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TAREA DE MEDE METODOS TODOS NUMERICOSNUMERICOS (PERIODO SEP 2011- FEB 2012) (PERIODO SEP 2011- FEB 2012) CAPITULO 1. CALCULO DE ERRORES
CAPITULO 1. CALCULO DE ERRORES 1.
1. Redondee los siguientes números a tres Redondee los siguientes números a tres cifras significativascifras significativas a. a. 9.755 9.755 b. b. 7,555 7,555 x x 1010-3-3 c. 0,269124 x10 c. 0,269124 x1022 d. 0,999500d. 0,999500 e. e. 6325,0002 6325,0002 f. f. 789,436789,436 2.
2. Determinar la cantidad de cifras Determinar la cantidad de cifras significativas para los siguientes númerossignificativas para los siguientes números aproximados: aproximados: a. 719,275 a. 719,275 0,0035 0,0035 b. b. 1,247851,24785 0,00070,0007 c. 263,32 c. 263,32 0,01 0,01 d. d. 0,0450,045 0,00030,0003 e. 983,17 e. 983,17 0,0065 0,0065 f. f. 0,00870,0087 0,00050,0005 3.
3. Calcule el error aCalcule el error absoluto y relativo en las aprobsoluto y relativo en las aproximaciones de A por ximaciones de A por a:a: a. A = a. A = , , a a = = 22/7 22/7 b. b. A A = = e, e, a a = = 2,7182,718 c. A = e c. A = e1010, , a a = = 22000 22000 d. d. A A == 22, a = 1,414, a = 1,414 e. A = 10 e. A = 10, , a a = = 1400 1400 f. f. A A = = 8!, 8!, a a = = 3990039900 4.
4. Encuentre el Encuentre el intervalintervalo más o más grande en grande en que debe que debe encontrarse encontrarse a a para que para que aproximaproxime e AA con un error relativo máximo de 10
con un error relativo máximo de 10-4-4para cada valor de Apara cada valor de A a.
a. b. b. e e c.c. 22 d.d. 33 77
5.
5. Calcular los errores de las Calcular los errores de las siguientes expresionesiguientes expresiones:s: a. a. E E D D A A C C B B X X 4 4 3 3 2 2 5 5 , donde A= 7.48 , donde A= 7.48 0.02, B =65.840.02, B =65.84 0.03, C=215.370.03, C=215.37 0.02, D =0.02, D = 3.48 3.48 0.01, E = 82.650.01, E = 82.65 0.010.01 b. b. 3 3 4 4 4 4 3 3 2 2 F F E E D D C C B B A A X X , donde A= 2.73, donde A= 2.73 0.001, B =6450.001, B =645 0.002, C=3.210.002, C=3.21 0.001,0.001, D = 792 D = 792 0.002, E = 1.890.002, E = 1.89 0.001, F = 6170.001, F = 617 0,0020,002 c. c. 4 4 3 3 3 3 5 5 2 2 3 3 4 4 4 4 3 3 2 2 L L K K J J I I H H G G F F E E D D C C B B A A X X A = 65,63 A = 65,63 0,001 0,001 B B = = 526,8526,8 0,02 0,02 C C = = 3,4513,451 0,0010,001 D = 1875,2 D = 1875,2 0,03 0,03 E E = = 2,4812,481 0,002 0,002 F F = = 825,7825,7 0,020,02 G = 10,36 G = 10,36 0,001 0,001 H H = = 37,4237,42 0,001 0,001 I I = = 1,5341,534 0,0020,002 J = 475,21 J = 475,21 0,003 0,003 K K = = 2,9322,932 0,001 0,001 L L = = 1796,11796,1 0,020,02
d. d. 2 2 4 4 3 3 3 3 5 5 3 3 5 5 2 2 4 4 3 3 2 2 4 4 3 3 4 4 3 3 Q Q P P O O Ñ Ñ N N M M L L K K J J I I H H G G F F E E D D C C B B A A X X A = 6,63 A = 6,63 0,001 0,001 B B = = 56,856,8 0,02 0,02 C C = = 3,453,45 0,0010,001 D = 7,28 D = 7,28 0,003 0,003 E E = = 298,81298,81 0,002 0,002 F F = = 2,642,64 0,0020,002 G = 450,36 G = 450,36 0,001 0,001 H H = = 3,423,42 0,001 0,001 I I = = 91,53491,534 0,0020,002 J = 4,21 J = 4,21 0,001 0,001 K K = = 62,3262,32 0,001 0,001 L L = = 6,176,17 0,0010,001 M = 875,21 M = 875,21 0,001 0,001 N N = = 3,513,51 0,001 0,001 Ñ Ñ = = 796,15796,15 0,0020,002 O = 5,21 O = 5,21 0,002 0,002 P P = = 259,36259,36 0,001 0,001 Q Q = = 6,176,17 0,0020,002
d. d. 2 2 4 4 3 3 3 3 5 5 3 3 5 5 2 2 4 4 3 3 2 2 4 4 3 3 4 4 3 3 Q Q P P O O Ñ Ñ N N M M L L K K J J I I H H G G F F E E D D C C B B A A X X A = 6,63 A = 6,63 0,001 0,001 B B = = 56,856,8 0,02 0,02 C C = = 3,453,45 0,0010,001 D = 7,28 D = 7,28 0,003 0,003 E E = = 298,81298,81 0,002 0,002 F F = = 2,642,64 0,0020,002 G = 450,36 G = 450,36 0,001 0,001 H H = = 3,423,42 0,001 0,001 I I = = 91,53491,534 0,0020,002 J = 4,21 J = 4,21 0,001 0,001 K K = = 62,3262,32 0,001 0,001 L L = = 6,176,17 0,0010,001 M = 875,21 M = 875,21 0,001 0,001 N N = = 3,513,51 0,001 0,001 Ñ Ñ = = 796,15796,15 0,0020,002 O = 5,21 O = 5,21 0,002 0,002 P P = = 259,36259,36 0,001 0,001 Q Q = = 6,176,17 0,0020,002
CAPITULO 2. ECUACIONES NO LINEALES CAPITULO 2. ECUACIONES NO LINEALES 1.
1. Determinar las raíces reales de las siguientes ecuaciones, mediante el método de laDeterminar las raíces reales de las siguientes ecuaciones, mediante el método de la bisección, r
bisección, regla falsa, Newegla falsa, Newton-Raphson y ton-Raphson y Secante.Secante. a. a. f f (( x x)) 00,,66 x x22 22,,44xx55,,55 b. b. f f (( x x)) 44 x x33 66 x x22 77xx22,,33 c. c. 22 33 44 55 8 8 44 44 91 91 85 85 26 26 )) (( x x x x x x x x x x xx f f d. d.
ee
x x 22xx 22coscosx
x
6600 2.2. Determinar las raíces reales e imaginarias de las siguientes ecuaciones, mediante elDeterminar las raíces reales e imaginarias de las siguientes ecuaciones, mediante el método de Muller y Bairstow.
método de Muller y Bairstow. a.
a. f f (( x x)) x x44 22 x x33 66 x x22 22xx55 b.
b. f f (( x x)) 00,,77 x x33 44 x x22 66,,22xx22
Resolver los siguientes problemas de aplicación a
Resolver los siguientes problemas de aplicación a la ingeniería:la ingeniería: 3.
3. Una reacción química reversibleUna reacción química reversible 22 A A B B C C se caracteriza por la relaciónse caracteriza por la relación
de equilibrio de equilibrio bb aa cc C C C C C C K
K 22 . Si k = 0,015, C. Si k = 0,015, Ca,oa,o= 42, C= 42, C b,o b,o= 30 y C= 30 y Cc,oc,o = 4, calcule x.= 4, calcule x. 4.
4. Las siguientes reacciones químicas se llevan a cabo en un sistema cerradoLas siguientes reacciones químicas se llevan a cabo en un sistema cerrado C C B B A A 2 2 A A D D C C En equilibrio, éstas
En equilibrio, éstas pueden caracterizarse por pueden caracterizarse por
bb aa cc C C C C C C K K 11 22 d d aa cc C C C C C C K K 22 Si k
Si k 11= 4x10= 4x10-4-4, k , k 22= 3,7x10= 3,7x10-2-2, C, Ca,oa,o= 50, C= 50, C b,o b,o= 20 y C= 20 y Cc,oc,o= 5 y C= 5 y Cd,0d,0 = 10, calcule x= 10, calcule x11 y xy x2.2.
5.
5. El volumen V de un líquido contenido en un tanque horizontal cilíndrico de radio r yEl volumen V de un líquido contenido en un tanque horizontal cilíndrico de radio r y longitud L esta relacionado con la profundidad del líquido h
longitud L esta relacionado con la profundidad del líquido h por por L L hh hh r r hh r r r r hh r r r r V V 22coscos11 (( )) 22 22 Determine h para r = 2 m, L = 5 m Determine h para r = 2 m, L = 5 m33 y V = 8 my V = 8 m33.. 6.
6. El volumen del líquido contenido en un tanque esférico de radio r está relacionadoEl volumen del líquido contenido en un tanque esférico de radio r está relacionado con la profundidad h del líquido
con la profundidad h del líquido por por
3 3 3 3 2 2 r r hh hh V V Determine h para r = 1 m y V = 0,5 m3.
7. Si se compra una pieza de un equipo que cuesta $ 25000 al contacto y en pagos de $ 5500 al año durante 6 años. ¿ que tasa de interés se está pagando?. La fórmula que relaciona el valor presente P, los pagos anuales A, el número de años n y la tasa de interés es
1 1
1 1 n n i i P A8. Los problemas necesarios para pagar una hipoteca de una casa durante un período fijo de tiempo requieren la ecuación
(1 ) 1
i n
i P A
En la que A es el importe de la hipoteca, P es el importe de cada pago e i es la tasa de interés por periodo para n periodos. Supongamos que se necesita una hipoteca de $ 135000 por una casa a 30 años y que los pagos máximos que puede realizar el cliente son de $ 1000 dólares mensuales. Cual será el interés más alto que podrá pagar
9. El factor de fricción f, depende de varios parámetros relacionados con el fluido y el tamaño de la tubería, que se puede representar por el número de Reynolds Re. Una fórmula que predice f es la ecuación de Von Karman
Re
0,4 log 4 1 f f Si Re es 40000, determinar el valor de f10. La siguiente relación entre el factor de fricción f y el número de Reynolds Re se cumple cuando hay flujo turbulento de un fluido en un tubo liso
) (Re ln 74 , 1 4 , 0 1
f
f
Si el número de Reynolds Re = 10000, encontrar el factor de fricción f
11. El siguiente polinomio se puede usar para relacionar el calor específico a presión cero del aire seco, c p KJ/ (Kg K), con la temperatura:
4 14 3 11 2 8 4 10 9520 , 1 10 5838 , 9 10 7215 , 9 10 671 , 1 99403 , 0 x T x T x T x T c p
Determine la temperatura que corresponde a un calor específico de 1,2 KJ/(Kg K)
12. En un termo, el compartimiento interior está separado del compartimiento intermedio por vacío. Alrededor del termo hay una última capa, que está separada de
la capa intermedia por una delgada capa de aire. La parte exterior de la última capa está en contacto con el medio ambiente. El flujo de calor desde cada región del termo debe ser igual, es decir, q1 = q2 = q3. Encuentre las temperaturas T1 y T2 en
estado estacionario. Si Toes 500 oC y T3es 25 oC
4
1 4 9 1 10 273 273 T T q o
1 2
2 4 T T q
4/3 3 2 3 1,3 T T q 13. La forma general de un campo tridimensional de esfuerzos esta dado por
16 15 25 15 7 14 25 14 10 zz yz xz yz yy xy xz xy xx
1,2 y3se obtiene de la ecuación 3 I 2 II III 0
zz yy xx I 2 2 2 yz xz xy zz yy zz xx yy xx II yz xz xy xy zz xz yy yz xx zz yy xx III 2 2 2 2 Encuentre1,2y 3.
14. El esfuerzo máximo de tensión máx en una barra de sección rectangular es 9152
lb/pulg.2 y el momento de torsión T es de 800 lb-pulg. Si el ancho de la barra w es de 1,2 pulg., determinar el espesor t adecuado para esta barra.
w t t w T 8 . 1 3 2 máx
15. El rendimiento de un motor viene dado por la siguiente ecuación
) 1 ( 1 1 1 1 1 c p p k c p k k r r k r r r r e
Si las relaciones r k = 12, r p = 4, r c= 8 y el rendimiento es del 25 %. Cuál será el valor de
k.
16. La tensión de corte en un resorte helicoidal viene dada por la siguiente ecuación
2 3 4 8 d F d D F
Si la tensión de corte es 50000 lb/pulg2, la fuerza F es de 15 lb y el diámetro del resorte es de 3 pulg. Determinar cuál deberá ser el diámetro d del alambre.
17. Para un cojinete de rodillos cónicos la capacidad de carga radial FR de catálogo
viene dada por la siguiente ecuación
10 3 5 . 1 1 / 1 ln 48 . 4 / R n L n L F F D D R R D RSi la capacidad de carga radial FR es de 10500 kg, la carga radial de diseño FD es 15000
Kg., la duración nominal de catálogo LR es 10000 horas y la duración de diseño LD es
13000 horas, la velocidad nominal nR es 2500 rpm y la velocidad de diseño nD es 3600
rpm. Cual es su confiabilidad R.
18. La longitud efectiva L p de una banda en V viene dada por la siguiente ecuación
C d D d D C L p 4 57 . 1 2 2 Si la longitud efectiva L p es 160 pulg., el diámetro de la polea mayor D es 14 pulg., el
diámetro de la polea menor es 9 pulg. Determinar la distancia entre centros C apropiada. 19. El movimiento de una estructura se define mediante la siguiente ecuación para una
oscilación amortiguada: t w e y kt cos 10
Para un desplazamiento de y = 2,5, siendo k = 0.35 y w = 4. Determinar el tiempo inicial necesario
20. En estudios sobre recolección de energía solar un campo de espejos planos en un colector central, un investigador obtuvo la siguiente ecuación para el factor de concentración geométrica C:
A
A
D
F
A
h
C
cos 5 , 0 sen 1 5 , 0 cos / 2 2 donde A es el ángulo de anillo del campo, F es la cobertura fraccionaria del campo con los espejos, D es el diámetro del colector y h es la altura del mismo. Encuentre A, si h = 300, C = 1200, F = 0,8 y D = 14.
21. El sistema de amortiguación de un vehículo tiene como modelo la siguiente ecuación diferencial 0 2 2 x m k dt dx m c t d x d
la solución general de la ecuación diferencial es la siguiente
pt p n x pt x e t x nt ocos o sen donde n = c/(2m), 2 2 2 2 4 4 m c m k y m c m k p Los valores de los parámetros son c = 2.5 x 107 g/seg., k = 2.5 x 109 g/seg2, y m = 3 x 106 g. Si xo = 0,3, determinar la primera y segunda ocasión en que el auto pasa a través
del punto de equilibrio.
22. Un circuito eléctrico tiene como modelo la siguiente ecuación diferencial
0 2 2 c q t d q d R t d q d L
la solución general de la ecuación diferencial es la siguiente
t L R c L e q t q Rt L o 2 2 / 2 1 cosDeterminar el tiempo necesario para que el circuito disipe el 12 % ( q/qo = 0.12 ) de su valor original, dado R = 300 , c = 10-4 F y L = 4 H
23. La ecuación de Manning para un canal vertical esta dada por
3 2 ) 2 ( ) ( 3 5 H B n H B S Q
donde Q = al flujo (m3/s), S = pendiente (m/m), H = profundidad (m) y n es el
coeficiente de rugosidad de Manning. Determinar el valor de H para Q = 5, S = 0,0002, B = 20 y n = 0,03.
24. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales a. x2 + x – y2= 1 b. x2+ y2+ z2 = 9
y – sen x2= 0 xyz = 1
x + y – z2= 0
c. d.
CAPITULO 3. ECUACIONES LINEALES 1. Resolver los siguientes sistemas por el método más apropiado
a. 2 x1+ x2+ 4 x3 = 7 b. 11 x + 3 y – z = 15 2 x1 – x2 – x3 = -5 2 x + 5 y + 5 z = -11 3 x1 + 4 x2 – 5 x3= -14 x + y + z = 1 c. x1 – 4 x2 - x4= 6 d. 3 x1 – 2 x2 – 5 x3 + x4= -5 x1+ x2+ 2 x3+ 3 x4= -1 2 x1 – 3 x2 + x3 + 5 x4= 7 2 x1+ 3 x2 – x3 – x4 = -1 x1 + 2 x2 - 4 x4= 1 x1 + 2 x2+ 3 x3 – x4 = 3 x1 – x2 – 3 x3+ 9 x4= -4 e. x1 + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4 = 5 f. 4 x1+ x2 – x3 = 7 2 x1+ x2+ 2 x3+ 3 x4= 1 x1+ 3 x2 – x3 = 8 3 x1+ 2 x2+ x3+ 2 x4= 1 -x1 – x2+ 5 x3+ 2 x4= -4 4 x1+ 3 x2+ 2 x3+ x4= -5 2 x3 + 4 x4 = 6
2. Calcular las reacciones y fuerzas internas para todos los miembros de la armaduras mostradas en las figuras:
3. Calcular las corrientes y voltajes de los circuitos mostrados en las figuras:
4. Determinar las corrientes en los siguientes circuitos.
1 2 3 4 5 6 V1 = 25 V V6 = 200 V R = 30 R = 20 R = 5 R = 15 R = 5 R = 10 7 1 2 3 4 5 6 V1 = 5,5 V V6 = 0 R = 3 R = 2 R = R = 4 R = 3 R = 5 i12 i52 i32 i43 i54 V 2 2 1 7 i35 i56 i67
5. Realice los cálculos necesarios en los sistemas mostrados en las siguientes figuras
6. Problemas sobre distribución de recursos:
a. Para fabricar tres tipos de aleaciones de Aluminio de:
Aluminio (%) Magnesio (%) Silicio (%)
Tipo 1 80 15 5
Tipo 2 85 12 3
Tipo 3 90 7 3
Si se dispone de 150 Kg de Al, 25 Kg de Mg y 8 Kg de Si. Cuanto de cada aleación se debe producir
b. Para fabricar tres tipos de llantas se requiere:
Caucho (kg) Nylon (Kg) Alambre (kg)
Tipo 1 6 1 2
Tipo 2 8 2 3
Tipo 3 15 3 6
Si se dispone de 1531 kg de caucho, 381 Kg de Nylon y 589 Kg de alambre. . Cuantas llantas de cada tipo se debe fabricar.
c. Para fabricar tres tipos de autos se requiere:
Metal (kg/auto) Plástico (Kg/auto) Caucho (kg/auto)
Tipo 1 1500 25 100
Tipo 2 1700 36 120
Tipo 3 1900 42 160
Si se dispone de 106 ton. de metal, 2,17 ton.de plástico y 8,2 ton.de caucho. Cuantos autos de cada tipo se debe fabricar.
30 60 u = 0,5 u = 0,2 u = 0,3 30 Kg 15 Kg 50 Kg
7. Problemas sobre balance de materia y energía:
a. En la figura, se muestras tres reactores conectados por tuberías. La velocidad de transferencia de las sustancias químicas a través de cada tubería es igual a la velocidad reflujo Q (m3/seg) multiplicada por la concentración del reactor de donde proviene el flujoc (mg/m3). Desarrolle las ecuaciones del balance de masa para los reactores y resuelva .
b. Para el mismo problema anterior. Si Q33= 150, Q13 = 50, Q12= 70, Q23= 50 y Q21=
30 m3/seg.
c.Un proceso de extracción en etapas se muestra en la figura. Una corriente que contiene una fracción de peso yentradade una sustancia química entra desde la izquierda con una
velocidad de flujo de masa de F1. En forma simultanea, un solvente que tiene una
fracción de peso xentradaentre desde la derecha con una velocidad F2. Así en la etapa i, un
balance de masa se representa como
i i i i i i y x K X F Y F X F Y F 1 1 2 1 1 2
En cada etapa, se supone que se establece un equilibrio K entre yi y x i.
0 1 1 1 2 1 2 1 i i i K y F F y K F F y
Si F1= 400 Kg/h, yentrada = 0,1, F2= 800 Kg/h, xentrada=0 y K =5, determine los valores
d. Una reacción irreversible A→B de primer orden tiene lugar en cuatro reactores . La velocidad a la cual A se transforma en B se representa como Rab K V C . Los reactores tienen diferentes volúmenes y como se operan a diferentes temperatura, cada uno tiene una velocidad de reacción diferente.
Determine la concentración de A y B, en estado estacionario, para cada uno de los reactores.
e. Un intercambiador de procesos químicos consiste de una serie de reactores en los cuales un gas fluye de izquierda a derecha sobre un líquido que fluye desde la derecha a la izquierda. La transferencia química desde el gas dentro del líquido ocurre a una velocidad que es proporcional a la diferencia entre la concentración del gas y el líquido en cada reactor. En estado estacionario, el balance de masa para el primer reactor puede ser escrito para el gas como
1 1
0 1 G G L G Go G C Q C D C C Q Y para el líquido
1 1
0 1 2 L L G L L LC Q C D C C QDonde QG y QL son las velocidades de flujo del gas y el líquido respectivamente, y D =
velocidad de intercambio del gas y el líquido. Similares balances se pueden escribir par los otros reactores. Resuelva para los valores de las siguientes concentraciones dadas QG= 2, QL= 1 , D = 0,8, CGo= 100, CL6= 20.
CAPITULO 4. AJUSTE E INTERPOLACION AJUSTE
1. Emplear regresión para ajustar los siguientes datos y determinar el coeficiente de correlación R.
a. Ajustar los siguientes datos a un modelo lineal
y
a
o a
1x
x 2 3 4 5 6
y 6 8 11 13 17
b. Ajustar los siguientes datos a un modelo parabólico
y
2 a
o a
1x
x 2 3 4 5 6
y 2,26 2,53 2,77 3,00 3,21
c. Ajustar los siguientes datos a un modelo logarítmico
y
a
1lnx
a
oX 1,5 2 2,5 3 3,5
Y 2,66 3,31 3,81 4,22 4,57
d. Ajustar los siguientes datos al modelo siguiente
y
a
oe
a1 xX 2 3 4 5 6
Y 4,0 6,7 11,2 18,3 30,1
e. Ajustar los siguientes datos al modelo siguiente a1
o
x
a
y
X 1 2 3 4 5
Y 1,2 1,9 2,6 3,2 3,7
f. Ajustar los siguientes datos al modelo siguiente
x
a
x
a
y
o 1 X 3 6 9 12 15 Y 0,6 0,7 0,74 0,77 0,78g. Ajustar los siguientes datos al modelo siguiente
y
a
x
1bx
2cX1 5 6 7 8 9 10
X2 2 2,5 3 3,5 4 4,5
Y 5,10 5,91 6,67 7,39 8,08 8,75
X1 0 1 2 0 1 2
X2 2 2 4 4 6 6
Y 19 12 11 24 22 15
Calcule además el coeficiente de determinación para evaluar la eficiencia del ajuste. 2. En una fábrica de rodamientos se realizan experimentos para determinar la vida útil
de los rodamientos L y se obtienen los resultados de capacidad de carga C y de presión P. C P L 15000 1000 2868.75 16000 900 4775.85734 17000 800 8156.34766 18000 700 14452.4781 19000 600 26991.4352 Si el modelo b P C a L
, determinar los coeficientes a y b.
3. En un experimento se obtuvieron los datos que se muestran en la tabla adjunta. Ajustar los mismos al modelo exponencial a x
oe
a y 1
X 1 2 3 4 5
Y 1.98 3.26 5.38 8.87 14.62
4. Nosotros conocemos que el número específico de revoluciones de una bomba viene dado por a1 a2
O
s a P H
n , donde P es la potencia en W y H la altura en metros. Si los datos obtenidos al realizar la experimentación en una bomba son los siguientes:
ns P H rpm CV m 200.622 1 5 119.291 2 10 88.011 3 15 70.931 4 20
Determinar la ecuación que nos permite obtener el número de revoluciones específicas en función de la potencia y de la altura.
5. Las pérdidas en una tubería está en función del caudal Q y del diámetro D. Si la ecuación a1 a2
o
L a Q D
h es el modelo resultante para predecir las perdidas en la tubería. Utilizando regresión lineal múltiple en los datos de la tabla siguiente, hallar los coeficientes del modelo.
Q D hL 3 1 0.04435 4 1.5 0.01057 5 2 0.00396 6 2.5 0.00188 7 3 0.00103
6. Experimentalmente se determinan los siguientes valores de capacidad calorífica C para varias temperaturas de un gas.
7. Use regresión y determine un modelo para predecir C como una función de T.
Se sabe que la resistencia a la tensión de un plástico aumenta en función del tiempo cuando se trata con calor y se obtienen los siguientes datos
Ajuste una línea recta a estos datos y use la ecuación para determinar la resistencia a la tensión correspondiente a 30 min.
8. Se reunieron los siguientes datos para determinar la relación entre presión y temperatura de un volumen fijo de 1 Kg de nitrógeno. El volumen es de 10 m3.
Emplee la ley de los gases ideales P V = n R T para determinar R, basándose en estos datos.
9. Se realizó un estudio de ingeniería de transporte par determinar el diseño adecuado de carriles de bicicletas y distancias promedio entre bicicletas y carros en
circulación. Los datos obtenidos de 11 calles son:
a. Grafique los datos
b. Ajuste una línea recta a los datos mediante regresión lineal.
c. Si la distancia promedio mínima segura entre las bicicletas y los carros en circulación se considera de 7 pies, determine el ancho de carril mínimo correspondiente.
10. Los datos sobre la velocidad de deformación ε, el tiempo en el cualla deformación
aumenta y el esfuerzo se muestran en la tabla. Usando un modelo de potencia ajustar los datos y encuentre los valores de By de m. ε = Bσm
INTERPOLACION
1. Dados los datos siguientes, obtenga los polinomios de interpolación de Newton de orden 4 y determine la función para x = 1,75
x 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
f (x) 4,7 8,0 15,7 36 81,7
2. Dados los datos siguientes, obtenga los polinomios de interpolación de Lagrange de orden 4 y determine la función para x = 2,5
x 1 2 3 4 5
f (x) -2 10 80 304 826
3. Dados los datos siguientes, obtenga los polinomios de interpolación segmentaria cuadrática y cúbica y determine la función para x = 2,5
x 2 2,5 3 3,5 4
f (x) 2,85 8,76 17,58 31,38 18,75
4. Dados los datos siguientes, obtenga los polinomios de interpolación de Newton de orden 4 y determine para una función f (x) = 0,875 cual es el valor de x
x 1 2 3 4 5
f (x) -2 10 80 304 826
5. Se llevan a cabo los siguientes experimentos y se determinan los siguientes valores de capacidad calorífica ( C ) a varias temperaturas ( T) para un metal
T -50 -20 10 70 100 120
C 0,125 0,128 0,134 0,144 0,150 0,155
Determine C para T = 90 oC y 140 oC
6. Se mide la caída de voltaje ( V ) a través de una resistencia para cierto número de valores de la corriente ( i ). Los resultados obtenidos son
i 0,25 0,75 1,25 1,5 2,0
V -0,25 -0,33 0,70 1,88 6
Determine V para i = 0,9 y 3.
7. La viscosidad cinemática del agua ( V) esta relacionada con la temperatura de la manera siguiente:
V (10 - pies2/seg. )
1,66 1,41 1,22 1,06 0,93
Determine V para T = 62 oF y 100oF.
8 . El esfuerzo cortante, en Kips por pie cuadrado de nueve muestras tomadas a distintas profundidades en un estrato de arcilla son
CAPITULO 5. INTEGRACION Y DIFERENCIACION
1. Resolver las siguientes integrales utilizando el número de segmentos que ayuda a obtener la mejor solución mediante métodos numéricos:
a. 12
x
2 x
d
x
b.
s
s
d
s
2 1 4 1 c.x
x
d
x
1 4 2 4 d. 4 0 2 1x
x
d
e.x
e
xd
x
3 0 3 f.e
xx
d
x
) 2 sen( 3 0 3 g.
5
x x x
d x 0 2 ) 2 ( ) 2 ( cos 2 h. 0x
2cosx
d
x
2. Resolver las siguientes integrales múltiples utilizando el número de segmentos que ayuda a obtener la mejor solución mediante métodos numéricos:
a.
2 x yd yd x0 0 b.
x
y
x
y
d
y
d
x
2 2 4 0 4 3 2 ) 3 ( c. 0 14 x
x
y
2d
y
d
x
) ( d. 1 1e xlnx
y
d
y
d
x
e. x
y
z
dz
dy
dx
4 4 6 0 3 1 4 ) 2 ( f.dz
dy
dx
y
z
y
x xy sen 1 0 0 0 g.e
x y zdz
dy
dx
1 0 2 1 5 . 0 0 h. xy
z
dz
dy
dx
y 1 0 1 0 23. Use los términos en serie de Taylor de cuarto orden para estimar f (2) para la función f (x) = e-xusando como punto base x = 1, con un paso h = 0,05
4. Use las aproximaciones de diferencias hacia atrás, hacia delante y centrales para estimar la primera derivada de la función
f (x) = 25 x3 – 6 x2+ 7 x – 88 usando como punto base x = 2,5, con un paso h = 0,25
5. Use las aproximaciones de diferencias hacia atrás, hacia delante y centrales para estimar la primera derivada de la función
f (x) = 0,658 x5 – 8,68 x4+ 41,6 x3 – 88,09 x2 +79,35 x – 23,33 usando como punto base x = 3 con un paso h = 0,25
6. Use las aproximaciones de diferencias hacia atrás, hacia delante y centrales para estimar la segunda derivada de la función
f (x) = 25 x3 – 6 x2+ 7 x – 88 usando como punto base x = 2,5, con un paso h = 0,25
7. Use las aproximaciones de diferencias hacia atrás, hacia delante y centrales para estimar la segunda derivada de la función
f (x) = 0,658 x5 – 8,68 x4+ 41,6 x3 – 88,09 x2 +79,35 x – 23,33 usando como punto base x = 3 con un paso h = 0,25
8. Use las aproximaciones de diferencias hacia atrás, hacia delante y centrales para estimar la tercera derivada de la función
f (x) = 0,658 x5 – 8,68 x4+ 41,6 x3 – 88,09 x2 +79,35 x – 23,33 usando como punto base x = 3 con un paso h = 0,25
9. En un circuito con un voltaje impreso E (t) y una inductancia L, la primera ley de Kirchhoff nos da la siguiente relación
i R dt di L E *
donde R es la resistencia del circuito e i es la corriente. Suponga que medimos la corriente para varios valores de t y obtenemos
t 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04 i 3.20 3.22 3.24 3.28 3.34
donde t se mide en segundos, i se da en amperios, la inductancia L es una constante de 0.882 henrios y la resistencia es de 0.617 ohmios. Aproxime el voltaje E en el valor t = 1.02.
10. En un circuito semejante, la inductancia L es de 0.882 henrios y la resistencia es de 0.617 ohmios. Aproxime el voltaje E en el valor t = 1.05 seg.
t 1.00 1.01 1.05 1.10 1.16 i 3.20 3.22 3.24 3.28 3.34
11. Determinar la velocidad y aceleración de un vehículo cuando transcurren 15 segundos luego que se pone en movimiento, si los datos de tiempos y posiciones son los siguientes
Tiempo 0 5 10 15 20 30
Distancia 0 47 95 189 273 398
12. Calcular la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1000 g de un material desde 0 hasta 900 oC, si la capacidad calorífica c del material considerado esta dada en la siguiente tabla
T,oC 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 C 0,130 0,150 0,170 0,191 0,217 0,232 0,257 0,263 0,270 0,271 El calor necesario viene dado por la siguiente ecuación H = m.c.T
13. Calcular el calor total absorbido por un panel solar de 200000 cm2durante un período de 12 horas. El panel tiene una eficiencia de absorción eab = 0,55 %. El
calor absorbido está dado por
t d A q e H t 0 ab
Tiempo, h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Flujo calor q, Cal/cm2/h 1,62 5,32 6,29 7,8 8,81 8,00 8,57 8,03 7,04 6,27 5,56 3,5414. La concentración química a la salida de un reactor de mezcla completa se mide como
t, min. 0 2 4 6 8 10 12 16
c, mg/m3
10 20 30 40 60 72 70 50
Para una salida de flujo de Q =12 m3/min-, estime la masa de químicos que existe en el reactor desde t = 0 hasta 20 min. (
21
t t cdt
Q
M )
15. Suponga que la corriente a través de un resistor es descrita por la función
t sen ) t 60 ( ) t 60 ( ) t ( i 2
y la resistencia es una función de la corriente R 10i2i23
Calcule el voltaje promedio desde t = 0 a 60 mediante la regla de Simpson de 1/3 de segmentos múltiples (V = i R)
16. Un estudio de ingeniería de transporte requiere el cálculo del número total de autos que pasan por una intersección en un período de 24 horas. Utilice los datos, para estimar el número total de autos que pasa a diario por la intersección Tiempo autos/min. Tiempo autos/min. Tiempo autos/min.
00:00 02:00 04:00 05:00 06:00 07:00 08:00 2 2 0 2 5 8 25 09:00 10:30 11:30 12:30 14:00 16:00 17:00 12 5 10 12 7 9 28 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 24:00 22 10 9 11 8 9 3
17. Hallar el área de la sección transversal de un canal a partir de los siguientes datos mostrados en la figura
18. Hallar el área del campo que se muestra en la figura. Use la regla de Simpson de segmentos múltiples.
19. Durante un estudio, se pide calcular el área del campo que se muestra en la figura. Use las reglas de Simpson para determinar el área.
20. Usando los siguientes datos, calcule el trabajo realizado al estirar un resorte que tiene una constante de K = 3x102N/m en x = 0,45 m
Donde x es la distancia desde el extremo del portaviones. Estime a) la velocidad (dx/dt) y b) (dv/dt) usando diferenciación numérica.
22. El flujo de calor q es la cantidad de calor que fluye a través de una unidad de área de algún material por unidad de tiempo. Este se calcula con la ley de Fourier
donde las unidades de j son J/m2/s o W/m2y k es un coeficiente de conductividad térmica y sus unidades son W/(oC-m), T = temperatura (oC) y x = distancia (m) a lo largo de la trayectoria del flujo de calor. Las siguientes temperaturas se miden desde la superficie (x = 0) hacia el interior de una pared de piedra:
Si el flujo en x = 0 es de 60 W/m2, calcule k.
23. La presión ejerce presión sobre la cara río arriba de una presa como se muestra en la figura. La presión se caracteriza por
Donde p (z) = presión N/m2ejercida a una elevación de z metros por arriba del fondo de la presa; ρ = densidad del agua (103 Kg/m3); g = aceleración debida a la gravedad (9,8 m/s2), y D = elevación (m) de la superficie del agua por arriba del fondo. Debido a que tanto la presión como el área varían con la elevación, la fuerza total se obtiene por
Donde W(z) = ancho de la cara de la presa (m) a la elevación Z. La fuerza total sobre la línea de acción también se obtiene al evaluar
24. Un estudio de ingeniería de transporte requiere el cálculo del número total de autos que pasan por una intersección en un período de 24 horas. Utilice los datos, para estimar el número total de autos que pasa a diario por la intersección Tiempo autos/min. Tiempo autos/min. Tiempo autos/min.
00:00 02:00 04:00 05:00 06:00 07:00 08:00 2 2 0 2 5 8 25 09:00 10:30 11:30 12:30 14:00 16:00 17:00 12 5 10 12 7 9 28 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 24:00 22 10 9 11 8 9 3
25. El trabajo ejercido sobre un objeto es igual a la fuerza por la distancia recorrida en la dirección de la fuerza. La velocidad de un objeto en la dirección de la fuerza está dada por
Donde v = m/s. Emplear la regla del trapecio de segmentos múltiples para determinar el trabajo para todo t si se aplica una fuerza constante de 200 n.
26. Emplee la regla del trapecio de segmentos múltiples para evaluar la distancia vertical recorrida por un cohete si la velocidad está dada por
CAPITULO 6. ECUACIONES DIFERENCIALES ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
1. Resolver las siguientes ecuaciones de primer orden, con dos iteraciones a. y´ 2x3y1, y(1) 5, con h = 0,1 d. y´ xy2, y(0) 0, con h = 0,1 e. y´ (xy)2, y(0) 0,5, con h = 0,1 f. y´ xy y, y(0) 1, con h = 0,1 g. , y(1) 1 x y y x y´ 2 , con h = 0,1 h. y´ 2ycosx, y(0) 1, con h = 0,1
1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de orden superior de valor inicial, con dos iteraciones
a.
y
´´ 3y
´ 2y
6; 0x1, y (0) = y´(0) = 0, con h = 0,1b.
y
´´ 10y
´ 25y
30x
3;1x2, y (1) = y´(1) = 0, con h = 0,1c.
y
´´ 8y
´ 20y
100x
2 26x
e
x;2x3, y (2) = y´(2) = 0, con h = 0,1d.
y
´´ 4y
3sen2x
;0x1, y (0) = y´(0) = 2, con h = 0,1e.
y
´´´6y
´´ 3cosx
;1x2, y (1) = y´(1) = 3, con h = 0,1 f.y
´´´´ y
´´ 4x
2 2x
e
x;0x1, y (0) = y´(0) = 1, con h = 0,1
2. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de orden superior con valores en la fronteras a. ´´ 2 x y y ; y (0) = 4, y (1) = 0, con n = 4 b. y´´ 2y´ y5x; y (0) = 0, y(1) = 0, con n = 5 c. ´´ ´ 2x e ) 1 x ( y 4 y 4 y ; y (0) = 3, y(1) = 0, con n = 6 d. x2 y´´ xyylnx ; y (1) = 0, y (2) = -2, con n = 8
Resolver los siguientes problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
3. La tasa de enfriamiento de un cuerpo se puede expresar como
T
T
a
k
t
d
T
d
donde T es la temperatura del cuerpo (en grados centígrados), Ta es la temperatura del
medio que rodea al cuerpo (también en grados centígrados) y k una constante de proporcionalidad (por minuto). Por lo tanto, esta ecuación especifica que el
enfriamiento es proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio que lo rodea. Si se calienta una bola de metal a 90 ºC y se sumerge en el agua que se mantiene a una temperatura constante Ta = 20 ºC, empléese el método de Runge-Kutta
de cuarto orden para calcular el tiempo que le toma a la bola enfriarse a 80 oC si k = 0.1 min-1.
4. Un contrapeso de 16 lb se une a un resorte de 5 pie de longitud. En la posición de equilibrio, el resorte mide 8.2 pies. El coeficiente de amortiguación es numéricamente igual a la velocidad instantánea. Si el contrapeso se eleva y se suelta del reposo en un punto a 2 pies arriba de la posición de equilibrio, determine los desplazamientos, x(t).
0 2 2 K x dt dx C t d x d m
5. Un contrapeso de 16 lb estira 8/3 pie un resorte. Al principio, el contrapeso parte del reposo a 2 pies debajo de la posición de equilibrio y el movimiento ocurre en un medio que presenta una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a la mitad de la velocidad instantánea. Si el contrapeso está impulsado por una fuerza igual a
f (t) = 10 cos 3 t. Determinar la posición del contrapeso en función del tiempo
6. El circuito mostrado en la figura es descrito mediante la siguiente ecuación diferencial
idt E c 1 i R t d i d LSi R 1 = 6 ohm, R 2 = 10 ohm, R 3= 5 ohm, L = 8 henrios, c = 0.5 faradios y E = 10
voltios. Determinar la corriente i1e i2, luego de transcurridos 0.2 segundos de que se
cierra el circuito (h = 0.1 seg.)
7. El circuito mostrado en la figura es descrito mediante la siguiente ecuación diferencial
idt E c 1 i R t d i d L w w w 6 0.5 F 5 10 8 H 10 V I1(t) I2( t )Si R 1 = 6 ohm, R 2 = 5 ohm, L = 8 henrios, c = 0.5 faradios y E = 10 voltios. Determinar
la corriente i1 e i2, luego de transcurridos 0.2 segundos de que se cierra el circuito (h =
0.1 seg.)
8. En un circuito RCL, la ley de voltajes de Kirchhoff requiere que
) ( 1 2 2 t E q c dt dq R dt q d L
donde q es la carga, L la inductancia, R la resistencia y c la capacitancia. Determínese la carga q del circuito y la corriente i para t = 0.2 segundos con un paso h = 0.1, si L = 0.1 henrios, R = 10 ohmios, C = 0.02 faradios. Si la fuerza electromotriz E(t) = Eo sen t. Suponga que para t = 0, Eo = 12 voltios, q (o) = q´(o) = 0. (Recuerde que
dt dq i ) 9. En un circuito RCL, la ley de voltajes de Kirchhoff requiere que
) ( 1 2 2 t E q c dt dq R dt q d L
donde q es la carga, L la inductancia, R la resistencia y c la capacitancia. Determínese la carga q del circuito y la corriente i para t = 0.2 segundos con un paso h = 0.1, si L = 0.1 henrios, R = 10 ohmios, C = 0.002 faradios. Si la fuerza electromotriz E(t) = Eo sen t. Suponga que para t = 0, Eo = 12 voltios, q (o) = q´(o) = 0. (Recuerde que
dt dq i ) 10. Se tiene un intercambiador de calor de tubos concéntricos en contracorriente y
sin cambio de fase. Las ecuaciones que describen el intercambio de calor en ciertas condiciones de operación son
) T T ( 03 , 0 x d T d B s B ) T T ( 04 , 0 x d T d B s s
Si TBo = 20oC y TS1 = 100 oC, calcular TB1y TSo si el intercambiador tiene una longitud
de 3 m, use el método de Runge-Kutta de cuarto orden
11. Un balance de calor en estado estable para una barra se puede representar como
0 T 1 , 0 x d T d 2 2
obtenga una solución analítica para una barra de 10 m con T (0) = 200 y T (10) = 100 12. Encuentre la curva elástica de una viga con un extremo libre, de longitud L = 5
m y peso constante de w = 300 Kg. Tome La ecuación que rige el comportamiento de la viga es 2 / ) x L ( w ) x ( M y I E ´´ 2 Tome y (0) = 0, y (5) = 0,156, EI = 150000 y h = 0,5 m
13. Una viga rectangular sujeta a carga uniforme, cuando los extremos de la viga están fijos y, por tanto, no experimenta deflexión. La ecuación diferencial que aproxima este fenómeno físico tiene la forma
) L x ( I E 2 x q y I E S x d y d 2 2
Dado que los extremos están fijos y (0) = y (L) = 0. Suponga que L = 350 cm, q = 1 Kg/cm, E = 2 x 106Kg/cm2, S = 400 Kg, I = 2,5 x 104 cm4. Encuentre la deflexión de la viga cada 10 cm
ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
1. Determinar la distribución de temperatura en una placa de 40 cm de ancho por 40 cm de alto, cuyas condiciones son las que se muestran en la figura, tomar un x =y = 10 cm
150o
10º 80o
2. Determinar la distribución de temperatura en una placa de 40 cm de ancho por 40 cm de alto, cuyas condiciones son las que se muestran en la figura, tomar un x = y = 10 cm
150o
10º 80o
100o
3. Determinar la distribución de temperatura en una placa de 40 cm de ancho por 40 cm de alto, cuyas condiciones son las que se muestran en la figura, tomar un x = y = 10 cm
150o
10º 80o
Aislamiento
4. Determinar la distribución de temperatura en una placa de 40 cm de ancho por 40 cm de alto, cuyas condiciones son las que se muestran en la figura, tomar un x = y = 10 cm
150oC
Aislamiento 80oC
Aislamiento
5. Se realiza el proceso de carburación de un acero 1008 (0.08 %C), la materia carburante utilizada tiene un contenido de carbono de 1.30 %. El coeficiente de difusión D del carbono en el acero a la temperatura de tratamiento es de 2.3 x 10-7 cm2/seg. La ecuación que rige este proceso es 2
2 x c D t c , mediante el método implícito determinar la concentración de carbono C alcanzada en el mencionado
acero a 2 mm de espesor utilizando un x = 0,5 mm y t = 2 horas = 7200 segundos , luego de 4 horas de proceso. Tomar
2 x t D 6. Use el método de explicito para calcular la distribución de temperatura en el tiempo 0,2 segundos de una barra larga que tiene una longitud de 20 cm y los siguientes datos: la difusividad = 0,825 cm2/seg, x = 4 cm y t = 0,1 seg. En t = 0, la temperatura de la barra es 6 oC y los extremos de la barra están expuestos a 300 y 150oC respectivamente
7. Use el método de implícito para calcular la distribución de temperatura en el tiempo 0,2 segundos de una barra larga que tiene una longitud de 20 cm y los siguientes datos: la difusividad = 0,825 cm2/seg, x = 4 cm y t = 0,1 seg. En t = 0, la temperatura de la barra es 6 oC y los extremos de la barra están expuestos a 300 y 150oC respectivamente
8. Use el método de Crank-Nicolson para calcular la distribución de temperatura en el tiempo 0,2 segundos de una barra larga que tiene una longitud de 20 cm y los siguientes datos: la difusividad = 0,825 cm2/seg, x = 4 cm y t = 0,1 seg. En t = 0, la temperatura de la barra es 6 oC y los extremos de la barra están expuestos a 300 y 150oC respectivamente.
ECUACIONES DIFERENCIALES ELIPTICAS
1. Aproximar la solución de la ecuación diferencial parcial elíptica
2 0 , 1 0 4 2 2 2 2
y
x
y
u
x
u
u (x, 0) = x2 u ( x, 2) = (x – 2)2 0 < x < 1 u (0, y) = y2 u ( 1, y) = ( y – 1)2 0 < y < 2Use h = k = ½ y compare después los resultados con la solución real u (x, y ) = (x - y)2 2. Aproximar la solución de la ecuación diferencial parcial elíptica
1 0 , 2 1 0 2 2 2 2
y
x
y
u
x
u
u (x, 0) = 2 ln x u ( x, 1) = ln (x2 + 1) 1 < x < 2 u (1, y) = ln ( y2 + 1) u ( 2, y) = ln ( y2+ 4) 0 < y < 1Use h = k = 1/4 y compare después los resultados con la solución real u (x, y ) = ln (x2 + y2)
2 / 0 , 0 ) ( cos ) ( cos 2 2 2 2
y
x
y
x
y
x
y
u
x
u
u (0, y) = cos y u ( , y) = - cos y 0 < y < /2 u (x, 0) = cos x u ( x, /2) = 0 0 < x < Use h = /5 y k = /10 y compare después los resultados con la solución real u (x, y ) = cos x cos y
4. Aproximar la solución de la ecuación diferencial parcial elíptica
1 0 , 2 0 ) ( 2 2 2 2 2 2
y
x
e
y
x
y
u
x
u
xy u (0, y) = 1 u ( 2, y) = e2 y 0 < y < 1 u (x, 0) = 1 u ( x, 1) = ex 0 < x < 2Use h = 0,4 y k = 0,2 y compare después los resultados con la solución real u (x, y ) = exy
5. Una placa rectangular de plata de 6 x 5 cm tiene calor que se genera uniformemente en todos los puntos con una rapidez q = 1,5 cal/cm3.seg. representemos con x la
distancia a lo largo del borde de la placa de una longitud de 6 cm, y con y la distancia a lo largo del borde de la placa de una longitud de 5 cm. Supóngase que la temperatura u a lo largo de los bordes se mantiene en las siguientes temperaturas:
u (x, 0) = x (6 – x) u ( x, 5) = 0 0 < x < 6 u (0, y) = y (5 – y) u ( 6, y) = 0 0 < y < 5
donde el origen se encuentra en una esquina de la placa con las coordenadas (0,0) y los bordes se hallan a lo largo de los ejees po sitivos x y y. La temperatura de estado estable
u = u (x, y) satisface la ecuación de Poisson:
5 0 , 6 0 2 2 2 2
y
x
k
q
y
u
x
u
donde k , la conductividad térmica, es 1,04 cal /cm.deg.seg. Aproxime la temperatura u (x, y) con h = 0,4 y k = 1/3
ECUACIONES DIFERENCIALES PARABOLICAS
1. Aproximar la solución de la ecuación diferencial parcial parabólica por el método implícito y de Crank-Nicolson
t
x
x
u
t
u
0 , 2 0 0 2 2 u (0, t) = u (2, t) = 0 0 < t u (x, 0) = sen /2x 0 < x < 2Use m = 4, T = 0,1 y N = 2, y compare después los resultados con la solución real u (x, t ) = e-(2/4)t sen
/2 x . Recuerde h = l/m, k = T/N y = 2k/h2 1.
2. Aproximar la solución de la ecuación diferencial parcial parabólica por el método implícito y de Crank-Nicolson
t
x
x
u
t
u
0 , 0 0 2 2 u (0, t) = u (, t) = 0 0 < t u (x, 0) = sen x 0 < x < Use h = /10 y k = 0,05 y compare después los resultados con la solución real u (x, t ) = e-t sen x en t = 0,5.
3. La temperatura u (x, t) de una varilla larga y delgada, de sección transversal constante y de un material conductor homogéneo está regida por la ecuación unidimensional de calor. Si se genera calor en el material ( por ejemplo, debido a la resistencia a la
corriente o a la reacción nuclear), la ecuación se convierte en
t
l
x
t
u
K
C
r
K
x
u
0 , 0 2 2 donde l es la longitud, es la densidad, C es el calor específico y K es la difusividad térmica de la varilla. La funci{on r = r (x, t, u) representa el calor generado por unidad de volumen. Suponga que
l = 1,5 cm K = 1,04 cal/cm.deg.seg = 10,6 g / cm3 C = 0,056 cal/g.deg. y que r (x, t , u) = 5,0 cal/cm3.seg
Si los extremos de la varilla se mantienen en 0oC, entonces u (0, t) = u (l, t) = 0 t > 0
U (x, 0) = sen x/l 0 < x < l Use h = 0,15 y k = 0,0225
4. Sagar y Payne analizan las relaciones de esfuerzo-deformación y las propiedades materiales de un cilindro sujeto alternativamente al calentamiento y al enfriamiento, y consideran la ecuación
T
r
t
T
K
r
T
r
r
T
0 , 1 2 / 1 4 1 1 2 2donde T = T (r, t) es la temperatura, r es la distancia radial respecto al centro del cilindro, t es el tiempo y K es el coeficiente de difusividad.
Obtenga las aproximaciones a T (r, 10) paara un cilindro con radio externo 1, dadas las condiciones iniciales y de frontera:
T (1, t ) = 100 + 40 t 0 < t < 10 T (1/2, t) = t 0 < t < 10 T (r, 0) = 200 (r – 0,5) 0,5 < r < 1 Use K = 0,1 y k = 0,5 y h = r = 0,1
ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES HIPERBOLICAS 1. Aproxime la solución de la ecuación de la onda
t
x
x
u
t
u
0 , 1 0 0 2 2 2 2 u (0, t) = u (1, t ) = 0 0 < t u (x, 0) = sen x 0 < x < 1 1 0 0 ) 0 , ( x
x
t
u
Use m = 4, N = 4 y T =1, y compare después los resultados con la solución real u (x, t) = cos t sen x en t = 1.
2. Aproxime la solución de la ecuación de la onda
t
x
x
u
t
u
0 , 1 0 0 2 2 2 2 u (0, t) = u (1, t ) = 0 0 < t u (x, 0) = sen 2 x 0 < x < 1 1 0 2 2 ) 0 , ( x x sen x t u Use m = 4, N = 4 y T =1, y compare después los resultados con la solución real u (x, t) = sen 2x (cos t + sen 2 x en t = 1.
3. Aproxime la solución de la ecuación de la onda
t x x u t u 0 , 5 , 0 0 0 16 1 2 2 2 2 2 u (0, t) = u (0.5, t ) = 0 0 < t u (x, 0) = 0 0 < x < 1 5 , 0 0 4 ) 0 , ( x x sen x t u
Use m = 4, N = 4 y T = 0,5, y compare después los resultados con la solución real u (x, t) = sen t sen 4 x en t = 0,5.
4. En una línea de transmisión eléctrica de longitud l, que conduce una corriente
alterna de alta frecuencia ( llamada línea sin pérdida), el voltaje V y la corriente i se describe por medio de
t
l
x
t
V
C
L
x
V
0 , 0 2 2 2 2t
l
x
t
i
C
L
x
i
0 , 0 2 2 2 2donde L es la inductancia por longitud unitaria y C es la capacitancia por longitud unitaria. Suponga que la línea tiene 200 pies de largo y que las constantes C y L están dadas por C = 0,1 faradios/pies L = 0,3 henrios/pies
Suponga, ademas que el voltaje y la corriente también satisfacen V (0, t) = V (200, t ) = 0 0 < t V (x, 0) = 110 sen x /200 0 < x < 200 200 0 0 ) 0 , (
