0.05 de galón de aditivo 2, a un costo total de 94.945 centavos. Tal vez desee verificar esta solución con su propio software- de programación lineal.
MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL PARA PLANEACIÓN DE PRODUCCIÓN AGREGADA
Otra aplicación de la programación lineal está en el área de planeación de producción. Los administradores de la planeación de producción deben determinar cuántos elementos producir y cuántos extraer de inventarios existentes para satisfacer demanda:
anticipadas para un periodo específico. Cualesquier elementos sobrantes se almacenan en inventario. El objetivo global es minimizar costos totales, compuestos por producción inventario y otros cargos. Considere el problema que enfrenta la administración de National Steel Corporation.
EL PROBLEMA DE PLANEACIÓN DE PRODUCCIÓN DE NATIONAI STEEL CORPORATION
National Steel Corporation (NSCA) produce un acero especial usado en las industrias de aviación y aeroespaciales. El departamento de ventas en NSC ha recibido pedidos de 2400, 2200, 2700 y 2500 toneladas de acero para cada uno de los siguientes 4 meses. NSC puede satisfacer estas demandas produciendo el acero extrayéndolo de su inventario, o usando cualquier combinación de las dos alternativas.
Se proyecta que los costos de producción por tonelada de acero durante cada uno é los siguientes cuatro meses sean de $7400,
$7500, $7600 y $7650. Como los costos suben cada mes, debido a las presiones inflacionarias, tal vez sea mejor que NSC produzca más acero del que necesita en un mes determinado y que almacene el exceso. La capacidad de producción, sin embargo, no puede exceder las 4000 toneladas en ningún mes. La producción mensual se termina al final del mes, cuando la demanda se satisface. Cualquier acero remanente se almacena en inventario a un costo de $120 por tonelada por cada mes que permanece allí. Estos datos se resumen en la tabla 3.6
TABLA 3.6 Datos para el problema de producción-planeación de NSC
MES
1 2 3 4
Demanda (tons) 2400 2200 2700 2500
Costos de producción ($/ton) 7400 7500 7600 7650 Costo de inventario
($/ton/mes)
120 120 120 120
Si el nivel de producción se incrementa de un mes al siguiente, entonces la compañía incurre en un costo de $50 por tonelada de producción incrementada para cubrir la mano de obra adicional y/o el tiempo extra. Cada tonelada de producción disminuida incurre en un costo de $30 para cubrir los beneficios de empleados no utilizados.
El nivel de producción durante el mes anterior fue de 1800 toneladas, y el inventario que comienza es de 1000 toneladas. El inventario al final del cuarto mes debe ser de a menos 1500 toneladas para cubrir la demanda anticipada. Formule un plan de producción para NSC que minimice los costos totales en los siguientes 4 meses.
Identificación de las variables de decisión
En este problema, usted tiene libertad para elegir cuántas toneladas de acero producir cada mes para satisfacer la demanda.
Surgen cuatro variables:
X1= el número de toneladas de acero por producir durante el mes 1
X2 = el número de toneladas de acero por producir durante el mes 2 X3 = el número de toneladas de acero por producir durante el mes 3 X4 = el número de toneladas de acero por producir durante el mes 4
A primera vista, usted podría pensar que éstas son todas las variables que se requieren. Con estas variables, siempre puede determinar la cantidad en inventario. Por ejemplo, del diagrama esquemático de la figura 3.1, el inventario al final del primer mes es
Inventario al final del mes 1 = inventario inicial + cantidad de producción - demanda = 1000 + X1 - 2400
Figura 3.1 Relación entre niveles de inventario, producción y demanda.
Sin embargo, escribir el inventario al final del segundo, tercero y subsecuentes meses es más complicado. Por ejemplo, para el mes 2:
Inventario al final del mes 2 = inventario inicial + cantidad de producción -demanda
= (1000 + X1 - 2400) + X2 - 2200
Para simplificar, es conveniente crear otras cinco variables para representar los niveles de inventario al principio de cada mes:
I1 = Inventario en toneladas al principio del mes 1 I2 = Inventario en toneladas al principio del mes 2 I3 = Inventario en toneladas al principio del mes 3 I4 = Inventario en toneladas al principio del mes 4 I5 = Inventario en toneladas al principio del mes 5
Identificación de la función objetivo
Como se estableció en la descripción del problema, el objetivo global es minimizar los costos totales sobre el horizonte de planeación de 4 meses. Si aplicamos la descomposición para identificar tres componentes de costo diferentes llegamos a
Costos totales = costos de producción + costos de inventario + costos del cambio en la producción Cantidad de
producción (X1)
Mes 1
Inventario de terminación
(I2) Inventario de inicio
(I2 = 1000)
Demanda (D1 =2400)
COSTOS DE PRODUCCIÓN
Aplicando nuevamente la descomposición se identifican los costos de producción como la suma de los costos de producción en cada uno de los 4 meses. Usando las variables de producción X1, X2, X3 y X4, junto con los costos de producción por tonelada de la tabla 3.6, llegamos a
Costos de producción = 7400X1 + 7500X2 + 7600X3 + 7650X4.
COSTOS DE INVENTARIO
Una descomposición similar produce un costo de inventario total como la suma de los costos de inventario durante cada uno de los cuatro meses. Como los niveles de inventario cambian solamente al final del mes, todos los inventarios al principio del mes incurren en un costo de $120 por tonelada para ese mes. Usando las variables I1, I2, I3 e I4; llegamos a
Costos de inventario = 120I1+ 120I2 + 120I3 + 120I4
Observe que I5 no se incluye en esta porción porque el objetivo es minimizar los costos totales solamente en los siguientes 4 meses, e I5 incurre en costos durante el quinto mes.
COSTOS DEL CAMBIO EN LA PRODUCCIÓN
Para determinar los costos del cambio en la producción de un mes al siguiente, trabaje con un ejemplo específico en el que, digamos, X1 = 100 y X2 = 300. En este caso, existe un incremento de 300 - 100 = 200 toneladas de acero del mes 1 al mes 2. Por tanto, a un costo de $50 por tonelada de incremento,
Costo del cambio en la producción = (300 - 100) *' 50 = $10 000 Usando este ejemplo, podría escribir la siguiente expresión general:
Costo del cambio en la producción = (X2 – X1) * 50
Sin embargo, ¿qué sucede si X1 = 300 y X2 = 100? Esto es, ¿qué pasa si el nivel de producción disminuye? En este caso, la expresión anterior resulta en un costo de (100 - 300) 50= -$10 000, es decir, una ganancia de $10 000, que no tiene sentido. En vez de esto, a un costo de $30 por tonelada de decremento, la expresión correcta es
Costo del cambio en la producción = (300 - 100) * 30 = $6000
En general, cuando el nivel de producción disminuye del mes 1 al mes 2, la expresión correcta es Costo del cambio en la producción = (X1– X2 ) * 30
Combinando las expresiones para resultados de incremento y decremento se obtienen los siguientes costos de cambio en la producción del mes 1 al mes 2:
Costos del cambio en la producción = 50 (X2 – X1), si X2 ≥X1 (incremento) 30 (X1– X2), si X1 > X2 (decremento)
.
Como los valores de X1 y X2 son por ahora desconocidos, la cuestión es cómo combinar estos dos casos en una sola expresión.
Una forma de abordar esto es creando variables de decisión adicionales cuyos valores son precisamente las cantidades de producción incrementada y decrementada de un mes al siguiente. Esto es,
S1 = El número de toneladas de producción incrementada en el mes 1 D1 = El número de toneladas de producción incrementada en el mes 1 S2 = El número de toneladas de producción incrementada en el mes 2 D2 = El número de toneladas de producción incrementada en el mes 2 S3 = El número de toneladas de producción incrementada en el mes 3 D3 = El número de toneladas de producción incrementada en el mes 3 S4 = El número de toneladas de producción incrementada en el mes 4 D4 = El número de toneladas de producción incrementada en el mes 4
Los valores de estas variables dependen de los niveles de producción. Por ejemplo, cuando X2 = 300 y X1 = 100, usted desea que S2 sea 200 y D2,0.
Si X2 = 100 y X1 = 300, desea que S2 sea 0 y D2, 200. Las restricciones que aseguran las relaciones adecuadas entre estas variables se identifican en la siguiente sección.
Con estas nuevas variables, cuando S1 es positiva, D1 debe ser 0. De manera similar, cuando D1 es positiva, S1 debe ser 0. Por tanto, los costos del cambio en la producción para el primer mes son 50S1 +30D1. Por consiguiente, los costos totales del cambio en la producción son:
Costos del cambio en la producción = (costo del cambio en la producción en el mes 1) + (costo del cambio en la producción en el mes 2) + (costo del cambio en la producción en el mes 3) + (costo del cambio en la producción en el mes 4) = (50S1 + 30D1) + (50S2+ 30D2) +
(50S3 + 30D3) + (50S4+ 30D4)
FUNCIÓN OBJETIVO COMPLETA
La combinación de los tres componentes de costo da como resultado la siguiente función objetivo global:
Minimizar costos totales = 7400X1 + 7500X2 + 7600X3 + 7650X4 + 120I1+ 120I2+,120I3 + 120I4 +
50S1 + 30D1 + 50S2+ 30D2 + 50S3+ 30D4 + 50S4 + 30D4
Identificación de las restricciones
Aplicando la técnica de agrupamiento debe llegar a identificar los siguientes seis grupos de restricciones:
1. Restricciones de inventario inicial y final para asegurar los adecuados niveles de inventario de inicio y fin.
2. Restricciones de limitación de producción para asegurar que la producción de cualquier mes dado no exceda de 4000 toneladas.
3. Restricciones de equilibrio de inventario para asegurar la adecuada relación entre las variables de producción y las de inventario.
4. Las restricciones de cambio en la producción para asegurar la adecuada relación entre las variables de producción y las de cambio en la producción.
5. Restricciones de demanda para asegurar que se satisfagan las demandas cada mes.
6. Restricciones lógicas para asegurar que todas las variables son no negativas.
RESTRICCIONES DE INVENTARIO INICIAL Y FINAL En palabras, las dos restricciones en este grupo son:
1. El nivel de inventario inicial es de 1000 toneladas.
2. El nivel de inventario final debe ser al menos de 1500 toneladas.
Como l1 e I5 representan los inventarios inicial y final al principio y final del periodo de planeación de 4 meses, respectivamente, estas restricciones son:
I1 = 1000 (inventario de inicio) I5≥ 1500 (inventario final)
RESTRICCIONES DE LIMITACIÓN DE PRODUCCIÓN
La producción en cualquier mes no puede exceder las 4000 toneladas, así que las cuatro restricciones en este grupo son X1 ≤ 4000 (límite en el mes 1)
X2 ≤ 4000 (límite en el mes 2) X3 ≤ 4000 (límite en el mes 3) X4 ≤ 4000 (límite en el mes 4)
RESTRICCIONES DE EQUILIBRIO DE INVENTARIO
Este grupo consiste en cuatro restricciones para asegurar la relación apropiada entre la producción hipotética y las cantidades de inventario ilustradas en la figura 3.2. Por ejemplo, para el mes 1:
Figura 3.2 Niveles de inventario de NSC.
Inventario
Mes 1 Mes 2 Mes 3 Mes 4
I1
I2
I3
I4
I5
X1
D1 = 2400
Inventario al final del mes 1 = (inventario al final del mes 1) + (cantidad producida en el mes 1) - (demanda para el mes 1)
Como el inventario al final del mes 1 es precisamente el inventario de inicio del mes 2,
I2 = I1 + X1– 2400
I2 + I1 + X1 = 2400 (equilibrio de inventario en el mes 1)
Se requiere una restricción similar para cada uno de los tres meses restantes, lo que da como resultado:
- I3 + I2 + X2 = 2200 (equilibrio de inventario en el mes 2) - I4 + I3 + X3 = 2700 (equilibrio de inventario en el mes 3) - I5 + I4 + X4 = 2500 (equilibrio de inventario en el mes 4)
RESTRICCIONES DE CAMBIO EN LA PRODUCCIÓN
Este grupo de restricciones asegura la apropiada relación entre las variables de producción y las de cambio en la producción. Por ejemplo, considere el cambio en la producción del mes 1 al mes 2. Después de trabajar con varios ejemplos específicos, podría concluir que:
Producción en el mes 2 = (producción en el mes 1) +
(incremento en la producción en el mes 2 - de cremento en la producción en el mes 2) Usando las variables X2, X1, S2, y D2 llegamos a:
X2 = X1+ (S2-D2)
X2– X1– S2– D2 = 0 (cambio en el mes 2)
Por ejemplo, cuando X2 = 300 y X1 = 100, los valores de S2 = 200 y D2 = 0 satisfacen esta restricción, como deberían.
Sin embargo, ¿qué asegura que si S2 es positiva, entonces D2 es de hecho 0? Por ejemplo, cuando X2 = 300 y X1 = 100, los valores de S2 = 250 y D2= 50 también satisfacen la restricción anterior. De manera similar, si X2 es menor que X1¿ qué asegura que D2 es positiva y S2 es 0? Parecería que es necesaria una restricción adicional, por ejemplo:
S2 * D2 = 0
La inclusión de tales restricciones tiene como resultado un modelo no lineal, que es sustancialmente más difícil de resolver que un modelo de programación lineal. En realidad resulta afortunado que en este problema particular, estas restricciones no lineales no se requieren. Esto se debe a que la función objetivo sirve al mismo propósito. Para ver esto, considere el ejemplo numérico que acabamos de usar:
X2 X1 S2 S2 CAMBIO EN LOS COSTOS DE PRODUCCIÓN
300 100 200 0 (200* 50) + (0 * 30) = 10 000 300 100 250 50 (250 * 50) + (50 * 30) = 14 000
Como el objetivo es lograr costos mínimos, siempre es menos caro hacer que una de las dos variables S2 o D2 tengan un valor 0. Como resultado, no se requieren de restricciones adicionales para asegurar esta relación.
Una restricción similar para cada uno de los meses primero, tercero y cuarto lleva a
X1 - 1800 – S1+ D1 = 0,
X1 - S1 + D1 = 1800 (cambio en el mes 1)
X3 - X2 - S3 + D3 = 0 (cambio en el mes 3) X3 - S4 + D4 = 0 (cambio en el mes 4)
RESTRICCIONES DE DEMANDA
Para asegurar que se satisfacen las demandas, considere el mes 1. La restricción apropiada es:
Inicio de inventario + cantidad producida ≥ demanda en el mes 1 en el mes 1 en el mes 1
Si usamos las variables de decisión se obtiene:
I1 + X1 ≥2400 I1 + X1 - 2400 ≥0
Sin embargo, observe de la restricción de equilibrio de inventario para el mes 1 que:
I2 = I1 + X1 - 2400
Por lo tanto, la restricción de demanda para el mes 1 también puede escribirse como:
I2≥0
En otras palabras, si requerimos que cada variable de inventario sea no negativa se asegura que se satisfaga la demanda del mes anterior. Así, estas restricciones de demanda pueden incluirse como las restricciones lógicas.
RESTRICCIONES LÓGICAS
Las únicas restricciones lógicas son que cada variable de producción, inventario y cambio en la producción sea no negativa.
Formulación completa y solución del problema de planeación de producción de NSC
Habiendo desarrollado todas las partes del problema, usted, como gerente de NSC, reúne el siguiente modelo de programación lineal para el asunto de planeación de producción de National Steel Corporation:
Minimizar 7400X1 + 7500X2 + 7600X3 + 7650X4 + 120I1 + 120I2 + 120I3 + 120I4 + 50S1 + 30D1 + 50S2+ 30D2 + 50S3+ 30D3 + 50S4 + 30D4
Dependiendo de
RESTRICCIONES DE INVENTARIO INICIAL Y FINAL
I1 = 1000 (inventario de inicio) I5≥1500 (inventario final)
RESTRICCIONES DE LIMITACIÓN DE PRODUCCIÓN
X1 ≤ 4000 (límite en el mes 1) X2 ≤ 4000 (límite en el mes 2) X3 ≤ 4000 (límite en el mes 3) X4 ≤ 4000 (límite en el mes 4)
RESTRICCIONES DE EQUILIBRIO DE INVENTARIO
-I2 +I1 + X1 = 2400 (equilibrio de inventario en el mes 1) -I3 + I2 + X2 = 2200 (equilibrio de inventario en el mes 2) -I4 + I3 + X3 = 2700 (equilibrio de inventario en el mes 3) -I5 + I4 + X4 = 2500 (equilibrio de inventario en el mes 4)
RESTRICCIONES DE CAMBIO EN LA PRODUCCIÓN
X1– S1 + D1 = 1800 (cambio en el mes 1) X2– X1– S2 + D2 = 0 (cambio en el mes 2) X3– X2– S3 + D3 = 0 (cambio en el mes 3) X4– X3– S4 + D4 = 0 (cambio en el mes 4)
RESTRICCIONES LÓGICAS
X1 X2 X3 X4 I1 I2 I3 I4 I5
S1 S2 S3 S4 D1 D2 D3 D4 D ≥ 0
La solución optima a este problema, que resulta de usar cualquier paquete de software de programación lineal, es con un valor de función objetiva de 78 218 000.
El plan de producción óptima puede resumirse como:
MES
1 2 3 4
Inventario de inicio 1000 400 0 0 Cantidad producida 1800 1800 2700 4000
Demanda 2400 2200 2700 2500
Inventario de terminación 400 0 0 1500
El costo total es de $78 218 000. tal vez desee verificar esta solución con su propio software de programación lineal.
X1= 100.00 I1= 1000.00 S1= 0.00 D1= 0.00 X2= 1800.00 I2= 40.00 S2= 0.00 D2= 0.00 X3= 2700.00 I3= 0.00 S3= 900.00 D3= 0.00 X4= 4000.00 I4= 0.00 S4= 1300.00 D4= 0.00
I5= 1500.00
