Mat2 2013.2

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(1)MATEMÁTICA PARTE 2. Análisis y procedimiento Graficamos según los datos.. Pregunta N.o 21. Y. El área de un triángulo cuyos vértices son A(x, y), B(3, 4) y C(5, –1), es 7u2.. B (3; 4). A (x; y). Además y+3x=4 y x > – 2. Calcule x+y. A) B) C) D) E). 4 5 6 7 8. C (5; – 1) y=4 – 3x. X. Hallamos el área. 5. –1. 3. 4. Resolución. –3. Tema: Geometría analítica. 4x. x. y. 3y. 5y. 5. –1. –x. Y. A=. S B (x2; y2) X. x1 y 1. 20+3y – x. I. D. x1 y 2. y 2 x3 x3 y 3. x2 y 3. y 3 x1 x1 y 1. x3 y 1 D. S=. D−I 2. D−I 2. 7=. 20 + 3y − x − (4 x + 5 y − 3) 2. 7=. 23 − 5 x − 2y 2. (I). Como A( x; y) ∈ L , entonces. y 1 x2 x2 y 2. I. (+). 4x+5y – 3 A (x1; y1). C (x3; y3). 20. y=4 – 3x . (II). De (I) y (II) x= –1; y=7 ∴. x+y=6. Respuesta 6. 17.

(2) MATEMÁTICA Pregunta N.o 22. M=. En la circunferencia trigonométrica adjunta, determine:. área del ∆ POR . área del ∆ RQO. ∴. M=sec(2q)+1. Respuesta. A) csc(2q)+1. R. B) csc(q)+1. Q. C) sec(q)+1. P. D) sec(2q)+1. sec(2q)+1. θ. Pregunta N.o 23. O. x Sean f( x ) = sen   , g(x)=sen(2x),  2. E) sec(2q)+2.  π   3π  para x ∈  , π ∪  , 2π  . 2   2 . Resolución. Entonces podemos afirmar que:. Tema: Circunferencia trigonométrica •. sen2q=2senqcosq. •. 2cos2q=1+cos2q. A) f(x) > g(x) B) f(x) ≥ g(x) C) f(x) < g(x) D) f(x) ≤ g(x). Análisis y procedimiento. π  E) f( x ) ≤ g( x ), x ∈  , π  y 2   3π  g( x ) < f( x ), x ∈ , 2π 2 . Y cos2θ Q. P. 2 cos 2 θ 1 + cos 2θ = cos 2θ cos 2θ. θ 1 θ tanθ 2θ 1 O cos2θ. R sen2θ X. Resolución Tema: Funciones trigonométricas directas Análisis y procedimiento Dato  π   3π  x ∈  ; π  ∪  ; 2π  2   2  I.. Área del T POR M= Área del T RQO. (1)(sen2θ) M=. 2. ( tan θ)(cos 2θ) 2. =. f( x ) = sen. x 2. Periodo: Tf = 2senθ cos θ senθ cos 2θ cos θ. II.. 2π → Tf = 4 π 1 2. g(x)=sen2x Periodo: Tg =. 2π → Tg = π 2. 18.

(3) MATEMÁTICA Análisis y procedimiento. Graficamos las funciones f y g.. E=25sen5ºsen10ºsen50ºsen70ºsen85ºsen110ºsen130º. Y 1. f(x)=senx/2. E=32sen5ºsen10ºsen50ºsen70ºcos5ºsen70ºsen50º. E=16(2sen5ºcos5º)sen10ºsen250ºsen270º π 2. π. 3π 2. 2π X. E=16(sen10º)sen10ºsen250ºsen270º E=16sen210ºsen250ºsen270º E=[4sen10ºsen50ºsen70º]2. –1 g(x)=sen2x. E=[4sen10ºsen(60º – 10º)sen(60º+10º)]2 E=[sen3(10º)]2. Del gráfico, tenemos que. E=[sen30º]2.  π   3π  Si x ∈  ; π ∪  ; 2π  4   2 . E=1/4. → f(x) ≥ g(x). Respuesta 1/4. Respuesta f(x) ≥ g(x). Pregunta N.o 25 Pregunta N.o 24. En la figura:. Calcule el resultado, simplificado, de la siguiente expresión.. C α. E=25sen5ºsen10ºsen50ºsen70ºsen85ºsen110ºsen130º. A) 1/4 B) 1/2 D) 2 . a. C) 1 E) 4. Resolución Tema: Identidades trigonométricas del arco múltiple •. sen(90º – q)=cosq. •. sen(180º – q)=senq. •. sen2q=2senqcosq. •. sen3q=4sen(60º – q)senq sen(60º+q). b. α B. c. α. A. m , donde m y n son n primos entre si, calcule m+n. Si a=3, b=25, c=26, tgα =. A) 727 B) 728 D) 730 . C) 729 E) 731. 19.

(4) MATEMÁTICA Resolución. Análogamente. Tema: Resolución de triángulos oblicuángulos C. cot B =. α. B. cot α=. A. cota=cotA+cotB+cotC. cot α =. Análisis y procedimiento Tenemos. 4S. ( 3) 2 + ( 25) 2 + ( 26) 2 4S. . S = 27 ( 27 − 3) ( 27 − 25) ( 27 − 26). b=25. S=36 . B. c=26. α. cot α =. 1310 4 ( 36 ). cot α =. 655 72. tan α =. 72 655. a2=b2+c2 – 2bc cosA 2. 2. b +c −a 2bc. (I). Por área de la región triangular ABC (S). m 72 = n 655. bc senA 2 2S bc. Dividimos (I) y (II) b2 + c 2 − a2 4S. (IV). Reemplazamos (IV) en (III). A. Por teorema de cosenos. 2. (III). S = P ( P − a) ( P − b) ( P − c ) α. α. cot A =. a2 + b2 + c 2. Aplicamos la fórmula de Herón para calcular el área de la región triangular ABC. C. → senA =. 4S. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b +c −a a +c −b a +b −c + + 4S 4S 4S. cot α =. Punto de Brocard:. S=. a2 + b2 − c 2. cota=cot A+cot B+cotC. α. → cos A =. 4S. , cot C =. Aplicamos en el gráfico el punto de Brocard. α. a=3. a2 + c 2 − b2. (II). Como m y n son primos entre sí entonces m=72 y n=655. ∴. m+n=727. Respuesta 727. 20.

(5) MATEMÁTICA Pregunta N.o 26. Pregunta N.o 27. Dada la ecuación en el plano complejo,. Halle el dominio de la función. (1– i)z+(1– i)z+2=0, determine la ecuación cartesiana. A) 2x+2y+1=0. 3  f ( x ) = 17 arc sec  x −   2 A). 1 5 − ∞, −  ∪  , ∞ 2  2. B). 1 5 − ∞,  ∪  , ∞ 2  2. C). 3 1 − ∞, −  ∪  , ∞ 2  2. D). 1 1 − ∞, −  ∪  , ∞ 2  2. E). 5 3 − ∞, −  ∪  , ∞ 2  2. B) x+y+1=0 C) 2x – 2y+1=0 D) – x+y+1=0 E) – 2x+y+2=0. Resolución Tema: Números complejos Sea z=x+yi tal que x, y ∈ R, i = −1, i2=–1. • z+z=2x • z – z=2yi • zw=z · w ; ∀ z, w ∈ C • z=x – yi. Resolución Tema: Funciones trigonométricas inversas f(x)=Aarcsec(Bx) → Bx ≤ –1 ∨ Bx ≥ 1. Análisis y procedimiento Tenemos por dato (1– i)z+(1– i)z+2=0 (1– i)z+(1– i)· z+2=0 (1– i)z+(1+i)· z+2=0 z – iz+z+iz+2=0. Análisis y procedimiento Nos piden el dominio de f. 3  f( x ) = 17 arc sec  x −   2 Por teoría, f está definida en R si x−. Agrupamos de manera conveniente. z + z − i ( z − z) + 2 = 0 2x – i(2yi) + 2 =0 2x + 2y ∴ x+y+1=0. + 2 =0. . 3 3 ≤ −1 ∨ x − ≥ 1 2 2 x≤. 1 5 ∨ x≥ 2 2. 5 1 ∴ Dom f = − ∞;  ∪  ; + ∞ 2 2 Respuesta. Respuesta x+y+1=0. 1 5 − ∞;  ∪  ; ∞ 2  2. 21.

(6) MATEMÁTICA Pregunta N.o 28. Hallamos el número de vueltas de B.. En la figura mostrada, las ruedas A y B dan 2n y n vueltas respectivamente (n > 2) desde su posición inicial, hasta el instante en que llegan a tocarse; además, rA=1 u y rB=9 u. Calcule D en u. B. A. nB = n=. L2 2πr2. L2 2π(9). → L2=18pn Nos preguntan D=L1+6+L2. D A) 10np B) 15np+1 D) 22np+4 . C) 20np+2 E) 22np+6. D=4pn+6+18pn ∴. D=22pn+6. Resolución. Respuesta. Tema: Aplicación de longitud de arco. 22pn+6. Número de vueltas de una rueda (n). r. n=. Pregunta N.o 29. L. En la figura: O, O1, O2, O3 y O4 son centros de circunferencias, donde A, B, C y D son puntos de tangencia. Si AO=1 cm, entonces el área de la superficie sombreada es:. L 2πr. Análisis y procedimiento. B B. B' A. L1 1. A'. 10. 1. 6. 8 1. L2. O1 A. 9. 2n =. L1 2π(1). → L 1=4pn. O. O2. C. O3. D Hallamos el número de vueltas de A. L nA = 1 2π r1. O4. D A) B) C) D) E). 1,85 1,90 1,95 2,00 2,14. 22.

(7) MATEMÁTICA Resolución. Pregunta N.o 30. Tema: Área de regiones circulares. De un recipiente lleno de agua que tiene la forma de un cono circular recto de 20 cm de radio y 40 cm de altura, se vierte el agua a un recipiente cilíndrico de 40 cm de radio, entonces a qué altura, en cm, se encuentra el nivel del agua en el recipiente cilíndrico.. Área de la región cuadrada d. . . . a =. d2 2. A) 5. B). Análisis y procedimiento Piden A x (A x: área de la región sombreada) Dato AO=1 cm. Tema: Cono de revolución. w w. A. Análisis y procedimiento Nos piden h (altura del nivel de agua en el cilindro).. w. w. w. D) 2 . 5 2 5 E) 3. C). Resolución B. w. 10 3. w O. w w. w. 20 C. w. w. w w. w. Vcono =. π 20 2 ( 40 ) (I) 3. 40 Vcilindro = π 40 2 ·h (II). (. w. nivel de agua. ). D h. Del dato se deduce que Ax equivale al área de la región cuadrada ABCD, haciendo un traslado de áreas.. 40. Luego Ax = a =. ( AC ) 2 (I) 2. Entonces AC=2 (II) ∴. Ax=2. Respuesta 2,00. Como las expresiones (I) y (II) son iguales, → π 40 × 40h = ∴ h=. π· 20 ( 20 )( 40 ) 3. 10 3. Respuesta 10 3. 23.

(8) MATEMÁTICA Pregunta N.o 31 G1. En un tronco de prisma triangular oblicuo, la longitud del segmento que une los baricentros de sus bases es 16 cm. Calcule la longitud de la menor arista (en cm), si éstas están en razón de 3, 4 y 5. A) B) C) D) E). 4 8 12 16 48. 5K. 3K. 16 cm. 4K. G2. Como G1 y G2 son los baricentros de las bases 16 cm=. 3K + 4 K + 5 K 3. K=4 cm. Resolución. ∴. Tema: Tronco de prisma Recuerde que en todo tronco de prisma triangular. G1 b a. x. c. G2 Si G1 y G2 son los baricentros de las bases. x=. a+b+c 3. Análisis y procedimiento Nos piden la longitud de la menor arista=3K. Dato Las aristas están en la razón de 3; 4 y 5, y el segmento que une los baricentros de las bases mide 16 cm.. 3K=12 cm. Respuesta 12. Pregunta N.o 32 En un semicírculo cuyo radio mide R cm, se inscribe un triángulo rectángulo ABC (AC diámetro) tal que al girar alrededor de la hipotenusa genera un sólido, cuyo volumen es la mitad de la esfera generada por dicho semicírculo. Entonces el área de la superficie esférica es al área de la región triangular ABC como: A). 8 p 3. B) 3 p C) 4 p D). 16 p 3. E) 8 p. 24.

(9) MATEMÁTICA Resolución. Luego. A S.E. a ABC. Tema: Esfera 360º. 360º. A S.E. 4 πR 2 4 πR = = h a ABC 2R (h) 2. a. h. A S.E. = 4π a ABC Sólido de revolución. Se sabe que su volumen π a 2h VS.G. = 3. VS.G.: volumen del sólido generado Análisis y procedimiento Nos piden. A S.E. A ABC AS.E.: área de la superficie esférica. Respuesta 4p. Pregunta N.o 33 Si el perímetro del desarrollo de la superficie lateral del octaedro mide 30 u; determine la superficie lateral del poliedro mencionado.. A) 14 3 u 2 B) 16 3 u 2 D) 20 3 u 2 . C) 18 3 u 2 E) 22 3 u 2. A R. B. ABC. R. h=R. M. C. a. C. B. 1 Vesfera 2. D. 2R ) 1  4 πR  =   3 2 3  h2=R2 πh. 2(. Resolución Tema: Poliedro Octaedro regular. h. Del dato. V S.G. =. R. 3. A N Área de la superficie: As A s = 2a 2 3. 25.

(10) MATEMÁTICA Pregunta N.o 34. Desarrollo de la superficie total a. Se da un trapecio en el cual la base menor mide b. Si la base mayor es 8 veces la base menor (figura), y se divide el trapecio en 3 trapecios semejantes por dos paralelas a las bases, halle el valor de x (la menor paralela).. a. a. a a. a. a a. a. 30 u=10 a 3=a. C. x. M. Perímetro de la superficie total=10 a Análisis y procedimiento El dato es el perímetro de la superficie lateral del octaedro.. b. B. a. N y. P. E. A A) B) C) D) E). D. 2b 2,5b 3b 1,5b 3,5b. Nos piden As.. Resolución. Se sabe que. Tema: Semejanza Tenga en cuenta que si los trapecios MNPQ y AMQC son semejantes, entonces  t es constante  NP PQ MQ = = =t  MQ QC AC  de semejanza . A s = 2a. 2. A s = 2 ( 3). 3 2. 3. A s = 18 3. B. . Nota. N. En el enunciado dice octaedro. Se asume que es un OCTAEDRO REGULAR (falta dato), entonces debemos entender. . M. bα. K P. 2b α. K Q. que la superficie lateral es la superficie total.. Respuesta 18 3 u 2. 2 A. 2K 4b. α. C. 26.

(11) MATEMÁTICA Análisis y procedimiento Nos piden x. Dato AD=8b. B. T. B. b. M P. A D H. C x. C. A) 4 B) 5 D) 8 . N. y. E C) 6 E) 9. Resolución. E. Tema: Líneas notables Recuerde algunos de los triángulos pitagóricos. A. 8b. D. Se prolongan AB y DC hasta que se intersecan en t. Del otro dato se tiene que los trapecios MBCN, PMNE y APED son semejantes. b x y = = =t x y 8b Multiplicamos 1 = t3 8 1 =t 2 Luego x=2b Respuesta 2b. Pregunta N.o 35 En la figura, el triángulo ABC recto en B, BH es la altura, BD es la bisectriz del ángulo ABH y BE es la bisectriz del ángulo HBC. Si AB=7 u y BC=24 u. Calcule el valor del segmento DE (en u).. 13. 5. 17. 8. 12. 15. 7. 25 24. Análisis y procedimiento Nos piden DE=x B. 7 2θ. θ αα. α+2θ. θ+2α. A D H 1. θ. x. 2α. E. C. 24 25. Datos AB=7, BC=24 → AC=25 Como BD y BE son bisectrices, entonces los T ABE y T BCD son isósceles. Luego x+1=7 ∴ x=6 Respuesta 6. 27.

(12) MATEMÁTICA Pregunta N.o 36. Pregunta N.o 37. Se tiene un triángulo equilátero ABC inscrito en una circunferencia de radio r=6 cm, si M es el  en partes iguales punto que divide al arco AB (M ≠ C), entonces el área de la región triangular AMB en cm2 es:. En un triángulo ABC, AB=4 u, BC=6 u. Se traza DE paralela a BC donde los puntos D y E pertenecen a los segmentos AB y AC respectivamente, de modo que el segmento BE sea bisectriz del ángulo B. Calcule el valor de BD (en u).. A) 8 3. B) 9 3. C) 10 3. D) 11 3 . E) 12 3. A) 1,8 B) 2,0 D) 2,4 . C) 2,2 E) 2,8. Resolución. Resolución. Tema: Áreas de regiones triangulares. Tema: Proporcionalidad de segmentos. B. Por fórmula trigonométrica. c α. A b. A. ABC. =. C. bc sen α 2. Análisis y procedimiento B 60º 6 M 6 cm 120º 120º 60º. Análisis y procedimiento Nos piden BD=x Datos AB=4 u, BC=6 u y BE es bisectriz del ángulo B. B x β β 4. 6 A 120º. Nos piden A. C. 6. D. 4–x A. 2K. E. 3K. C. AMB.  y m Como m  AM = m BM AMB = 120º  = 60º ) → AM=MB=6 ( m  AM = m MB 240º = 120º 2 Luego, por fórmula trigonométrica (6)(6) A AMB = sen 120º 2. Por el teorema de la bisectriz interior 4 AE = , AE = 2K y EC = 3 K 6 EC. Por ángulo inscrito: mAMB =. A. AMB =. Respuesta 9 3. 9 3. Como DE // BC, por el corolario de Thales, x 3K = 4 − x 2K x=2,4 Respuesta 2,4. 28.

(13) MATEMÁTICA Pregunta N.o 38. Del gráfico. Dos segmentos paralelos en el plano tienen longitudes 3 cm y 1 cm respectivamente. Si la distancia entre esos segmentos es de 1 cm, calcule el radio de la circunferencia que pasa por los extremos de dichos segmentos. A). 3 2. 5 2. D). 9 2. B). C). 7 2. 5=R 2 R=. 5 2. Pregunta N.o 39. Tema: Circunferencia Recordando arcos y cuerdas notables. Se colocan ocho monedas de igual radio, tangentes dos a dos, tangencialmente alrededor de una moneda de mayor radio, entonces la relación entre el radio de la moneda mayor y el radio de la moneda menor es:. 90º R 2 R. A). R 3. C). 120º D). Análisis y procedimiento Nos piden R. Datos AB=1, CD=3, AH=1, AB // CD y inscrito De lo anterior se deduce que ABCD: trapecio isósceles B A. 45º D. 1. H. 2− 2 2 2− 2 2 2− 2. −. 1 2. −. 1 4. 2. B). −2. ABCD es. 2− 2. 2. E). Tema: Polígonos regulares H G. 2− 2. −1. −. 1 8. R. C R. B. 45º R. O. F 1 45º. A. R. 90º 1. 1. 2. Resolución. 5 1. 5 2. Respuesta. E) 2,5. R. → AC = R 2. ∴. Resolución. 60º. m ABC = 90º. C. E. D En un octógono regular ABCDEFGH AB = R 2 − 2. 29.

(14) MATEMÁTICA Resolución. Análisis y procedimiento y Nos piden x x. Tema: Poliedros regulares El cubo o hexaedro regular es aquel poliedro limitado por 6 regiones cuadradas. O1. x. x. y O. 45º y. x x. a x O2. Análisis y procedimiento Nos piden la medida del diedro que forman el plano BRD y la cara EFGH.. y. Analizando el problema, mO1OO2 = mO1OO2=45º. En el. a. a. B. 360º y 8. O1OO2 elemental del octógono regular. C O. A. D. 2 x = (y + x ) 2 − 2. 2a 2. 2x − x 2 − 2 = y 2 − 2. 2a 2. y 2− 2− 2 = x 2− 2. F 2a. E. a 2. T a. θ. S H. a 2 G a 45º a 2 Q R a 2. Respuesta 2 −1 2− 2. Datos BO=OD y HR=RG. Pregunta N.o 40. Sea q la medida del diedro que nos piden.. ABCD - EFGH es un hexaedro regular. Si O es el centro de ABCD y R es punto medio de HG. Halle la medida del diedro que forman el plano BRD y la cara EFGH.. Luego, TR es la arista del ángulo diedro pedido.. A) arctan ( 2 ) C). . Entonces tan θ =. 2a 2 a. B) arctan(2). ∴ θ = arctan ( 2 2 ). 7 2  E) arctan   2 . Respuesta. arctan ( 2 2 ). D) arctan ( 3 2 ). 2a 2. arctan ( 2 2 ). 30.

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