ECUACIONES DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE, M.A.S.:

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MOVIMIENTO OSCILATORIO

ECUACIONES DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE, M.A.S.:

Entre los movimientos vibratorios el movimiento más simple que nos podemos encontrar es el llamado M.A.S. (Movimiento Armónico Simple). Este tipo de movimiento consiste en oscilaciones donde no aparecen fuerzas exteriores ni rozamientos de ningún tipo, por tanto el movimiento que se establezca inicialmente se mantendrá a lo largo de la variable temporal indefinidamente. En este caso las ecuaciones del movimiento que vamos a obtener inmediatamente son las más sencillas posibles par un movimiento de estas características. Sin embargo, como va siendo una costumbre, serán solución de una ecuación diferencial, que tendríamos que resolver, aunque nosotros propondremos una posible solución que inmediatamente comprobaremos que es acertada, porque satisface la ecuación diferencial.

 Una de las constantes del tratamiento de realidad desde el punto de vista físico, es ante un problema que se nos presente, proponer la ecuación diferencial que lo describe, introduciendo los parámetros necesarios para su completa y fehaciente descripción. Un ejemplo claro de este planteamiento en la que en los primeros cursos de carrera se le suelen hacer caso omiso, es la segunda ley de Newton, la cual es una ecuación diferencial de segundo orden del vector de posición. Y las ecuaciones que hemos encontrado al integrarla, son las soluciones de la ecuación diferencial; éstas son las ecuaciones del movimiento.

Este es el planteamiento que vamos a seguir para abordar el problema del Movimiento Oscilatorio.

Primero, vamos a plantear la ecuación diferencial, precisamente, a través de la segunda ley de Newton, y después, como no vamos a saber resolverla (integrarla directamente), haremos una propuesto de posible solución, que casualmente será acertada.

Supongamos que estamos ante un resorte o muelle. Como ya hemos visto éste tiene una fuerza recuperadora (conservativa) proporcional al desplazamiento que se de él respecto del punto de equilibrio.

donde x, es el desplazamiento respecto de la posición de equilibrio, y k es una constante de proporcionalidad, característica de cada muelle. Por simplicidad haremos que el

.

2 2 1 0 0 2 2

acelerado

e

unif orment

movimiento

un

para

t

m

F

v

r

r

dt

r

d

m

F

kx

F

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muelle se mueve a lo largo del eje x, si es horizontal. Sin embargo una generalización de la ecuación anterior sería sustituir el módulo de la fuerza por su vector, y la componente en el eje x, por el vector desplazamiento.

Si la única fuerza que interviene en el muelle es la fuerza recuperadora, entonces la resultante de las fuerzas será la expresión anterior, y ésta es a su vez la masa del objeto que haya en el extremo del muelle por la aceleración que adquiere:

La solución para esta ecuación diferencial es sinuosidad, que se estudia en las asignaturas propias de matemáticas. La solución es una combinación lineal de la función seno y coseno:

Sin embargo se suele utilizar una solución más compacta, desde la cual se puede llegar a esta última, sin más que utilicemos las relaciones trigonométricas de suma. Esta ecuación del movimiento armónico simple es la siguiente:

Con esta ecuación se describe perfectamente el movimiento armónico, mientras el objeto oscila hacia delante y hacia atrás, la coordenada x varía de forma sinuosidad con el tiempo.

m

k

C

v ale

que

constante

una

es

C

donde

Cx

dt

x

d

x

m

k

dt

x

d

k x

dt

x

d

m

k x

dt

x

d

m

dt

x

d

m

dt

dv

m

ma

F

k x

F

0

0

0

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

C

donde

t

b

t

a

x

sen(

)

cos(

)

)

cos( t

A

x

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- La letra a mayúscula que multiplica al coseno es la amplitud de la oscilación, esto es la máxima elongación posible.

- El argumento que hay dentro del coseno es la fase de la oscilación, donde aparece la frecuencia angular, que mide los ciclos por segundo multiplicado por dos pi radianes; dando cuenta su valor de la rapidez con que suceden las oscilaciones. El segundo sumando corresponde con un desfase inicial, que se contempla en el momento que comienza la oscilación.

Una característica propia de cualquier movimiento oscilatorio, incluido el M.A.S., es que el movimiento se repite cada cierto tiempo característico, denominado periodo T. Esto es, el objeto experimenta un ciclo completo de su movimiento cada intervalo de tiempo T. Así pues, para un ciclo completo, la fase aumenta en dos pi radianes mientras el tiempo t aumenta en T, es decir:

El periodo T es inversamente proporcional a la frecuencia angular. De forma que cuanto mayor es la frecuencia angular menor es el periodo, y el objeto completa más

rápidamente un ciclo.

Conocemos otras magnitudes que se relacionan entre sí:

Los radianes y los ciclos son adimensionales, así que tanto la frecuencia como la

frecuencia angular tienen la misma dimensión: tiempo-1. Sin embargo las unidades en el sistema internacional son bien diferentes:

La velocidad y la aceleración de un objeto que ejecuta un M.A.S. puede encontrarse aplicando los procedimientos de cinemática desarrollados en los capítulos precedentes. Derivando con respecto el tiempo cada una de las expresiones que correspondan. Procedamos:

cos

0

x

x

0

A

t

Cuando

2

:

2

T

tanto

Por

t

T

t

2

1

T

de

caso

el

en

s

ciclo

Hz

de

caso

el

en

s

rad

)

(

.

t

A

dt

x

d

a

t

A

dt

dx

v

x x

c os

sen

2 2 2

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La derivada de una función que varía sinusoidalmente es a su vez la función que varía sinusoidalmente con la misma frecuencia. Así pués la velocidad y la aceleración oscilan con la misma frecuencia que lo hace la posición. Los valores máximos tanto de la posición velocidad como la aceleración, son los siguientes:

Otro efecto que aparece después de tomar cada derivada, es un cambio de fase de pi medio radianes o 90º.

Si nos fijamos, encontramos que existe una relación directa entre la posición de un objeto que ejecuta un M.A.S. y su aceleración:

La aceleración y el desplazamiento del objeto tienen direcciones opuestas, y sus módulos son proporcionales. Esta relación se utiliza para indentificar un sistema que experimenta un M.A.S..

OBTENCIÓN DE Ф Y A, A PARTIR DE LAS CONDICONES INICIALES:

A menudo, cuando tratamos con un sistema que experimenta un M.A.S., los valores de Ф y de A no se miden directamente, sin embargo, se conocen los valores de x0 y v0. Las magnitudes anteriores se denominan condiciones iniciales. Vamos a ver ahora cómo se determinan Ф y A a partir de las condiciones iniciales. Haciendo t=0 en las ecuaciones del movimiento y de la velocidad, encontramos que:

A

a

A

v

A

x

max max max 2

x

a

t

A

x

que

sabemos

lado

otro

Por

t

A

dt

x

d

a

x x 2 2 2 2

cos

:

,

cos

sen

cos

0 0

A

v

A

x

x

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Estas ecuaciones proporcionan x0 y v0 en función de Ф y A, sin embargo, lo que queremos es todo lo contrario. Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, por tanto es resoluble nuestro problema. Si dividimos la primero ecuación con la segunda, podemos eliminar A y despejar Ф.

Seguidamente hallaremos A eliminando Ф, para ello elevamos al cuadrado cada una de las ecuaciones iniciales, y las sumamos, teniendo la relación trigonométrica que es igual a la unidad:

ENERGÍA DE UN M.A.S.:

La fuerza recuperadora debida a un muelle o resorte es una fuerza conservativa, porque en una circulación donde coincide el estado inicial y final del proceso, el trabajo realizado por el muelle es nulo. Por tanto podemos hablar de que en un movimiento oscilatorio (también para el caso gravitatorio) de energía potencial, además la expresión de la energía potencial en un muelle ya la conocemos:

0 0 0 0

tg

:

tg

cos

sen

x

v

acr

Despejando

A

A

x

v

x x 2 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0

1

:

1

cos

sen

sen

)

(

cos

x x x

v

x

A

A

x

A

v

obtenemos

utilizando

y

A

v

A

x

t

kA

t

A

k

kx

U

2 2 2 1 2 2 1 2 2 1

cos

cos

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Igualmente, podemos hacer uso de la expresión de la velocidad de un movimiento oscilatorio simple para encontrar la energía cinética:

El valor máximo del cuadrado de una función seno o coseno es la unidad, de modo que podemos expresar estas energías como:

En un sistema oscilante sin fuerzas exteriores, solamente la fuerza del muelle produce trabajo, en consecuencia, la energía mecánica del oscilador viene dada por:

La energía mecánica del oscilador es constante, y por tanto una prueba más de que el oscilador armónico simple e un sistema conservativo.

MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO:

Consideremos un bloque colgado de un muelle y oscilando verticalmente en torno a la posición de equilibrio y=0. Tanto en este apartado como en el siguiente, vamos a

t

A

m

K

21 2 2

sen

2 max max max max max max max

U

K

kA

A

m

k

m

A

m

K

m

k

como

A

m

K

kA

U

donde

t

K

K

t

U

U

2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2

)

(

sen

cos

2 2 1 2 2 2 2

cos

sen

cos

sen

kA

U

K

t

t

K

t

U

t

K

U

K

E

max max max max max

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realizar el estudio del movimiento, buscando esencialmente la ecuación del movimiento. Para ello, iniciaremos el planteamiento utilizando la segunda ley de Newton, realizando un recuento de todas la fuerzas que intervienen en nuestro problema. De esta segunda ley obtendremos una ecuación diferencial de la posición de segundo orden, la cual no será capaz de integrar; sin embargo podemos optar, a proponer una posible solución y comprobar a posteriori que es solución de la ecuación diferencial, simplemente porque la satisface. Después de comprobar este punto, procederemos a analizar la solución supuesta y verifica y a proponer, si es posible, soluciones más generales o diferentes, estudiando su interpretación física.

Segunda ley de Newton en el eje vertical de nuestro bloque:

Donde hemos introducido la fuerza de amortiguamiento contraria al movimiento de la oscilación (contraria a la aceleración del sistema) como una función linealmente proporcional a la velocidad del bloque:

Una posible solución que podemos proponer para esta situación es un función coseno, como el M.A.S., dominada por una exponencial decreciente:

Estamos obligados a comprobar que es solución de la ecuación diferencial, y que condiciones se deben cumplir con los parámetro nuevos para que eso ocurra.

dt

dy

m

b

y

m

k

dt

y

d

v

m

b

y

m

k

a

ma

bv

k y

F

y y y y y 2 2

bv

F

A

t

A

e

y

t

cos

A

t

A

t

m

b

t

A

t

m

b

t

A

t

m

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t

A

t

m

k

t

A

t

t

A

t

l

diferencia

ecuación

la

en

roducimos

lo

t

A

t

t

A

t

t

A

t

t

A

t

a

t

A

t

t

A

t

v

t

A

t

y

A A A A A A A A A A A A A A A y A A A y A

sen

exp

cos

exp

cos

exp

cos

exp

sen

exp

2

cos

exp

:

int

cos

exp

sen

exp

sen

exp

cos

exp

sen

exp

cos

exp

cos

exp

2 2 2 2

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Para que sea solución de la ecuación diferencial, es condición necesaria que se cumpla lo siguiente:

Por tanto se debe cumplir:

La solución propuesta a la ecuación diferencial es para el caso en el que se confirme con los datos numéricos la siguiente desigualdad:

- Si entonces la fuerza amortiguadora impide las oscilaciones, Sobreamortiguado. 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

m

k

m

k

m

k

m

k

m

b

m

b

m

b

A A A A 2

2

m

k

m

b

A 2

2m

b

m

k

2 2m b m k

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- Si entonces está ante un Amortiguamiento crítico. Acercándose a la posición de equilibrio más rápidamente que el sobre amortiguado.

Un resumen de las tres posibles soluciones es el siguiente:

Las dos últimas grupo de ecuaciones también son soluciones de la ecuación diferencial de nuestro problema.

La primera sale del siguiente razonamiento:

m k m b 2 2 2

2

cos

exp

m

k

m

b

t

A

t

y

A A 2

2m

b

m

k

m

k

m

b

p

m

b

pt

B

pt

A

t

y

2

2

2

exp

exp

exp

m

k

m

b

2

2

m

b

m

k

Bt

A

t

y

2

exp

m

k

m

b

2

2

t

i

t

A

t

i

A

t

t

i

i

A

t

i

i

A

t

y

tanto

Por

t

i

i

t

i

i

t

i

t

i

t

que

Sabemos

m

k

donde

t

A

t

y

A A A A A A A A A A A A A

exp

exp

exp

exp

exp

exp

exp

exp

:

exp

exp

exp

exp

2

exp

exp

cos

cos

)

exp(

1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1









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Donde la nueva frecuencia angular un número complejo imaginario puro, por tanto los argumentos de las exponenciales son reales:

El segundo sale:

pt

A

pt

A

t

pt

A

pt

A

t

y

Entoces

m

k

p

donde

ip

C

A A

exp

exp

)

exp(

exp

exp

)

exp(

:

,

2 1 1 2 2

t

A

t

t

A

t

y

entonces

t

t

tanto

Por

t

t

t

utilizando

t

t

t

t

eno

del

serie

en

desarrollo

un

hace

se

como

t

A

t

y

A A A A A A A A A A A A A A A 0 0 2 0 0

cos

1

exp

cos

exp

:

cos

1

cos

sen

sen

cos

cos

cos

)

(

0

sen

1

cos

:

cos

0

cos

exp

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MOVIMIENTO ARMÓNICO FORZADO:

En este caso, a parte de la fuerza recuperadora y la fuerza amortiguada, existe un agente externo que provoca que el movimiento armónico continúe y prevalezca a medida que transcurre el tiempo. Este agente externo se expresa analíticamente:

- donde esta nueva frecuencia angular, es la frecuencia de oscilación debida a la acción externa.

- Mientras que la frecuencias anteriores conservan su identidad.

El balance dinámico de las fuerzas que actúan respetando la segunda ley de Newton se expresa:

Por lo que podemos obtener sin problemas la ecuación diferencial que describe el movimiento que estamos estudiando:

La solución a esta ecuación diferencial es la suma de dos términos, uno transitorio, y otro estacionario.

)

cos(

0

t

F

F

ext E x x E x

F

t

kx

bv

ma

F

0

cos(

)

m

b

m

k

donde

t

m

F

v

x

dt

x

d

E x

2

,

cos

2

2 0 2 2 2

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En este caso la solución completa de la ecuación diferencial de este apartado:

La parte transitoria de la solución depende de las condiciones iniciales para que se una de una forma determinada, tal como estudiamos en el apartado anterior. La parte estacionaria de la ecuación es cuando el tiempo tiende al infinito un movimiento armónico simple donde la frecuencia de oscilación es la frecuencia debida a la acción exterior, porque en este caso el movimiento que prevalece es el debido a la acción exterior.

Un caso de especial importancia es cuando coinciden la frecuencia debida a la acción exterior y la frecuencia propia del sistema, esto quiere decir que la fuerza exterior está en fase con la velocidad, por tanto esta fuerza realiza un trabajo positivo en la mayor parte del ciclo, estamos hablando que se produce una resonancia.

Una resonancia también ocurre cuando un sistema oscilante esté acoplado a otro sistema oscilante y las frecuencias sean parecidas.

2 2 2 2 2 2 2 0 0 0

2

tg

:

.

c os

c os

exp

E E E E E E E A

A

m

F

A

donde

io

Estacionar

t

A

x

o

Transitori

t

A

t

x

E E A

t

A

t

A

t

t

Figure

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