ADMINISTRACIÓN DE LAS OPERACIONES I Guía de Programación Lineal
1. Existen 3 fábricas a orillas del río Rímac y cada una vierte 2 tipos de contaminantes al río. Si se procesaran los desechos de cada una de las fábricas, entonces se reduciría la contaminación del río. Cuesta 16 soles procesar una tonelada de desecho de la fábrica 1, y cada tonelada procesada reduce la cantidad de contaminante 1 en 0.20 ton y la cantidad del contaminante 2 en 0.40 ton. Cuesta 12 soles procesar una tonelada de desecho de la fábrica 2, y cada tonelada procesada reduce la cantidad de contaminante 1 en 0.28 ton y la cantidad del contaminante 2 en 0.2 ton. Cuesta 18 soles procesar una tonelada de desecho de la fábrica 3, y cada tonelada procesada reduce la cantidad de contaminante 1 en 0.50 ton y la cantidad del contaminante 2 en 025 ton. La municipalidad de Lima desea reducir la cantidad del contaminante 1 por lo menos en 100 toneladas y la cantidad del contaminante 2 en por lo menos 70 toneladas. Plantee un modelo de PL que minimice el costo de disminuir la contaminación en las cantidades deseadas.
2. En Octubre de este año se inaugurará el nuevo local de la cafetería “Emiliana”, en el principal terminal de transporte terrestre de la capital. Esta cadena forma parte de un grupo de empresas interesadas en conseguir una mejor calidad de vida en hogares con madres solteras, por lo que todas sus meseras son madres solteras.
La administración del local ha decidido que desde su apertura se atenderá durante 18 horas del día, por lo que ha previsto que se requerirá el número de meseras indicado en el tablero a continuación:
Turnos Horas del día Número mínimo de meseras 1 06-09 10 2 09-12 15 3 12-15 15 4 15-18 8 5 18-21 10 6 21-00 4
En el tablero, también se muestra información relacionada con la cantidad de clientes que se estima serán atendidos por cada una de las meseras durante su trabajo en cada turno, por ejemplo, cada mesera trabajando durante el turno 3 atenderá aproximadamente 120 clientes.
Las meseras deben trabajar jornadas de nueve horas consecutivas que deben empezar necesariamente al inicio de alguno de los turnos, por ejemplo, pueden empezar a trabajar a las 6 a.m., pero no a las 7 a.m. La empresa cuenta con políticas salariales que dan incentivos a las meseras que trabajan en los turnos 1, 5 y 6, otorgándoles un bono por “horario difícil” de 100 soles adicionales a su sueldo básico. De igual modo, las meseras que inicien sus jornadas en los turnos con mayor afluencia de público (2 y 3), recibirán un bono por “hora pico” de 120 soles sobre su sueldo básico. El sueldo básico de una mesera es de 1000 soles.
Al efectuar la programación de personal se debe tener en cuenta lo siguiente:
La cantidad de meseras que empiecen su jornada en los primeros tres turnos debe ser por lo menos el 60% del total de meseras contratadas.
Se cuenta con un presupuesto de 6000 soles para el pago de bonos.
Por cada 10 soles invertidos en bonos por “horario difícil” se deberán invertir como máximo 8 soles en bonos por “hora pico”.
Formule el modelo de programación lineal que maximice las utilidades de la cafetería.
3. Un restaurante de comida rápida requiere diferentes cantidades de trabajadores de tiempo completo para atender a los clientes en los días de la semana. La cantidad de trabajadores requeridos se establece en la tabla correspondiente. Las reglas de la empresa establecen que cada empleado debe trabajar cinco días consecutivos y descansar dos. Por ejemplo, un empleado que trabaja de lunes a viernes debe descansar sábado y domingo. Plantear un modelo de PL que permita minimizar la cantidad de trabajadores y cumplir con los requerimientos.
Día Personal requerido
1 = Lunes 21 2 = Martes 12 3 = Miércoles 18 4 =Jueves 22 5 = Viernes 16 6 = Sábado 24 7 = Domingo 10
4. Perupetro produce tres tipos de gasolina (gas 1, gas 2 y gas 3). Cada tipo se obtiene a partir de la mezcla de tres tipos de petróleo crudo (crudo 1, crudo 2 y crudo 3). El precio de venta por barril de gasolina y el precio de compra de barril de crudo se muestran en la tabla 2. Es posible comprar por día hasta 7000 barriles de crudo.
Los tres tipos de gasolinas difieren en su nivel de octanaje y de azufre. El crudo mezclado para producir la gasolina 1 debe tener un índice de octano promedio de por lo menos 8, y cuando mucho 0.9% de azufre. La mezcla de crudos para producir la gasolina 2 debe tener un índice de octano promedio de por lo menos 9, y cuando mucho 1.7% de azufre. La mezcla de crudo para producir la gasolina 3 debe tener un índice de octano promedio de por lo menos 5, y cuando mucho 1% de azufre. El índice de octano y el contenido de azufre de cada tipo de crudo se presentan en la tabla 3. Cuesta 7 dólares transformar un barril de crudo en barril de gasolina, y la refinería de Perupetro tiene la capacidad de procesar al día hasta 18,000 barriles de gasolina.
Los clientes demandan las siguientes cantidades de gasolina: gas 1, 3000 barriles diarios, gas 2, 2500 barriles diarios, gas 3, 1750 barriles diarios. Se considera obligatorio cumplir con la demanda. Asimismo, se tiene la posibilidad de invertir dinero en la promoción. Cada sol que se invierte diariamente en publicidad para una gasolina en particular incrementa la demanda de dicho producto en 15 barriles. Plantear un modelo de PL que permita maximizar las utilidades de Perupetro.
Precios de venta y compra de gasolina y crudo, respectivamente. Gasolina Precio de Venta por
barril Crudo
Precio de compra por barril
1 80 1 50
2 50 2 30
3 30 3 28
Índice de Octano y contenido de azufre por tipo de crudo.
Crudo Índice de Octano Contenido de Azufre (%)
1 12 0.8
2 5 2.5
3 7 2.8
5. Una empresa agrícola prepara una mezcla de alimento para ganado. El alimento es una mezcla de maíz y soya con la siguiente composición:
Contenido y precio por cada libra de Alimento Alimento Proteínas
(Lb) Fibras (Lb) Precio ($/Libra)
Maíz 0.09 0.02 0.30
Los requerimientos del alimento son de por lo menos 30% de proteínas y cuando mucho un 5% de fibra. Se desea saber cuál es la mezcla óptima que minimice el costo del alimento, si la empresa necesita producir por lo menos 800 libras diarias de alimento.
6. Under normal working conditions a factory produces up to 100 units of a certain product in each of four consecutive time periods at costs which vary from period to period as shown in the table below.
Additional units can be produced by overtime working. The maximum quantity and costs are shown in the table below, together with the forecast demands for the product in each of the four time periods.
Time Period Demand (units) Normal Production Costs (£K/unit) Overtime Production Capacity (units) Overtime Production Costs (£K/unit) 1 2 3 4 130 80 125 195 6 4 8 9 60 65 70 60 8 6 10 11
It is possible to hold up to 70 units of product in store from one period to the next at a cost of £1.5K per unit per period. (This figure of £1.5K per unit per period is known as a stock-holding cost and represents the fact that we are incurring costs associated with the storage of stock).
It is required to determine the production and storage schedule which will meet the stated demands over the four time periods at minimum cost given that at the start of period 1 we have 15 units in stock. 7. Una empresa enfrenta la siguiente demanda para los próximos tres meses: mes 1, 25 unidades, mes 2, 13
unidades, mes 3, 18 unidades. El costo de producción durante cada mes es como sigue: mes 1, $15, mes 2, $12, mes 3, $18. El costo de mantener inventario de un periodo a otro es $3 por unidad, este costo es aplicable al inventario al final de cada periodo. Al inicio del periodo 1, la empresa tiene 8 unidades en inventario. No todos los bienes fabricados en un periodo pueden ser utilizados para satisfacer la demanda de dicho periodo. La tasa de uso en la que se pude utilizar los bienes de un periodo para la demanda del mismo periodo es de 50%. Formule el modelo de PL para minimizar el costo de producción y cumplir con los requerimientos de la demanda.
8. Aceros Arequipa fabrica tres tipos de acero en diferentes plantas. El tiempo requerido para fabricar 1 ton de acero, independientemente de su tipo, y el costo de producción de cada planta se adjunta en el cuadro correspondiente. Cada semana, 120 toneladas de cada tipo de acero (1, 2 y 3) deben ser producidas. Cada planta está operando 44 horas a la semana. Formule el programa lineal con enfoque de transporte para resolver el plan de producción al mínimo costo.
Costo
Tiempo (min) Acero 1 Acero 2 Acero 3
Planta 1 $57 $45 $28 21
Planta 2 $40 $33 $26 18
Planta 3 $31 $17 $20 13
9. (PC1-2013-1) El jefe de compras de la cafetería de una universidad tiene que seleccionar la mejor combinación de alimentos en los desayunos nutritivos que se ofrecen para todo la comunidad universitaria. De acuerdo con las indicaciones del jefe de nutrición la selección debe cumplir con ciertas necesidades diarias de proteínas, vitaminas y minerales. Se requieren por lo menos 40 unidades diarias de proteínas, 50 unidades de vitaminas y 49 unidades de minerales. Cada kilogramo del alimento A proporciona 4 unidades de proteínas, 10 unidades de vitaminas y 7 unidades de minerales; mientras que cada kilogramo del alimento B proporciona 10 unidades de proteínas, 5 unidades vitaminas y 7 unidades de minerales. El alimento A cuesta 5 soles/kilogramo y el alimento B cuesta 8 soles/kilogramo.
Plantear y escribir el modelo de programación que permita al Jefe de compras tomar la decisión adecuada, indicando las variables de decisión, función objetivo y restricciones. (4 puntos)
10. (PC1-2013-1) El restaurante “Para Todos” ha lanzado una nueva promoción para utilizar sus instalaciones las 24 horas del día, implementando un sistema de servicio a domicilio para los distritos de Surco y San Borja. Durante las mañanas reparte desayunos, al mediodía y por la tarde reparte almuerzos y durante las noches y madrugadas reparte comidas. Los repartidores tienen turnos de 12 horas consecutivas, pudiéndose iniciar los turnos cada 4 horas a partir de las 12m. Se tiene dos tipos de repartidores: en moto o en auto. El repartidor en moto puede atender 3 pedidos por hora mientras que el repartidor en auto 4.
Los requerimientos de repartos son:
Turno Repartos 12:00 a 16:00 120 16:00 a 20:00 140 20:00 a 00:00 100 00:00 a 04:00 80 04:00 a 08:00 85 08:00 a 12:00 110
El restaurante alquila una cochera de 100 metros cuadrados, considerando que una moto ocupa 5 metros cuadrados y el auto 12 metros cuadrados. Se dispone en total de 25 choferes, a los choferes en moto se les paga 30 soles por día y a los choferes en auto 40. Por política de la empresa debe haber por lo menos el doble de choferes en moto que los de auto.
Formule un modelo de programación lineal adecuado a esta situación. (6 puntos)
11. (PC1-2013-1) La empresa de investigación y mercado SOPORTE S.A. ha recibido el pedido de un cliente para conocer la opinión del público acerca de las preferencias por un nuevo bronceador que otorga un color dorado en minutos. Para ello necesita realizará las entrevistas en playas de la Costa Verde y en playas del sur, además dividirá los entrevistados en adolescente y no adolescentes.
En el contrato con el cliente se ha especificado lo siguiente: Se efectuarán mil encuestas.
Se entrevistarán al menos 400 adolescentes. Se entrevistarán al menos 400 no adolescentes.
La cantidad de entrevistados en las playas del sur debe ser al menos igual a la cantidad de entrevistados en la costa verde.
Al menos el 40% de las entrevistas para adolescentes deben realizarse en las playas del sur. Al menos el 60% de las entrevistas para no adolescentes deben realizarse en las playas del sur.
El costo de la entrevista varía, dependiendo del lugar donde se realicen, de acuerdo con el cuadro siguiente:
Grupos Costo de una entrevista en S/.
Costa Verde Plazas del Sur
Adolescentes 20 25
No adolescentes 18 20
a. Formule el modelo de programación lineal adecuado a esta situación. (4 puntos) b. Resuelva el modelo empleando Solver y responda a lo siguiente: (3 puntos) i. ¿Cuál deberá ser la programación de encuestas de la empresa?
ii. ¿Cuál será el costo por concepto de encuestas por cada distrito?
iii. ¿Cuál será el costo total? ¿Cuál será el porcentaje del costo por género?
12. (2013-1 Ex Parcial) Uno de los objetivos del área de logística de cierto laboratorio es satisfacer la demanda de cada región que abastece, cuidando de no exceder la disponibilidad y cumpliendo con las indicaciones dadas por el MINSA al costo mínimo.
El gerente de operaciones desea realizar el análisis para la distribución de vitaminas para niños (presentación en jarabe x 150 ml) y para adultos (presentación en tabletas x 250 mg en cajas x 20 tabletas), para los departamentos de la costa, sierra y selva. Los acuerdos de envío establecidos señalan que la Costa solo será abastecida con tabletas de 250 mg. Por lo menos el 50% del total de las vitaminas recibidas en la Sierra debe ser en jarabe. Por cada 10 jarabes enviados a la Selva se deberán enviar a la misma región por lo menos 15 cajas con tabletas de vitaminas.
En la tabla se muestran los costos (en soles), la oferta y la demanda son:
Producto Costa Sierra Selva Oferta
Jarabe (150ml) 8 9 7 40 000
Tabletas (cajas de 30 unidades) 4 2 3 80 000
Demanda total de vitaminas 20 000 10 000 20 000
a) Formule el modelo de programación correspondiente al caso descrito. (2 puntos)
b) Resuelva el modelo empleando Solver, y cree un gráfico de barras en el que se observe la cantidad de producto (diferenciando jarabe y vitaminas) entregado en cada región. (2 puntos)
13. (2013-1 Ex Parcial) La empresa TROPICAL produce jugos de fruta en caja para el mercado local en los sabores: Manzana, Naranja y Durazno y los precios de venta son de 1.70, 1.80 y 1.85 soles por unidad respectivamente. La capacidad de producción es de 4,000 unidades por día y la fruta debe ser fresca y entregada el mismo día en que es procesada para evitar que se estropee.
Los proveedores de fruta de TROPICAL son 3 y tienen diferentes precios que afectan los costos de producción finales según la siguiente relación:
Fruta Proveedor 1 Proveedor 2 Proveedor 3
Manzana 0.9 0.8 0.85
Durazno 0.8 0.9 0.75
Naranja 0.8 0.9 0.85
Adicionalmente los proveedores tienen un máximo de fruta que pueden suplir y un tamaño mínimo de pedido que están dispuestos a atender según el siguiente cuadro:
Máximo de fruta al día (kg) Proveedor 1 Proveedor 2 Proveedor 3
Manzana 50 30 30
Durazno 45 40 30
Naranja 50 60 30
Pedido mínimo de fruta que atienden por día (kg)
80 90 85
Se requieren para cada tipo de jugo 0.50 kg de manzana, 0.4 kg de durazno y 0.250 kg de naranja para elaborar una unidad de jugo y se deben producir como mínimo 200 cajas de cada tipo de jugo por día. Además el número de cajas producidas con frutas del proveedor 1 debe ser por lo menos 20% mayor que el número de cajas producidas con frutas del proveedor 3 y por cada cinco cajas de jugo de manzana producidas con fruta del proveedor 1 debe haber por lo menos 3 cajas producidas con frutas del proveedor 2.
14. (2013-1 – Ex Final) La empresa CHOCOLACSA produce chocolates para exportación en diferentes tipos: chocolate de leche, chocolate clásico y chocolate bitter. Solo se puede producir un tipo de chocolate al mismo tiempo en la fábrica y la producción de cada tipo toma un tiempo de producción de las máquinas diferente. En el siguiente cuadro se muestran los requerimientos de insumos para la preparación de cada tipo de chocolate, el tiempo de producción por lote y el precio de venta por lote:
Tipo Insumos
(toneladas por lote)
Tiempo de producción (h/lote) Precio de venta (USD/lote) De leche 1.5 2 700 Clásico 2 1.75 750 Bitter 2.5 1 775
Existen 3 empresas exportadoras que realizan pedidos regularmente de los tres tipo de chocolates pero con algunas especificaciones: la empresa A hace un pedido de un lote de chocolate clásico por cada dos lotes de chocolate bitter, la empresa B realiza un pedido de 1 lote de chocolate clásico por cada lote de chocolate bitter y la empresa C hace un pedido de 1 lote de chocolate de leche por cada tres lotes de chocolate bitter.
La empresa no puede darse el lujo de perder a ninguno de los clientes por lo que debe entregar al menos 20 lotes de chocolate (de leche, clásico o bitter) por semana a cada uno de ellos.
Además por necesidades de mantenimiento y limpieza de los equipos, la fábrica no puede trabajar más de 20 horas al día 6 días a la semana y se dispone de 250 toneladas de insumos por semana.
a) Formule el modelo de programación correspondiente al caso descrito. (3 puntos) b) Resuelva el modelo empleando Solver, y complete el siguiente cuadro:(3 puntos)
Cantidad de lotes
Tipo Empresa A Empresa B Empresa C
De leche Clásico Bitter
15. (2013-2 PC1) Gracias al nuevo auge que han tenido los libros para jóvenes, la editorial Ibercor ha decidido lanzar una nueva edición de cuatro de sus libros más populares. Para la producción se cuenta con 30 toneladas de papel, 10 toneladas de otros insumos y se dispone de 30 máquinas que pueden trabajar 16 horas al día durante los 10 días que dura el proceso de producción.
Los requerimientos de cada uno de los libros son:
Libro Requerimiento de papel (en kilos) Requerimiento de otros insumos (en kilos) Tiempo en Máquina (en minutos) Precio de Venta (en soles) A 0.4 0.3 10 52 B 1.2 1 15 115 C 0.7 0.5 8 57 D 1.4 1.2 18 121
El costo de papel es 20,000 soles por tonelada y de los otros insumos es 30,000 soles por tonelada. El costo de operación de cada máquina es 60 soles por hora.
Se desea imprimir por lo menos 1,000 copias de cada libro y por lo menos 5,000 copias entre todos. Además la cantidad de libros A a imprimir debe ser por lo menos el doble que los libros C.
Formule el modelo de programación lineal. (4 puntos)
16. (2013-2 PC1) El responsable de la compra de insumos para la producción de alimento para mascotas en una empresa transnacional del rubro de alimentos para animales domésticos, tiene que decidir las toneladas de alimentos para gato y para perro que deberá adquirir durante el próximo mes.
El encargado sabe que cada tonelada de alimento para gato que adquiera representará finalmente 8 mil dólares de utilidad, mientras que cada tonelada de alimento para perro le redituará 5 mil dólares de utilidad.
Sin embargo debe tener en cuenta algunas consideraciones antes de establecer su plan de compra:
Cada tonelada de alimento para gato requiere de 30 horas de procesamiento para transformarse en producto terminado, mientras que cada tonelada de alimento para perro requiere de 40 horas. En la planta de producción se dispone de 240 horas en total.
El proveedor de alimento para gato nos ha informado que podrá abastecernos con un máximo de 6 toneladas.
Con el fin de evitar excederse en los costos de producción se ha establecido que por cada cuatro toneladas de alimento para gato se deben adquirir por lo menos dos toneladas de alimento para perro. Las herramientas y equipos que se utilizan para el procesamiento de alimento para gato requieren de dos
operarios por cada tonelada, en cambio para el procesamiento del alimento para gato sólo es necesario un operario por tonelada. Un acuerdo establecido con el sindicato de trabajadores de la empresa establece que en total deben emplearse no menos de cuatro operarios.
a) Formule el modelo de programación lineal correspondiente al caso descrito. (4 puntos)
b) Resuelva el modelo mediante el método gráfico, indicando la solución óptima y el valor óptimo. (4ptos) 17. (2013-2 PC1) La empresa Pórticos se dedica a la administración de playas de estacionamiento que ofrecen el servicio de valet parking, para lo cual debe contar con un personal mínimo para atender las diferentes playas que tiene en el distrito de Surco. Esta empresa apoya a los jóvenes que desean trabajar a medio tiempo, por lo cual tiene dos tipos de trabajadores: tiempo completo (trabajan 8 horas consecutivas) y tiempo parcial (trabajan 4 horas consecutivas)
Las playas de estacionamiento atienden de 6 am a 2 de la madrugada y se tienen turnos de trabajo de 4 horas.
Turnos Horas del día Número mínimo de autos atendidos 1 06-10 1200 2 10-14 1700 3 14-18 1450 4 18-22 1300 5 22-02 1000
Los trabajadores a tiempo completo se consideran que tienen más experiencia y pueden atender a 10 autos por hora y los trabajadores a tiempo parcial solo 9 autos.
Los trabajadores a tiempo completo ganan 5 soles la hora y los trabajadores a tiempo parcial 4 soles por hora. Se debe considerar 25 días de trabajo al mes.
Además existe un bono de 200 soles mensuales para los trabajadores que laboren en los turno 1 y 5 y un bono de 150 soles mensuales para los trabajadores del turno 4.
Al efectuar la programación de personal se debe tener en cuenta lo siguiente:
Se cuenta con un presupuesto de 100,000 soles para el pago del sueldo de los trabajadores y 30,000 soles para el pago de los bonos.
En el turno 5 la cantidad de trabajadores debe ser a lo más 60% de la cantidad de los trabajadores del turno 4.
Por cada dos trabajadores de tiempo completo se debe tener por lo menos un trabajador a medio tiempo. a) Formule el modelo de programación correspondiente al caso descrito. (4 puntos)
b) Resuelva el modelo empleando Solver, y complete la tabla. (4 puntos)
Tipo de Trabajador Cantidad de Trabajadores
Pago de Sueldos (en soles)
Pago de Bonos (en soles) Trabajadores a tiempo completo
Trabajadores a tiempo parcial
