Interferencia y Socavamiento en Engranes.
Jos´
e Mar´ıa Rico Mart´ınez
Departamento de Ingenier´ıa Mec´
anica.
Universidad de Guanajuato, F. I. M. E. E.
Calle Tampico No. 912, Col. Bellavista.
CP 36730, Salamanca, Gto., M´
exico
Tel. +52-464-6480911, Fax: +52-464-6472400.
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Estas notas tienen como objetivo analizar, a la luz de la estandarizaci´on de engranes, dos fen´omenos que ocurren durante la operaci´on y corte de los engranes, la interferencia y el socavamientoque tienen un fundamento en com´un: El incumplimiento de la ley funda-mental de los engranes. Para que dos engranes transmitan movimiento de rotaci´on uniforme mediante deslizamiento, es necesario que el contacto entre los dientes de los engranes ocurra siempreen las partes del perfil del diente, donde se tiene un perfil de involuta. Cuando esta ley no se cumple se presentan los fen´omenos indicados. Si los engranes ya han sido construi-dos y los materiales de ambos engranes son de dureza aproximadamente igual, se presenta el fen´omeno de interferencia que consiste basicamente en que los engranes se “traban”. Si el incumplimiento de la ley fundamental del engranage ocurre durante la fabricaci´on de uno de los engranes, donde usualmente el engrane que hace las veces de cortador es de una dureza mucho mayor que el engrane que se va a cortar, se presenta el fen´omeno de socavamiento o under-cuttingque ocasiona que el engrane que se corta tiene dientes que presentan un “cuello”. Esta caracter´ıstica reduce la resistencia del diente a la fatiga y adem´as reduce la relaci´on de contacto, evidentemente estas situaciones van en detrimento de la capacidad de carga del engranage.
1
Interferencia y socavamiento entre un engrane y una
cremallera.
En esta secci´on analizaremos el problema de la interferencia entre un engrane y una cremallera, posteriormente estos resultados se extender´an al problema de socavamiento cuando un engrane se corta por el m´etodo de hobbing que es cinem´aticamente equivalente al corte de un engrane mediante una cremallera en el m´etodo empleado por la compa˜nia alemana Maag.
La figura 1 muestra el apareamiento entre un engrane y una cremallera, una cremallera es equivalente a un engrane de radio de paso infinito, como el adendo de ambos, engrane y cremallera es el mismo y el radio de paso de la cremallera es infinito, la posibilidad de que el contacto entre engrane y cremallera ocurra en una porci´on del perfil del diente donde el perfil no sea de involuta, ocurrir´a siempre en el flanco del diente del engrane de menor radio, en este caso el engrane.
La figura 1 muestra la raz´on del problema de interferencia y socavamiento, el contacto de la l´ınea de adendo de la cremallera, con el flanco del diente del engrane, ocurre para un valor del radio del engrane menor al radio base del engrane, determinado por el punto de interferencia E. Es necesario recordar que por la propiedades de la curva involuta de un c´ırculo, por debajo del radio base no hay perfil de involuta. De manera que es posible enunciar el siguiente resultado Teorema. Una condici´on necesaria y suficiente para evitar la interferencia o el socavamiento
Figure 1: Apareamiento entre un engrane y una cremallera.
entre un engrane y una cremallera es que la intersecci´on de l´ınea de adendo de la cremallera con la l´ınea de acci´on, sea por “debajo” del punto de interferencia E.
Figure 2: Interferencia y socavamiento entre un engrane y una cremallera.
La condici´on num´erica para evitar la interferencia o el socavamiento se muestra en la figura 2. La condici´on necesaria para evitar la interferencia y socavamiento est´a dada por
k Pd = a ≤ CP = O1P − O1C= Rp1−Rb1Cos φ= Rp1−Rp1Cos2φ = Rp11 − Cos2φ = N1 2 Pd 1 − Cos2φ (1) donde, k es la constante que dividida entre en el paso diametral, Pd1proporciona el adendo, en
el caso de la interferencia, y el dedendo, en el caso del socavamiento. Despejando el n´umero de
dientes en esta desigualdad, se tiene que N1≥ 2 k
1 − Cos2φ =
2 k
Sen2φ (2)
La siguiente tabla 1 muestra, para cada uno de los diferentes estandares, el n´umero m´ınimo de dientes necesarios para que una cremallera no presente interferencia con un engrane. Table 1: N´umero m´ınimo de dientes necesarios para que un engrane no presente interferencia cuando se aparea con una cremallera.
AGMA AGMA AGMA ASA Stub BS DIN
201.02 201.02 207.06
φ= 20◦ φ= 25◦ φ= 20◦ φ= 14.5◦ φ= 20◦ φ= 20◦ φ= 20◦
k 1 1 1 1 0.8 1 1
N1 17.09 11.19 17.09 31.90 13.67 17.09 17.09
N1min 18 12 18 32 14 18 18
El mismo an´alisis puede emplearse para analizar el n´umero m´ınimo de dientes que pueden cortarse por el m´etodo de hobbing o el m´etodo Maag sin que los dientes se socaven. Es importante se˜nalar que estos procesos de corte son equivalentes al apareamiento del engrane que se desea cortar con una cremallera. Sin embargo, debe notarse que en este caso la constante kque debe emplearse es aquella que al dividirse entre el paso diametral, Pd, —o multiplicarse por
el m´odulo m— se obtiene el dedendo, b, del engrane. Para aceptar este resultado, es importante notar que durante el proceso de corte, la herramienta de corte debe tener un adendo igual al dedendo indicado en el est´andar con el objeto de que el hueco del engrane acomode no solo el adendo, a, del engrane con el que se aparea, sino adem´as el huelgo del engrane, “clearance”, c, y puesto que
b= a + c. el resultado es obvio.
La siguiente tabla 2 muestra, para cada uno de los diferentes estandares, el n´umero m´ınimo de dientes necesarios para que un engrane que se produce por el m´etodo de hobbing o el m´etodo Maag, que es equivalente al apareamiento del engrane con una cremallera, no presente socavamiento en sus dientes.
2
Interferencia y socavamiento entre engranes del mismo
tama˜
no.
En esta secci´on analizaremos el problema de la interferencia entre dos engranes, posteriormente estos resultados se extender´an al problema de socavamiento cuando un engrane se corta por
m´odulo, m, de manera que la desigualdad se escribe como
m k= a ≤ CP = O1P − O1C= Rp1−Rb1Cos φ= Rp1−Rp1Cos2φ = Rp11 − Cos2φ= m N1 2 1 − Cos2φ
por lo tanto, el resultado es exactamente igual al caso de est´andares que emplean un sistema de unidades ingl´es N1≥
2 k 1 − Cos2φ=
2 k Sen2φ.
Table 2: N´umero m´ınimo de dientes necesarios para que un engrane que se va cortar por el m´etodo de hobbing o Maag no presente socavamiento.
AGMA AGMA AGMA ASA Stub BS DIN DIN
201.02 201.02 207.06
φ= 20◦ φ= 25◦ φ= 20◦ φ= 14.5◦ φ= 20◦ φ= 20◦ φ= 20◦ φ= 20◦
k 1.25 1.25 1.2∗ 1.157 1.0 1.25 1.157 1.167
N1 21.37 13.99 20.51 36.91 17.09 21.37 18.78 19.95
N1min 22 14 21 37 18 22 19 20
Nota: El resultado marcado con un∗es aproximado pues el dedendo incluye, en este est´andar,
un t´ermino constante de 0.002.
el m´etodo de shaping o Fellows que es cinem´aticamente equivalente al corte de un engrane mediante otro engrane.
La figura 3 muestra el apareamiento entre dos engranes de diferente tama˜no, la posibilidad de que el contacto entre los engranes ocurra en una porci´on del perfil del diente donde el perfil no sea de involuta, ocurrir´a siempre en el flanco del diente del engrane de menor radio, conocido como pi˜non.
Figure 3: Apareamiento entre dos engranes.
Teorema. Una condici´on necesaria y suficiente para evitar la interferencia o el socavamiento entre dos engranes es que la intersecci´on de radio de adendo del engrane mayor, este localizado en el segmento determinado por los puntos de interferencia E1y E2.
mismo tama˜no, y por lo tanto del mismo n´umero de dentes, deben tener para que no se presente interferencia. Posteriormente, este an´alisis se extender´a al an´alisis de socavamiento durante el proceso de corte mediante el m´etodo de shaping o Fellows que es cinem´aticamente equivalente al corte de un engrane mediante otro engrane.
Figure 4: Interferencia y socavamiento entre dos engranes del mismo tama˜no.
La condici´on num´erica para evitar la interferencia o el socavamiento se muestra en la figura 4. La condici´on necesaria para evitar la interferencia y socavamiento est´a dada por
(Rp2+ a)2= R2 o2≤O2E1 2 = O2E22+ E2E12= R2 b2+ (C Sen φ)2= R2b2+ [(Rp1+ Rp2)Sen φ]2. (3) Sin embargo, en este caso los engranes son del mismo tama˜no, por lo que Rp1= Rp2= Rp, de
manera semejante Rb1= Rb2= Rb y la desigualdad puede escribirse como
(Rp+ a)2≤R2b2+ (2 RpSen φ)2= (RpCos φ)2+ (2 RpSen φ)2= R2p(1 + 3 Sen2φ). (4)
o Rp+ a ≤ Rpp1 + 3 Sen2φ. (5) o a ≤ Rp îp 1 + 3 Sen2φ −1ó. (6) Sustituyendo Rp= N 2 Pd y a= k Pd
donde, k es la constante que dividida entre en el paso diametral, Pd proporciona el adendo, en
el caso de la interferencia, y el dedendo, en el caso del socavamiento, la condici´on se reduce a2
k Pd ≤ N 2 P d îp 1 + 3 Sen2φ −1ó. (9)
2El mismo resultado se obtiene para engranes m´etricos, pero en este caso, la constante k se multiplica por el
m´odulo, m, de manera que la desigualdad dada por (9) se escribe como k m ≤N m
2
îp
1 + 3 Sen2φ −1ó. (7)
de manera que despejando el n´umero de dientes, se tiene que
N ≥p 2 k
Despejando el n´umero de dientes en esta desigualdad, se tiene que
N ≥ 2 k
p1 + 3 Sen2φ −1 (10)
La siguiente tabla 3 muestra, para cada uno de los diferentes estandares, el n´umero m´ınimo de dientes necesarios para que dos engranes del mismo tama˜no puedan aparearse sin interfer-encia.
Table 3: N´umero m´ınimo de dientes necesarios para que dos engranes del mismo tama˜no no presenten interferencia cuando se aparean.
AGMA AGMA AGMA ASA Stub BS DIN
201.02 201.02 207.06
φ= 20◦ φ= 25◦ φ= 20◦ φ= 14.5◦ φ= 20◦ φ= 20◦ φ= 20◦
k 1 1 1 1 0.8 1 1
N2 12.32 8.35 12.32 22.22 9.85 12.32 12.32
N2min 13 9 13 23 10 13 13
La siguiente tabla 4 muestra, para cada uno de los diferentes estandares, el n´umero m´ınimo de dientes necesarios para que un engrane que se produce por el m´etodo de shapping o el m´etodo Fellows, que es equivalente al apareamiento entre dos engranes, no presente so-cavamiento en sus dientes, cuando el engrane que hace las veces de cortador y el engrane que se va a cortar tienen el mismo n´umero de dientes. De nueva cuenta, en este caso la constante kque debe emplearse es la correspondiente al dedendo, b.
Table 4: N´umero m´ınimo de dientes necesarios para que un engrane no presente socavamiento cuando se corte mediante el m´etodo de shapping o Fellows que emplea un cortador formado por un engrane del mismo tama˜no.
AGMA AGMA AGMA ASA Stub BS DIN DIN
201.02 201.02 207.06
φ= 20◦ φ= 25◦ φ= 20◦ φ= 14.5◦ φ= 20◦ φ= 20◦ φ= 20◦ φ= 20◦
k 1.25 1.25 1.2∗ 1.157 1.0 1.25 1.157 1.167
N2 15.40 10.44 14.78 25.71 12.32 15.40 14.25 14.38
N2min 16 11 15 26 13 16 15 15
Nota: El resultado marcado con un∗es aproximado pues el dedendo incluye, en este est´andar,
un t´ermino constante de 0.002.
3
Determinaci´
on del n´
umero m´
aximo de dientes con el
que un pi˜
non puede aparearse sin interferencia.
Los resultados obtenidos en las dos ´ultimas secciones generan un nuevo an´alisis. El m´ınimo n´umero de dientes que dos engranes del mismo tama˜no pueden tener para que no exista in-terferencia es menor al m´ınimo n´umero de dientes que un engrana debe tener para que se pueda aparearse con una cremallera sin interferencia. Entonces, es necesario determinar, para los pi˜nones cuyo n´umero de dientes se encuentran entre estos dos l´ımites, cual es el n´umero m´aximo de dientes con el que un pi˜non puede aparearse sin que se presente interferencia.
Como ya se indic´o, la interferencia se presenta en el engrane m´as peque˜no, la figura 5 muestra un espuema del engrane y el pi˜non. Puede observarse que que el final del contacto entre la pareja de dientes ocurre en el punto de interferencia B = E2localizado en el radio base
del pi˜non.
Figure 5: Interferencia y socavamiento entre dos engranes de diferente tama˜no. La condici´on num´erica para evitar la interferencia se muestra en la figura 5 y est´a dada por (Rp1+ a)2= Ro12 ≤O1E2
2
= O1E12+ E2E12= R2
b1+ (C Sen φ)2= R2b1+ [(Rp1+ Rp2)Sen φ]2.
(11) Sin embargo, sustituyendo los valores del radio base, de los radios de paso y del adendo, la desigualdad puede escribirse como
(Rp1+ a)2≤R2b1+ [(Rp1+ Rp2)Sen φ]2= [Rp1Cos φ]2+ [(Rp1+ Rp2)Sen φ]2. (12)
o ï N1+ 2 k 2 Pd ò2 ≤ï N1 2 Pd Cos φ ò2 +ï N1+ N2 2 Pd Sen φ ò2 . (13) o [N1+ 2 k]2≤[N1Cos φ]2+ [(N1+ N2)Sen φ]2. (14) o N12+ 4 N1k+ 4 k2≤N2
1Cos2φ+ N12Sen2φ+ 2 N1N2Sen2φ+ N22Sen2φ (15)
o 4 N1k+ 4 k2≤2 N 1N2Sen2φ+ N22Sen2φ (16) o, finalmente N1≤ N 2 2Sen2φ −4 k2 4 k − 2 N2Sen2φ (17) Para ilustrar el empleo de esta desigualdad, considere el caso del est´andar AGMA 201.02 que considera un ´angulo de fase φ = 20◦, la Tabla 1, se sabe que el n´umero m´ınimo de dientes
que un engrane debe tener para que pueda aparearse con una cremallera, sin que se presente interferencia es de 18. Por otro lado, la Tabla 3, muestra que el n´umero m´ınimo de dientes que una pareja de engranes iguales debe tener para que puedan aparearse entre si, sin que se presente interferencia, es de 13. Entonces, una pregunta salta a la vista, cual es el n´umero m´aximo de dientes con los que pueden aparearse los engranes que tienen 13, 14, 15, 16, 17. Table 5: N´umero m´aximo de dientes necesarios para que un pi˜n´on de 13 a 17 dientes dise˜nado mediante el estandar AGMA 201.02, φ = 20◦ y k = 1 pueda aparearse sin interferencia.
N2= 13 N2= 14 N2= 15 N2= 16 N2= 17 N1 16.45 26.12 45.48 101.07 1309.86
