una ecuacion cuadratica en aquella cuyo grado maximo del exponente de la variable es 2. Una ecuacion cuadratica tambien se conoce como

ecuacion de Segundo grado, ya que la potencia mas grande en la

ecuacion es 2. Una ecuacion cuadratica en la variable x es una ecuacion que pude escribirse en la forma:

𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 Donde a, b y c son constantes y a ≠ 0.

En estas ecuaciones se puede tener hasta dos raices como soluciones.

Ecuaciones Cuadraticas.

Resolver

𝑥

+ 𝑥 − 12 = 0

solucion

𝑥 − 3 𝑥 + 4 = 0

𝑥 − 3 = 0 𝑥 + 4 = 0

𝑥 = 3 𝑥 = − 4

Ecuaciones Cuadraticas.

Resolver

6𝑤

− 5𝑤 = 0

solucion

6𝑤

− 5𝑤 = 0

𝑤(6𝑤 − 5) = 0 𝑤 = 0

6𝑤 − 5 = 0 𝑤 = 5/6

Ecuaciones Cuadraticas.

Resolver

𝑥

− 3 = 0

solucion

(𝑥 − 3)(𝑥 + 3) = 0

(𝑥 − 3) = 0 (𝑥 + 3) = 0

𝑥 = 3 𝑥 = − 3

Ecuaciones Cuadraticas.

Formula cuadratica

𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, Donde a,b y c son constantes y a ≠ 0.

𝑥 = −𝑏 ± 𝑏² − 4𝑎𝑐 2𝑎

Ecuaciones Cuadraticas.

Ejemplo

4𝑥² − 17𝑥 + 15 = 0,

𝑥 =

2𝑎

=

17 + 7

8 = 3

17 − 7

8 = 5

4

Ecuaciones Cuadraticas.

Ejemplo

9𝑦² + 6 2𝑦 + 2 = 0,

𝑥 =

2𝑎

=

2−4(9)(2) 2(9)

−6 2 + 0

18 = − 2

3

−6 2 − 0

18 = − 2

3 Las soluciones zonas mismas la raíz es única

Ecuaciones Cuadraticas.

Ejemplo

𝑧² + 𝑧 + 1 = 0,

𝑥 =

2𝑎

=

2(1)

−1 + −3

2 = −1 + 3𝑖

2

−1 − −3

2 = −1 − 3𝑖

2 No tiene soluciones en los reales

ACTIVIDADES.

Ejercicios de actividad asincrónica

• Revisar ejercicios de Haeussler 12

ava. edición pagina 49, 50, 42, 43,

44, 45, 46, 47, 53, 54, 55, 57.

Aplicaciones de las Ecuaciones.

Revisar ejercicios de Hausler 12 ava. edición pagina 62, 63, 64, 65, 66, 67.

ACTIVIDADES.

Valor absoluto e inecuaciones.

Las desigualdades, son proposiciones en que una cantidad es mayor, menor, que otra cantidad. Una desigualdad es un enunciado que

establece que un número es menor que otro.

Reglas para las desigualdades

1. Si un mismo número se suma o resta en ambos lados de una

desigualdad, la desigualdad resultante tendrá el mismo sentido que la original. En forma simbólica, si a < b, entonces a + c < b + c y a - c < b - c.

𝑧 + 1 ≥ 0, 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑧 + 1 − 1 ≥ 0 − 1

Valor absoluto e inecuaciones.

2. Si ambos lados de una desigualdad se multiplican o dividen por el mismo número positivo, la desigualdad resultante tendrá el mismo sentido que la original. En forma simbólica,

𝑠𝑖 𝑎 < 𝑏 𝑦 𝑐 > 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐 𝑠𝑖 3 < 7 𝑦 2 > 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 3 ∗ 2 < 7 ∗ 2

Valor absoluto e inecuaciones.

3. Si ambos lados de una desigualdad se multiplican o dividen por el mismo número negativo, entonces la desigualdad resultante tendrá el sentido contrario de la original. En forma simbólica,

𝑠𝑖 𝑎 < 𝑏 𝑦 𝑐 < 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 −𝑐 > 𝑏(−𝑐) 𝑠𝑖 3 < 7 𝑦 − 2 < 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 3 ∗ −2 > 7(−2)

Valor absoluto e inecuaciones.

4. Cualquier lado de una desigualdad puede reemplazarse por una expresión equivalente a ella. En forma simbólica,

𝑠𝑖 𝑎 < 𝑏 𝑦 𝑎 = 𝑐 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑐 < 𝑏

𝑠𝑖 𝑥 < 2 𝑦 𝑥 = 𝑦 + 4, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦 + 4 < 2

5. Si los lados de una desigualdad son ambos positivos o negativos, entonces sus recíprocos1 respectivos estarán relacionados por un

símbolo de desigualdad con sentido contrario a la desigualdad original.

Por ejemplo, 2 < 4 pero ½ > ¼.

Valor absoluto e inecuaciones.

6. Si ambos lados de una desigualdad son positivos y elevamos cada lado a la misma potencia positiva, entonces la desigualdad resultante tendrá el mismo sentido que la original. Por tanto, si 0 < a < b y n > 0.

𝑠𝑖 𝑎^𝑛 < 𝑏^𝑛 𝑦 ^𝑛 𝑎 < ^𝑛 𝑏

𝑠𝑖 4 < 9 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 4² < 9² 𝑦 2 4 < ² 9

Valor absoluto e inecuaciones.

Ejemplo.

2 𝑥 − 3 < 4 2𝑥 − 6 < 4

2𝑥 < 10 𝑥 < 5

Valor absoluto e inecuaciones.

Ejemplo.

3 − 2𝑥 ≤ 6

−2𝑥 ≤ 3 𝑥 ≥ −3/2

𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑒𝑟𝑎 [− 3

2 ; ∞)

ACTIVIDADES.

Ejercicios de actividad asincrónica

• Revisar ejercicios de Haeussler 12

ava. edición pagina 73, 74, 75, 76,

77, 78.

Valor absoluto e inecuaciones.

En la recta de los números reales, a la distancia desde el cero hasta un número x se le llama el valor absoluto de x, el cual se denota por 𝑥 . Por ejemplo 5 = 5 y −5 = 5.

Ambos tanto el 5 como el -5 están a 5 unidades de distancia del cero El valor absoluto de un número real x, escrito 𝑥 , se define como:

𝑥 = x, si x ≥ 0 y 𝑥 = - x, si x < 0

Valor absoluto e inecuaciones.

2 𝑥²

≠

=

Por ejemplo ² (−2)² = ² 4 = 2

−𝑥 ≠ x

−𝑥 − 1 ≠ 𝑥 + 1.

Por ejemplo Si x = - 3

−(−3) = 3 ≠ − 3

−(−3) − 1 = 2 ≠ −3.

Valor absoluto e inecuaciones.

Por ejemplo 7 − 3𝑥 = 5.

Solución 7 - 3x = 5 o – (7-3x) = 5 x = 2/3 o x = 4.

Por ejemplo 𝑥 − 4 = −3

𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜.

9 − 5 = 4 5 − 9 = 4

Valor absoluto e inecuaciones.

Desigualdades con valor absoluto 𝑥 + 5 ≥ 7

𝑥 + 5 ≤ −7 o 𝑥 + 5 ≥ 7 𝑥 ≤ −12 o 𝑥 ≥ 2

Valor absoluto e inecuaciones.

Propiedades del valor absoluto 𝑎𝑏 = 𝑎 𝑏

𝑎/𝑏 = 𝑎 / 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑏 − 𝑎

−𝑎 ≤ 𝑎 ≤ 𝑎

Valor absoluto e inecuaciones.

Propiedades del valor absoluto

−7 ∗ 3 = −7 3 = 21

−7/3 = ⁻⁷

3 = ⁷

3

7 − 𝑥 = 𝑥 − 7

ACTIVIDADES.

Ejercicios de actividad asincrónica

• Revisar ejercicios de Haeussler 12

ava. edición pagina 82, 84.

Funciones.

• Definición

• Una función es una regla que asigna a cada número de entrada exactamente un número de salida.

• Al conjunto de números de entrada para los cuales se aplica la regla se le llama el dominio de la función. El conjunto de todos los números de salida se llama el rango.

• En forma breve, una función es un tipo especial de relación que

expresa cómo una cantidad (la salida) depende de otra cantidad (la entrada).

Funciones.

• Por ejemplo, cuando se invierte dinero a alguna tasa de interés, el interés I (salida) depende del tiempo t (entrada) que el dinero esté invertido. Para expresar esta dependencia, decimos que I es una

“función de” t. Las relaciones funcionales como ésta en general se especifican mediante una fórmula que muestra lo que debe hacerse con la entrada para determinar la salida.

• 𝐼 = 𝐶)(𝑖 𝑡

• Para ejemplificar esto, suponga que $100 ganan un interés simple a una tasa anual del 6%. Entonces, puede mostrarse que el capital, interés y el tiempo están relacionados por la fórmula.

• 𝐼 = 100)(0.06 𝑡

Funciones.

• En general, las entradas o salidas no tienen por qué ser números. Por ejemplo, una lista de estados y capitales asigna a cada estado su

capital (exactamente una salida), de modo que hay una función implicada. Sin embargo, por el momento sólo consideraremos las funciones cuyos dominios y rangos consistan en números reales.

• Una variable que representa a los valores de entrada de la función se denomina variable independiente. Una variable que representa los valores de salida se denomina variable dependiente, ya que su valor depende del valor de la variable independiente.

• Así, para la fórmula de interés , la variable independiente es t, C, i, la dependiente es I. I es una función de t.

Funciones.

• 𝑦 = 𝑥 + 2

• Se define aquí que y es una función de x.

• 𝑓 𝑥 𝑠𝑒 𝑙𝑒𝑒 𝑓 𝑑𝑒 𝑥 representa el número de salida en el rango de f que corresponde al número de entrada x en el dominio.

entrada

↓ f(x)

↑ salida

Funciones.

• 𝑦 = 𝑥 + 2

• Se define aquí que y es una función de x.

• 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2

• 𝑓 3 = 3 + 2 = 5

• 𝑓 −4 = −4 + 2 = −2

• 𝑔 𝑥 = 𝑥³ + 𝑥²

• 𝑔 𝑡 = 𝑡³ + 𝑡²

• 𝑔 𝑧 + 1 = (𝑧 + 1)3 + (𝑧 + 1)2

Funciones.

• ℎ 𝑥 = ¹

𝑥−6 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛

• 𝑥 − 6 𝑛𝑜 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 = 0 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑥 ≠ 0

• ℎ 𝑥 = ^𝑥

𝑥2−𝑥−2 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛

• 𝑥² − 𝑥 − 2 = 0

• 𝑥 − 2)(𝑥 + 1 = 0

• 𝑥 = 2; 𝑥 = −1

Funciones.

• 𝑔 𝑡 = 2𝑡 − 1 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛

• 2𝑡 − 1 ≥ 0

• 2𝑡 ≥ 1 𝑡 ≥ 1/2

[1/2;∞)

• ℎ 𝑥 = 3𝑥² − 𝑥 + 5 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑e esta funcion

• dominio = 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠

• 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 𝑟² ; ℎ 𝑟² = 3 𝑟^{2 2} − 𝑟² + 5 = 3 𝑟⁴ − 𝑟² + 5

• 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 𝑥 + ℎ ; ℎ 𝑥 + ℎ = 3 𝑥 + ℎ ² − 𝑥 + ℎ ² + 5 =

• 3𝑥² − ℎ² + 6ℎ𝑥 − 𝑥 − ℎ + 5

Funciones.

• 𝑓 𝑥 = 𝑥2; 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟

•

ℎ

=

ℎ

=

• =

• =

ℎ

• = 2𝑥 + ℎ

ACTIVIDADES.

Ejercicios de actividad asincrónica

• Revisar ejercicios de Hausler 12

ava. edición pagina 92, 93, 94.

Funciones Elementales.

• Función constante

• F (x) = a

• Es aquella función donde a es una constante, se llama función constante.

• Función polinómica

• 𝑓 𝑥 = 𝑥³ − 6𝑥² + 5 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 3

• 𝑓 𝑥 = ^2𝑥

3 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 1 𝑜 𝑙𝑖𝑒𝑎𝑙

• 𝑓 𝑥 = ²

𝑥³ 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑙𝑎

Funciones Elementales.

• Función racional

• 𝑓(𝑥) =

𝑥+5

• 𝑓(𝑥) =

1

• 𝑓 𝑥 = 𝑥

− 6𝑥

Funciones especiales.

• Función compuesta

• 𝑓 𝑥 = ቐ

1, 𝑠

− 1 ≤ 𝐱 < 1 0, 𝑠

1 ≤ x ≤ 2 𝑥 − 3, 𝑠

2 < 𝒙 ≤ 8

• 𝑓 0 = 1

• 𝑓 2 = 0

• 𝑓 7 = 7 − 3 = 4

• 𝑓 1 = 0

Funciones Elementales.

• Función compuesta

• 𝑓 𝑥 = ቐ

2x, 𝑠

x < 0 𝑥

, 𝑠

0 ≤ x < 10

−𝑥, 𝑠

𝑥 ≥ 10

• 𝑓 0 =

𝑥

• 𝑓 −2 = 2𝑥 = 2 −2 = −4

• 𝑓 11 = −𝑥 = −11

• 𝑓 10 = − 𝑥 = −10

Funciones Elementales.

• Función valor absoluto

• 𝑓 𝑥 = 𝑥 = ቐ

x, 𝑠

x ≥ 0

−𝑥, 𝑠

x < 0

• 𝑓 0 =

0 =

• 𝑓 −2 =

−2

• 𝑓 11 =

11

• 𝑓 −1/2 =

−1/2

ACTIVIDADES.

Ejercicios de actividad asincrónica

• Revisar ejercicios de Hausler 12

ava. edición pagina 98.

Rectas.

Rectas.

𝑈𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑓 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑓 𝑥 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑟𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑦 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠.

Ejemplo: 𝑓 𝑡 = ^{15 −2𝑡}

3

𝑓 𝑡 = −2𝑡

3 + 5

Ejemplo: 𝑓 𝑥 = ^𝑥

3 − 7

Ejemplo: 𝑓 𝑥 = −4𝑥

Rectas.

Rectas.

𝐿𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟:

𝑚 = 𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1 𝑓(𝑡) = 15 − 2𝑡

3 𝑓 𝑡 = −2𝑡

3 + 5 𝑓 𝑥 = 0.5𝑥 − 2

Rectas.

Rectas.

Rectas.

Rectas.

Parábolas.

Parabolas.

𝑈𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑠 𝑎𝑞𝑢𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑟𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠.

Las raices de la ecuacion se encuentran mediante:

𝑥 = −𝑏 ± 𝑏² − 4𝑎𝑐 2𝑎

Parábolas.

ACTIVIDADES.

Ejercicios de actividad asincrónica

• Revisar ejercicios de Hausler 12

ava. edición pagina 147, 148, 149,

150, 151.

Grafico de funciones.

Grafico de funciones.

Grafico de funciones.

Grafico de funciones.

Grafico de funciones.

Grafico de funciones.

Grafico de funciones.

Grafico de funciones.

Grafico de funciones.

relaciones

Grafico de funciones.

Grafico de funciones.

relaciones

Grafico de funciones.

relaciones

Grafico de funciones.

relaciones

ACTIVIDADES.

Ejercicios de actividad asincrónica

• Revisar ejercicios de Hausler 12

ava. edición pagina 107, 108, 109,

110, 111, 112, 113, 114.

Traslación de funciones.

Traslación de funciones.

Traslación de funciones.

Traslación de funciones.

Traslación de funciones.

Traslación de funciones.

Traslación de funciones.

Traslación de funciones.

Traslación de funciones.

Traslación de funciones.

Traslación de funciones.

Traslación de funciones.

Traslación de funciones.

Traslación de funciones.

Traslación de funciones.

Traslación de funciones.

Traslación de funciones.

Traslación de funciones.

Traslación de funciones.

Traslación de funciones.

Traslación de funciones.

Traslación de funciones.

Traslación de funciones.

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ACTIVIDADES.

Ejercicios de actividad asincrónica

• Revisar ejercicios de Hausler 12

ava. edición pagina 130, 131, 132,

133, 134, 135, 136, 137, 138, 139,

140, 141, 142, 143.

Bibliografía: Libros

• Estadística para administración y Economía. Levin. Rubin. Balderas. Del Valle.

Gòmez. Pearson. Prentice Hall.

• Estadística aplicada a los negocios y la economía. Lind. Marchal, Wathen.

MacGrawHill.

• Estadística aplicada a los negocios y la economía. Andersson, Sweeney, Williams.

Cengage.