Los lugares geométricos de todos los puntos del espacio en los cuales la magnitud escalar tiene un mismo valor.

2.1 Introducción

A lo largo del estudio de la Física surgen una serie de propiedades, tanto de magnitudes escalares como vectoriales, que se expresan por medio de nuevos conceptos tales como gradiente, divergencia, laplaciana, rota

-cional, y sus relaciones con nuevas definiciones tales como flujo y circulación de un vector, así como ciertos

teoremas y transformaciones de vectores.

2.2 Concepto de campo escalar y campo vectorial. Representación gráfica.

En general, se llama campo a una magnitud física cuyo valor es función del punto del espacio que se con-sidere y del instante en que se mida.

Si la magnitud es función solamente el punto del espacio que se considere, y, por tanto, independiente del tiempo, se dice que es un campo estacionario.

Según la naturaleza de la magnitud física puede ser un campo escalar, o un campo vectorial. Campo escalar

Si se trata de un campo escalar estacionario de una cierta magnitud V, será, en general, función de las coordenadas de cada punto del espacio: V = V(x, y, z).

Las representaciones geométricas ayudan a tener una idea clara de cómo varían ciertas magnitudes físicas. Los campos escalares estacionarios suelen representarse por medio de las llamadas superficies de nivel, o

superficies equipotenciales, que se definen como:

Los lugares geométricos de todos los puntos del espacio en los cuales la magnitud escalar tiene un mismo valor. En la práctica, se dibujan las superficies de nivel que corresponden a valores de la magnitud escalar, que se diferencian en una cantidad constante. De esta forma se conoce el valor de V en los diferentes puntos del espacio, y además, se visualiza rápidamente en qué regiones experimenta V la mayor rapidez de variación, que son aquéllas donde las superficies de nivel se encuentran más próximas unas a otras.

Las superficies de nivel en el espacio forman un sistema de capas envolventes sin ningún punto de contacto, ya que dos superficies de nivel correspondientes a valores distintos de la magnitud escalar no pueden cortarse. Si lo hicieran, la magnitud V tendría a la vez dos valores dis-tintos en los puntos de intersección, lo cual es absurdo.

Un ejemplo sencillo de representación gráfica de un campo escalar estacionario es el de las superficies de nivel utilizadas en la confección de mapas en los cuales la cota z de cada punto es función de su posición en el plano de dibujo: z = z (x, y). [Fig. 2-1].

Se dibujan las curvas de nivel z(x, y) = cte. a intervalos constantes. Las regiones del mapa donde se aproximan las curvas de nivel son

aqué-llas donde la pendiente es mayor. FIG. 2-1

Campo vectorial

Se denomina campo vectorial a una magnitud física de carácter vectorial que es, en general, función de cada punto del espacio y del instante que se considere.

Son ejemplos de campos vectoriales: los campos de fuerzas gravitatorias, electrostáticas, magnéticas, los campos de velocidades en el seno de un fluido en movimiento, etc.

Si la magnitud vectorial es solamente función de cada punto del espacio, pero no es función del tiempo, se dice que es un campo estacionario.

Los campos vectoriales se representan por medio de las llamadas líneas de fuerza, que se obtienen trazan-do, a partir de cada punto del espacio, un pequeño segmento en la dirección del vector correspondiente a dicho punto. El extremo de dicho segmento sirve de origen para trazar otro segmento en la nueva dirección que tenga la magnitud vectorial, y así sucesivamente. De esta forma se obtiene una línea poligonal.

Si se dibuja nuevamente esta línea poligonal, tomando los puntos más próximos entre sí, los segmentos que deter-minan serán más pequeños, y en el límite, cuando las lon-gitudes de estos segmentos tiendan a cero, la línea poligo-nal se convertirá en una línea curva, denominada línea de

fuerza del campo vectorial.

Por la forma en que se ha dibujado, se deduce que la línea de fuerza tiene la propiedad de ser tangente en cada punto al vector campo que existe en dicho punto, y su sentido es el de dicho vector campo.

Para que las líneas de fuerza indiquen en cada punto el módulo, además de la dirección y sentido del vec-tor campo, se conviene en dibujarlas de la siguiente forma:

En cada punto se toma una pequeña superficie de área dA, perpendicular a la dirección del vector en dicho punto, y se dibujan, a partir de los puntos de dicha superficie un número de líneas de fuerza, dN, uniforme-mente distribuidas, igual al producto del módulo del vector por el área dA del elemento de superficie.

De esta forma queda determinado el módulo del vector en dicho punto, por la densidad,

dN

dA [1.1]

De forma que en aquellas regiones en las que las líneas de fuerza estén más próximas entre sí el módulo del vector campo tendrá un mayor valor. Y por el contrario, el módulo será menor en aquellas regiones donde las líneas de fuerza estén más separadas.

[2.1]

Una magnitud escalar se modifica, en general, de un punto a otro y la variación que experimenta al pasar del punto (x, y, z) al (x+dx, y+dy, z+dz) es

2.3 Gradiente de un magnitud escalar

dV = ∂V

dxdx + ∂Vdy dy + ∂Vdz dz

Esta expresión se puede considerar como el producto de los vectores

∂V dx  i + ∂V dy  j + ∂V dz  k dl= dxi +dy j +dzk [2.2] [2.3] [2.6] de modo que podemos conocer la variación de la magnitud escalar en todo el campo si conocemos el vector definido por la relación [2.2].

Un vector cuyas componentes son las derivadas de una magnitud escalar respecto a las coordenadas res-pectivas se define como gradiente de dicha magnitud.

grad V = ∂V dx  i + ∂V dy  j + ∂V dz  k _[2.4]

Se puede representar simbólicamente el vector [2.4] introduciendo el operador denominado nabla

∇ = ∂ dx  i + ∂ dy  j + ∂ dz  k _[2.5]

que indica una operación a realizar con la magnitud a la que se aplique. En este caso, indica la derivada parcial de una magnitud respecto a la coordenada correspondiente

∇V = grad V =∂V dx  i + ∂V dy  j + ∂V dz  k [2.7] 2.5 Flujo de un vector

Se llama flujo de un vector E a través de un elemento de superficie ds a la expresión

dΦ = E  .ds Φ = E  .ds S

∫

siendo ds un vector normal al elemento de superficie y cuyo módulo es igual a su área.

Si el elemento pertenece a una superficie que encierra un volumen, dicho vector se toma en el sentido de la normal hacia el exterior del volumen encerrado por la superficie.

Puesto que el flujo es una magnitud escalar, el flujo a través de toda la superficie S será

[2.8] 2.4 OPerador nabla

[2.10] 2.6 Divergencia de un vector

Se puede hallar una expresión muy útil del flujo de un vector a través de una superficie S si se divide el volumen encerrado por dicha superficie en paralelepípedos elementales, por medio de tres series de planos infi-nitamente próximos y paralelos a los coordenados.

El flujo es igual a la suma de los flujos a través de la superficie de cada paralelepípedo, pues cualquier cara interior al volumen pertenece a dos paralelepípedos consecutivos, y, en consecuencia, el flujo a través de ella interviene dos veces con signos opuestos, ya que uno de ellos es entrante, y el otro, saliente, quedando sola-mente los flujos a través de las caras que forman la superficie S.

O X Y Z A B C D E F G H FIG. 2-3

Si consideramos uno de los paralelepípedos de aristas dx, dy, dz, el flujo, por ejemplo, a través de la cara ABCD paralela al plano YZ es igual al pro-ducto de la componente E_x del vector E por el área dydz de dicha cara.

Si en el centro del paralelepípedo el vector es E, su componente E_xen el centro de la cara ABCD es

Ex+ 1 2

∂E_x

dx dx

y el flujo a través de ella

E_x+1 2 ∂E_x dx dx        dydz

Siguiendo el mismo razonamiento, el flujo a través de la cara opuesta EFGH, es, teniendo en cuenta el cambio de sentido de la normal,

− E_x−1 2 ∂E_x dx dx        dydz

Procediendo de la misma forma para los otros dos pares de caras y sumando todas las expresiones, se obtie-ne para el flujo total a través del paralelepípedo de volumen dv = dxdydz

dΦ₁= ∂Ex dx + ∂E_y dy + ∂E_z dz        dx dydz

La expresión entre corchetes se denomina, divergencia del vector E y según [2.5]

div E=∂Ex dx + ∂E_y dy + ∂E_z dz = ∇E 

es decir, su expresión es el producto escalar del operador nabla por el vector.

Según [2.9], el flujo del vector E a través de la superficie S es igual a la suma de las expresiones [2.8] exten-dida a todo el volumen V encerrado por dicha superficie

2.7 Teorema de Green [2.9] E  .da S

∫

∫

expresión que constituye el enunciado del teorema de Green.

[2.11]

2.8 Operador laplaciana

Si el vector E deriva de un potencial, es decir, si el vector se puede expresar a partir de una función esca-lar V, por medio de la relación

E 

= −grad V = −∇V [2.12]

2.9 Circulación de un vector

div E= div gradV = ∇(−∇V ) = −∇ ⋅ ∇V = − ∂

dx  i + ∂ dy  j + ∂ dz  k      ⋅ ∂ dx  i + ∂ dy  j + ∂ dz  k       =∂ 2_V dx2 + ∂2V dy2 + ∂2V dz2 [2.13] La expresión [2.12] ∂2V dx2 + ∂2V dy2 + ∂2V dz2

Se denomina circulación de un vector a lo largo de una línea a la integral

se representa simbólicamente introduciendo el operador denominado laplaciana, que indica que hay que cal-cular las derivadas parciales segundas de la magnitud a la que se aplique respecto a la coordenada correspon-diente: ∂2V dx2 + ∂2V dy2 + ∂2V dz2 = ΔV [2.14] [2.15] El operador laplaciana se puede aplicar igualmente a un vector y en ese caso representa un vector cuyas componentes son las laplacianas de las componentes del vector

ΔE 

=i ΔE _x+j ΔE _y+k ΔE _z

E  ⋅dl  L

∫

Siguiendo el mismo razonamiento, si el rectángulo estuviera situado en el plano XY o en el XZ las circu-laciones serían

Vamos a calcular la circulación de un vector a lo largo de un rectángulo de lados dy, y dz, paralelos a los ejes OY y OZ, contenido en el plano YZ, siguiendo el sentido ABCD.

Si en el centro del rectángulo el vector es E, la circulación es

O X Y Z A B C D ds  E_y−∂Ey ∂z 1 2dz        dy a lo largo de BC E_z−∂Ez ∂y 1 2dy        dz a lo largo de CD − E_y+∂Ey ∂z 1 2dz        dy a lo largo de DA a lo largo de AB − E_z−∂Ez ∂y 1 2dy        dz La circulación total es ∂E_z ∂y − ∂E_y ∂z        dydz ∂E_y ∂x − ∂E_x ∂y        dx dy o ∂E_x ∂z − ∂E_z ∂x        dx dz [2.16] FIG. 2-4

2.10 Rotacional de un vector

[2.17] Se puede obtener una expresión general definiendo un vector denominado rotacional cuya expresión es

rot E= ∂Ez ∂y − ∂E_y ∂z          i + ∂Ex ∂z − ∂E_z ∂x          j + ∂Ey ∂x − ∂E_x ∂y          k [2.18] Comparando [2.16] y la expresión [2.5] del operador nabla[2.17], y teniendo en cuenta la expresión del pro-ducto vectorial de dos vectores, se deduce inmediatamente que

rot E= ∇ × E  = ∂Ez ∂y − ∂E_y ∂z          i + ∂Ex ∂z − ∂E_z ∂x          j + ∂Ey ∂x − ∂E_x ∂y          k [2.20] ds  = dy dzi +dz dx j +dx dy k [2.19]

De modo que, si definimos otro vector ds normal al elemento de superficie, de módulo igual a su área, cuyo sentido sea el correspondiente a aquel en que se recorre la línea, y cuya expresión es

se puede considerar que la circulación a lo largo de un rectángulo elemental orientado de cualquier modo con respecto a los ejes de coordenadas tiene por expresión

E⋅dl  = rot E  ⋅ds  = ∇ × E  ⋅ds  = ∂Ez ∂y − ∂E_y ∂z        dydz  i + ∂Ex ∂z − ∂E_z ∂x        dx dz  j + ∂Ey ∂x − ∂E_x ∂y        dx dy  k

Consideremos ahora una curva cerrada C [Fig. 2.5], situada en una región del espacio en el que existe un campo vectorial.

Imaginemos una superficie cualquiera S limitada por dicha curva y dividimos esa superficie en rectángu-los infinitesimales por intersección de dos series de planos infinitamente próximos y perpendiculares entre sí.

C S

FIG. 2-5

La circulación a lo largo de la curva C es, evidentemente, la suma de las circulaciones a lo largo de cada uno de los infi-nitos rectángulos elementales recorridos en el mismo sentido que la curva C, pues cada lado de cada rectángulo es recorri-do recorri-dos veces en sentirecorri-dos contrarios y queda como resultarecorri-do de dicha suma la circulación a lo largo de los lados exteriores que forman la periferia o contorno de la curva C.

Por tanto, según lo indicado anteriormente,

E⋅dl  C

∫

∫

∫

relación que expresa el llamado teorema de Stokes, y según el cual

La circulación de un vector a lo largo de una curva cerrada es igual al flujo del rotacional de dicho vector a tra-vés de una superficie cualquiera limitada por la curva.

Si el vector E deriva de un potencial, es decir, si el vector se puede expresar a partir de una función esca-lar V, por medio de la relación

E 

= −grad V = −∇V [2.11]

el rotacional del vector es

rot E 

= ∇ × E 

= ∇ ×(−∇V ) = −∇ × ∇V

y por consiguiente, una cualquiera de sus componentes, por ejemplo la componente x es

(∇ × ∇V )_x = ∂ 2_V ∂y∂z− ∂2V ∂z∂y = 0

b) Si calculamos la divergencia del producto vectorial de dos vectores 2.12 Relaciones importantes de álgebra vectorial

y otro tanto ocurre con las otras componentes, de modo que,

rot grad V = ∇ × ∇V = 0 [2.22]

De forma análoga, es fácil comprobar que

div rot E 

= ∇ ⋅ ∇ × E 

= 0 [2.23]

a) Si se aplica el rotacional a un vector, que es a su vez, el rotacional de otro vector, entonces rot rot E  = rot2E  = ∇ ×(∇ × E  ) y teniendo en cuenta la propiedad del doble producto vectorial

Desarrollando el último término rot rot E= rot2E

 = ∇ ×(∇ × E  ) = ∇ ⋅ ∇E−(∇ ⋅ ∇)E  = grad divE  −(∇ ⋅ ∇)E  (∇ ⋅ ∇)E= ∂ 2_E x dx2 + ∂2E_x dy2 + ∂2E_x dz2          i + ∂ 2_E y dx2 + ∂2E_y dy2 + ∂2E_y dz2          j + ∂ 2_E z dx2 + ∂2E_z dy2 + ∂2E_z dz2          k = ΔE y sustituyendo en [2.23] queda [2.24] rot rot E  = rot2E  = grad divE  − ΔE  [2.25]

y desarrollando, y ordenando términos se obtiene

div (a ×b ) = ∂

∂x(aybz−azby)+ ∂∂y(azbx−axbz)+ ∂∂z(axby−aybx)

div (a ×b ) =b _x ∂az

∂y − ∂a_y ∂z        +by ∂a_x ∂z − ∂a_z ∂x        +bz ∂a_y ∂x − ∂a_x ∂y        − ax ∂b_z ∂y − ∂b_y ∂z        +ay ∂b_x ∂z − ∂b_z ∂x        +az ∂b_y ∂x − ∂b_x ∂y                

y teniendo en cuenta la expresión del rotacional de un vector, queda

div (a × 

b ) =b rot a − a rot b [2.26]

c) En algunos casos es útil transformar una integral del tipo

dl× gradϕ

C

∫

extendida a una curva cerrada, siendo ϕ una función que cumple con la condición Δϕ = 0, en una integral

de superficie.

Para ello, si consideramos la componente x del producto vectorial del integrando

(dl  × gradϕ C

∫

∫

∫

haciendo uso del teorema de Stokes

(dl  × gradϕ C

∫

∫

y según la condición impuesta a la función ϕ, queda (dl  × gradϕ C

∫

∫

∫

Para las componentes y y z, se pueden escribir relaciones análogas, de modo que resulta finalmente

dl× gradϕ C

∫

∫

d) Para concluir este grupo de relaciones vamos a analizar dos transformaciones que se deducen directa-mente del teorema de Green.

Consideremos el vector

a =V ⋅ b

siendo V una función escalar. Si calculamos la divergencia de dicho vector

div a = div (V ⋅b ) =V ∂bx

dx + ∂b_y dy + ∂b_z dz        +bx ∂V dx +by ∂V dy +bz ∂V dz

y recordando las definiciones de gradiente de una magnitud escalar, y de la divergencia de un vector, resulta div a = div (V ⋅



b ) =V divb + b grad V

y aplicando el teorema de Green

(V ⋅b ) S

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

e) Supongamos un vector definido por la expresión a =U gradV siendo U y V dos funciones escalares.

Si consideramos el producto escalar

donde a ⋅ds  = (U grad V )⋅ds  =U∂V ∂nds ∂

∂n representa la derivada respecto a la normal al elemento de superficie, y calculamos la divergencia cia del vector a

div a = div(U grad V ) = ∂U

∂x ∂V ∂x + ∂U ∂y ∂V ∂y + ∂U ∂z ∂V ∂z +U ∂2V ∂x2 + ∂2V ∂y2 + ∂2V ∂z2        

div a = div(U grad V ) = grad U ⋅grad V +U ΔV

que, teniendo en cuenta la definición de gradiente y el producto escalar de dos vectores, queda

a ⋅ds= (grad U ⋅grad V +U ΔV V

∫

∫

∫

∫

Si ahora aplicamos el teorema de Green [2.10] al vector a

y si escribimos esta última relación permutando entre sí las funciones U y V, y restamos las dos ecuaciones obtenemos el denominado lema de Green.

(U ΔV V

∫

∫