Universidad Nacional Aut´
onoma de Honduras
Facultad de Ciencias
Escuela de F´ısica
Introducci´
on a Errores Experimentales
Elaborado por: Jorge A. P´erez y Roger J. RaudalesTabla de contenidos
1. Introducci´on 1
2. Concepto de medici´on y error 2
3. Exactitud, precisi´on y sensibilidad 2
4. Valor central y representaciones de incertidumbres 3
5. Cifras significativas 4
6. Publicaci´on de resultados experimentales 5
7. Determinaci´on de errores en mediciones directas 6
8. Propagaci´on de errores 7
8.1. M´axima incertidumbre posible . . . 7
8.2. Errores sistem´aticos . . . 9
9. Error estad´ıstico 10 10.Discrepancia y comparaci´on con valores te´oricos 11 10.1. Discrepancia . . . 11
10.2. Comparaci´on con valores te´oricos . . . 12
11.Ajuste de datos 12 11.1. Linealizaci´on de funciones . . . 12
11.2. Regresi´on lineal . . . 14
11.2.1. Resumen de f´ormulas . . . 14
11.3. Lineamientos para construcci´on de gr´aficas de ajustes lineales . . . 17
Referencias 18
1.
Introducci´
on
Todas las medidas experimentales vienen afectadas de una cierta imprecisi´on inevitable, debida a las imperfecciones del aparato de medida, o a las limitaciones impuestas por nuestros sentidos que deben registrar la informaci´on. El principal objetivo de la denominada teor´ıa de errores consiste en acotar el valor de dichas imprecisiones, denominadas errores experimentales. Dado que el valor de las magnitudes f´ısicas se obtiene experimentalmente por la medici´on (bien directa de la magnitud o indirecta, por medio de los valores medidos de otras magnitudes ligadas con el problema mediante una f´ormula f´ısica), debe admitirse como postulado f´ısico el hecho de que resulta imposible llegar a conocer el valor exacto de ninguna magnitud, ya que los medios experimentales de comparaci´on con el patr´on correspondiente en las medidas directas viene siempre
afectado de imprecisiones inevitables. De este modo, aunque es imposible encontrar en la pr´actica el valor “cierto” o “exacto” de una magnitud determinada, no hay duda de que este existe, y nuestro problema es establecer los l´ımites dentro de los cuales se encuentra dicho valor.
2.
Concepto de medici´
on y error
Medici´on:Es un proceso b´asico de la ciencia que consiste en comparar un patr´on seleccionado con el objeto o fen´omeno cuya magnitud f´ısica se desea medir para ver cu´antas veces el patr´on est´a contenido en esa magnitud. En f´ısica, podemos clasificar las mediciones como directas e indirectas.
• Medici´on directa: Una medici´on directa es aquella que realizamos utilizando un instrumento dise˜nado, construido y calibrado para cuantificar apropiadamente la cantidad que nos interesa.
• Medici´on indirecta:Una medici´on indirecta es aquella en la cual la magnitud a medir en realidad se calcula mediante una relaci´on matem´atica.
Error:Es la diferencia que existe entre el valor verdadero de una magnitud f´ısica y el valor obtenido experimentalmente. Estos errores los podemos clasificar como sigue:
• Errores Sistem´aticos:
◦ Error Instrumental:
Es el error asociado al instrumento de medici´on. Por ejemplo errores en la calibraci´on del instrumento.
◦ Error Personal:
Se asocia a limitaciones que pueda tener el experimentador al momento de realizar mediciones con los distintos instrumentos.
◦ Error de Elecci´on del M´etodo:
Es una mala elecci´on del m´etodo o del instrumento de medici´on para registrar una magnitud f´ısica.
• Errores Accidentales:
Estos errores son b´asicamente variaciones que se pueden dar en mediciones sucesivas realizadas por un mismo experimentador. Estas variaciones son aleatorias y no estan en el control del expe-rimentador.
Estos errores usualmente son peque˜nos en magnitud (comparados usualmente a errores sistem´ ati-cos). Una gran cantidad de mediciones sucesivas, produce desviaciones mayores o menores al valor central.
Con este tipo de errores se utilizan m´etodos estad´ısticos para poder obtener valores mas acordes al valor real de la magnitud, obteniendo conclusiones acertadas sobre el experimento.
3.
Exactitud, precisi´
on y sensibilidad
Exactitud:Es el grado de concordancia entre el valor verdadero o “aceptado”. Podemos decir que un experimento o un instrumento es exacto, si sus resultados son muy pr´oximos al valor real.
Precisi´on: Es la concordancia que existe entre mediciones reiteradas de la misma magnitud f´ısica en condiciones similares.
Sensibilidad:Es el valor m´ınimo que se puede medir con ese instrumento. Es habitual que la sensibi-lidad de un instrumento se indique con el valor de la medici´on mas peque˜na de la escala.
Podemos afirmar que si un instrumento es exacto, este tambi´en es preciso, pero no es posible garantizar que si un instrumento es preciso este es exacto.
En las dianas de la figura 1 se ilustran los conceptos de precisi´on y exactitud. En 1a, los lanzamientos fueron consistentes en torno a un ´area espec´ıfica de la diana, por lo cual se dice que se tuvo alta precisi´on al
lanzar los dardos; sin embargo, ninguna acert´o al blanco, por lo cual la exactitud es baja. En 1b, podemos observar un caso de alta precisi´on y alta exactitud, ya que todos los dardos acertaron en el blanco. En 1cse ilustra un caso de alta exactitud (ya que todos los dardos cayeron cerca del blanco), pero baja exactitud (no todos los dardos cayeron en el blanco); y en 1dse observa un caso de baja precisi´on y baja exactitud. De lo anterior podemos concluir que en un procedimiento experimental, lo m´as deseable es lo que se ilustra en 1by lo menos deseable es lo que sucede en 1d.
(a) (b)
(c) (d)
Figura 1. Apreciaci´on gr´afica de los conceptos de precisi´on y exactitud.
4.
Valor central y representaciones de incertidumbres
A partir de los conceptos vistos anteriormente, podemos decir que una medici´on nos arroja un intervalo de valores donde confiamos se encuentra el valor real de alguna cantidad f´ısica que se pretenda medir. Dentro de este intervalo de valores, hay uno que se puede proponer como el m´as representativo de la medici´on por ser el que tiene mayor probabilidad de acercarse al valor real. A este valor se le conoce como elvalor central de la medici´on. Si se midi´o una cantidad f´ısicax, su valor central se representa como ¯x.
Alrededor del valor central, hay una cantidad que determina los l´ımites del intervalo de valores donde con-fiamos est´a el valor real de la medici´on. A esta cantidad se le denominaerror absoluto (o incertidumbre absoluta) de la medici´on. Si se midi´o una cantidad f´ısicax, su incertidumbre absoluta se representa como ∆x.
Figura 2. Representaci´on de una medici´on de forma gr´afica. Al realizar una medici´on, podemos estimar que el valor verdadero de la misma se encuentra acotado en un intervalo, y dicho valor tiende a ser igual al valor
Es de mucha importancia resaltar que para considerar que una medici´on experimental de una cantidad f´ısica se hizo correctamente,la incertidumbre absoluta deber´a ser mucho menor que el valor central, es decir:
|∆x|<<|x¯|
Al considerar las figuras 1 y 2, nos damos cuenta de que si la incertidumbre absoluta es demasiado elevada, el procedimiento experimental carece de precisi´on y exactitud, y, en consecuencia, los resultados obtenidos no arrojar´ıan conclusiones s´olidas sobre un fen´omeno f´ısico dado.
Otra consideraci´on importante a tomar en cuenta es que la incertidumbre absoluta como valor num´erico siempre ser´a positiva y tendr´a las mismas unidades del valor central, ya que representa un inter-valo de incertidumbre respecto de donde recae el inter-valor real de una medici´on.
En muchos casos, resulta de inter´es estudiar la relaci´on entre el error absoluto respecto del valor central asociado a una medici´on experimental. A dicha relaci´on la llamamoserror relativo (o incertidumbre relativa), es adimensional y se define como sigue:
Ir= ∆x
¯
x (1)
Si multiplicamos el error relativo por 100 %, obtenemos elerror porcentual (o incertidumbre porcentual)(Ip), el cual nos da una relaci´on porcentual entre el error absoluto y el valor central.
Las incertidumbres relativa o porcentual se relacionan con la precisi´on de un experimento. Es as´ı que, cuanto m´as baja es la incertidumbre porcentual de una medici´on, m´as alta es la precisi´on del experimento.
5.
Cifras significativas
Las cifras significativas son aquellas que est´an medidas con precisi´on, seg´un el instrumento, o tambi´en seg´un c´alculos realizados a partir de mediciones directas. Para saber cuantas cifras se pueden utilizar en un resultado, se pueden utilizar las siguientes reglas:
Los ceros a la izquierda no son significativos, esto se debe a que los ceros a la izquierda no a˜naden precisi´on a la medici´on, solo sirven para establecer la posici´on del punto decimal. Para contar las cifras significativas, se parte del primer d´ıgito distinto de cero y se cuentan todos los d´ıgitos a partir de este. Los ceros a la derecha s´ı son significativos. Se debe tener la precauci´on de escribir los ceros a la derecha si y solo si estos son parte de una verdadera medici´on.
En muchas ocasiones resulta m´as pr´actico utilizar la notaci´on exponencial para expresar resultados, utilizan-do potencias de base diez.
Ejemplos
Ejemplo 1.Determinar la cantidad de cifras significativas en: 0.000000013
130 Soluci´on:
Para el primer valor notamos que tiene solamente dos cifras significativas.
Si expresamos el valor utilizando la notaci´on exponencial, el resultado ser´ıa el siguiente: 1.3×10−8
En el segundo caso contamos tres cifras significativas y no vemos necesidad de utilizar notaci´on exponencial, pero si se quisiera utilizar el resultado ser´ıa as´ı:
Ejemplo 2.¿Qu´e diferencia existe entre los resultados 1kg y 1.000kg? ¿Qu´e medici´on es m´as precisa? Soluci´on: La diferencia es la cantidad de cifras en las que se expresa la medici´on. La primera medici´on nos indica que el instrumento ten´ıa una sensibilidad en kilogramos y la segunda medici´on fue realizada con un instrumento con sensibilidad en gramos. La segunda medici´on fue m´as precisa, mil veces m´as precisa para ser exactos.
6.
Publicaci´
on de resultados experimentales
Al indicar el resultado experimental de la medici´on de una magnitud debemos indicar tanto el valor central como el grado de incertidumbre de la misma, as´ı como las unidades de la cantidad medida. Esto se denota de la siguiente manera:
x= (¯x±∆x)unidades (2)
Tambi´en es necesario tomar en cuenta la cantidad de cifras significativas al momento de denotar una medi-ci´on. Esto se logra respetando las siguientes convenciones:
1. El error absoluto deber´a contener ´unicamente una cifra significativa.
2. El error absoluto predispone cu´antas cifras antes o despu´es del punto decimal debe contener el valor central.
En el caso de denotar mediciones de cantidades muy grandes o muy peque˜nas, es conveniente escribirlas siguiendo el mismo esquema explicado anteriormente, seguido del orden de la cantidad en t´erminos de notaci´on exponencial cient´ıfica.
Ejemplos
Ejemplo 1.En una medici´on experimental de muy alta precisi´on de una longitudxse obtuvo que su va-lor central es 1.234345 cm y su incertidumbre absoluta es 0.06789 cm. Denote el resultado de forma adecuada. Soluci´on:
Obs´ervese que la incertidumbre dada posee cuatro cifras significativas. Considerando la primera regla de redondeo, tenemos que la incertidumbre es:
∆x= 0.07cm
Ahora, para que se cumpla la segunda regla de redondeo, tendr´ıamos que el valor central es: ¯
x= 1.23cm
As´ı, la forma correcta de denotar el resultado obtenido ser´ıa:
x= (1.23±0.07)cm
Ejemplo 2.Considere las siguientes dos mediciones realizadas en un laboratorio de alta precisi´on: Cantidad medida Valor central Incertidumbre absoluta
Masa (m) 1842365952 kg 528314723 kg Longitud (x) 0.00000009237 m 0.00000000057 m
Reexpr´eselas de forma adecuada. Soluci´on:
Observemos que el valor central y la incertidumbre absoluta de la masa medida son valores bastante grandes. Al reexpresarlos en notaci´on cient´ıfica, tenemos que
¯
m= 1.842365952×109kg ∆m= 5.28314723×108 kg Al considerar la primera regla de redondeo, tenemos que
∆m= 5×108 kg
Sin embargo, al observar el valor central dem, podemos darnos cuenta que no hay concordancia en el orden de ambas cantidades (el valor central est´a en un orden mayor que la incertidumbre), por lo cual ser´a necesario, o bien disminuir el orden de magnitud del valor central, o aumentar el orden de magnitud de la incertidumbre. Aumentando el orden de la incertidumbre, tenemos que:
∆m= 0.5×109 kg
Ahora que concuerdan los ´ordenes de magnitud, podemos aplicar la segunda regla de redondeo, obteniendo como valor central:
¯
m= 1.8×109 kg
Finalmente, la forma m´as adecuada de expresar el resultado obtenido ser´ıa:
m= (1.8±0.5)×109 kg
Obs´ervese que el orden de magnitud est´a fuera de los valores encerrados en par´entesis, ya que es com´un tanto para el valor central como para la incertidumbre.
Al tomar en cuenta las mismas consideraciones previas, para la longitud tendr´ıamos que una forma adecuada de expresarla ser´ıa:
x= (924±6)×10−10 m
7.
Determinaci´
on de errores en mediciones directas
Como se ha mencionado previamente, al realizar una medici´on debemos indicar una estimaci´on del error asociado a la misma, ya que no conocemos con certeza el valor verdadero, lo que conocemos es un rango donde se puede ubicar ese valor. As´ı, por ejemplo, para poder realizar la estimaci´on del error al realizaruna sola medici´on directa, consideraremos que el valor central (¯x) es el valor medido directamente, y que el error (∆x) coincide con lasensibilidad del instrumento.
Al realizar mediciones directas, se pueden suscitar situaciones en las cuales la sensibilidad del instrumento de medici´on resulta ser insuficiente para poder obtener un valor central que concuerde con el valor real de la medici´on de una cantidad f´ısica. De ser ese el caso, lo ideal ser´ıa hacer uso de otro instrumento de medici´on de mayor sensibilidad; sin embargo, en muchas ocasiones resulta muy dif´ıcil (o imposible) poder conseguir esa clase de instrumentos, por lo cual resulta necesario aplicar criterios para la publicaci´on de un resultado experimental.
Ejemplo
Se mide la longitudxde una varilla por medio de una cinta m´etrica graduada en cent´ımetros, como se observa en la figura 3. A partir de lo observado, escriba la medici´on obtenida de forma adecuada.
Figura 3. Medici´on directa de una varilla.
De lo que se observa en la figura 3, se puede decir que la varilla tiene una longitud de aproximadamente 4 cm. Sin embargo, al ampliar el rango de visi´on, nos damos cuenta que el valor verdadero de longitud de la varilla recae en un punto que no se puede cuantificar mediante el instrumento de medici´on disponible, por lo cual, para obtener el valor central de la longitud de la varilla, se necesita aplicar un criterio consensuado que contemple qu´e hacer con la medici´on en este caso (ya que no ser´ıa correcto decir que su valor central recae en 4.05 o 4.06 cm, debido a que el instrumento de medicion no posee la sensibilidad suficiente para poder medir cent´esimas de cent´ımetro.). Un ejemplo del uso de un criterio consensuado, ser´ıa observar que la varilla tiene su extremo derecho m´as cercano al valor de 4.1 cm en el instrumento de medici´on, por lo que podemos afirmar que la medici´on quedar´ıa expresada como
x= (4.1±0.1)cm
De haber obtenido que dicho extremo es m´as cercano a la escala de 4 cm, la medici´on hubiese quedado expresada como
x= (4.0±0.1)cm
8.
Propagaci´
on de errores
8.1.
M´
axima incertidumbre posible
El fundamento b´asico de la teor´ıa de propagaci´on de errores establece que cualquier medida indirec-ta deber´ıa expresarse proporcionando el m´aximo intervalo de incertidumbre posible que se puede obtener combinando las incertidumbres de las medidas originales involucradas.La incertidumbre m´axima posible es-perada ser´a la mitad de la diferencia del valor m´aximo y m´ınimo de la medici´on obtenida indirectamente. Matem´aticamente, para la medici´on de una cantidadxesto se expresa como:
∆x= xmax−xmin 2 Ejemplos
Ejemplo 1.El volumen de un cilindro hueco puede calcularse mediante la expresi´on:
V =π 4h(D
2−d2) Si h,D ydse han medidode forma directa, de manera que:
h = (12.1±0.3) cm D = (5.3±0.6)cm
calcule el volumen del cilindro, as´ı como su incertidumbre absoluta. Soluci´on:
El valor central deV depende de los valores centrales de las cantidades medidas directamente; en este caso, de los valores centrales deh,D yd. Con esto, tenemos que:
¯
V =π 4 ¯
h( ¯D2−d¯2) Reemplazando los valores centrales de los datos dados, tenemos que:
¯
V =π
4(12.1)(5.3 2
−2.82) = 192.442185cm3
Los valores m´aximos y m´ınimos dependen de los valores centrales e incertidumbres de las cantidades medidas directamente. Con esto, tenemos que para cada medici´on directa hay un valor m´aximo y un valor m´ınimo, dado de la siguiente manera:
qmax= ¯q+ ∆q qmin= ¯q−∆q
dondeqrepresenta cualquiera de los tres valores medidos directamente de los cuales dependeV. As´ı, el valor m´aximo deV est´a dado por:
Vmax= π 4hmax(D 2 max−d 2 min) = π 4(12.1 + 0.3)[(5.3 + 0.6) 2−(2.8−0.1)2] Vmax= 268.0155525cm3
Obs´ervese que para queV sea m´aximo en la ecuaci´on anterior, es necesario quedsea m´ınimo, mientras las otras cantidades sean m´aximas. De la misma manera, para que V sea m´ınimo en la siguiente ecuaci´on, es necesario quedsea m´aximo, mientras los otros valores sean m´ınimos. Como resultado, el valor m´ınimo deV
queda: Vmin= π 4hmin(D 2 min−d 2 max) = π 4(12.1−0.3)[(5.3−0.6) 2−(2.8 + 0.1)2] Vmin= 126.7821131 cm3
Con los resultados obtenidos, tenemos que la incertidumbre absoluta deV est´a dada por: ∆V =268.0155525−126.7821131
2 ∆V = 70.6167197cm3
Aplicando las reglas de redondeo, tenemos que:
∆V = 7×101cm3 V¯ = 19×101 cm3 Obteniendo como resultado:
V = (19±7)×101cm3
Ejemplo 2. La constante el´astica k para un resorte helicoidal cil´ındrico est´a dada en t´erminos de sus dimensiones y el material del que est´a hecho por:
k= Gd 4
8nD3
dondedes el di´ametro del alambre,D es el di´ametro medio,nes el n´umero de vueltas del resorte y Ges el m´odulo de elasticidad del material del alambre. Calculeka partir de los siguientes datos:
d= (0.0890±0.0005) cm D= (1.110±0.005)cm n= 115 vueltas G= (79±3)×104 N/cm2
Soluci´on:
El valor central dekestar´ıa dado por:
¯
k= ¯
Gd¯4
8nD¯3
Reemplazando los valores centrales de los datos dados, tenemos que:
¯ k = (79×10 4)(0.0890)4 8(115)(1.110)3 ¯ k = 0.039394N/cm
El valor m´aximo de k est´a dado por:
kmax= Gmaxd4max 8nD3 min =(82×10 4)(0.0895)4 8(115)(1.105)3 kmax= 0.04238686847N/cm
Obs´ervese que para queksea m´axima en la ecuaci´on anterior, es necesario que el numerador de la expresi´on sea m´ınimo, mientras que el denominador sea m´aximo. Se cumple lo contrario para lakm´ınima:
kmin= Gmind4min 8nD3 max = (76×10 4)(0.0885)4 8(115)(1.115)3 kmax= 0.03655731118N/cm
Con los resultados obtenidos, tenemos que la incertidumbre absoluta dekest´a dada por: ∆k=0.04238686847−0.03655731118
2
∆k= 0.002914778643N/cm
Aplicando las reglas de redondeo, tenemos que:
∆k= 0.003N/cm ¯k= 0.039N/cm
Obteniendo como resultado:
k= (0.039±0.003)N/cm
8.2.
Errores sistem´
aticos
Aplicando el concepto de m´axima incertidumbre posible, se pueden deducir las siguientes reglas para el c´alculo de errores sistem´aticos en casos especiales:
1. Al tener una cantidadq que depende de la suma o resta de dos cantidades medidas xy y
(q=x+y oq=x−y).
El valor central queda expresado en la forma ¯q= ¯x+ ¯yo ¯q= ¯x−y¯, seg´un sea el caso. La incertidumbre absoluta deqqueda expresada en la forma ∆q= ∆x+ ∆y, independientemente de siq depende de una suma o una resta de dos cantidades medidas.
2. Al tener una cantidad q que depende de cantidades medidas expresadas en la forma
q= kx ayb
zc , con a, b, c y k constantes.
El valor central queda expresado en la forma q = k(¯x) a(¯y)b
(¯z)c . La incertidumbre absoluta de q queda expresada en la forma ∆q≈q¯ha∆x ¯ x +b∆y ¯ y +c∆z ¯ z i .
Es importante resaltar que ambas reglas parten de una deducci´on con base en c´alculo diferencial, lo cual implica que su rango de aplicaci´on se limita a fen´omenos f´ısicos cuantificables de forma infinitesimal. Ejemplo:
Calcule de nuevo la incertidumbre del ejemplo 2 de la secci´on 8.1 de la gu´ıa, ahora haciendo uso de la propagaci´on de errores sistem´aticos.
Soluci´on:
De acuerdo con la regla 2 para el c´alculo de errores sistem´aticos, la incertidumbre absoluta de k se puede expresar como: ∆k≈k¯h∆¯G G + 4∆¯d d + 3∆¯D D i
Notar´a que la incertidumbre denno aparece en la ecuaci´on, ya quenno tiene una incertidumbre registrada experimentalmente.
Reemplazando valores centrales e incertidumbres, tenemos que: ∆k ≈ (0.039394)h 3×10 4 79×104 + 40.0005 0.0890 + 30.005 1.110 i ∆k ≈ 0.002913584462N/cm
Aplicando las reglas de redondeo, tenemos que:
∆k≈0.003N/cm ¯k= 0.039N/cm
Obteniendo como resultado:
k= (0.039±0.003)N/cm
9.
Error estad´ıstico
Si tenemos un conjunto de N mediciones (directas o indirectas)de una misma magnitud, podemos calcular un valor central y su respectiva incertidumbre por medio de an´alisis estad´ıstico. El valor central para un conjunto de mediciones reiteradas de una misma magnitud est´a dado por:
¯ x= N X i=1 xi N (3)
esto es, la suma de todas las mediciones realizadas, divididas entre la cantidad de mediciones.
La incertidumbre estad´ıstica est´a dada por la magnitud absoluta de la diferencia entre cada uno de los valores medidos y el valor central (o promedio de todas las mediciones). Matem´aticamente se puede expresar como:
∆x= N X i=1 |xi−x¯| N (4)
Ejemplo
Se tienen las siguientes mediciones indirectas:
Longitud (x) x1 x2 x3 x4 x5 (µm) 67.6 67.8 68.2 67.2 66.7
Determine el valor de x. Soluci´on:
Se puede afirmar que los datos descritos anteriormente son mediciones reiteradas de una misma cantidad, ya que no presentan un orden creciente o decreciente, sino que son valores cercanos entre s´ı; por lo tanto, pode-mos aplicar an´alisis estad´ıstico para obtener el valor central y la incertidumbre asociadas a estas cantidades medidas. A partir de la teor´ıa, tenemos que el valor central est´a dado por:
¯
x=67.6 + 67.8 + 68.2 + 67.2 + 66.7 5
¯
x= 67.5 µm
y el error estad´ıstico est´a dado por:
∆x= |67.6−67.5|+|67.8−67.5|+|68.2−67.5|+|67.2−67.5|+|66.7−67.5| 5 ∆x=|0.1|+|0.3|+| −0.3|+| −0.3|+|0.2| 5 ∆x=0.1 + 0.3 + 0.3 + 0.3 + 0.2 5 ∆x= 0.24µm
Considerando las reglas de redondeo, el resultado final queda:
x= (67.5±0.2)µm
10.
Discrepancia y comparaci´
on con valores te´
oricos
10.1.
Discrepancia
Se dice que haydiscrepancia entre dos mediciones si estas difieren entre s´ı de manera sustancial. Defini-remos matem´aticamente a la discrepancia como la diferencia absoluta entre dos mediciones de una misma cantidad.
La discrepancia puede llegar a ser significativa o no, seg´un sea el comportamiento de los datos experimentales obtenidos. Al analizar la figura 4a, podemos darnos cuenta que la discrepancia es significativa, ya que los valores medidos no son compatibles entre s´ı de ninguna manera. Una de las mediciones (o bien, ambas) est´an erradas y es necesaria una revisi´on de los datos y el procedimiento experimental ejecutado para ver qu´e erro-res se pudieron haber cometido. En la figura 4b, la discrepancia no es significativa, ya que los intervalos de incertidumbre de ambas mediciones se traslapan, por lo cual ambas mediciones pueden ser correctas.
10.2.
Comparaci´
on con valores te´
oricos
Es importante reconocer que concluir a partir del resultado de una sola medici´on es de absolutamente poco inter´es. Una conclusi´on relevante parte de la comparaci´on de dos o m´as resultados: una medici´on con el valor verdadero, una medici´on con un valor te´orico propuesto, o muchas mediciones, para mostrar que hay concordancia entre los resultados de dichas mediciones y una ley f´ısica.
Matematem´aticamente, esta comparaci´on se realiza de la siguiente manera: %= |qteorico−qexperimental|
qteorico
×100 %
Esta comparaci´on representa de manera cuantitativa el nivel de error de exactitud que tiene un resultado experimental.
Ejemplo
Se realizaron tres mediciones de la velocidad del sonido en el aire en un laboratorio. Una medici´onAdio como resultado (329±5) m/s, la medici´onBdio como resultado (325±5) m/s, y la medici´onCdio (345±2) m/s. Estime cu´al de las medidas es la m´as exacta, si el valor te´orico aceptado de la velocidad del sonido en el aire es de 331 m/s. Soluci´on: Para la medici´onA: %A= |331−329| 331 ×100 % = 0.60 % Para la medici´onB: %B = |331−325| 331 ×100 % = 1.81 % Para la medici´onC: %C = |331−345| 331 ×100 % = 4.23 %
A partir de los resultados obtenidos, se concluye que el valor m´as consistente es el obtenido a partir de la medici´on A.
11.
Ajuste de datos
11.1.
Linealizaci´
on de funciones
La linealizaci´on se refiere al proceso matem´atico de encontrar una aproximaci´on lineal a una funci´on. Esto implica expresar una funci´on no lineal de cualquier clase en t´erminos de una funci´on lineal de la forma
y=ax+b. Ejemplos
Ejemplo 1.Sea la funci´on
x= y−b
a
Los valoresxyyfueron obtenidos a partir de un procedimiento experimental. Linealice la funci´on, de manera queasea la pendiente de la nueva funci´on.
Soluci´on: Una forma de linealizar la funci´on, es enviando a multiplicar el denominador del lado derecho de la ecuaci´on por lo del lado izquierdo de la misma:
Finalmente, al pasarb a sumar al otro lado de la ecuaci´on, ya tenemos nuestra funci´on linealizada. Ejemplo 2.Sea la funci´on
u(v) =A sen(kv−φ)
en la cual el argumento senoidal est´a acotado a un conjunto de valores espec´ıficos y 1≤A≤u. Linealice la funci´on, de manera que ksea la pendiente de la nueva funci´on, y que quede evidenciada la interdependencia entre las variables uyv.
Soluci´on:
Empezaremos despejando para la funci´on seno (ya que en su argumento est´a contenida la variable k, que ser´a la nueva pendiente), obteniendo como resultado
u
A =sen(kv−φ)
Podemos calcular el arcoseno a ambos lados de la ecuaci´on, ya que el argumento senoidal est´a acotado; con esto tenemos: sen−1u A = sen−1(sen(kv−φ)) sen−1u A = kv−φ
De esta manera hemos linealizado la funci´on. Es relativamente sencillo notar que, en t´erminos de una funci´on de la formay=ax+b, para la funci´on que acabamos de linealizar y=sen−1u
A
,x=v,a=kyb=−φ. Adem´as, queda evidenciada la interdependencia entre las variables uyv, ya que en la linealizaci´on se han ordenado de manera que u contin´ua siendo dependiente de v y viceversa (de la misma manera en que y
depende de xy viceversa en una funci´on lineal).
Ejemplo 3.Un capacitor es un elemento el´ectrico capaz de “almacenar” voltajeVT a medida que transcurre el tiempo. Al desconectarlo de la alimentaci´on, el voltaje almacenado disminuye a medida que transcurre el tiempo mediante la funci´on
V(t) =VTe−t/τ
Suponga que en un procedimiento experimental, usted midi´o los valores de voltaje V(t) y tiempo t, y que adem´as, conoc´ıa la magnitud deVT. Linealice la funci´on, de manera que la pendiente seaτ.1
Soluci´on:
Partiremos dejando “solo” el t´ermino que contiene aτ. Para esto, VT pasa a dividir al lado izquierdo de la ecuaci´on, obteniendo:
V(t)
VT
=e−t/τ
Calculando el logaritmo natural a ambos lados de la ecuaci´on, tenemos: lnV(t) VT = ln(e−t/τ) lnV(t) VT = −t τ
Finalmente, pasandoτ al lado izquierdo de la ecuaci´on:
−t=τlnV(t)
VT
En analog´ıa a la forma b´asica de una funci´on lineal (y=ax+b), podemos notar quey=−t,x= lnV(t)
VT
,
a=τ yb= 0, por lo cual vemos que la funci´on ha quedado linealizada.
1τ es la constante de carga y descarga de un capacitor. Establece el tiempo en que un capacitor se carga o descarga en un 67 %
11.2.
Regresi´
on lineal
La regresi´on lineal es una t´ecnica num´erica en la que dados un conjunto de pares ordenados (variable independiente y variable dependiente), se intenta encontrar una funci´on lineal continua que mejor se aproxime al comportamiento de los datos.
Mediante la regresi´on lineal, buscamos construir unafunci´on de ajuste con la formay=ax+b. El m´etodo nos permite calcular los valores de los par´ametros a y b con sus errores absolutos. Los pares ordenados, representados porxyy, son un conjunto de mediciones obtenidas experimentalmente, sea de manera directa o indirecta.
Es importante hacer notar queno todo arreglo de datos se puede describir de forma lineal, por lo que previo a realizar un proceso de regresi´on lineal, es necesario comprobar que los pares ordenados de datos experimentales recopilados se comportengr´aficamente de forma lineal con base en un modelo matem´atico dado a partir de una linealizaci´on.
11.2.1. Resumen de f´ormulas a= N Px iyi−PxiPyi NPx2 i − Px i 2 b= Px2 i Py i−PxiPxiyi NPx2 i − Px i 2
Para calcular las incertidumbres, primero calculamos el factorSy, definido como sigue:
Sy=
r P
[f(xi)−yi]2
N−2 dondef(xi) =axi+b, ayb obtenidos previamente.
Para calcular los errores de los par´ametrosaybutilizamos las siguientes ecuaciones:
∆a=Sy s N NP x2 i − P xi 2 ∆b=Sy s P x2 i NP x2 i − P xi 2
La correlaci´on permite verificar de forma cuantitativa la relaci´on que hay entre los puntos que represen-tan datos experimentales y un modelo lineal asociado a dichos puntos. La correlaci´on puede tener valores entre -1 (si la pendiente del modelo es negativa) y 1 (si la pendiente del modelo es positiva), y entre m´as cercana se encuentre a dichos valores, se puede decir que hay mayor correlaci´on entre los datos experimentales y su respectivo modelo lineal.
r= N P xiyi−PxiPyi q NPx2 i − Px i 2q NPy2 i − Py i 2 Ejemplo
A un resorte de masa despreciable que obedece a la ley de Hooke, se le cuelgan diferentes masas, las cuales provocan diferentes elongaciones del resorte, como se describen en la siguiente tabla:
Longitudl (m) 0.420 0.484 0.513 0.563 0.586
Masam(kg) 2 4 6 8 10
Asumiendo que la aceleraci´on de la gravedad es 9.8 m/s2 y que la fuerza necesaria para estirar el resorte est´a dada pormg=k(l−l0):
2. Mediante regresi´on lineal, calcule la pendiente, el intercepto y las incertidumbres asociados a los datos medidos experimentalmente. Adem´as, calcule la correlaci´on entre la recta de ajuste y dichos datos. Concluya con respecto al resultado de correlaci´on obtenido.
3. A partir de los valores dea,b, ∆ay ∆bobtenidos en el inciso anterior, calcule la constante el´astica de resorteky la longitud del resorte sin estirarl0 y sus respectivas incertidumbres.
Figura 5. Comportamiento gr´afico de los datos medidos experimentalmente. Soluci´on:
1. Como se pretende hallar el valor de k en el inciso 2, resulta conveniente pasarla al lado izquierdo de la ecuaci´on a dividir, para que esta forma parte de la pendiente de la funci´on de ajuste, y los valores demsean equivalentes a los valores dexen una funci´on lineal. Con esto obtenemos
mg
k =l−l0
Al pasar a sumarl0, ya tendr´ıamos la funci´on linealizada:
l=mg
k +l0
con x=m,y=l,a=g/kyb=l0.
2. Tras comprobar que los pares de datos se comportan de manera lineal conforme al modelo deducido en el inciso 1 (figura 5), se realiza el proceso de regresi´on lineal, considerando quex=myy=l. Para poder calcular la pendiente ay el interceptob, se hace uso de una tabla para agrupar los c´alculos a realizar:
i xi yi x2i xiyi 1 2 0.420 4 0.840 2 4 0.484 16 1.936 3 6 0.513 36 3.078 4 8 0.563 64 4.504 5 10 0.586 100 5.860 P 30 2.566 220 16.218
Obs´ervese que en la ´ultima fila de la tabla se calcularon las sumas de cada columna. Esos valores son los que debemos utilizar para calcular los par´ametrosayb. Adem´as, obs´ervese que el valor deN a utilizar en las ecuaciones de regresi´on lineal corresponde a la cantidad de pares de datos analizados. Utilizando las ecuaciones mostradas previamente, procedemos a calcular los valores con sus respectivos errores:
a= 5(16.218)−(30)(2.566)
5(220)−(30)2 = 0.02055
b= (220)(2.566)−(30)(16.218)
5(220)−(30)2 = 0.3899
f(x) = 0.021x+ 0.39
Al evaluar la funci´onf(x), con los valores de xi de la tabla anterior, podemos encontrar las incertidumbres asociadas a la pendiente y al intercepto de la funci´on de ajuste. Podemos agrupar dichos c´alculos en otra tabla:
i f(xi) f(xi)−yi [f(xi)−yi]2 y2i 1 0.432 0.012 1.44×10−4 0.1764 2 0.474 -0.010 1×10−4 0.2343 3 0.516 0.003 0.09×10−4 0.2632 4 0.558 -0.005 0.25×10−4 0.3270 5 0.600 0.014 1.96×10−4 0.3434 P - - 4.74×10−4 1.3443
CalculandoSy y las incertidumbres: Al realizar estos c´alculos obtenemos los resultados siguientes:
Sy = r 4.74×10−4 5−2 = 0.0126 ∆a = 0.0126 s 5 5(220)−(30)2 = 0.00199 ∆b = 0.0126 s 220 5(220)−(30)2 = 0.013 Reexpresando de forma adecuada los resultados obtenidos:
a= 0.021±0.002 b= 0.39±0.01 Finalmente, calculando la correlaci´on:
r= p 5(16.218)−(30)(2.566) 5(220)−(30)2p
5(1.3443)−(2.566)2 = 0.7848
Por la naturaleza de los modelos lineales emp´ıricos a tratar en el estudio de la f´ısica, se consideran aceptables porcentajes de correlaci´on de 80 % (-0.8 o 0.8, seg´un sea el caso) o mayores, por lo cual se concluye que el procedimiento experimental puede ser mejorado para que los datos experimentales se ajusten mejor al modelo planteado.
3. En el inciso 2, se hallaron los valores asociados al modelo lineal a partir de pares ordenados de datos obtenidos experimentalmente; sin embargo, a´un queda pendiente encontrar los par´ametros f´ısicos requeridos del procedimiento experimental (el valor de la constante el´astica del resorte y la longitud sin estirar del resorte). Para poder encontrar dichos valores, hay que recordar que:
a= g
k b=l0
Para la primera ecuaci´on, a partir de la regresi´on lineal se determin´o el valor dea, adem´as de que la aceleraci´on de la gravedadg fue suministrada como dato previamente, por lo que la ´unica inc´ognita ser´ıa la constantek, con lo cual tendr´ıamos que:
k= g
a =
9.8
0.021 = 466.667N/m
Para la segunda ecuaci´on, a partir de la regresi´on lineal se determin´o el valor deb, que en este caso resulta equivalente al valor de la longitud del resorte sin estirar, por lo que:
Para la obtenci´on de las incertidumbres asociadas akyl0podemos hacer uso de la teor´ıa de propagaci´on de errores. Podemos notar que kdepende deayg, por lo que su incertidumbre estar´ıa dada por
∆k≈kh∆g g +∆a a i
Como en este caso el valor de ges una constante dada, podemos asumir que ∆g= 0, y as´ı tendr´ıamos que: ∆k≈k∆a a = 466.670.002 0.021 = 44.44N/m Comol0=b, entonces ∆l0= ∆b y: ∆l0= 0.01m As´ı obtenemos finalmente:
k= (46.7±4)×101 N/m l
0= (0.39±0.01)m
11.3.
Lineamientos para construcci´
on de gr´
aficas de ajustes lineales
La representaci´on gr´afica de los fen´omenos f´ısicos a estudiar durante las pr´acticas de laboratorio debe ajustarse a los siguientes lineamientos:
De ser desarrolladas a mano, las gr´aficas deben realizarse en papel milimetrado con los ejes bien trazados, indicando la magnitud f´ısica representada en las unidades en que ha sido medida. La ubicaci´on de dicha informaci´on puede ser al centro de cada eje o cerca de las flechas que indican continuaci´on de los mismos. El t´ıtulo de la gr´afica debe ser claro y conciso y deber´a ir ubicado en la parte superior de la misma. La variable independiente del fen´omeno estudiado debe ir representada en el eje de las abscisas (eje horizontal) y la dependiente en el eje de las ordenadas (eje vertical).
Las escalas, sobre ambos ejes, han de permitir una lectura r´apida y sencilla. Estas se han de definir mediante intervalos (como 1 en 1, 5 en 5, etc.).
Las escalas deben abarcar todo el intervalo de medidas realizadas y solo el citado intervalo.
Sobre los ejes solo se indican los valores correspondientes a las divisiones enteras de la escala (que han de quedar uniformemente espaciadas). Nunca se se˜nalan los valores asociados a las medidas realizadas. Los valores medidos se representan sobre la gr´afica por el punto correspondiente a sus dos coordenadas (punto experimental).
Las gr´aficas de las funciones de ajuste han de ser l´ıneas rectascontinuas que siguen la tendencia gr´afica que tienen los datos medidos experimentalmente.
Bajo ninguna circunstancia se deben graficar segmentos de recta que unan los puntos que representan los datos experimentales.
Ejemplo
Realice la gr´afica de los datos experimentales y la funci´on de ajuste del ejemplo de la secci´on 11.2, de manera que se ajuste a los lineamientos para construcci´on de gr´aficas.
Soluci´on: Usualmente, junto con todo el proceso de regresi´on lineal se requiere un bosquejo gr´afico de dicho procedimiento. Para el caso del ejemplo de la secci´on 11.2, este se representar´ıa como en la figura 7.
Figura 7. Representaci´on gr´afica adecuada del ejemplo de la secci´on 11.2.
Referencias
[1] Suazo, M.,Mediciones e Incertidumbres. UNAH.
[2] Taylor, J.An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Phyisical Measurements, 2da Edici´on, University Science Books, Sausalito California.
[3] Labs for College Physics: Mechanics. 2da edici´on. North Carolina State University Physics Department. http://www.webassign.net/labsgraceperiod/ncsulcpmech2/appendices/appendixB/ appendixB.html
