guia-de-estudio-potencial-electrico (1).pdf

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL

“FRANCISCO DE MIRANDA” “FRANCISCO DE MIRANDA”

AREA DE TECNOLOGÍA. AREA DE TECNOLOGÍA.

COMPLEJO ACADEMICO “EL SABINO” COMPLEJO ACADEMICO “EL SABINO” DEPARTAMENTO DE FISICA Y MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE FISICA Y MATEMÁTICA

UNIDAD CURRICULAR: FÍSICA II UNIDAD CURRICULAR: FÍSICA II PROF. CARMEN ADRIANA CONCEPCIÓN PROF. CARMEN ADRIANA CONCEPCIÓN

GUÍA DE ESTUDIO DE POTENCIAL ELÉCTRICO GUÍA DE ESTUDIO DE POTENCIAL ELÉCTRICO  Debido

 Debido a a que que la la fuerza fuerza electrostática electrostática dada dada por por la la Ley Ley de de Coulomb Coulomb es es conservativa, conservativa, los los fenómenosfenómenos electrostáticos

electrostáticos pueden describirse convenientemente en pueden describirse convenientemente en términos de términos de una energía potencial una energía potencial eléctrica.eléctrica.  Esto permite

 Esto permite una canuna cantidad escalar tidad escalar conocida coconocida como pmo potencial eléctrico, otencial eléctrico, el cel cual brual brinda una inda una manera másmanera más  sencilla

 sencilla para para describir describir los los fenómenos fenómenos electrostáticos electrostáticos que que se se presentan presentan en en el el campo campo eléctrico eléctrico ( ( Serway,Serway, 2005).

2005).

 Recordemos que

 Recordemos que una fuerza una fuerza es conservativa es conservativa cuando el cuando el trabajo realizado trabajo realizado por dicha por dicha fuerza es fuerza es igual a igual a lala diferencia entre los valores iníciales y finales de una función que solo depende de una coordenada. A diferencia entre los valores iníciales y finales de una función que solo depende de una coordenada. A dicha función se le conoce como POTENCIAL. Además el trabajo realizado por una fuerza dicha función se le conoce como POTENCIAL. Además el trabajo realizado por una fuerza conservativa es independiente de la trayectoria seguida para determinarlo y es igual a cero para una conservativa es independiente de la trayectoria seguida para determinarlo y es igual a cero para una trayectoria cerrada

trayectoria cerrada  El concepto

 El concepto de Potencial de Potencial Eléctrico tiene Eléctrico tiene un gran un gran valor práctico, valor práctico, el voltaje el voltaje medido entre medido entre dos puntos dos puntos dede un circuito eléctrico es simplemente la diferencia de potencial eléctrico entre los puntos

un circuito eléctrico es simplemente la diferencia de potencial eléctrico entre los puntos ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA

ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA Considere una carga prueba q

Considere una carga prueba q00 que se coloca en un campo eléctrico y experimenta una fuerza eléctrica que se coloca en un campo eléctrico y experimenta una fuerza eléctrica

(q

(q00.E) la cual es el vector resultante de las fuerzas individuales ejercidas sobre q.E) la cual es el vector resultante de las fuerzas individuales ejercidas sobre q00 por las cargas que por las cargas que

 producen

 producen el el campo campo eléctrico. eléctrico. Ahora Ahora bien, bien, si si se se pretende pretende mantener mantener la la partícula partícula en en equilibrio, equilibrio, oo desplazarla a velocidad constante, se requiere de una fuerza que contrarreste el efecto de la generado desplazarla a velocidad constante, se requiere de una fuerza que contrarreste el efecto de la generado  por el campo eléctrico,

 por el campo eléctrico, se debe ejerse debe ejercer una fuerza cer una fuerza igual en magnitud y igual en magnitud y de sentido opuesto de sentido opuesto a la ejercidaa la ejercida  por el campo eléctrico; esto requiere un gas

 por el campo eléctrico; esto requiere un gasto de energía puesto que se deto de energía puesto que se debe efectuar trabajobe efectuar trabajo

 Partiendo

 Partiendo de de la la definición definición clásica clásica de de trabajo, trabajo, en en este este caso caso se se realizará realizará un un trabajo trabajo para para trasladar trasladar lala carga de un punto a

carga de un punto a otro. otro. De tal forma que De tal forma que al producirse un pequeño desplazamiento dl al producirse un pequeño desplazamiento dl se generaráse generará un trabajo dW. Es importante resaltar que el trabajo será positivo o negativo dependiendo de cómo se un trabajo dW. Es importante resaltar que el trabajo será positivo o negativo dependiendo de cómo se realice el desplazamiento en relación con la fuerza F 

realice el desplazamiento en relación con la fuerza F  Aext Aext

 E   E  de de dirección dirección la la tiene tiene  F   F   La  La  E.  E. campo campo del  del  dirección dirección la la aa contraria contraria  F   F   La  La qq  E   E   F   F   F   F   F   F  opuestos opuestos  y sentidos  y sentidos magnitud  magnitud  en en iguales iguales  son  son eléctrica) eléctrica) (fueza (fueza  F   F   y  y externo) externo) agente agente del  del  (fuerza (fuerza  F   F   Estas  Estas  E   E   EXT   EXT   A  A  AEXT   AEXT   E   E   AEXT   AEXT   E   E   EXT   EXT   A  A 0 0 ⋅⋅ − − = = − − = =

 El trabajo que debe realizarse para mover una carga de prueba a velocidad constante desde un punto  A hasta un punto B dentro de un campo eléctrico es igual a la variación de la energía potencial 

Cuando una carga q0 se mueve en un campo eléctrico el trabajo realizado por el campo sobre la carga

es igual al negativo del trabajo realizado por un agente externo que produce el desplazamiento; por lo tanto para un desplazamiento infinitesimal el trabajo es:

 Por definición, el trabajo efectuado por una fuerza conservativa es igual al valor negativo del cambio en la energía potencial dU, donde U es la energía potencial. Por lo tanto la energía potencial eléctrica será: ; para un desplazamiento finito del punto a al punto b la energía  potencial eléctrica es:

 En forma general

 En resumen la energía potencial eléctrica es el trabajo necesario para mover una carga desde un  punto a otro dentro de un campo eléctrico. Como la fuerza eléctrica es conservativa, esta integral de

línea no depende de la trayectoria seguida de un punto a otro.

 La cantidad de energía por unidad de carga recibe el nombre de Potencial Eléctrico, es independiente de q0 y tiene un valor único para cada punto en un campo eléctrico. Como la energía potencial es una

magnitud escalar, el potencial también lo es. DIFERENCIA DE POTENCIAL

 La diferencia de potencial _∆V =V  _B -V  _{A entre los puntos A y B, se define como el cambio de energía}  potencial dividida entre la carga q0.

 La diferencia de potencial se genera al trasladar una carga constante desde un punto a otro a velocidad constante dentro de un campo eléctrico y viene dada por:

          − ⋅ = ∆ = ⋅ = ⋅ ⋅ = = − = ∆ =

∫

∫

b a  AB ra rb  AB b a  AB b a  EXT   AB  A  B  AB r  r  q q U  W  r  q q W  dr  r  q q W  dr   F  W  U  U  U  W  1 1 4 1 4 4 1 0 0 0 0 2 0 0 πε  πε  πε  l  d   E  q l  d   F  dW = r. r = ₀ r. r l  d   E  q dU =− 0 r. r l  d   E  q U  U  U  W  b a a b ab r r . 0

∫

− = − = ∆ = 0 q U  V = θ  Cos l  d   E  q U  W  b a ab r r . 0

∫

− = ∆ =  L d  .  E  dV   L d   E  q q dV   L  E  q q V  q dW  q dU  dV  q W  q U  V  0 0 0 0 0 0 0 0 r r r r r r = ⋅ − = ⋅ − = = = = = ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

∫

∫

∫

= − − = ₋ = − b a b a a b a b Vb Va  L d  .  E  V  V  V   L d  .  E  dV  r r r r

 En forma general:

 La diferencia de potencial eléctrico es proporcional al cambio de energía potencial electrostática V  q U  q U  V = ∆ ⇒ ∆ = ⋅∆ ∆ ₀ 0

UNIDADES DE DIFERENCIA DE POTENCIAL

 Puesto que la diferencia de potencial es una medida de la energía por unidad de carga; la unidad del  potencial en el S.I es el Joule sobre Coulomb; definido como una unidad llamada Voltio.

 En la física atómica nuclear, encontramos frecuentemente partículas elementales, tales como electrones y protones, con cargas de magnitud e que se mueven a través de diferencias de potencial de varios miles de millones de voltios. Como la energía tiene dimensiones de carga eléctrica multiplicada  por potencial eléctrico, una unidad conveniente de energía es el producto de la carga electrónica e por

el voltio. Esta unidad se denomina electrón-voltio (eV), que es la energía adquirida para un electrón al moverse a través de una diferencia de potencial de 1 V, 1 eV = 1,6x10-19 J. Algunas veces se necesitan unidades mayores de energía, y se usan los kiloelectronvoltios (keV), megaelectronvoltios (MeV) y los  gigaelectronvoltios (GeV). (1 keV=103 eV, 1 MeV = 106  eV, y 1 GeV = 109 eV).

OBSERVACIONES IMPORTANTES:

•  _{Las líneas de campo eléctrico siempre apuntan en la dirección en la que disminuye el potencial} eléctrico.

•  _{La diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos cualesquiera es independiente de la} trayectoria; es decir; el trabajo realizado para mover una carga de un punto a otro en un campo eléctrico es el mismo por cualquier camino que se tome. Si se tiene un campo eléctrico uniforme dirigido a lo largo del eje y negativo; la diferencia de potencial entre los puntos “a”  y “b” separados una distancia “d” es:

Como E y dL son paralelos

 El signo negativo resulta del hecho de que el punto b esta a menor potencial que el punto a, es decir; Vb<Va. Tomando en cuenta que el cambio de energía para una carga q0 esta dado por

d  .  E  q V  q U = ₀ ⋅_∆ = − ₀

∆ ; puede notarse que si q0 es positiva ∆U es negativa; es decir; si qo se

C  1  Joul  1 V  1 .)  I  . S  (  Voltios Coul   Joule que tiene se q dW  dV  0 = = = Campo del  Unidades C   Nw m Voltio m 1 C  m  Nw V  1 C   Joul  m Voltio : o  Demostrand  m Voltio  E   L d  dV   E   L d  .  E  dV  :  parte otra  Por  .)  I . S  (  Voltio m C   Nw  L d  .  E  dV  : También = ⋅ ⋅ = ⋅ = = = → = = ⋅ → = r r r r r r

∫

∫

=− ⋅ − = − b a b a a

b  E .d  s  E  Cos .d  s  Diferenciade Potencial 

V  r r r θ  r

∫

− = − b a a b  E d  L V  r r

∫

− = − b a a b  E .cos0.d  L V  r r ₋ =−

∫

=− b a a b  E .dL  E .d  V   E r a b d 

 suelta desde el reposo en el campo eléctrico experimenta una fuerza (q0. E) en dirección del

campo. Por consiguiente gana energía cinética. En resumen Si q0 es positiva se acelera en la

dirección del campo eléctrico, su energía cinética aumenta, y se mueve hacia una región de menor energía potencial, por lo que ∆U es negativa.

Si q0 es negativa ésta se acelera en dirección contraria al campo eléctrico, la partícula pierde

energía cinética y se mueve hacia una región de mayor energía potencial, por tanto ∆U es  positiva.

•  _{El trabajo será positivo si el potencial eléctrico final es mayor al inicial, el trabajo será} negativo si el potencial eléctrico final es menor al inicial y será nulo cuando la partícula se mueva entre dos puntos que tengan el mismo potencial.

SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES

 Este nombre se da a cualquier superficie compuesta de una distribución continua de puntos que tiene el mismo potencial eléctrico. Por lo tanto no se realiza trabajo para desplazar una carga de un punto a otro dentro de una superficie equipotencial ya que por definición no existe diferencia de potencial.  Las superficies equipotenciales de un campo eléctrico uniforme se componen de una familia de planos

que en su totalidad son perpendiculares al campo. Para una carga puntual aislada se componen de una familia de superficies esféricas o esferas concéntricas a la carga.

 Entre las superficies equipotenciales y las líneas de campo eléctrico se forma una especie de malla o red de líneas perpendiculares. Las líneas de campo eléctrico apuntan en la dirección en que el  potencial disminuye.

Campo eléctrico de una lamina

 Infinitamente cargada Campo Eléctrico de una carga puntual 

POTENCIAL ELÉCTRICO PARA UNA CARGA PUNTUAL

Se tiene una carga puntual positiva generando un campo eléctrico. El producto donde θ es el ángulo entre los vectores y ; pero es la proyección de dl sobre r; por lo tanto

. Es decir; cualquier desplazamiento dl produce un cambio dr en la magnitud de r  .

 La diferencia de potencial estaría dada por

 Donde el campo eléctrico para una carga puntal por Ley de Coulomb

 Las líneas punteadas representan las superficies equipotenciales y las líneas continuas representan las líneas de campo eléctrico.

θ  cos dL θ  cos ˆd  L dL r  r=  L d r r  ˆ  θ  cos dL dr  = r ˆ  Q 1  E  r  d  .  E  l  d  .  E  V  V  Constante Velocidad  con mueve  se q 1 º  180 Cos º  180 dr  dl   E  q  F  b a b a a b 0 0  Aext  ⋅ = − = − = − − = = − = ⋅ − =

∫

∫

θ  r r r r r

 Luego

POTENCIAL ELÉCTRICO PARA UN SISTEMA DE CARGAS PUNTUALES

 El Potencial Eléctrico de dos o más cargas puntuales se obtiene aplicando el principio de  superposición:

 Los potenciales serán: V>0 si q es positiva q>0 V<0 si q es negativa q<0 EJERCICIO Nº 1:

 Para la configuración de cargas de la figura demuestre que V para puntos en el eje está dado por: V= 1 q + 2qa Suponiendo que r>>a

4πε o r r 2 r  Q  K  V  o r  Q 4 1 V  V  :  por  dado viene  puntual  carga una  para  Eléctrico  Potencial   El  0 V  tanto  Por  0 1 r  1  Entonces a  si bien  Ahora  Potencial  de  Diferencia r  1 r  1 4 Q V  r  1 r  1 4 Q r  1 4 Q V  r  1 4 1 r  dr  4 Q V  dr  r  Q 4 1 V  0 a b a a b 0 a b a b 0 a b 0 a b ra rb 0 rb ra 2 0 a b b a 2 0 a b ⋅ = ⋅ = = = ≈ ∞ = ∞ →           − =           − = =          ₋ − = − = ⋅ − = − − − − −

∫

∫

πε  πε  πε  πε  πε  πε  πε  r  q 4 1  V  V  ... ... V  V  V  V  V  n 1 i i i 0 n 1 i n 3 2 1 i

∑

∑

= = ⋅ = + + + + = = πε      ₊ =       + + =       − − + = ≈ −       − − + =       − + + − + + − =       − + + + − + + − − =       − + + + − = − ⋅ = ⋅ = + ⋅ − = + + = 2 0 3 2 3 3 2 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 0 T  2 2 2 2 2 2 0 T  0 T  0 T  0 3 0 2 0 1 3 2 1 T  r  aq 2 r  q 4 1 V  r  a r  ar  2 r  r  4 q V   ) a r  (  r  a ra 2 r  4 q V   Luego r  a r  que Ya  ) a r  (  r  a ra 2 r  4 q V   ) a r  (  r  ra r  a r  ra r  4 q V   ) a r   )(  a r  (  r   ) a r  (  r   ) a r   )(  a r  (   ) a r  (  r  4 q V   ) a r  (  q r  q  ) a r  (  q 4 1 V   ) a r  (  q 4 1 V  r  q 4 1 V   ) a r  (  q 4 1 V  V  V  V  V  πε  πε  πε  πε  πε  πε  πε  πε  πε  πε 

(

0

 ,

02

V 

)

0

 ,

20

eV 

e

V 

q

U 

=

∆

=

−

=

−

∆

(

27 

 ,

2

V 

)

27 

 ,

2

eV 

e

qV 

U 

=

=

−

=

EJERCICIO Nº 2:

Un protón de masa 1,67x10-27  C se sitúa en un campo eléctrico uniforme E= (5,0 N/C)i=(5,0 V/m)i y desde el reposo se deja en libertad. ¿Qué velocidad posee después de recorrer 4 cm?

Cuando el protón se mueve siguiendo la línea del campo eléctrico, su potencial disminuye y su energía cinética se incrementa en igual cantidad. La variación del potencial eléctrico para ∆ x= 4 cm= 0,04 m

es

 La variación de energía potencial del protón viene dada por el producto de su carga por el incremento de potencial:

 De acuerdo con el principio de conservación de la energía, la pérdida de energía potencial es igual a la ganancia de energía cinética. Como el protón parte del reposo, su ganancia en energía cinética es

½mv2 , siendo v la velocidad que posee después de recorrer los 4 cm. Tenemos, por tanto,

 La conversión de unidades entre electrón-voltio y Julios se obtiene expresando la carga electrónica en culombios:

 En el ejemplo la variación de energía potencial del protón después de recorrer 4 cm es EJERCICIO Nº 3:

a)¿Cuál es el potencial eléctrico a una distancia r= 0,529x10-10 m de un protón? (Esta es la distancia media entre el protón y el electrón en el átomo de hidrógeno?. b)¿Cuál es la energía potencial del electrón y el protón a ésta separación?

a)  La carga del protón es q=1,6x10-19 C. entonces:

b)  La carga del electrón es -e= -1,6x10-19  C. En electrón-voltios, la energía potencial del electrón y el protón separados a una distancia de 0,529x10-10 m es

 En unidades SI, la energía potencial es

(

5

 ,

0

V 

 / 

mi

)( ) (

.

dxi

5

 ,

0

V 

 / 

m

)

dx

d 

.

 E 

dV 

=

−

l

=

−

=

−

(

5

 ,

0

V 

 / 

m

)(

0

 ,

04

m

)

0

 ,

20

V 

V 

= − =− ∆

(

1

 ,

6 

10

C 

)

(

0

 ,

20

V 

)

3

 ,

2

10

 J 

V 

q

U 

=

∆

=

×

−19

−

=

−

×

−20 ∆

0

U 

 E 

_c

+

 ∆

=

∆

 E 

c

U 

(

3

 ,

2

10

20

 J 

)

−

×

−

−

=

−

=

∆ ∆

 J 

10

2

 ,

3

mv

2

1

2

₌

_×

−20

( )

(

)

kg 

 / 

 J 

10

83

 ,

3

kg 

10

67 

 ,

1

 J 

10

2

 ,

3

2

v

₂₇  7  20 2

₌

_×

×

×

=

₋ −

 s

 / 

m

10

19

 ,

6 

kg 

 / 

 J 

10

83

 ,

3

v

=

×

7 

=

×

3

 J 

10

6 

 ,

1

V 

.

C 

10

6 

 ,

1

eV 

1

=

×

−19

=

×

−19

)

)

₂₇ 

 _,

₂

 _J 

 _/ 

_C 

₂₇ 

 _,

₂

_V 

m

10

529

 ,

0

C 

10

6 

 ,

1

C 

 / 

m

.

 N 

10

99

 ,

8

r 

kq

V 

₁₀ 19 2 2 9

=

=

×

×

×

=

=

₋ −

(

)

POTENCIAL ELÉCTRICO DEBIDO A DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGAS

 El Potencial Eléctrico debido a Distribuciones Continuas de Carga puede calcularse de dos maneras: • _{Si se conoce la distribución continua de carga}

• _{Si la distribución continua de carga es altamente simétrica y se conoce el campo eléctrico} evaluado por Ley de Gauss

• _{SI SE CONOCE LA DISTRIBUCIÓN DE CARGA}

Se comienza con el potencial para una carga puntual, luego se considera un elemento de carga dq. El diferencial de potencial dV en algún punto P debido a este elemento de carga dq es:

• _{SI LA DISTRIBUCIÓN DE CARGA ES ALTAMENTE SIMÉTRICA Y SE CONOCE EL CAMPO}  ELÉCTRICOEVALADO POR LEY DE GAUSS

Se evalúa el Campo Eléctrico E usando la Ley de Gauss y después se sustituye el valor obtenido en la ecuación:

Se determina ∆V entre dos puntos y se elige un V=0 en algún punto conveniente. POTENCIAL ELÉCTRICO DE UN CONDUCTOR ESFÉRICO CARGADO

 En el interior de la corteza esférica el campo eléctrico es cero por lo tanto no se realiza trabajo al desplazar una carga de prueba de un punto a otro en el interior de la corteza y el potencial es constante. a b 0 a b a b a b 0 0 V  q W  0 W  0 Q 0  ρ 0 V   L d  .  E  V  0 q 0  E  Conductora  ficie   Super  :  Resumen  En  R r  ; r  Q 4 1 V   R r  ;  R Q 4 1 V  − − − − ⋅ = ≠ = = ≠ − = ≠ ≠ ≥ = ≤ =

∫

r r πε  πε 

∫

∫

∫

∫

= ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = = ⋅ = r  dV  . 4 1 V  dV  . dq 3) r  dA . 4 1 V  dA . dq 2) r  dL . 4 1 V  dL . dq 1) :  Donde r  dq 4 1 V  r  dq  K  dV  0 0 0 0  ρ  πε   ρ  σ  πε  σ  λ  πε  λ  πε 

∫

− = − b a a b  E .d  L V  r r

EJERCICIO Nº 4:

Un disco circular cargado de radio R tiene una carga por unidad de área σ . Calcular el

 potencial en un punto sobre el eje X del disco a una distancia a.

EJERCICIO Nº 5:

 Existe una carga distribuida uniformemente a lo largo de una línea recta de longitud finita 2L, como muestra la figura. Demuestre que para puntos externos cerca del punto medio tal que r 1 y

r 2 sean pequeños comparados con la longitud, el potencial eléctrico es:

V 12= V 1-- V 2= λ   Ln(r 2 /r 1 ) 2πε 0

[

]

[

a  R a

]

2 V  a  R a 2 V   )  R a (  2 4 V  u 2 du u rdr  2 du a r  u : variable de cambio  por  integral  la o  Resolviend   ) r  a (  rdr  2 4 V   ) r  a (  rdr  2 4 1 dV   ) r  a (  S  :  Luego rdr  2 dq r  q r   A a q a q S  dq 4 1 dV  S  q 4 1 V  2 2 0 2 2 2 0 0  R 2  /  1 2 2 0 2  /  1 2  /  1 2 2  R 0 2  /  1 2 2 0  R 0 2  /  1 2 2 0 V  0 2  /  1 2 2 2 2 0 0 − + = − + = + ⋅ = = = + = + = + ⋅ ⋅ = + = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = = ⋅ = ⇒ ⋅ =

∫

∫

∫

∫

− ε  σ  ε  σ  ε  σ  πε  σπ  π  σ  πε  π  σ  π  σ  π  σ  σ  πε  πε  2  /  1 2 2 0 1 0 2 1 12  )  Z  r  (  S  : Triángulo  Del  dZ  dQ  Z  Q  Z   L  L Q S  dQ 4 1 dV  r  dQ 4 1 V  V  V  V  + = ⋅ = ⋅ = = = = ⋅ = − = λ  λ  λ  πε  πε 

EJERCICIO Nº 6:

Una esfera metálica hueca de radio r a está sostenida mediante un pié aislante en el centro de una

esfera metálica hueca de radio interior r b. La esfera interior posee una carga +q y la exterior, -q. a)

 Demuestre que el diferencial de potencial entre las esferas es: V b-a=Kq 1 -- 1

r a r b

b) Demuestre que le campo eléctrico E en cualquier punto situado entre ellos es E= V ab . 1

(1/r a+1/r b ) r 2

[

]

∫

∫

∫

∫

⋅ = + ⋅ = + ⋅ = ⋅ = ⋅ = + = 2  /  1 2 1 2 1 0 1 2  /  1 2 2 1 2 1 0 1 2  /  1 2 2 1 2 1 2 1 0 1 2 1 1  L 0 2 1 / 2 2 1 0 1  ) Sec (  r  d  Sec r  2 V   ) Tg  1 (  r  d  Sec r  2 V   ) Tg  r  r  (  d  Sec r  2 V  d  Sec r  dZ  Tg  r   Z  : rica trigonomét  ón  sustituci  por  integral  la o  Resolviend   )  Z  r  (  dZ  4 2 V   β   β   β  πε  λ   β   β   β  πε  λ   β   β   β  πε  λ   β   β   β  πε  λ            =             = − =                   −           =           =           = ≈ + >>             _{+ +} =           −             _{+ +} =                     _{+ +} = = + = + = = = − − −

∫

∫

1 2 0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 2 1 0 2 1 2 0 2 1 0 1 1 2 1 2 0 1 1 1 1 2 1 2 0 1 0 1 2 1 2 0 1 1 1 2 / 1 2 1 2 0 0 0 1 0 1 2 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 2 2 r  r   Ln V  r   L r   L  Ln V  V  V  r   L  Ln r   L  Ln V  r   L  Ln V  :  será  potencial  el  r  en ubicado  punto un  Para r   L  Ln V   L r   L r  2L Como r   L r   L  Ln V  r  r   Ln r   L r   L  Ln V  r   Z  r   Z   Ln V  r   Z  Tg  r  r   Z  Sec : cambio el  o  Devolviend  Tg  Sec  Ln V  d  Sec V  Sec d  Sec V  2 2 1 2 1  L  L  L πε  λ  πε  λ  πε  λ  πε  λ  πε  λ  πε  λ  πε  λ  πε  λ   β   β   β   β  πε  λ   β   β  πε  λ   β   β   β  πε  λ            − ⋅ = − = = = = − = − = − − − −

∫

∫

∫

b a a b ra rb rb ra 2 a b 2 rb ra a b a b r  1 r  1 q  K  V  r  1  Kq r  dr   Kq V  r  q  K   E  donde  , dr  .  E  V  :  Luego dr  dL  s conductora es  superfici  Para  L d  .  E  V  : tiene Se r r

OBTENCIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO A TRAVÉS DEL POTENCIAL ELÉCTRICO (GRADIENTE DE POTENCIAL).

 El potencial y el campo eléctrico se relacionan por:

∫

− = − b a a b  E .d  L V  r r

 Pero Vb-Va proviene de:

∫

Vb

Va

dV  por lo tanto:

Se escribe: Tenemos que:

 Al suponer un desplazamiento paralelo al eje x se tiene: ó

 Es decir: ; ;

 Haciendo:

 El campo eléctrico es el gradiente negativo del potencial eléctrico.  BIBLIOGRAFÍA

• _{SERWAY, R. y JEWETT J. Electricidad y Magnetismo. Sexta Edición. Editorial Thompson,}  México., 2005.

• _{SEAR. ZEMANSKY. YOUNG. FREEDMAN. Física: Volumen 2. Novena Edición. Addison} Wesley Longman. S.A. México., 1999.

•  _{RESNICK, R. Y HOLLlDAY, D. Física. Tomo 11. Editorial Continental. México., 1986.}

2 b a a b 2 b a a b b a a b 2 2 0 r  1 r  1 r  1 V   E  r  1  Kq  E  en do Sustituyen r  1 r  1 V   Kq r  1 r  1  Kq V  r  q  K   E  r  q 4 1  E  que tiene Se ⋅           − = =           − =           − = = = − − − πε 

∫

∫

= − b a Vb Va  L d  .  E  dV  r r dV =− E rd  Lr k  dz   j dy i dx  L d  k   Ez   j  Ey i  Ex  E  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + + = + + = r r  Ezdz   Eydy  Exdx dV = + + −  Exdx dV = − _          − = dx dV   Ex dx dV   Ex=− dy dV   Ey=− dz  dV   Ez =− _          + + − = _k  dz  dV   j dy dV  i dx dV   E r ˆ ˆ ˆ           + + = ∇ _k  dz  d   j dy d  i dx d  _{ˆ ˆ ˆ} V   E r =−∇r           + + = ∇ _k  dz  d   j dy d  i dx d  _{ˆ ˆ ˆ} V   E r =−∇r