concreto armado I

CONCRETO ARMADO CONCRETO:

Es el

material constituido por la mezcla en ciertas proporciones de cemento, agua, agregados y opcionalmente aditivos, que inicialmente denota un elemento plástico y moldeable que posteriormente adquiere una consistencia rígida con propiedades aislantes y resistentes, lo que hace un material ideal para la construcción.

Agregado Agregado Cemento AguaAditivo

Grueso fino

En los aditivos se encuentra: - Incorporadores de aire.

- Reductores de agua.

- Retardadores de fragua.

- Plastificantes.

El esquema típico de la estructura del cemento endurecido:

PROPORCIONES TÍPICOS EN VOLUMEN ABSOLUTO DE LOS COMPONENTES DEL CONCRETO

COMPONENTES:

Es la resistencia a la compresión a los 28 días de probeta cilíndrica (15cmx30cm) curadas bajo al agua.

CONCRETO ARMADO

Es el concreto simple cuando lleva embebido armadura de acero como refuerzo y diseñado bajo hipótesis de que los materiales trabajan conjuntamente actuando la armadura para soportar esfuerzos de tracción o incrementar resistencia a la compresión del concreto.

º º S

C

Fe

ESFUERZOS:

Se denomina así a las fuerzas interiores que se generan en un cuerpo que está bajo la acción de una carga.

La dirección y el sentido de la fuerza o carga con respecto alcuerpo determinaran la clase de esfuerzo que producen por la dirección y el sentido de las fuerzas sobre un elemento estructuras estas generan esfuerzos de:

COMPRESIÓN: TRACCIÓN:

Cuando el elemento se coloca con la dirección mayor de la sección transversal en la dirección de las fuerzas aplicadas su rigidez aumenta, pudiendo soportar más carga con menos deformación. i) ii) a>b>c>0 Donde: i) Es menos resistente. ii.) Es más resistente.

 Para el elementos estructurales de sección rectangular el momento de inercia esta dado por: 12 , 12 3 3 _hb I bh I_XX  _yy 

 Columnas de sección circular se deforman con igual facilidad en cualquier dirección por acción de una fuerza.

4 .r4 I

IXX  YY 

 La sección cuadrada se deforma igual en la dirección de las cuatro caras.

12

4

12

3

.

a

a

a

YY

I

XX

I







CARACTERÍSTICAS EL CONCRETO

RESISTENCIA A LA TENSIÓN DEL CONCRETO: (

f

ct ₎

La resistencia la tensión es relativamente baja, Una buena aproximación para la resistencia a la tensión es:

0.10

f '

c _<

f

ct _<0.20

f '

c Dónde:

f

_{ct : Esfuerzo de tracción del concreto.}

f '

_{c : Resistencia a la compresión del concreto.}

Es más difícil de medir la resistencia a la tensión que la resistencia a la compresión, debido a los problemas de agarre con las máquinas de prueba. Existen varios métodos para la prueba de tensión el más utilizado es la prueba de rotura o prueba brasileña:

- CURVA ESFUERZO DEFORMACION

OBTENIDA LAS PRUEBAS:Utilizando experimentos cilíndricos de concreto cargada en

compresión axial por varios minutos.

A: Sección transversal del cilindro.

D: Diámetro mayor.

H: Altura del cilindro de concreto.

f '

_c

₌

f '

c 0.7

f '

_c 0.4

f '

_c

e =

cm/m

0.00

H

D

=2

f =

P

A

Hasta cerca del 40% de la resistencia ultima del concreto (

f '

c _{) puede en esencia}

considerarse lineal para todos los casos prácticos.

Después de aproximadamente el 70% de esfuerzo de falla del material pierde una parte importante de su rigidez.

Bajo la carga última se puede observar con mucha facilidad grietas paralelas a la dirección de la carga.

MODULO DE ELASTICIDAD (Young)



El valor máximo corresponde.

A una deformación unitaria de 0.002 y el colapso corresponden A una deformación que varía de 0.003 a 0.009 dependiendo de

La calidad del concreto.

PARA UNIDADES MÉTRICAS. ' 3 ' 5 . 1 15000 / 3 . 2 4300 c C c c c c f E m Tn f E     

- La pendiente inicial de la tangente a la curva se define como del módulo de tangente inicial y es también posible construir un módulo tangente en cualquier punto de la curva. - El modulo secante de la elasticidad del concreto se determina con la pendiente de la línea recta que une el origen con un esfuerzo dado (alrededor de 0.4

f '

c _{). Este valor}

llamado en el cálculo de diseño módulo de elasticidad, satisface la suposición practica de que las deformaciones que ocurran durante la carga puedan considerarse básicamente elásticas (completamente recuperables en la descarga) y que cualquier deformación posterior debida a la carga se considera como flujo plástico.

CONTRACION.- Existen dos y tipos básicos de contracción:

1. CONTRACCIÓN PLÁSTICA.- ocurre en las primeras horas después de colocar el concreto fresco en los moldes (losas de concreto son los más afectados por la exposición al aire seco debido a una gran superficie de contacto. En tales casos la humedad de la superficie del concreto se evapora más rápidamente antes de ser reemplazada por el agua exudada de las capas más bajas).

2.

CONTRACCIÓN POR DESECACION.-Ocurre después de que el concreto ha

alcanzado su fraguado final y se ha completado una buena parte del proceso químico de hidratación en el GEL-CEMENTO; es la disminución en el volumen de un elemento del concreto.

3° Se coloca corrugaciones superficiales en el acero.

4° Los coeficientes de dilatación térmica en ambos materiales son similares (0.000012 en el acero y 0.000010en el concreto). Lo que evita el agrietamiento y otros efectos indeseables debido a la dilatación térmica no prevista.

5° el concreto protege al acero de la corrosión y el fuego (Fig. “a”).

Diagrama de Esfuerzo Deflexión del Acero

(Fig. “a”)

1. Tensiones pequeñas crecen proporcionalmente a las deformaciones, valida la ley de Hooke.

2. Límite de proporcionalidad hasta este punto las tensiones son consideradas prácticamente elásticas.

3. Límite de desligación, las deformaciones son cada vez más acentuadas observándose a continuación una ligera caída en las deformaciones aunque las tensiones continúan en el mismo ritmo.

ESPECIFICACIONES PARA EL ACERO DE CONSTRUCCIÓN

(Fierro Corrugado ASTM A615-GRADO 60 - Norma Técnica Peruana 341.031 Grado 60) En el país se fabrica aceros laminados en caliente con las siguientes características:

a. Resistencia a la tracción: 6210 – 6330 (Kg/cm2₎

b. Límite de fluencia : 4140 – 4220 (Kg/cm2₎

c. Alargamiento en 20cm: 9%

d. Corrugaciones : Norma ASTM-A-615 e. Módulo de elasticidad : _{ES= 2x106Kg/cm2}

Los aceros trabajados en frio no se utilizan en concreto armado.

COMPOSICIÓN QUÍMICA: - Carbono. C = 0.44 % aproximado. - Azufre. S = 0.06 % aproximado. - Fosforo. P = 0.05 % aproximado. - Fierro. Fe = 98.00 % aproximado. - Otros. 1.20 % aproximado.

- _{Peso específico del acero es 7850 Kg/m}3

La longitud nominal en tramos rectos, es de 9 metros (hasta 25mm de



nominal) y de 12

metros (desde 25mm



nominal). La tolerancia en el largo es de



150 a 50 mm. Algunas características del acero constructivo son:

PESO METRICO DEL FIERRO CORRUGADO, SEGÚN ASTM A 615 GRADO 60 Y LA NORMA TECNICA PERUANA NTP 341.031 2001

DIMENSIONES Y PESOS NOMINALES

 La barra de 6mm se comercializa en rollos de 440 kg (



1/4).  Se suministran en paquetes de 1 Tn, 2Tn y 4 Tn.

SEPARACIÓN DE LAS VARILLAS Y RECUBRIMIENTO PARA EL ACERO DE REFUERZO REQUISITOS DE LA NORMA A.C.I 318-08

1. La distancia libre entre varillas paralelas en una hilera no debe ser menor del diámetro de la varilla db ó 1’’ (25.4 mm).

e = 2.5 cm mínimo.

TM = tamaño máximo

2. La distancia libre entre varillas longitudinales en columnas no debe ser menor de 1.5db ó 1 ½’’ (38.1mm) la separación no menor a: 1.5db, 1.3 del tamaño máximo del

agregado grueso ó 4 cm.

3. El mínimo recubrimiento libre en vigas y columnas de de concreto vaciado en el lugar no debe ser menor de 1.5’’ (38.1 mm) cuando no exista exposición a la intemperie o contacto con el suelo.

RECUBRIMIENTO DE VARILLAS

- Zapata (elemento expuesto al terreno)=7.5 cm. - Cuando se utiliza falsa zapata =4.00 cm.

- Columnas y vigas peraltadas = 4.00 cm.

- Losas macizas y/o aligerado = 2.00 cm.

- Vigas chatas =2.00 cm. MUROS DE CONTENCION db 2.5 cm 1.3 TM

e=

¿

fuerza normal, momento flexiónate, momentos torsionantes.

2. Se acepta la hipótesis de secciones planas. Las secciones planas antes de las deformaciones, continúan como antes, durante y después del proceso de carga.

3. El concreto una vez agrietada no resiste el esfuerzo de tracción directo (sin embargo al tratar de fuerzas cortantes se acepta que el concreto resista alguna tracción).

4. Haya perfecta adherencia entre el concreto y el acero es decir no existe desplazamientos del acero con respecto al concreto. Por la tanto las deformaciones unitarias en un punto del concreto y dela cero adyacente tendría el mismo valor.

5. La relación entre los esfuerzos y deformaciones en una estructura de concreto armado, es la misma que la relación de esfuerzos y deformaciones en las curvas características de los materiales acero y concreto.

METODOS DE DISEÑO EN CONCRETO ARMADO

Entre los métodos clásicos de diseño en concreto armado y los más utilizados, podemos citar los siguientes:

1. Método de las cargas de servicio o esfuerzos admisibles (conservador, de poco uso). 2. Método de resistencia a la rotura.

Así mismo se conocen los siguientes métodos (no es tema del presente). - Método de los Estados límites.

- Diseño por capacidad.

- Diseño plástico.

1. METODO DE LAS CARGAS DE SERVICIO O ESFUERZOS ADMISIBLES

Está basado en las condiciones de esfuerzo bajo cargas de servicio considerando el factor de seguridad mediante los esfuerzos admisibles.

Las cargas se usan para el diseño por este método son las cargas muertas calculadas y las cargas vivas especificadas por los reglamentos.

1.1. DISEÑO DE VIGAS SIMPLEMENTE REFORZADAS POR EL METODO DE ESFUERZOS PERMISIBLES O ESFUERZOS DE TRABAJO.

3 1 k j r n n k fc fs r Ec n      

LOS MOMENTOS MÁXIMOS PERMISIBLES BAJO CONDICIONES DE SERVICIO

M= A

_S

x f

_s

xjd Cuando controla elacero

M=

f

c

2

xKxjxb d

2

Cuando controlael concreto

La cuantía de las tensiones equilibradas (ρe) se obtienes igualando momentos.

d j fs As d j k b fc. . . . 2  . . . 2r(n r) n e    e  

Si , El acero alcanza su máxima tensión admisible para cargas inferiores a las del concreto y el momento admisible será dada por.

Si ρ>ρe, El acero alcanza su máxima tensión admisible para cargas inferiores a las del concreto y el momento admisible será dada por.

Problema 1:

Hallar el momento permisible de la viga cuya sección transversal se muestra en la figura; si:

f

y

=4200 Kg/(cm

2

)

f ´

c

=175 Kg /(cm

2

n=

Es

Ec

=

2 x 10

6

15000 x

√

2

175

=10.08

As=4 ∅3 /4 =4x2.84=11.36 {cm} ^ {2}

ρ=

11.36

48 x 25

=0.00947

Luego:

ρn=9.5 x 10

−3

x 10=0.095

k =

√

2

0.095

2

+

2 x 0.095−0.095=0.351

j=1−

k

3

=1−

0.351

3

=0.883

3 Calculamos momentos:

a Cuando el acero controla:

M= A

_s

f

_s

jd=11.36 x 1680 x .883 x 48=808,890 kg−cm

b Cuando el concreto controla:

M=

f ´

c

2

kjbd

2

=

78.75

2

x 0.351 x .883 x 25 x 48

2

_{=702,928 kg−cm}

Controla el concreto por ser el de menor valor.

Problema 2:

Una viga de 7.2m de luz soporta una carga viva de servicio de 940 kg/my una carga muerta de 560 kg/m; dimensione la sección transversal de la viga si las calidades de los materiales son:

f

_y

=4200

_{Kg/ (}

_cm

2

f ´

_c

=210

_{Kg/ (}

_cm

2

)

“En este método no se mayoran las cargas”.

SOLUCION:

1 Determinamos los esfuerzos de trabajo:

f

s

=0.4 x f

y

=1680 Kg/(cm

2

)

f

c

=0.45 x f ´

c

=94.5 Kg/(cm

2

)

2 Calculamos el peso propio de la viga:

b=

h

2

, h=

L

10

ó

L

12

Asumo:

h=

7.2

₁₂

=0.60 m=60 cm

Se estima que la sección sea: 0.30*060

m

2

Wpv=0.30 x 0.60 x 2.4=0.432

_Tn/m

3 Determinamos la carga de servicio:

W=D+L+Wpv =0.940+0.560+0.432 =

1.932Tn/m

4 Determinamos el momento máximo:

M

_max

=

(

w L

2

₎

8

=

1.932 x 7.2

2

8

=12.52tn−m

5 Factores Adimensionales:

n=

E s

Ec

=

2 x 10

6

15000 x

√

2

210

=9.2=9

j=1−

3

=1−

3

=0.888

6 Determinamos la sección transversal:

M=

f ´

c

2

kjbd

2

12.52 x 10

5

=

94.5

2

x 0.336 x 0.888 xbx d

2

bx d

2

=88807.63

Si: b=30 cm

d=

√

2

88807.63

30

=54.4

Comprobando:

h=d+r +∅

2

+

∅

_estr

2

=54.4+4+

1.59

2

+0.78=59.98 ≅60

7 Calculo del refuerzo:

A

_s

=

M

f

s

jd

=

12.52 x 10

5

1680 x 0.888 x 54.4

=15.35 c m

2

A

_s

=3 ∅1 ó A

_s

=2∅ 1+2∅

3

4

1.2.

DISEÑO DE VIGAS DOBLEMENTE REFORZADAS POR EL MÉTODO DE ESFUERZOS PERMISIBLES O ESFUERZOS DE TRABAJO

M2=momento de la parte de la fig. “D”.

MOMENTO RESISTENTE TOTAL.

M1 + M2 = M As = As1 + As2

M1: momento que la viga toma acero en compresión. jd fs M As   1 2 1 ₂ kjbd fc M   

El momento adicional será.

`) ( ´ ´ 1 )) ´/ ( ( 2 ´ ´) ( ´ ´ ´) ( 2 2 2 d d s f M As s f k d d k fs s f d d s sf A d d fs As M          

Problema 1:

Calcule el momento permisible para una viga doblemente reforzada y cuya sección se muestra en la figura, los materiales utilizados:

f

_y

=4200

_{Kg/ (}

_cm

2

)

f ´

c

=280 Kg /(cm

2

)

s y

f

c

=0.45 f ´

c

=

0.45 x 280=126 Kg/(cm

2

)

2 Factores Adimensionales:

n=

Es

Ec

=

2 x 10

6

15000 x

√

2

280

=7.97 ≅ 8

r=

f

s

f

c

=

1680

126

=13.333333

k =

n

n+r

=

8

8+13.333333

=0.375

j=1−

k

3

=1−

0.375

3

=0.875

3 Calculo de

M

1

, A s

1

:

M

₁

=

126

2

x 0.375 x 0.875 x 30 x 45

2

_{=1´ 255,816 kg−cm}

A s

₁

=1 ´

255,816

1680 x 0.875 x 45

=18.984 c m

2

.El área del acero adicional es:

A

s 2

=

A

s

−

A

s 1

=31.680−18.984=12.696 c m

2

4 Calculamos el esfuerzo de trabajo de acero a compresión:

(

k −

d

´

d

)

1−k

<

f

s

f ´

_s

=2 f

_s

¿

f ´

_s

=1263.4

kg

c m

2

<

1680

kg

c m

2

… … … .. ok ‼

5 Calculamos las fuerzas que ocasionan

A s

2

y A ´

s

:

A ´

_s

f ´

_s

=15.30 x 1263.4=19330 kg=19.33 tn

Controla el menor: 19.33 tn 6 El momento será:

M

2

=

A

s 2

f

s

(

d−d

´

₎

=12.969 x 1680 x (45−6.3)=825,443.14 kg−cm

M

2

=

A

s´

f ´

s

(

d−d ´)=19330 ( 45−6.3)=748,071kg−cm

Controla el menor

M

2

=7.48 tn−m

El momento será:

M=M

₁

+

M

₂

=12558+7.48=20.08 tn−m

DISEÑO DE VIGAS EN “T” POR MÉTODO DE ESFUERZOS PERMISIBLES O ESFUERZOS DE TRABAJO

) ( * ´ hf kd kd fc x hf kd x kd c f      P or semejanza de triángulos.

Generalmente se ignora los esfuerzos del rectángulo qrst, tampoco puede usarse:

n r k   1 1 Por equilibrio: ΣFH=0 ; C = T





_{b hf} kd hf kd fc hf b kd hf kd fc fc       )  2 2 ( 2 / ) ( Para el equilibrio.

3 ... ... ... ... ... ) ( ) ( 5 . 0 1 .. .. 2 : 2 . ... ) 1 ( 1 1 : 1 ... ... 2 2 2 d hf n d hf n k en ahora k n k fs fc fc n fs k pero hf b kd hf kd fc fs bd Asfs                     

El brazo del par interno es:

)

(

3

6

2

1

)

(

)

(

2

6

(

6

2 3

d

hf

n

d

hf

d

hf

d

hf

j

z

d

jd















   



El momento resistente:

jd hf b kd hf fc M jd fs as M           ) 2 1 ( .. .. Conservadoramente: 2 hf d jd   Problema:

bw=25cm b=? S=2.75 B=2.5 M=? 1º DETERMINAMOSEL ANCHO.

ESFUERZOS MAXIMOS PERMISIBLES.

cm

d

Ec

Es

n

cm

kg

fy

cm

kg

c

f

..

20

.

51

8

.

8

60

10

175

15000

10

2

/

1680

4200

4

.

0

/

75

.

78

175

45

.

0

´

6 2 2





















  

2º ANCHO DEL ALA. (Rige el menor).

m

bw

hf

m

bw

B

m

L

85

.

1

25

.

0

1

.

0

16

16

75

.

2

25

.

0

5

.

2

45

.

11

4

/

8

.

5

4

/





















  b

3 º HALLAMOS CUANTIA.

195

.

0

2

.

51

10

00412

.

0

2

.

51

145

60

.

30

60

.

30

1

.

5

6

2















 

d

hf

bd

As

cm

As



255 . 0 ) 195 . 0 ( 0412 . 0 ) 195 . 0 ( 5 . 0 0412 . 0 ) ( ) ( 5 . 0 2 2        d hf n d hf n k   4º

UBICACION DE EJE NEUTRO.

cm hf

que mayor

kd0.2551.213.0.. .. .. 10

En este caso como el eje neutro esta fuera de la base se diseña como viga “T”.

92

.

0

)

195

.

0

(

3

6

)

0412

.

0

2

1

(

)

195

.

0

(

)

195

.

0

(

2

)

195

.

0

(

6

6

)

(

3

6

2

)

(

)

(

2

(

6

2 3 2 3























    

d

hf

n

d

d

d

j



Si la capacidad está controlada en el esfuerzo del acero.

M= Asxfxjd=30.60 x 1680 x 0.923 x 51.20=24.294 Tn/m

Calculamos el esfuerzo que se produce en el concreto.

2. DISEÑO POR EL METODO DE RESISTENCIA A LA ROTURA

Se hace una separación entre las posibilidades de exceso de carga y de deficiencia de resistencia.

La carga muerta calculada y la carga viva del reglamento se manifiestan usando factores de carga con el fin de obtener las cargas de rotura a usarse en el diseño. Las cargas muertas “D” tienen una variabilidad mucho menor que las cargas vivas “L”.

 CARGA MUERTA: Se considera el peso real de los materiales que conforman y de

los que deberá soportar una estructura, se calcula en base a los pesos unitarios.

CARGAS MÍNIMAS REPARTIDAS EQUIVALENTES A LA TABIQUERÍA

CARGAS EQUIVALENTES



_{Kg/ m}2



SE AÑADE LA CARGA MUERTA

PESO DEL TABIQUE



_{Kg/ m}2



90 150 - 259

150 250 – 399

210 400 – 549

270 550 – 699

 CARGAS VIVAS: E s el peso de todos los ocupantes, materiales, equipos, muebles y

otros elementos móviles separados por la edificación.

CARA VIVA DE PISO REPARTIDO

OCUPACION Y USO CARGA REPARTIDA





2 / m Kg Almacenes 500 Corredores y escaleras 400 Aulas 300

Garajes para parqueo de automóviles 250

Hospitales (sala de operación,

laboratorio) 300

Hoteles (cuartos) 200

Salas de computación 350

Tiendas (corredores y escaleras) 500

Viviendas 200

OTRO TIPO DE CARGAS

 Carga para aceras, pista barandas, parapetos

 Carga viva de techo

 Cagas vivas móviles

 Cargas de viento

 Cargas de sismo

FACORES DE CARGA Y MARGENES DE SEGURIDAD DEL A.C.I







₁

₂

_x

1

L

D

L

D

FS







Estructuras sujetos a carga muerta, viva y de viento ultima a C U L D U     arg 7 . 1 4 . 1 H =

Carga debida a presión lateral, totales como la resaltante del suelo en un muro de reducción. F = Cargas laterales debidas a la presión del fluido.

Para la carga de sismo deberán considerarse los siguientes condiciones. E = Carga de sismo.

FACORES DE REDUCCION DE RESISTENCIA

La resistencia de una unidad estructural calculada por medio de los procedimientos actuales establecidos se llama RESISTENCIA NOMINAL.

ESTA RESISTENCIA NOMINAL se reduce utilizando un factor de reducción de

resistencia



, para tomar en cuenta las inexactitudes en la construcción, totales como en las dimensiones o presiones del refuerzo o variación en las propiedades. La resistencia reducida del miembro se define como la resistencia de diseño del miembro.

FACTORES DE REDUCCION DE RESISTENCIA

 

 ACI - 2008 ACI - 2011 U = 1.4(D+F) U = 1.4D U = 1.2(D+F+T)+1.6 L+H)+0.5(L o S, o R) U = 1.2D+1.6L+0.5(L o S, o R) U = 1.2D+1.6( L o S, o R)+(1.0L, o 0.8W) U = 1.2D+1.6(L o S, o R)+(1.0L o 0.5W) U = 1.2D+1.6W+1.0L+0.5( L o S, o R) U = 1.2D+1.0W+1.0L+0.5( L o S, o R) U = 1.2D+1.0E+1.0L+0.2S U = 1.2D+1.0E+1.0L+0.2S U = 0.9D+1.6W+1.6H U = 0.9D+1.0W U = 0.9D+1.0E+1.6H U = 0.9D+1.0E

FLEXION EN VIGAS Se considera las siguientes hipótesis:

1. Se supone una distribución lineal de la deformación. Esta suposición se basa en las hipótesis de bernoulli en la que las reacciones planas antes de la flexión permanecen planas y perpendiculares al eje neutro después de la flexión. 2. La deformación en el acero y en el concreto que lo rodea es la misma antes del

agrietamiento del concreto o de la fluencia del acero.

3. Las vigas son elementos estructurales que transmiten cargas externas transversales que provocan momentos flexiónate y fuerzas cortantes en la longitud.

4. Las tracciones dividen a la flexión en cualquier punto dependientemente de la deformación en dicho punto, es decir están regidas por el diagrama “esfuerzo deformaciones”.

5. La

distribución de esfuerzos cortantes en el espesor de la sección depende de la sección transversal y del diagrama de esfuerzos estos esfuerzos de corte son

ELEMENTOS ESTRUCTURALES FACTOR

 



- ACI 2008

Vigas o losas: Flexión 0.90

Columnas con estribo 0.70

Columnas zunchadas 0.75

Columnas que soportan cargas axiales muy pequeñas

0.70 – 0.90 ó 0.75 – 0.90

b

I

Q

V

v

.

.



Dónde: V = Esfuerzo cortante. V = fuerza cortante

Q = momento estático respecto al eje neutro.

I = momento de inercia de la sección respecto al eje neutro. b = ancho de la viga.

1. Cuando las tensiones en las fibras extremas son inferiores al límite de profundidad (cumple que la ley de HOOKE), la viga se comporta elásticamente y se obtiene.

2. El eje neutro pasa por el centro de gravedad de la sección transversal. 3.

directamente proporcional a la distancia del eje neutro y es máxima en las fibras extremas.

c

I

S

S

M

I

Mc

f





,



S= modulo resistente de la sección transversal



f

Esfuerzo de flexión a una distancia de la fibra neutra. M = Momento flector extremo en la sección.

I = Momento de inercia de la sección transversal respecto al eje neutro. C = Distancia del eje neutro a la fibra extrema.

Las vigas de concreto simplemente como elemento de flexión por que la resistencia a la tracción del concreto en flexión (módulo de rotura)es una pequeña fracción de la resistencia a la compresión. En consecuencia dichas vigas fallan en el lado traccionado a cargas pequeñas, mucho antes que la resistencia del concreto en el lado comprimido haya sido utilizada al máximo. Por esta razón se coloca las barras de refuerzo en el lado traccionado lo más cerca a la fibra extrema en tracción.

La tracción producida por los momentos flectores es resistida principalmente por el refuerzo de acero, mientras que el concreto por si solo es usualmente capaz de resistir la compresión resultante.

El sistema de cargas iremos incrementando en magnitud y observamos el comportamiento del elemento hasta que se produzca la rotura. Se observara tres etapas claramente definida de su comportamiento y son:

a. ESTADO ELASTICO NO AGRIETADO.- Los refuerzos solicitantes de tracción ene

l concreto son inferiores a la resistencia del concreto, según su módulo de rotura. Es decir la sección trabajada en su parte inferior a tracción y en su parte superior a compresión. El acero trabaja a tracción y aun se presenta grietas en el concreto (la relación del esfuerzo y deformación es lineal).

El comportamiento de una viga de concreto armado sometida a una carga creciente, para sección fisurada.

El comportamiento de una viga de concreto armado sometido a una carga en crecimiento o punto de rotura.

Al incrementarse la carga la resistencia a la tracción del concreto se alcanza rápidamente y en esta etapa se forman las grietas de tracción. Estas se propagan rápidamente hacia arriba hasta el nivel del plano neutro o cerca del, el cual a su vez se desplaza hacia arriba conforme progresa la grieta.

En las vigas bien diseñadas es espesor de esta grieta es suficiente pequeño de modo que son observables de la protección contra la corrosión.

Evidentemente en una sección fisurada el concreto no transmite tracciones por siguiente el acero debe tomar toda la tracción. Bajo la acción de cargas moderadas, si

Si la carga se considera adecuadamente los esfuerzos y deformaciones aumentan y dejan de ser proporcionales, por consiguiente la distribución de esfuerzos en el lado comprimido de la viga tiene la misma forma que la curva esfuerzo – deformación.

c. ESTADO DE ROTURA.- Al incrementar cargas las grietas y el eje neutro continúan

progresando hacia arriba, pero la relación de esfuerzos ya no es lineal y finalmente se produce la falla del elemento. Esto puede producirse de tres maneras.

I. FALLA POR FLUENCIA DEL ACERO.- Se produce en vigas con poca cantidad

de acero, en donde de alcanza el esfuerzo de fluencia del acero antes que se haya agotado el esfuerzo de compresión del concreto. En el elemento se produce grandes deformaciones las grietas progresan disminuyendo la zona de compresión, hasta que se produce el APLATAMIENTO DEL CONCRETO (FALLA SECUNDARIA) y finalmente el colapso, esta falla es de tipo DUCTIL.

II. FALLA POR APLASTAMIENTO DEL CONCRETO.- Se presentan en vigas con

gran cantidad de acero (SOBREREFORSADOS) o con cantidad moderada de acero, pero con alto esfuerzo de fluencia.

Al incrementar las cargas se alcanzan la capacidad de compresión del concreto antes que el acero comience a fluir se produce el aplastamiento del concreto y el colapso del concreto es tipo de falla es del TIPO FRAGIL.

III. FALLA BALANCEADA.- Es un estado idealizado en que la falla se produce

simultáneamente por APLATAMIENTO DEL CONCRETO y el acero esta justamente iniciando la fluencia.

DIAGRAMA DE ESFUERZO DEFORMACION DEL ACERO

1.- FALLA POR APLASTAMIENTO y

s Y

S₁





;

f

1



f



2.- FALLA POR FLUENCIA y s Y S2





;

f

2



f



3.- FALLA BALANCEADA y s Y S3





;

f

3



f



ESTUDIO DE LOS ESFUERZOS EN LOS TRES ESTADOS 2.1. ESTADO ELASTICO NO AGRIETADO

E

cc

E

ct

f

c

E

s

E

s EN

f

s

f

s

f

c1 1

SECCION DEFORMACIONES ESFUERZOS











c

fc

c

fs

s

1



Los esfuerzos en el concreto y acero se comportan elásticamente, la deformación en el acero y en el concreto circundante es igual (no hay desplazamiento relativo entre el concreto y el acero).

c

s

fc

fs







1 ……….. (1)

c

s









c f Ec15000 '

_

_s

= 2x10⁶ kg/cm² → módulo de elasticidad del acero. → módulo de elasticidad del concreto.

1

fc

fs





………(2) 1

fc

= esfuerzo del concreto en el punto 1.

fs

= esfuerzo del acero.

La fuerza de tracción en el acero será:

)

(

fc

1

s

sfs













………. (3)

=

=

La expresión (3) indica que para calcular los esfuerzos, se puede sustituir el área del acero por un área adicional del concreto (A = nAs). Esta nueva sección se denomina sección transformada.

Ejemplo. Una viga rectangular en las dimensiones mostradas en la figura está reforzada

con 3 barras de 1”. La resistencia cilíndrica del concreto es f´c = 210 kg/cm² y laᶲ resistencia a la tracción por flexión (módulo de rotura) igual al 15% f´c.

El punto de fluencia del refuerzo es fy = 4200 kg/cm². Determinar los esfuerzos producidos por un momento flector de 5.50 Tn – m.

DATOS: s  = 3Φ 1”

c

f ´

=210kg/cm²

fy

= 4200 kg/cm²



fr

15% f´c



= 5.50 TN – m Solución:

1) Sustituimos el área del acero por un área adicional de concreto.

s  = 3x5.10 = 15.30 cm²



fr

0.15 x 210 = 31.50 kg/cm²

210

15000



Ec

E

_c = 217, 371 kg/cm²,

s



= 2x10⁶ kg/cm²

c

s









t cm s x _{        }  9.2 9 ( 1) (9 1)15.30 122.40 2 371 , 217 10 2 6  

=

=

t 

El área equivalente se muestra en la figura. Su centro de gravedad se puede calcular tomando momentos al centro de gravedad del rectángulo mayor.

cm²

36

.

34

4

.

1747

1

.

034

,

60

40

.

122

65

25

59

4

.

122

2

65

65

25











y

y

x

x

x

El momento de inercia de la sección transformada será: (

t



). )² y Αt(d yg)² y Α( Ιx Ιt     ……….(∞) 4 135 572 12 3 65 25 12 3 cm , x bh Ιx   4 85 . 5621 2 32.5) -6 25x65(34.3 ² ) (yyg   cm 

4 66 . 312 , 74 2 34.36) -122.40(59 cm )² y Αt(d   Estos valores en (∞)

4

51

.

069

,

652

66

.

74312

85

.

5621

135

.

572

cm

Ιt









a) ESFUERZO DE TRACCION EN EL CONCRETO

   c f 2 / 85 . 25 51 . 069 , 652 ) 36 . 34 65 ( 5 10 5 . 5 ) ( cm k g x t y h fct       

2

/

85

.

25

kg

cm

31.50kg/cm² =

˂ fr La sección no está agrietándose.

b) ESFUERZO DE COMPRESION EN EL CONCRETO

2 / 98 . 28 51 . 069 , 652 36 . 34 5 10 5 . 5 cm kg x x t y fcc      ˂f´c= 210kg/cm²

c) ESFUERZO DE TRACCION EN EL ACERO

Primero hallamos el esfuerzo de tracción del concreto en el lugar donde se halla el acero de refuerzo. t Y fc    . 1 1 6 36 . 34 65 1 65 6 1      y y y ;



1

y

El esfuerzo que se produce en el acero será: 2 / 02 . 187 78 . 20 9 1 x k g cm fc fs



  2 / 02 . 187 k g cm fs ˂ 2 / 4200k g cm fy

2.2. ESTADO ELASTICO AGRIETADO

Co

mo ya se dijo el esfuerzo de compresión del concreto es menor que

c

f ´

2

1

, la sección transformada se muestra a continuación.

Se observa en la figura que la zona achurada será la única que esté trabajando ya que la otra zona está sometida a tracción, pero no trabaja debido a las grietas.

- Tomando momento con respecto al eje neutro (ubicar el eje neutro). Zona en compresión = zona en tracción.

) ( ) 2 (k d s d k d bk d 



 

Ubicando el eje neutro. ) ( 2 2 kd d bd s d k    Definiendo: bd s   

(cuantía del acero en esa sección). Luego:

k

2

d

2

=

ρnd (1−k )⇒ k

2

=2 ρn(1−k )

k

2

=

2 ρnk−2 ρn=0

Resolviendo la ecuación de 2° grado: (simplificado).

n n n k _



_ (



)2 _2



………(I) Además:

3

kd

d

jd





3

1

k

j





………...(II) Del diagrama de esfuerzos:



C

Resultante de esfuerzo en compresión. ) ( 1 k d bfc C 

)

(

)

(

2

1

jd

kd

bfc

jd

C

x















Igualando y simplificando.

kd

bd

fc

2

2

1





………(V) jd Asfs Tjd( )   sjd fs    ………. (VI)

El momento de Inercia de la sección agrietada es:

2 3 _{( )} ) ( 3 k d sx d k d b t    



………….. (VII)

Ejemplo: La viga del ejemplo anterior está sometida a un momento flector M=11.00 TN-m.

Determinar los esfuerzos máximos.

Solución:



= 11 TN – m s  = 3Φ 1” = 15.3cm² cm b25

f ´

c

= 210 kg/cm² cm h 65

fy

= 4200 kg/cm² cm d 59

fr



31.50 kg/cm²

4

51

.

069

,

652

cm

Ι



(Sin agrietar).

Suponiendo que la sección no está agrietada:

2 / 69 . 51 51 . 069 , 652 ) 36 . 34 65 ( 5 10 11 cm kg x c fct       ˂

2

/

50

.

31

kg

cm



La sección está agrietada.

010 . 0 59 25 3 . 15     x bd s  9 ) 010 . 0 ( 2 ) 9 ( ) 010 . 0 ( ) 9 ( 010 . 0 2 ) ( 2 _{  } 2 2 _    n n n k







343 . 0  k

886

.

0

3

343

.

0

1

3

1











k

j

Esfuerzo máximo de compresión:

2 2 5 2 / 19 . 83 886 . 0 343 . 0 ) 59 ( 25 2 1 10 11 2 1 kg cm x x x x x k d bd fc    ˂ 2

/

2

210

cm

kg

ok! Esfuerzo de tracción: 2 5 / 36 . 1375 59 886 . 0 3 . 15 10 11 cm kg x x x sjd fs      ˂

fy

Momento de inercia de la sección agrietada. 2 3 _{( )} ) ( 3 k d sx d k d b t     



- El momento de inercia a disminuido. - El esfuerzo de compresión ha crecido.

2.3. ESTADO DE ROTURA

En este estado los esfuerzos no son ya proporcionales a las deformaciones, por lo tanto no se conocen exactamente el diagrama de esfuerzos de compresión en el concreto, pero en vigas rectangulares se han medido deformaciones de 0.003 a 0.004, inmediatamente antes de la rotura (Asumiremos Ԑu = 0.003).

No es necesario conocer en forma exacta la distribución de esfuerzos en el concreto, sino: (1) La fuerza total de compresión “C” en el concreto.

En este estado los esfuerzos no son proporcionales a las deformaciones, por lo tanto no se conocen exactamente el diagrama de esfuerzos de compresión en el concreto, pero en vigas rectangulares se han medido deformaciones de 0.003 a 0.004, inmediatamente antes de la rotura (Asumiremos εu = 0.003).

No es necesario conocer en forma exacta la distribución de esfuerzos en el concreto, sino: (3) La fuerza total de compresión “C” en el concreto.

(4) La posición de dicha resultante.

Cara en compresion Cara en compresion b d h c A s E _S E c

K1, K2, K3= Parámetros obtenidos experimentalmente.

c = Profundidad del eje neutro. d = Peralte efectivo.

Parámetros de esfuerzos en la resistencia última a flexión de secciones rectangulares que encontraron la prueba de la PCA (Asociación de Cemento Portland).

f´c(kg/cm²) K1 K2 K3

ℇ

c 140 210 280 350 420 490 0.86 0.82 0.79 0.75 0.71 0.67 0.48 0.46 0.45 0.44 0.42 0.41 1.03 0.97 0.94 0.92 0.92 0.93 0.0037 0.0035 0.0034 0.0032 0.0031 0.0029

Valores experimentales para obtener k1 k3 y k2. 72 . 0 3 1   k k para 2 / 280 ´c kg cm f 

y disminuye en 0.04 por cada

2 / 70kg cm Sobre 2 / 280kg cm Por equilibrio: C=T  k1k3f´cbc  Asfs ……….. (1)

C

_z

=

T

_z

C

_z

=

¿

k1k3f´cb(d k2c) (Para compresión) ) (d k f   0.8 0.6 0.4 0.2 0 140 280 420 560 700 k f´c k1 k3 k2

Para falla en tracción. y s



d

c

f

k

k

s

f

c

bd

s

A

b

c

f

k

k

s

f

s

A

c

'

3

1

'

3

1















El momento de rotura será:

) ( _' 3 1 2 ' c y y s u _f f x x k k k d f A 



  ) 1 ( _' 3 1 2 '

_

c y y s u f f x k k k d f A   

Usando valores obtenidos experimentalmente.

59

.

0

72

.

0

425

.

0

3 1 2

_

_

k

k

k

)

' ' _{(1 0.59 } c y y s u f f d f A    

Con valores experimentales.

RESISTENCIA A ROTURA, DISTRIBUCION RECTANGULAR EQUIVALENTE.

La distribución real del esfuerzo de compresión en una sección tiene la forma de una PARABOLA CRECIENTE. Requiere de mucho tiempo evaluar el volumen del bloque de esfuerzos de compresión con esta configuración. En el cálculo de la fuerza de compresión puede utilizarse con facilidad y sin pérdida de exactitud un BLOQUE RECTANGULAR EQUIVALENTE de esfuerzo propuesto por WHITNEY, y por consiguiente a momento flexionante de la sección.

As T=Asfs jd = (d-a/2) C1 = 0.85f´c ba a/2 0.85f´c a c b a=B1c T C (d-a/2) c C T=Asfs 0.85f´c a/2 k3 f´c BLOQUES DE ESFUERZOS EQUIVALENTES SUPUESTO BLOQUE DE ESFUERZOS REALES FIG. 01

ANALIZAREMOS LOS 3 TIPOS DE FALLA EN UNA VIGA

1. SECCION SUBREFORZADA.- (FALLA POR FLUENCIA DEL ACERO)

El acero continua estirándose conforme la deformación en el acero aumenta más allá de y.Ԑ El esfuerzo de fluencia del acero se ha alcanzado antes de haber agotado el esfuerzo de

viga: s y y _E f 



ii) Distribución de la deformación SOBREREFORZADA, sigue la línea Ab2.

s  ˂ y



; s f ˂ y

f

iii) Sección sub reforzada, la falla ocurre por fluencia inicial del acero y sigue la línea Aa3, el acero sigue estirándose.

De la figura (1).

Por condición de equilibrio.

T

C

H

F







0



s s c

ab

A

f

f

'



85

.

0

f

_s

=

f

_y y s c

ab

A

f

f

'



85

.

0

_

a  _0.A₈₅s f_fy_c'_b ……… ) (1 b f f A c a c c a c y s ' 1 1 1 85 . 0







     ………. ) (



Tomamos:

bd

s





ρ

……… ) (



) (



en ) (





1 '

₀

_.

₈₅

_



x

d

f

f

A

c

c y s



……….. ) (



Hacemos: c f fy '





 ……… ) (2 Luego: ) (2 en ) (



c=

ωd

0.85 β

₁



1

18

.

1





d

c



……… (3) El Momento de rotura es: (para tracción).

) 2 ( ' _{A f d} a y s u    ……… (4) Sabemos que:

b

f

f

A

a

c y s '

85

.

0



bd

As





d

c

f

Asfy

a

'

.85

0







0.

85

d

a





d a  1.18



) 2 18 . 1 ( ' _{bdf d d} y u 









'

) 2 18 . 1 1 ( 2 ' '

c

f

bd f f c y u 







 ) 59 . 0 1 ( 2 ' _



'

_



_u

f

_c

bd ………... (7) ó también: ) 59 . 0 1 ( _' ' c y y s u f f d f A 



 

2. SECCION SOBREREFORZADA.- (FALLA POR CONTRACCION DEL ACERO)

La falla ocurre por aplastamiento inicial del concreto. En la iniciación de la falla la

deformación del acero “

s



” será menor que la deformación de fluencia

y



.

Del diagrama de deformaciones: ) (d c c d

c

u

s

s

c

u

_{  }  











(

)

003

.

0

c

d

c

s







………..( )

s

E

s

s

f





………..(  ) ( ) en (  )

s

E

c

d

c

s

f



0

.

003

(



)

………. (



) También: c a 



1 ………. (1)





1 a c  (1) En (



)

s s

E

a

d

a

a

E

d

fs

0

.

003

(

)

)

(

003

.

0

1 1 1 1

















……… (2) Por equilibrio: T C  s s c

ab

A

f

f

'



85

.

0









_



s s c

d

a

E

a

A

ab

f

0

.

003

(

)

85

.

0

'



₁ ………. (3) También: bd As   ………. (4) (4) en (3)









_



s s c

d

a

E

a

A

ab

f

0

.

003

(

)

85

.

0

'

_

₁ s c

a

d

a

dE

f

0

.

003

(



)



85

.

0

1 2 '

_

_

d

a

d

a

E

f

s c

₍

₎

003

.

0

85

.

0

1 2 '











E

s

a

d

ad

c

f





₁

2

2

003

.

0

'

85

.

0





Luego: 0 003 . 0 85 . 0 2 1 2 '        d ad a E f s c





Resolviendo esta ecuación se obtiene “a”.

)

2

(

85

.

0

' '

_f

_ad

_d

a

c u







3. FALLA BALANCEADA

Para una cuantía específica de acero, éste alcanza la resistencia de cedencia fy y

simultáneamente el concreto alcanza la deformación a compresión de la fibra extrema de 0.003. y s f f  y s





 s y E f s 



………( )

De los triángulos semejantes del diagrama de deformación, se tiene:

b b c c d u s _ 





………..(



)

ε

_u

=0.003

( ) en (



): d

c

_b DIAGRAMA DE DEFORMACIONES b s y c d E f  



fy c _c _d



d f E u E u c y s s b         

_



003 0.  u



d y f s E u s E u b c ( )  





2 6

10

2

x

kg

cm

Es



/

y b f d c   6000 6000 ……….. (1) También: d f E E a y s s b 1 003 . 0 003 . 0

_

 

a

b _{= peralte del bloque de esfuerzos rectangulares para una falla balanceada.}

Por equilibrio: T C  , en consecuencia se tiene: y s b ca b A f f '  85 . 0

bd

A

_s







fcabb



bbdfy ' 85 . 0

Para falla balanceada.

y b c b

bdf

b

a

f

'

85

.

0







y b c b

df

a

f

'

85

.

0





……….. (2) b b

c

a





₁ ……… ………. (3)

b y c b

c

bdf

f

1 '

85

.

0







……… (4) (1) en (4)

)

6000

6000

(

85

.

0

' ₁ y y c b

f

d

df

f









)

6000

6000

(

85

.

0

' 1 y y c b

f

d

df

f











Si:



< b



_ falla a tensión. Si:



> b



_ falla a compresión. 1



= Factor de profundidad del bloque de esfuerzo.

1



=0.85 para

2

/

280

'

_kg

_cm

f

_c



y disminuye 0.05 por cada

2

/

70

kg

cm

sobre

2

/

280

'

_kg

_cm

f

_c



.

b



= cuantía balanceada (cantidad de acero que hace que la viga falle simultáneamente por fluencia y aplastamiento) solo depende de las calidades del acero y del concreto.

i) As = 25.81 2 cm ii) As = 51.61 2 cm

iii) La correspondiente a la falla balanceada.

Solución:

a) Calculamos la cuantía balanceada.

0368

.

0

)

2810

6000

6000

(

2810

210

85

.

0

85

.

0







x

x

d

b



i) As = 25.81 2 cm

0229

.

0

45

25

81

.

25

_





x

bd

A

_s



< b



¡Ocurre falla a tensión o por fluencia! Momento de rotura será:

) 59 . 0 1 ( _' '

_

c y y s u f f d f A   

Para la falla a fluencia o tracción.

) 0229 . 0 210 2810 59 . 0 1 ( 45 2810 81 . 25 ' _{x x x} u    m tn cm kg u     ' 2´673,635 26.74 ii) As = 51.61 2 cm .

0459

0

45

25

61

51

.

.





x



> b



¡Ocurre una falla a compresión!

Luego, hallaremos “a” profundidad del eje neutro.

0 003 . 0 85 . 0 2 1 2 '        d ad a E f s c





;

85

.

0

1





0

)

45

(

85

.

0

45

0459

.

0

10

2

003

.

0

210

85

.

0

2 2 6



















_a

_a

x

x

x

x

0

1721

45

648

0

_.

_a

2

_

_a

_

_



_a

2

_

69

.

4

_a

_

2656

_

0

)

2

(

85

.

0

' '

_f

_ab

_d

c u







Para falla a compresión.

cm kg x x x u         _   3´829,483 2 43 . 27 45 25 43 . 27 210 85 . 0 ' m tn u   ' 38,29 iii)

0368

.

0







b



El Momento de Rotura será:

)

59

.

0

1

(

_' 2 ' c y y u

f

f

f

bd











………(*) Ó también:

)

59

.

0

1

(

'

2 '

_

_

_

_



_u

bd

f

_c

………(**) Con:

bd

As





y ' c y f f







Reemplazando en cualquiera de las ecuaciones, adoptamos el (**).

49

.

0

210

2810

0368

.

0





x



)

49

.

0

59

.

0

1

(

49

.

0

210

45

25

2 '

_x

_x

_x

_x

u







cm kg u   ' 3703300.26

PROBLEMA 02- Una viga de concreto

simplemente armada (

2

280

kg

cm

f

'

c



/

) tiene la sección transversal que se muestra en la figura. Determinar si la viga es sobre reforzada o sub reforzada y si satisface los requisitos de la norma ACI para los porcentajes máximos y mínimos del refuerzo para:

a) 2 / 4200 ' _{kg cm} y f  b) 2 / 2800 ' _{kg cm} fy  .

para una apropiada redistribución de momentos.

De aquí que para vigas el A.C.I limita la cantidad máxima del acero a 75% de la requerida para una sección balanceada. En los casos prácticos, la relación del refuerzo As/bd no deberá exceder del 50% para evitar congestionamiento del refuerzo y facilitar la colocación adecuada del concreto.

b





max.



0.

75

Por otra parte la norma establece el acero mínimo requerido como.

fy

14

. min





UNIDADES METRICAS

fy

200



. min



UNIDADES INGLESAS 55cm48cm 25cm a/2 d-a/2 E T C a= ß1c c 0.85f'c c E S Solución:

- Determinamos la cuantía balanceada:

        4200 6000 6000 1 85 . 0 ' y c b f f   UNIDADES METRICAS.