UTEM
UNIVERSIDAD
TECNOLOGICA METROPOLITANA
GUIA 3 INFERENCIA ESTADISTICA
Intervalos de Confianza
1. Una empresa dedicada a la entrega de informes a los consumidores, estudió el precio de venta de cierta estufa a parafina tomando como universo el sector céntrico de Santiago.
Se selecciona una muestra aleatoria de 25 locales del centro, encontrando un precio promedio de $21000 con una desviación de $4000.
Se sabe que el precio de una estufa tiene una distribución Normal:
a. Estime con un 98% la desviación en los precios de la estufa a parafina en los locales del centro.
b. Si se desea estimar el precio medio de estas estufas en el centro de Santiago, con una confianza del 95% y un error de estimación de $1000. ¿Cuántos locales habría que muestrear?.
2. Un fabricante de ropa está interesado en comparar la productividad de sus trabajadores de acuerdo a dos tipos de salarios: salarios fijo, salarios con un plan de incentivo.
Se tomaron muestras aleatorias de trabajadores con salarios fijos y con incentivos, obteniéndose:
Productividad según Salario
Trabajador
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Fijo
Con Incentivo
75 72 73 76 78 72 80 74 76 75 80 83 84 78 79 81 84 85 78 86
Suponiendo que la productividad según salario distribuye Normal:
a. Construya un intervalo de confianza del 98% para la diferencia media en la productividad de los trabajadores según tipo de salario.
b. Determine un intervalo de confianza del 95% para la proporción de trabajadores con salario fijo cuya productividad diaria es superior a 75 unidades.
c. Se determinó un intervalo de confianza para la productividad media de los trabajadores con salario variable (incentivos) obteniéndose:
u2 : ( 78.74 ; 84.86 )
3. Un organismo de defensa al consumidor examinó 100 latas de atún envasadas por cierta industria encontrando que nueve de ellas estaban en mal estado.
a. Obtenga un intervalo de confianza del 98% para la proporción de latas en buen estado de la producción total de la industria.
b. Definiendo como precisión de la estimación por intervalos la mitad de su longitud, podría el organismo decir que su muestra es suficientemente grande como para estimar la proporción con un 99% de confianza y una precisión de 0.01.
4. Por razones de almacenamiento y facilidad de manejo, una compañía de mudanzas guarda sus cajas de cartón sin ensamblarlas. Las personas que hacen la mudanza llevan las cajas sin armar al sitio, las ensamblan y las empaquetan. La compañía está interesada en saber qué porcentaje de un tipo especial se malogran, y el tiempo medio de ensamblaje de estas cajas.
Para tales efectos, se seleccionaron al azar 32 mudanzas de entre las contratadas por la compañía y en cada mudanza se escogió una de tales cajas. Se obtuvieron los siguientes resultados:
El tiempo promedio de ensamblaje fue de 21 seg. y la varianza 4 seg2. Además, de las
32 cajas, 9 se malograron.
a. Encuentre un intervalo de confianza del 99% para el tiempo medio de ensamblaje, para armar este tipo de cajas en todas las mudanzas.
b. Construya un intervalo de confianza del 95% para la proporción de cajas que se malogran en las mudanzas que realiza la compañía.
c. ¿Qué tamaño de muestra se requiere para estimar la proporción de cajas que se malogran, si se desea mantener la confianza anterior (parte b.) un error de estimación no superior a 0.1?.
5. El gerente de digitadores de IBM internacional está interesado en estimar la media de los errores de digitación que se cometen en las sucursales que tiene la empresa en las ciudades de Santiago y Bogotá. Para tales efectos se tomaron muestras aleatorias de digitadores en ambas ciudades (a cada digitador se le pidió que digitara un texto con un número determinado de caracteres) y se contabilizó el número de errores de cada digitador.
Los resultados obtenidos aparecen en las siguientes tablas:
Santiago Bogotá
Errores de Digitación
Número de Digitadores
Errores de Digitación
Número de Digitadores 1 - 4
4 - 9 9 - 15 15 - 20
55 20 15 10
1 - 4 4 - 9 9 - 15 15 - 20
70 25 24 11
b. Diría usted que existe diferencia entre todos los digitadores de ambas sucursales con respecto al número medio de errores digitados con una confianza del 95%.
6. Con el propósito de decidir donde poner énfasis en una campaña de publicidad, el Departamento de Investigación de Mercado de una fábrica de automóviles encuestó a una muestra aleatoria de 200 familias de una comuna A y 100 familias de una comuna B. De las familias encuestadas poseían automóviles 150 de la comuna A y 80 de la comuna B.
a. Construya un intervalo de confianza del 90% para la diferencia de los porcentajes de familias con automóviles en ambas comunas.
b. Si se desea estimar la proporción de familias de la comuna A que no poseen automóvil, con un nivel de confianza del 95% y un error no superior a un 1%, ¿Cuántas familias habría que encuestar?.
7. Un empleado de una empresa desea estimar la proporción de artículos inacabados que también son defectuosos, con un error de precisión de 0.05 y al 90% de confianza. a. ¿Qué tamaño muestral mínimo debe considerar en este estudio, si no se sabe nada
sobre el valor de esta proporción de artículos inacabados?.
b. ¿Cuál es el tamaño mínimo a considerar, si sospecha que esta proporción no es mayor a
0.3?.
8. Una empresa de confites desea adquirir una partida de 20000 caramelos de una marca brasilera para comercializar en el país. El dueño de la empresa adquirirá la partida sólo si el contenido de compuestos artificiales (permitidos) de cada caramelo no supere los
20 mgs.
Para estos efectos, toma una muestra aleatoria de 36 caramelos de la partida, midiéndoles el contenido de componentes artificiales a cada uno de los 36 caramelos, obteniendo:
2 36
1
2 _ 36
1
315
.
756
mgs
x
x
mgs
x
i i i i
=
−
=
∑
∑
= =
Donde X es el contenido de componentes artificiales en el caramelo (en mgs.)
a. ¿Qué le recomendaría usted al dueño de la empresa sobre la adquisición (ó no) de la partida?. Considere un intervalo de confianza del 99%.
b. ¿Modificaría su recomendación al 90% de confianza?.
9. En un estudio sobre el punto de fusión de un nuevo material, se hicieron 9
determinaciones obteniéndose los siguientes resultados (Puntos de Fusión):
1500 1481 1498 1504 1473 1502 1525 1508 1500
Haciendo los supuestos que estime necesarios, responda:
a. Construya un intervalo de confianza del 98% para la estimación media del Punto de Fusión de este material.
10. Las acciones que se transan en bolsa tienen dos características relevantes: rentabilidad media y variabilidad (que mide el riesgo). Dos tipos de acciones A y B tienen rentabilidades semanales, para muestras de 10 y 7 semanas respectivamente, del siguiente tipo:
Rentabilidad Promedio Desviación Estándar
Acción A Acción B
1.5%
1.8%
0.7%
1.0%
Asumiendo que las rentabilidades de la acción A y B, tienen un comportamiento Normal, responda:
a. ¿Es la acción B más riesgosa que la acción A?. Justifique con un intervalo de confianza del 95%.
b. Construyendo un intervalo de confianza del 95%, ¿Cuál acción tiene una mayor rentabilidad media?.
c. Construya un intervalo de confianza del 90% para la rentabilidad media de la acción A.
11. Los siguientes datos corresponden a ganancias obtenidas por dos empresas, durante seis meses (en millones de $):
Empresa A 2.48 1.50 4.59 3.06 2.11 2.80 Empresa B 1.38 1.26 3.64 3.50 2.47 3.21
Suponga que las ganancias obtenidas distribuyen Normal en las empresas A y B, respectivamente, responda:
a. ¿Con qué grado de confianza puede afirmarse que la variabilidad de las ganancias de la empresa B fluctúan entre 0.4337 y 6.6969?.
b. Encuentre un intervalo de confianza del 99% para la diferencia media de las ganancias entre las empresas A y B.
c. Encuentre un intervalo de confianza del 90% para estimar la proporción de meses en la empresa A, que obtiene una ganancia inferior a tres milllones de pesos. Asuma que n es grande.
d. Si por estudios anteriores se sabe que la proporción de meses de la empresa B, con ganancia superior a 2.5 millones de pesos es de 0.6. Si aceptamos un error de estimación de hasta 0.122 y una confianza del 80.51%. ¿Cuál es el tamaño de muestra adecuado bajo estas condiciones?. Asuma que n es grande.
12. Una empresa de investigación de mercado tiene la información respecto del ingreso familiar y el número de familias con hijos de edad inferior a 5 años que viven en 2 sectores de la capital.
Ingreso Promedio
Desviación Estándar
Número de Familias con hijos menores
de 5 años
Número de Familias Encuestadas Sector A
Sector B
$ 120000
$ 140000
$ 40000
$ 55000
200 150
500 500
a. Estime con una confianza del 95% la diferencia del ingreso medio entre ambos sectores. ¿Qué podría concluir?
b. ¿Qué podría decir Ud. de la diferencia de porcentaje de familias con hijos menores a 5 años entre ambos sectores, con un 95% de confianza?.
c. Estime con una confianza del 95% el cuociente de las desviaciones estándar entre ambos sectores.
13. En una muestra aleatoria de 250 televidentes de un sector A de la ciudad, 190
declararon haber visto un programa de debate político.
a. Construya un intervalo de confianza del 95% para la proporción verdadera correspondiente.
b. Determine el tamaño de muestra mínimo necesario que permita aseverar, con un grado de confianza de cuando menos 99%, que una proporción de la muestra tiene un error máximo de 2%.
c. Si en otro sector B en una muestra aleatoria de 500 televidentes, 400 declararon haber visto el programa. Construya un intervalo de confianza del 95% para las diferencias de los parámetros correspondientes y concluya acerca de la “relación” que existe entre ellos.
14. Una Agencia Publicitaria ha lanzado una campaña para promover un nuevo cereal. Uno de los comerciales fue proyectado en un mercado de prueba, y se telefoneó a una muestra de espectadores para verificar la retención del mensaje. Los que vieron el mensaje fueron clasificados según el porcentaje de evocación del mensaje, obteniéndose:
Tasa de Recordación Número de Personas 0 - 10
10 - 20 20 - 30 30 - 40 40 - 50 50 - 60
2 5 12 23 9 6
a. Determine un intervalo de confianza del 98% para el porcentaje medio de recordación del nuevo comercial del cereal.
b. Obtenga un intervalo de confianza de recordación del comercial en aquellas personas que lo recuerdan entre un 25% y un 40%, con una confianza del 95%.
c. Si se desea estimar el porcentaje medio de recordación del comercial con una confianza del 98% y un error de estimación no superior al 2%. ¿Cuántas encuestas telefónicas habría que realizar?.
15. La directora financiera de una empresa de “La Fortuna 2000” tiene que decidir qué sería menos costoso, si financiar deuda o financiar el neto patrimonial. Estudia las transacciones recientes en el mercado de empresas similares a la suya y encuentra que
de financiar deuda o financiar el neto patrimonial, tienen una distribución Normal con igual variabilidad. Construya un intervalo del 95% de confianza para la diferencia de los costos medios. ¿Proporciona este estudio alguna prueba acerca de cuál es el método de financiación menos costoso?.
16. Una empresa de buses está tratando de decidir una compra de neumáticos entre las marcas “A” y “B”. Se toman muestras aleatorias de 50 neumáticos de cada marca, usándolos hasta que se desgastan, obteniendo:
Duración Neumático “A” Neumático “B” Promedio
Desviación Estándar
36300 Km.
6400 Km.
39000 Km.
4800 Km.
Además, el 20% de los neumáticos “A” duró más de 39000 Km. y el 75% de los neumáticos “B” duró menos de 40000 Km.
a. Determine un intervalo de confianza del 95% para la duración esperada de los neumáticos “A”.
b. Construya un intervalo de confianza del 90% para la proporción poblacional de neumáticos “B” con duración superior a 40000 Km.
c. El costo de muestrear cada neumático es de $ 3000. Manteniendo el error de estimación obtenido en (a). ¿Cuánto dinero adicional deberá gastar la empresa para estimar la duración esperada de los neumáticos “A” con un 98% de confianza.
d. Determine un intervalo de confianza del 98% para estimar la variabilidad en la duración de los neumáticos “B”.
e. Un intervalo de confianza para la proporción poblacional de neumáticos “A” que dura menos de 39000 Km. está dado por: (0.65405 ; 0.94595).
¿Cuál es la confianza del intervalo?.
17. Omer Huet, comparó el tiempo medio empleado en rechazar una solicitud de pago por asistencia médica con el tiempo medio invertido en atender dicha petición. En 50
peticiones rechazadas se invirtió un promedio de 12.2 semanas y con una desviación estándar de 3.5 semanas. Sesenta solicitudes pagadas dieron un promedio de 15.3
semanas y una desviación estándar de 2.7 semanas. Construya un intervalo del 95% de confianza para la diferencia entre los tiempos medios. Si la diferencia de los tiempos medios es mayor que un día, el Señor Omer Huet modificará la forma de presentar las solicitudes. ¿Deberá hacerlo?.
18. Una cadena nacional de equipos estereofónicos realizó un experimento de precios. Durante un fin de semana el precio de sus mejores reproductoras de discos compactos se elevó en el 4% en 35 tiendas y se redujo en igual cuantía en otras 35 tiendas elegidas al azar. Se anotaron las variaciones de los ingresos por ventas en cada caso. En las tiendas que elevaron el precio, los ingresos por reproductoras de CD aumentaron en un promedio de 842 dólares y con una desviación de 217 dólares. El incremento medio de ingresos en las tiendas que bajaron precios fue de 817 dólares y con una desviación de
economistas llaman elasticidad de la demanda). ¿Qué le dice al director un intervalo del
99% de confianza sobre los incrementos medios de ingresos?.
19. Las negociaciones salariales entre su empresa y el sindicato que representa a sus trabajadores están al borde de la ruptura. Hay un desacuerdo considerable sobre el nivel salarial medio de los trabajadores de la sección A y B de la empresa “Technical”. Los salarios fueron establecidos por el antiguo convenio colectivo firmado hace tres años y se basa en la estricta antigüedad. Como los salarios están muy controlados por el convenio colectivo, se supone que la variación salarial es la misma en las dos secciones y que los salarios siguen una distribución Normal. Pero se piensa que hay diferencia entre los niveles salariales medios a causa de las diferentes estructuras de antigüedad entre las dos secciones de la empresa.
El negociador del convenio colectivo por parte de la dirección le pide que elabore un intervalo del 95% de confianza para la diferencia entre los niveles salariales medios. Si existe una diferencia entre las medias, habrá que hacer ajustes salariales para elevar los salarios más bajos hasta el nivel de los más altos. Con los datos que se dan a continuación, ¿Qué ajustes habrá que hacer, en caso de ser necesario?.
Las muestras de trabajadores tomadas de cada sección aportan la siguiente información:
SecciónA SecciónB Cantidad de trabajadores
Salario promedio
Desviación estándar del salario
23 $8239 la hora
$4534.95
19 $7285 la hora
$4386.39
