CONJUNTO
No existe una definición; solo se puede dar una idea conceptual como colección, agrupación, clase o agregado de objetos, llamados elementos.
Notación:
Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas (A,B,C,D,….) y los elementos con letras minúsculas (a,b,c,…..). Así el conjunto de los diez primeros números naturales positivos:
N 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10
Se observa que los elementos que van separados por punto y coma y encerrados entre llaves, determinan el conjunto N.
Determinación de un conjunto: (I)POR EXTENCION:
Un conjunto queda determinado por extensión, cuando se nombra a todos y cada uno de los elementos.
A 2;4;6;8 M a;e;i;o;u B 1;8;27;64;...;1000 (II) POR COMPRENSIÓN:
Un conjunto queda determinado por compresión, cuando se nombra una propiedad común que caracteriza a todos los elementos del conjunto, generalmente se emplea x/x: “x tal x”
A x / x es par;2 x 8
B x / x es una vocal
3
C x / x;x 10 RELACIONES ENTRE CONJUNTOS 1. Relación De PertenenciaEs una relación que vincula un elemento con un conjunto.
* Si un elemento esta en un
conjunto, se dice que
pertenece
* Si no esta en un conjunto, se dice que no pertenece
Ejemplo:
Dado: A
2;3; 5;6
Así diremos que:
2 A 4 A 3 A 5 A 5;6 A 6 A 2. Relación De Inclusión O SubconjuntoSe dice que el conjunto A esta incluido en B, si todos los elementos de A están en B. Se denota como:
A B ”A incluido en B” Si: AB x A x B Ejemplo:
A n;3;5 B 4;n;m;6;3;p;5 Se observa que todos los elementos de A son también elementos de B, luego:A B . PROPIEDADES *Pr opiedad reflexiva : A A *Pr opiedad antisimetrica : Si : A B B A A B *Pr opiedad transitiva : Si : A B B C A C 3. Relación de igualdad de conjuntos
Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos elementos. Si: A B A B B A
Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si, A es subconjunto de B y B es subconjunto de A.
4. Relación de contabilidad de conjuntos
Dos conjuntos A y B son coordinables cuando entre sus elementos puede establecerse una correspondencia biunívoca.
Cuando dos conjuntos son coordínales tienen el mismo numero de elementos.
A 1;3;5;7;9 son coordinables B a;e;i;o;u Graficándolos: 1. CONJUNTO FINITOCuando el conjunto tiene un determinado numero de elementos diferentes. Ejemplos:
A 3;6;9;12 B 1;3;5;7;...;29 2. CONJUNTO INFINITOCuando el proceso de contar los elementos del conjunto no tiene limite. Ejemplos:
A x / x es un número real B x / x es un planeta deluniverso 3. CONJUNTO VACIOLlamado también conjunto nulo; es aquel conjunto que carece de elementos. Se denota como:
*El conjunto vació se le considera incluido en cualquier otro conjunto. *El conjunto vació no tiene ningún subconjunto propio y su número cardinal:n
0 Ejemplos:
2 A x / x x 1 0B los cabellos de un calvo
4. CONJUNTO UNITARIO 1 3 5 7 9 a e i o u A B C LAS ES D E C O N J U N TO S Cardinal de un conjunto El cardinal de un conjunto es el número de elementos de dicho conjunto y se denota como n(A).
A
2;4;7;9
n A 4
M a;b; m;n
n M 3
B
2,3;2;2;5;6;7
n B
5
Llamado también singlé ton, es aquel conjunto que tiene un solo elemento. Ejemplos:
A x / 2 x 4 B Bety C 5. CONJUNTO UNIVERSAL
U Es aquel conjunto que abarca a todos los conjuntos dados y se les representa por regiones planas rectangulares.6. CONJUNTO POTENCIA
Se llama conjunto potencia de A, al conjunto formado por todos los subconjuntos de A y se le denota como
P A . Ejemplos:
* Dado: A
4;7Su conjunto potencia será:
P A 4 ; 7 ; 4;7 ; * Dado:
A 2;3;4 P A 2 ; 3 ; 4 ; 2;3 ; 2;4 ;
3;4 ; 2;3;4 ;
El número de elementos de P A
o numero de subconjuntos de A, está dado por: n P A
2nDonde “n” representa el numero de elementos del conjunto A.
Ejemplos: Si: A
4;7 n P A
22 4 Si:A
2;3;4
n P A
23 8 Si: A
a;b;c;d;e
n P A
2 325 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS 1. UNIÓN O REUNIÓN (U)Para dos conjuntos A y B se llama unión o reunión al conjunto formado por los elementos de A, de B o de ambos. Se denota como A B.
A B x / x A x B M N P A B U Numero de subconjuntospropios: Dado el conjunto A,
su número de subconjuntos propios será: 2n1.No se considera el mismo conjunto A.
1) P A , puesto que A 2) A P A , puesto que A A 3) P 4) Si A B P A P B 5) Si A B P A P B 6) P A P B P A B 7) P A P B P A B PROPIEDADES A B U Si: A
2;3;4;6
B 1;3;4;5 Luego: A B
1;2;3;4;5;6
2. INTERSECCIÓN
Para dos conjuntos A y B se llama intersección de A y B al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B (elementos comunes). Se denota como A B .
A B x / x A x B Si: A
1 3 ; ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 9
B 2 3 ; ; 4 ; 5 ; 10 ; 11 ; 12 Luego: A B
3 ; 4 ; 5
3. DIFERENCIA (–)Para dos conjuntos A y B, se llama diferencia de A con B, al conjunto formado por todos los elementos de A, que no son elementos de B, Se denota por A–B.
A B x / x A x B Si: A
; 3 ; 4 ; 6 ; 7 ; 82
B 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 7 ; 9 Luego: A B
6 ; 8
1) A A AIdempotencia 2) A B B AConmutativa 3) A B C A B C Asociativa 4) A 5) A A 6) Si :A B A B B 7) SiAyBson disjuntos n A B n A n B8) SiAyBson dosconjuntos no compa rables,con una región común :
n A B n A n B n A B PROPIEDADES A B U A B U
1) A A A Idempotencia 2) A B B A Conmutativa 3) A B C A B C Asociativa 4) Si : A B A B A 5) A 6) A U A 7) Si :A B A y B son disjuntos 8) A A C A 9) Si: A B C
A B A C 10) A B C A B A C A B C A B A C PROPIEDADES A B U
1) A A 2) A 3) A B B A 4) A B B 5) A B A B A B 6) A B A B 7) A B A B B A A B 8) A B A B A PROPIEDADESA
B
A
B
4. DIFERENCIA SIMETRICA
Para dos conjuntos A y B, se llama diferencia de A y B, al conjunto formado por los elementos que pertenecen a la unión de A y B; pero no pertenecen a la intersección de A y B. Se denota por: A B
A B x / x A B x A B Formas usuales:
A B A B A B
A B A B B A Si: A
2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8
B 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 9 Luego:
A B 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 2 ; 4
A B 1 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 5. COMPLEMENTACIÓNPara dos conjuntos A y B, donde A es un subconjunto de B.
Se denota C A ; se lee complementoB
de A respecto a B.
B
C A B A
* El complemento de un subconjunto A respecto del conjunto universal U.
C A A' U A
A' x / x U x A Ejemplo: Si:A
2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8
B 1 , 3 , 4 , 5 , 9 Hallar: BA C Resolución: Como: CBA B A A B U
1) A' U A 2) U'= 3) ' U 4) A A'=U 5) A A'= 6) A' ' A 7) A B ' A' B' Leyes de Morgan A B ' A' B' PROPIEDADES
1) a ;b A B a A b B 2) A B B A ; A B 3) A O O
4) A B C A B A C 5) A B C A B A C 6) A B C A B A C 7) n A B n A n B 8) Si: A B A C B C Propiedades
BA C 1 , 3 , 4 , 5 , 9 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8
BA C 1 , 5 , 9
1 , 5 , 9 Rpta. PRODUCTO CARTESIANODados los conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A por B, al conjunto formado por todos los pares ordenados
a ; b
, tales que a A yb B . Se denota por: A B
A B a ; b / a A b B Ejemplo: Si: A
1 ; 2 ; 3
B 1 ; 2 Hallar: A B Resolución:
A B 1 ;1 ; 1 ; 2 ; 2 ;1 ; 2 ; 2 ; 3 ;1 ; 3 ; 2 Grafica de A B Diagonal de un Conjunto:Dado el conjunto A, la diagonal del producto A A que se denota
A , se define por:
A
x ; y
Ejemplo:
A a ; b ; c
B 1 ; 2 ; 3 ; 4 Hallar:
A y B
Resolución:
A
a a ; b b ; c c;
;
;
B
1 1 ; 2 2 ; 3 3 ; 4 4;
;
;
;
NUMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO Si: A B O n A B
n A
n B
Si:A y B son dos conjuntos cualesquiera
n A B n A n A B Si: 2 1 1 2 3 A B A B A BA y B son conjuntos tales que A B O
n A B n A n B n A B Si: A B C O
n A B C n A n B n C
n A B n A C
n B C n A B C PAR ORDENADO:Par ordenado es un ente matemático constituido por dos elementos (a;b) par ordenado
Se cumple que:
a ;b
b ;a
Si:
a ;b
c ;d
a= c b= d Para los problemas1 Si: A
3,6
B 2, 4,6
Hallar la suma de los términos del conjunto:
A B
A B
a)10 b)12 c) 14 d)13 e)11 Resolución:
A B 2, 3, 4,6 A B 3 Luego:
A B2, 3, 4,6
A B3 2, 4,6
Piden: 2 4 6 12 2 Hallar: x 3y , si: 3 x 2x 1, y 5 23, 2 3 a)14 b)13 c) 11 d)15 e)16 Solución:Por pares ordenados iguales
A B A B C 1 2 3 A B 1 : sólo A 2: A y B 3: sólo B 1 y 2: A 2 y 3: B 1 , 2 y 3: A ó B 1 2 3 A B 1 : sólo A 3: sólo B 7: sólo C 2: sólo A y B 4: sólo B y C 6: sólo A y C 5: A , B y C 25: A y B 45: B y C 56: A y C * 2x 1 23 x 12 3 12 2 * y 5 y 2 3 3 Luego piden: 12 3 32 12 2 14 3 Si: A
5, 2 ,9
Señale la expresión falsa: a)
2 A b)
2 A c) 9 A d)
5,9 A e)
5, 2
A Resolución:Se observa en el conjunto A que los elementos 5 y 9 pueden formar un conjunto
5,9 , luego
5,9 A, lo falso seria (d).4 De un grupo de 41 personas 15 no estudian ni trabajan, 28 no estudian y 25 no trabajan ¿Cuántos trabajan y estudian?
a) 2 b) 4 c) 6
d) 7 e) 3
Resolución:
Del grafico, se tiene: * y w z 15 41 y+ w+ z= 26 ….. ( I ) * w 15 28 w= 13 * y 15 25 y= 10 Reemplazando en ( I ) 13 10 z 26 z 3 Rpta. 5 De un grupo de 17 personas, 13 tienen bigote, 4 son calvos y 3 son calvos que usan bigotes. ¿Cuántos no son calvos ni usan bigotes?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Resolución: Formando ecuaciones: x 3 13 x= 10 y 3 4 y= 1 10 3 1 z 17 z 3 Rpta.
6 Se tienen 65 banderas que tienen por lo menos dos colores. 25 tienen rojo y azul, 15 banderas rojo y blanco y 35 tienen blanco y azul. ¿Cuántas banderas tienen los 3 colores mencionados?
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
Resolución:
“x”: # banderas que tienen 3 colores No hay banderas de un solo color 41 15 Estudian Trabajan y z w 17 z
con bigote calvos
x 3 y 13 4 15 x 35 x 25 x R A x 15 25
De la figura se tiene que: 25 x x 35 x 15 x 65
10 2x x= 5 Rpta.
7 Cotos come fréjoles y/o tallarines en su almuerzo, cada día, durante el mes de febrero de 1988. Si come 19 días fréjoles y 23 días tallarines. ¿Cuántos días come fréjoles con tallarines? a) 12 b) 8 c) 10 d) 14 e) 13 Resolución: 19 x x 23 x 29 x 13 Rpta. 8 En un grupo de 55 personas, 25 hablan Ingles, 32 francés, 33 alemán y 5 los tres idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan dos de estos idiomas?
a) 40 b) 37 c) 25
d) 22 e) 38
Resolución:
Del grafico se tiene que:
a b c x y z 50 …. ( I ) a x y 20 b y z 27 c x z 28
a b c
2 x y z
75 …. ( II ) ( I ) en ( II ) 50 x y z 75 x y z 25 Rpta. 9 ¿Cuántos subconjuntos se formaran con 6 elementos?a) 63 b) 64 c) 61 d) 68 e) n.a. Resolución: Recordado que: n # Subconjuntos 2= 6 n 2= 2 64 # Subconjuntos = 64 Rpta.
10 Sean A y B dos conjuntos contenidos en un universo, si:
A B
B A
A B. ¿ Cual de las siguientes proposiciones es falsa? a) A A B b) A B O c) B B A d) BA' e)
A B '
A BResolución:
Como:
A B
B A
A B Quiere decir que A y B son conjuntos disjuntos, para las alternativas se tendrá que: A A B (Verdadero) A B O (Falso) 19 x x 23 x F T x y z a b c
I 25 F 32
A 33 5 B B A (Verdadero) BA' (Verdadero)
A B '
A B (Verdadero) A B O Rpta. 11 Si:
A 2 , 6 , 12 , 20 , 30 , 42 , 56 Determinar el conjunto dado por compresión a)
x21 / x x 7
b)
x2x / x x 6
c)
x x+ 1 / x
x 7
d)
x2x / x 1< x 8
e)
x2x / x x 8
Resolución:
A 2 , 6 , 12 , 20 , 30 , 42 , 56 A 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 5 6 , 6 7 , 7 8 Lo elementos son de la forma:
x x 1 Donde: x 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7
x x+ 1 / x x 7 Rpta. 12 Cuantos sub conjuntos tiene “A”
2
A x 2 / x 1 x 5 a) 16 b) 8 c) 32 d) 64 e) n.a. Resolución: x 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 Reemplazando en:
x 2
2
9 , 4 , 1 , 0 , 1 , 4
A 9 , 4 , 1 , 0Total de sub conjuntos es:
4
2 16 Rpta.
13 Si A
3 , 6
B 2 , 4 , 6
Hallar la suma de los términos del conjunto:
A B
A B
a) 10 b) 14 c) 11 d) 12 e) 13 Resolución:
A B 2 , 3 , 4 , 64
A B 3 Luego:
A B
A B
2 , 3 , 4 , 6
3 2 , 4 , 6
Piden: 2 4 6 12 Rpta. 14 Hallar: x 3y , si: 3 x 2x 1 ; y 5 23 ; 2 3 a) 14 b) 11 c) 16 d) 13 e) 15 Resolución:Por pares ordenados iguales 2x 1 23 x= 12 3y 5 12 y= 2 2 3 3 Luego piden: 2 x 3y 12 3 3 14 Rpta.
15 Si: A
5 , 2 , 9
Señale la expresión falsa: a)
2 A b)
2 A c)
5 , 9
A d)
5 , 2
A e) 9 AResolución:
Se observa en el conjunto “A” que los elementos 5 y 9 pueden formar un conjunto
5 , 9
.Luego:
5 , 9
A16 La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B se define:
A B x / x A B A B
Si se define los conjuntos:
U x / x x< 10
A x / x U x es divisor de 12
B x / x U x es impar ¿Cuántos elementos tiene
A B
C? a)
1 , 3 , 8
b)
1 , 4 , 8
c)
1 , 8 , 3
d)
3 , 1 , 8
e) n.a. Resolución:
U 1 , 2 , 3 , ... , 9
A 1 , 2 , 4 , 6
B 1 , 3 , 5 , 7 , 9
A B 2 , 4 , 6 , 5 , 7 , 9
A B
C 1 , 3 , 8
Rpta. 17 Dado:
A n m , n+ p , 8
B m p , 10 Unitarios Hallar: m n p a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Resolución: m n n p m= p m p 10 2m= 10 De donde: m p 5 n m 8 n= 3 Luego: m n p 3 Rpta. 18 Si: # P A
256
# P A B 16
# P B 64 Calcular: # P A B
a) 1 024 b) 2 048 c) 360 d) 512 e) 256 Resolución:
8
# P A 256 2 # A 8
6
# P B 64 2 # B 6
4
# P A B 16 2 # A B 4
# A B # A # B # A B 8 6 4 A 2 4 6 1 3 5 7 9 8 B U 10
10 # P A B 2 1 024 Rpta.19 En un aula de 43 alumnos, 5 son mujeres que estudian R.M. y 28 son hombres y el número de hombres que no estudian R.M. es el doble del número de mujeres que tampoco lo hace. ¿Cuántos hombres estudian R.M.?
a) 6 b) 7 c) 8
d) 10 e) n.a.
Resolución:
El numero de mujeres que no estudian R.M. es:15 5 10
El numero de hombres que estudian R.M. esta dado por:
x 28 20 8 Rpta.
20De 80 personas que hablan alguno de los idiomas: Castellano, Ingles y Francés, se tiene que 40 hablan castellano, 46 hablan Ingles, 35 hablan Francés, además los que hablan Castellano no participan nunca en el Francés. ¿Cuántos hablan dos de dichos idiomas?
a) 16 b) 48 c) 41 d) 50 e) n.a. Resolución: Hablan Ingles: I 46 Hablan Castellano: C 40 Hablan Francés: F 35 Hablan 2 Idiomas:
x y
Luego: I C F 80
40 x
x 46
x y
y
35 y
80 De donde se tiene que:x y 41 Rpta.
21En una ciudad de cada 100 hombres, 85 son casados 70 son abonados al teléfono, 75 tienen auto y 80 son propietarios de su casa ¿Cuál es el numero mínimo de personas que al mismo tiempo son casados, poseen teléfono oculto y casa propia.
a) 5 b) 10 c) 65 d) 25 e) 45 Resolución:
C Hombres casados n C 85
T Abonados al telefono n T 70
A Poseen auto n A 75
P Poseen casa propia n P 80 Se pide calcular el numero mínimo de
C T A P Graficando: 20 x 10 5 H 28 M 15 40 x x y 35 y C I F
C 85 T 70
A 75
P 80 v w z p q y m n a b c d x n sLuego piden: c x a m í n imo
Siendo x C T P A , entonces el valor de “x” el mínimo valor se tiene:
85 v a c d p q r x.... (1) 70 w a b d q n s x... (2) 80 y b c d r s m x... (3) 75 y b c d r s m x.... (4) 100 y w z y a b c d p q r s n m s... (5) Sumando (1) (2) (3) y (4)
310 v w z y 3 a b c d 2 p q r s n m 4x... ( )La ecuación (5) se multiplica por 3 tenemos(agrupando convenientemente)
300 3 v w z y 3 a b c d 3 p q r s n m 3x...
Luego: ()-
10 x 2v 2w 2y 2z p q r s m n
10 x Como “x” mínimo entonces es mínimo es decir= 0. Entonces: x 10 Graficando: Como=0 entonces: v w y z p q r s m n 0 Luego: 85 b 100 b 15 70 c 100 c 30 75 a 100 a 25 80 d 100 d 20 Finalmente:
n C T A P c 10 a 65 En el problema el “x” mínimo es igual: (son 4 conjuntos)
x 85 70 75 80 4 1 100
x 10 Rpta.
22 Cual de las siguientes alternativas le corresponde al diagrama mostrado, si”x” es el complemento de “x” en el universo. I
C B
A
A B
C II
C ' B
A B
C ' III
C B '
A B
C a) I b) II c) III d) I y III e) Todas Resolución:
C 85 T 70
A 75
P 80 a b c d10 A B C A B C1
2
(1)=
A B
C (2)=
B C
A Luego:
(1) (2) A B C B C A
A B
C
B C
A Rpta.23 Se tiene los conjuntos A, B, C subconjuntos de los números naturales, A es el conjunto de los múltiplos de 3, B es el conjunto de los múltiplos de 4v menores que 24 y C es el conjunto de los divisores de 48. Hallar la suma de los elementos de la diferencia: C
A B
a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 3 Resolución:
A, B, C
N
Ax / x 3 0;3;6;...;3n Bx / x 4 x 24
B 0;4;8;12;16;20
C x / x es divisor de 48
C 1;2;3;4;8;12;16;24;48
C A B 1;2Por lo tanto la suma de los elementos:1 2 3 Rpta.
24 Se tiene 2 conjuntos A y B tal que
la unión de A y B tiene 36 elementos, el numero de elementos de A es a la mitad del numero de elementos de B. Los elementos comunes de A y B son la mitad de los elementos no comunes, hallar el numero de elementos de B. a) 12 b) 24 c) 32 d) 30 e) 80 Resolución:
n A B 36...(1)
1
n A n B 2
n B 2n A Se sabe:
n A B nA nB n A B
36 nA 2nA n A B
3n A n A B 36 Además:
n A B n A n B 2n A B
2n A B n A n B 2n A B
4n A B 3n A De (1) y (2)
n A B 12 n A 16
n B 32 Rpta.1 Una persona come huevo o tocino en el desayuno cada mañana durante el mes de Enero. Si come tocino 25 mañanas y huevos 18 mañanas. ¿Cuántas mañanas come huevos y tocinos?
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
2 En un grupo de 55 personas, 25 hablan ingles, 32 francés, 33 alemán y 5 de los tres idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan sólo 2 de estos idiomas?
a) 15 b) 20 c) 25
d) 30 e) 35
3 El resultado de una encuesta sobre preferencia de jugos de frutas de manzana, fresa y piña es la siguiente: 60% gustan manzana, 50% gustan fresa, 40% gustan piña, 30% gustan
manzana y fresa, 20% gustan de fresa y piña, 15% gustan de manzana y piña, 5% gustan de los tres. ¿Qué porcentaje de las personas encuestadas no gustan de ninguno de los jugos de frutas mencionado?
a) 10% b) 11% c) 12%
d) 13% e) 15%
4 ¿Cuántas de las siguientes operaciones con conjuntos son conmutativos?
I) Unión II) Intersección III) Diferencia
IV) Diferencia simétrica V) Producto cartesiano
a) 2 b) 3 c) 4
d) 1 e) Todas
5 Sean: A
1 , 2 , 3
y B
4 5,
¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son ciertas?*
2 4,
A B *
4 2,
A B *
5 2,
B A *
3 4,
A B *
3 4,
B Aa) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) n.a.
6 ¿Cuántos subconjuntos se pueden formar con 6 elementos?
a) 32 b) 23 c) 46
d) 64 e) 128
7 Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. Cuando el conjunto A contiene uno
o más elementos que no contiene B, diremos que B es un subconjunto propio de A.
II. Todo conjunto es subconjunto del conjunto universal
III. Al conjunto universal se le designa el valor de 1
IV.El conjunto vació es subconjunto e todo conjunto.
a) VFVV b) FVVV c) VVVV d) VVFV e) FVFV
8 Si se determina por comprensión el conjunto:
M 0 , 2 , 4 , 8 , 10 , 12 , ... se tiene: a) M
x / x es un número par
b) M
x / x 2n ; 0 n
c)Mx / x N N= serie de números pares ;
d) M
2x / x
e) n. a.
9 Dado el conjunto:
3 2
F x / x 2x 2x 2 0
¿Cuál es su valor determinado por extensión? a) F
1 , 0 , 2
b) F
2 , 1 , 1
c) F
2 , 1 , 0 , 1
d) F
1 , 1 , 2
e) n.a.10 ¿A que operación de conjuntos corresponde el siguiente gráfico? a) BUCA b) B A C c) A C B d) B C A e) AUCB 11 Si el conjunto:
3 2
A x / x , 4x 11x 30 0 se interfecta con el conjunto de los números naturales, el número de elementos de la intersección es:a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e)n.a.
12 En un salón de clases de 65 alumnos, 20 son mujeres, donde a 53 la biblioteca les presta en libro de química a cada uno y 8 mujeres tuvieron que comprar el libro. ¿Cuántos hombres se compraron el libro de química, si se supone que todos los alumnos tienen el libro?
a) 2 b) 3 c) 4
d) 6 e) 5
13 Al encuestar a un grupo de alumnos se observó que la mitad de ellos postulan a San Marcos, los 7/12 postulaban a Villarreal, 1/6 postulaba a ambas universidades y los 220 alumnos restantes aun no decidían donde postular. ¿Cuántos fueron los alumnos encuestados?
a) 2 340 b) 3 250 c) 2 640 d) 3 520 e) 3 125
14 En un aula 80 alumnos han rendido 3 exámenes de ellos 42 aprobaron el primero, 38 el segundo, 49 el tercero, 18 los tres exámenes; además 10 aprobaron solamente los 2 A
B
primeros. ¿Cuántos alumnos aprobaron por lo menos 2 exámenes?
a) 28 b) 29 c) 30 d) 31 e) 32 15 El conjunto: C A CB
CA
equivalente a: a) CA CB A b) A B B c) CA A B d) ACA B e) El conjunto universal 16 El 65% de la población de una ciudad no ve el canal A de Tv. Y el 50% no ve el canal B, si el 55% ve el canal A o el canal B, pero no los dos canales, el porcentaje de la población que ve ambos canales es:a) 20% b) 18% c) 13%
d) 12% e) n.a.
17 De 81 personas se sabe que 48 van a la playa, 42 al cine, 50 al teatro, 21 a la playa y al cine, 18 al cine y al teatro, 35 a la playa y al teatro, además todos van por lo menos a un lugar. ¿Cuántas personas van a los 3 lugares?
a) 11 b) 12 c) 13
d) 14 e) 15
18 Ciertos datos obtenidos en un estudio de un grupo de 1 000 empleados referente a la raza, sexo y estado civil, arrojaron los siguientes resultados: 322 son hombres, 470 son casados, además habían 42 varones de color, 147 personas de color eran casados y habían 25 hombres de color casados. ¿Cuántas mujeres eran solteras?
a) 129 b) 219 c) 294
d) 315 e) 351
19 Durante el mes de febrero de 1984 Raúl Peralta fue a ver a su novia Pilar en las mañanas o en las tardes o en ambas horas, si 14 días lo vio en la mañana y 20 días la vio en las tardes. ¿Cuántos días la vio en ambas horas?
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
20 Determinar A por extensión: n A / n , 1 n 3 n 2 4 2 a) A
0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5
b) A
1 , 2 , 3 , 4 , 5
c) A
1 , 2 , 4 , 5
d) A
1 , 2 , 3 , 5
e) A
1 , 2 , 3 , 4
21 Sean A y B dos conjuntos tales que:
n A B 24
n A B 10
n B A 6 Hallar: 5n A
4n B
a) 36 b) 34 c) 28 d) 32 e) 3022 Para un conjunto “x”, el número de elementos de “x” dentamos por n(x) y P(x) denota al conjunto de subconjuntos de “x”, según esto, si n(A)=4; n(B)=3 y n A B
2. Hallar la suma:
n P A P B n P A B a) 50 b) 48 c) 63 d) 52 e) 2023 Dado el conjunto y los subconjuntos A, B y C, se tiene los siguientes datos: n(U)=44 ; n(A)=21 ; n(B)=17
n A C 14 ; n B C
12
n A B C ' 3 ;
n A B C 5 y
n A B C ' 6 . Hallar: n(C) a) 30 b) 28 c) 29 d) 25 e) 20 24 Si n(A) 8 ; n(B) 8 ; n(C) 5 y n(D) 5 , el numero máximo de elementos de AUC es k y el número máximo de elementos de B D es “h”. Hallar el valor de “h.k”a) 60 b) 65 c) 25
d) 40 e) 83
25 Un club consta de 78 personas, de ellas 50 juegan fútbol, 32 básquet y 23 voley, además 6 figuran en los tres deportes y 10 no practican ningún deporte. Si “x” es el total de personas que practican exactamente un deporte “y”, el total de personas que practican exactamente dos deportes; Hallar “x-y”
a) 12 b) 18 c) 20
d) 15 e) 17
26 Supóngase que Mary come huevos o tocino en el desayuno cada mañana durante el mes de enero (31 días). Si come tocino durante 25 mañanas y huevos durante 18 mañanas. ¿Cuántas mañanas come solamente huevos?
a) 7 b) 6 c) 9
d) 5 e) 10
27 De 120 personas de una universidad obtuvo la información: 72 alumnos estudian el curso A, 62 alumnos estudian el curso B, 36 alumnos estudian el curso C, 12 alumnos estudian los tres cursos. ¿Cuántos alumnos estudian exclusivamente 2 cursos?
a) 25 b) 20 c) 9
d) 28 e) 22
28 De un grupo de 40 personas, se sabe que: 15 de ellas no estudian ni trabajan; 10 personas estudian y 3 personas estudian y trabajan. ¿Cuántas de ellas realizan solo una de las dos actividades?
a) 22 b) 24 c) 28
d) 27 e) 26
29 Si los conjuntos A y B son tales que: n A B
30 ; n A B
12 y
n B A 10; Hallar: n A
n B
a) 30 b) 39 c) 40
d) 28 e) 38
30De una encuesta hecha a 135 personas para establecer preferencias de lectura de las revistas A, B y C se obtienen los siguientes resultados:
Todos leen alguna de las 3 revistas; todos menos 40 leen A; 15 leen A y B pero no C; 6 leen B y C pero no A; 10 leen solo C. El número de los que leen A y C es el doble del número de los que leen las 3 revistas. El número de los que leen solo B es el mismo que el total de los que leen A y C. Según todo esto, hallar el numero de los que leen A solamente. a) 58 b) 42 c) 56 d) 37 e) 60 31 Si:
3 2
M x/ x 7x 6x 0
N x / 2 x 6 Hallar:
M N
M N
a) N b) M c)
0 d)
0 ,1
e)
1 32 Si:
A x / x 2
B x / 2 x 2 Hallar: n A B
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 33 Siendo:
P x / x , x< 8
P x / x , x> 4¿Calcular la suma de los elementos de P Q ?
a) 18 b) 16 c) 21
d) 20 e) n.a.
34 De un grupo de 40 personas se sabe que: 24 bailan, 10 mujeres cantan, 8 personas no cantan ni bailan y 7 mujeres cantan y bailan. ¿Cuántos hombres sólo cantan?
a) 4 b) 3 c) 2
d) 5 e) 6
35 En un instituto de 77 alumnos, se sabe que de los 3 idiomas que enseñan, los que estudian sólo un idioma son 28 más, de los que sólo estudian 2 idiomas. Si además son 3 las personas que estudian los 3 idiomas. ¿Determinar cuantos estudian solo dos idiomas?
a) 20 b) 21 c) 24
d) 25 e) 23
36 Un club tiene 48 jugadores de fútbol, 25 de básquet y 30 de béisbol. Si el total de jugadores es 68 y sólo 6 de ellos figuran en los 3 deportes. ¿Cuántos figuran exactamente en 1 deporte?
a) 36 b) 37 c) 38
d) 39 e) 40
37 Según la figura. Cuales son las zonas que representan a:
A B ' C A'
a) 5 b) 5 c) 5 , 2 d) 5 , 2 , 3 e) n.a.38 En un salón se hizo una encuesta, donde 3/5 postulan a la S.M; 9/20 A B U 5 2 7 1 3 4 6 C
postulan a la U.N.F.V.; 1/4 postulan a las 2 universidades y 24 postulan sólo a la UNI. ¿Cuántos alumnos postulan a S.M.?
a) 72 b) 84 c) 64
d) 48 e) 75
39 En un evento, el 60% de los participantes hablan Ingles y el 25% portugués, si el 20% de los que hablan Ingles, también hablan portugués, además 1 200 hablan sólo Ingles. ¿Cuántos participan en la reunión?
a) 620 b) 520 c) 650 d) 340 e) n.a. 1. 2. 3. 4 5. 6. 7. 8. 9. c c a b d d c e e 10. 11. 12. 13 14. 15. 16. 17. 18. d b c c d e e e c 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. b d b d c b a b d 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35 36. a e c b c a d e d 37. 38. 39. a a e
